Esercitazioni di Matematica Discreta
09-03-2005
Disegno
Sia X un insieme, |X| = v. Diremo disegno un insieme B di k-sottoinsiemi di X di
parametri (v, k, r) se ogni elemento di X è contenuto in esattamente r sottoinsiemi di
B.
C.N.E.S. perché B sia un disegno è che v r = b k, dove |B| = b è il numero di blocchi.
Es. Un pullman scolastico con una capienza di 20 posti, ogni mattina, con i posti tutti
occupati, trasporta alcuni studenti di un certo quartiere alla loro scuola: ogni giorno
non tutti gli studenti del quartiere riescono a prendere posto, ed alcuni vanno a piedi.
Dopo 30 giorni si osserva che ogni studente del quartiere è riuscito a prendere il
pullman esattamente 4 volte. E’ possibile ? E dai dati del problema è possibile
dedurre il numero degli studenti del quartiere ?
Sol. Si tratta di costruire un disegno di parametri (v, k = 20,r = 4) dove v è il numero
incognito degli studenti del quartiere, e b = 30 è il numero dei blocchi. Dalla formula
v r = b k si ricava v =150, e, poiché sono facilmente verificate le condizioni per
l’esistenza del disegno, quanto descritto è possibile.
Es. Data la configurazione
A E I
O U Y
R T
Si possono determinare altre configurazioni, muovendo le lettere di un posto verso
l’alto, verso il basso o verso destra e verso sinistra utilizzando lo spazio vuoto. Dire
se le seguenti configurazioni sono ammissibili:
A R E
Y O U
I T
Y E A
T O
U R I
Sol. Passare da una all’altra configurazione, significa fare delle trasposizioni della
configurazione di lettere AEIOUYRT. Quindi, una configurazione è possibile se la
permutazione è dello stesso tipo degli spostamenti.
Passare dalla prima configurazione alla seconda presuppone un numero pari di
spostamenti. Vediamo se la permutazione delle lettere è pari:
A E I O U Y R T
A RE YO U I T
(E R I)(O Y U) che è pari, quindi è ammissibile.
Passare dalla prima configurazione alla terza configurazione presuppone un numero
dispari di spostamenti. La permutazione è:
A E I O U Y R T
Y EA TO U R I
(A Y I)(O T R U) che è pari, quindi non è ammissibile.
Es. Sei amici hanno finito di leggere un libro ciascuno e adesso vogliono scambiarsi
i libri in modo che ognuno legga un libro nuovo. Cosa si può dire sul numero n
dei modi in cui ciò può essere fatto?
Sol. È il classico problema della segretaria distratta, in cui si sostituiscono lettere ed
indirizzi con libri e amici.
1 1 1 1 1 1
n = 6! 1 = 265.
1! 2! 3! 4! 5! 6!
Es. Dati gli insiemi A={a,b,c,d,e}, B={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, calcolare il numero
di tutte le applicazioni f: A B che non soddisfano contemporaneamente nessuna
delle seguenti condizioni: a) sono iniettive, b) le immagini di tutti gli elementi di A
sono numeri >0.
Sol. L’insieme X di tutte le applicazioni ha cardinalità 95 (sono le sequenze ordinate
con ripetizioni da un insieme di r = 5 elementi ad uno di n = 9 elementi). Contiamo
gli elementi di a): sono le sequenze ordinate senza ripetizioni da un insieme di r = 5
elementi ad uno di n = 9 elementi, cioè |Y| = 9×8×7×6×5. Contiamo gli elementi di
b): vuol dire contare tutte le applicazioni da un insieme di r = 5 elementi ad uno di n
= 4 elementi ({1, 2, 3, 4}), cioè |Z| = 45 . Quelli che soddisfano sia a) che b) sono le
applicazioni iniettive da un insieme di r = 5 elementi ad uno di n = 4 elementi, cioè
l’insieme vuoto. Per il principio di inclusione-esclusione: |Y Z| = |Y| + |Z| =
9×8×7×6×5 + 45, ed il numero cercato è |X - Y Z| = 95 – (9×8×7×6×5 + 45).
Es. Si consideri un'insegna luminosa con 15 lampadine, ognuna delle quali può
assumere uno dei seguenti colori: giallo, rosso, verde, blu. Quante diverse
configurazioni può assumere l'insegna se si pretende che esattamente 5 lampadine
restino spente ?
15
Sol. Le 5 posizioni delle 15 lampadine spente si possono scegliere in modi
5
diversi. Le configurazioni delle rimanenti 10 lampadine corrispondono alle sequenze
ordinate con ripetizione di r = 10 elementi in un insieme di n = 4, in numero di 4 10. La
15
risposta è 410 .
5
