Compito 25-3-04

Elettricità e magnetismo A. A. 2003-2004 (Proff. A. Frova, F. Lacava, G. Ruocco)
Compito di esame 25 Marzo 2004
1) Su una corona circolare isolante di spessore trascurabile,
raggio esterno b=5.0 cm e raggio interno a=2.0 cm è
depositata una carica positiva tale che la corona risulti
carica uniformemente con densità di carica =2.2 10-12
C/m2.
Si ponga un protone (carica q=1.6 10-19 C e massa m=1.7
10-27 kg) ad una quota h=20 cm lungo l’asse della corona
perpendicolare al piano da essa definito.
Calcolare:
a) la minima velocità iniziale (diretta lungo l’asse sopra
definito) che il protone deve avere affinché raggiunga il
centro della corona;
b) l’accelerazione del protone alla quota h e al centro della
corona.
c) Se il sistema viene immerso in un gas di costante
dielettrica relativa r=1.1 e coefficiente di attrito nullo,
calcolare la velocita’ minima iniziale che il protone deve
avere per raggiungere il centro della corona.
h
b
a
2) Si consideri la parte inferiore di un tubo cavo conduttore omogeneo di diametro D=0.50 m, di
lunghezza praticamente infinita e spessore trascurabile, tagliato a metà con un piano orizzontale. Il
semitubo cosi ottenuto e’ percorso da una corrente i che scorre uniformemente lungo la sua
superficie laterale parallelamente all’asse del semitubo.
a) Calcolare modulo, direzione, e verso del campo magnetico generato dal semitubo in un punto del
suo asse quando lungo il semitubo scorre una corrente i=143 A nel verso indicato in figura.
b) Il semitubo sia posto all’equatore magnetico della Terra con l’asse orientato lungo la direzione
nord-sud di un meridiano magnetico locale. Si sospenda sull’asse del semitubo un solenoide di
lunghezza trascurabile composto da N=12 spire circolari di raggio r= 2.00 mm. L’asse del solenoide
e del semitubo sono inizialmente parallelli (con l’asse del semitubo passante per il centro del
solenoide; si veda figura). Se si fa passare una corrente i2=350 mA nel solenoide e questo e’ libero
di ruotare attorno all’asse verticale n̂ indicato in figura, calcolare quanto vale l’angolo φ che,
all’equilibrio, l’asse del solenoide forma con la direzione del campo magnetico terrestre, il cui
modulo vale B=4.20 10-5 T. Si assuma la sezione del solenoide sufficientemente piccola da
considerare uniformi e costanti i campi magnetici su tale sezione.
c) Calcolare il lavoro che si deve fare dall’esterno per riportare il solenoide con il suo asse parallelo
all’asse del semitubo.
n̂
nord
φ
sud
D
i
Soluzione 1)
Il campo ed il potenziale elettrico lungo l’asse della corona circolare può essere calcolato
utilizzando il risultato noto per un disco isolante uniformemente carico ed il principio di
sovrapposizione applicato a due dischi isolanti di raggio a e b carichi uniformemente con densità di
carca - e +, rispettivamente.
a) Sia z la coordinata lungo l’asse della corona. Dal teorema dell’energia cinetica si trova che
essendo vf=0 al centro della corona (z=0):
12
12
1 2


mvi  qV z  0  V  z  h  , dove V ( z ) 
z 2  b 2   z 2  a 2 
è il potenziale
2
2 0
elettrostatico generato da una corona carica lungo il suo asse.
12
12
q
Si trova vi 
b  a  h2  b2  h2  a2
 7.6 10 2 m/s .
m 0
b) Data l’espressione del campo elettrico in un generico punto dell’asse della corona


z 
1
1
E( z) 

zˆ , il modulo dell’accelerazione è pari a
 2
12 
2 0  z  a 2 1 2
z 2  b 2 

qh 
1
1
a

 3.0 10 5 m/s 2 ed a=0 per z=h e z=0, rispettivamente.
 2
12
12 
2
2
2
m2 0  z  a
z b

v
c) In questo caso si trova che vi'  i  7.2 10 2 m/s .
r
Soluzione 2)
a) Il campo magnetico prodotto dal semitubo sul suo asse si
ottiene sommando il contributo di tanti fili rettilinei infiniti,
d
ognuno percorso da una corrente di  i
.


La componente verticale di B è nulla, in quanto i contributi di di
di
due elementi posti ad angoli  e (-) sono uguali in modulo
ma opposti in verso.
La componente orizzontale sarà data da:

0 di
 0i 
i
BEO  
sin   2  sin d  20  7.28  10 5 T.
2R
2 R 0
 R
0
b) Il campo BEO generato dal semitubo si dispone lungo la direzione est-ovest, mentre il campo
terrestre B si dispone lungo la direzione sud-nord. La spira si disporrà con l’asse parallelo alla
risultante dei due campi magnetici (quello terrestre e quello del semitubo). L’angolo rispetto alla
B
direzione del campo magnetico terrestre sarà:   arctan EO  60.0 °, in direzione nord-ovest.
B
c) L’energia della spira prima e dopo il lavoro esterno è:
 
 
U f  m  BTOT  mBTOT cos 
U i  m  BTOT  mBTOT
















Il lavoro compiuto dal campo è Lcampo  mBTOT 1  cos   , ed il lavoro fatto dall’esterno è
Lext  mBTOT 1  cos   .
2
Essendo B e BEO perpendicolari, BTOT  B 2  BEO
 8.40  105 T.
Il momento magnetico del solenoide è: m  Nir 2  5.28  10 5 Am2.
Il lavoro fatto dall’esterno sarà: Lext  2.22  10 9 J.