massimi e minimi relativi

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1) MASSIMI E MINIMI RELATIVI. TEOREMA DI FERMAT
Definizione
Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo [a , b] e x0  [a , b].
Si dice che x0 è un punto di massimo relativo o locale per f(x) se esiste un intorno I(x0) di x0 tale che
f(x)  f(x0 )
 x  I ( x0 )  [a , b]
Analogamente si dice che x0 è un punto di minimo relativo o locale se esiste un intorno I(x0) di x0 :
f(x)  f(x0 )
 x  I ( x0 )  [a , b]
Un punto x0  [a, b] che sia un punto di massimo relativo o un punto di minimo relativo si dice un
punto di estremo relativo o anche un punto di estremo locale.
Osservazioni
Si noti che sulla definizione di massimo relativo non si richiede che la disuguaglianza
f(x)  f(x0 ) sia verificata in tutto l’intervallo [a, b] ma solo in un opportuno intorno I(x0) di x0.
Evidentemente se f(x)  f(x0 )  x [a , b] x0 è un punto di massimo e f(x0) è il massimo di f(x).
Analogo discorso vale per i punti di minimo relativo.
I punti di minimo e di massimo della funzione f, per distinguerli dai punti di estremo relativo, si
chiamano punti di minimo assoluto e massimo assoluto. Si noti che:
 x0
punto di estremo assoluto  
 x0
punto di estremo relativo 
Ma tale implicazione non si inverte.
TEOREMA DI FERMAT (condizione necessaria di estremo relativo)
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] e supponiamo che f(x) abbia in un
punto x0 [a, b] un estremo relativo. Valgono le seguenti implicazioni:
 1) x0 interno ad [a,b] 


 2) f derivabile in x0 

f '( x0 )  0
Dim
Supponiamo, per fissare le idee, x0 punto di massimo relativo per f(x). Ciò significa che esiste un
intorno I(x0) di x0 tale che
(*)
f(x)  f(x0 )
 x  I ( x0 )
1
Per l’ipotesi 1) in I(x0) cadono sia punti di [a, b] minori di x0 sia punti di [a, b] maggiori di x0 e
quindi; essendo f ( x)  f ( x0 )  0  x  I ( x0 ) in virtù di (*), si ha:
f ( x)  f ( x0 )  0 se x  x0

x  x0
 0 se x  x0
Passando al limite per x  x0  e per x  x0  si ottiene
f  ' ( x0 )  0 ; f  ' ( x0 )  0
La tesi segue dall’ipotesi 2) che implica f  ' ( x0 )  f  ' ( x0 )  f ' ( x0 ) .
Osservazione 1
Si noti che:
 f (x ) = 0
'
0
con x 0  a, b


 x0 punto di estremo relativo 
Ad esempio la funzione f ( x)  x3 è tale che  f ' ( x)   3x2   0
x 0
x 0
Tuttavia sappiamo che f è strettamente crescente in R e quindi sprovvista di estremo relativo
Osservazione 2
Si noti che, dal punto di vista geometrico, il teorema di Fermat afferma che nei punti di estremo
relativo che sono interni ad un intervallo, la tangente al diagramma è parallela all’asse x.
Osservazione 3
Si noti che il teorema di Fermat non vale se il punto x0 di estremo relativo non è interno
all’intervallo [a, b]
Ad esempio se x0 =b e x0 è un punto di massimo relativo è possibile considerare soltanto il limite
sinistro di f in b e, ripetendo lo stesso ragionamento della dimostrazione del teorema si ottiene:
f ' (b)  f ' (b)  0
Ne segue che può essere f ' (b)  0
2) TEOREMI DI ROLLE E DI LAGRANGE
I due teoremi che ci accingiamo a dimostrare sono detti teoremi fondamentali del calcolo con le
derivate.
2
TEOREMA DI ROLLE
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo compatto [a, b], derivabile nei punti interni ad [a, b].
se f(a)=f(b) esiste un punto x0 interno ad [a, b] tale che f ' ( x0 ) = 0 . In altri termini vale la seguente
implicazione:
1) f continua in  a, b  


 2) f derivabile in a, b  


 3) f (a)  f (b)


 x0a,b : f ' ( x0 )0

Dim
Per il teorema di Weistrass che vale in virtù dell’ipotesi 1) f(x) ha in [a, b] minimo e massimo. Ciò
significa che  x1 x2  a, b tali che
f ( x1 )  f ( x)  f ( x2 )
 x a, b
Se f ( x1 )  f ( x2 ) è evidente che la funzione f è costante in [a, b] e il teorema di Rolle è certamente
vero quindi si ricordi che la derivata di una costante è nulla.
Se per l’ipotesi 3) almeno uno dei due punti x1 x2 è interno ad  a, b . Se per esempio x1 è interno ad
[a, b] allora x2 essendo un punto di estremo assoluto, è anche un punto di estremo relativo nel quale
f è derivabile per l’ipotesi 2). Dal teorema di Fermat si deduce che f ' ( x1 ) = 0 e il teorema di Rolle
è completamente dimostrato.
Osservazione 1
Se consideriamo il diagramma di una funzione f che verifica l’ipotesi del teorema di Rolle allora
questo teorema afferma che esiste almeno un punto c del diagramma, distinto dagli estremi a e b, in
cui la tangente geometrica è parallela all’asse x.
Osservazione 2
La continuità di f(x) negli estremi dell’intervallo [a,b] è indispensabile.
Consideriamo ad esempio la funzione
 x se x   0,1
f ( x)  
0 se x  1
Tale funzione è derivabile in 0,1 ma non è continua in [0, 1]
perché nel punto 1 ha una discontinuità eliminabile essendo lim f ( x)  1  f (0)  0 . inoltre vale
x 1
3
(per l’ipotesi 2) f(0)=f(1)=0 . Ebbene, essendo f ' ( x)  1  x  0,1 tale funzione non verifica la
tesi del teorema di Rolle.
TEOREMA DI LAGRANGE
Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo compatto [a,b] e derivabile nei punti interni ad [a,b],
esiste un punto x0 interno ad [a,b] tale che:
f (b)  f (a )
 f '  x0 
ba
Questa uguaglianza si chiama formula di Lagrange.
Dim
Consideriamo la funzione ausiliare
f (b)  f (a)

g ( x )  f ( x )   f (a ) 
 x  a 
ba


La quale,geometricamente, rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P del diagramma e del
punto Q della retta congiungente gli estremi A=(a,f(a)), B=(b,f(b)) aventi la stessa ascissa(distanza
variabile del diagramma della retta).
Si verifica facilmente che g(a)=g(b)=0. D’altra parte g è continua in [a,b], derivabile in a, b risulta
g ' ( x)  f ' ( x) 
f (b)  f (a)
ba
 x  a, b
Ne segue, per il teorema di Rolle, che esiste un punto x0  a, b tale che
f (b)  f (a)
 0 . Ma ciò equivale a dire che esiste un punto x0  a, b tale che
ba
f (b)  f (a)
f ' ( x0 ) 
.
ba
Il teorema è dimostrato.
g ' ( x0 )  f ' ( x0 ) 
3)CONSEGUENZE NOTEVOLI DEL TEOREMA DI LAGRANGE
Sappiamo che ogni funzione costante in un intervallo è derivabile ed ha derivata identicamente
nulla. Viceversa, mediante il teorema di Lagrange, si dimostra il seguente:
TEOREMA (sulle funzioni con derivata nulla)
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a,b] e derivabile in a, b . V.s.i.
 f ( x)  0
'
 x  a, b
 f
cos tan te in  a, b 

Dim
4
Siano x1 x2  a, b con x1  x2 . applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f all’intervallo
compatto di estremi x1 e x2 si ha:
f ( x2 )  f ( x1 )
 f ' ( x0 )  0
x2  x1
Dove x0 è un punto interno all’intervallo in questione. Ne segue che
 x , x   a, b  e x
1
2
1
 x2    f ( x1 )  f ( x2 ) 
E ciò implica che f è costante in  a, b . Il teorema è dimostrato.
CRITERIO DI MONOTONIA
Sia f ( x ) una funzione continua nell’intervallo  a, b e derivabile in a, b . V.s.i.
 f ' ( x)  0  x  a, b 
 f ( x) crescente in  a, b 





 decrescente 
 0







Dim 
Siano x1 , x2 a, b con x1  x2 . Applicando il teorema di Lagrange all’intervallo  x1 , x2  si ha
f ( x2 )  f ( x1 )
 f ' ( x0 )  0
x2  x1
Dove x0   x1 , x2  . Ne segue
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
 x1, x2 a, b
E ciò per definizione significa che f è crescente in  a, b
Dim 
 x a, b e  x0  a, b essendo f crescente risulta:
f ( x)  f ( x0 )
0
x  x0
E quindi anche
f ' ( x0 )  lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
0
x  x0
 x0  a, b
Il teorema è completamente dimostrato.
5
Osservazione notevole
Dalla dimostrazione del criterio di monotonia si deduce facilmente la seguente implicazione
 f ' ( x)  0  x  a, b 
 f strettamente crescente in  a, b 





 decrescente 
 0







Tuttavia questa implicazione non si inverte. Consideriamo infatti la funzione f ( x)  x3
strettamente crescente in R. Essendo f ' ( x)  3x 2 risulta f ' (0)  0 . Pertanto la derivata di una
funzione strettamente monotona può annullarsi in qualche punto.
Osservazione 2
I teoremi di cui ci siamo occupati non valgono in generale se l’insieme di definizione della funzione
f non è un intervallo.
4) FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE. PUNTI DI FLESSO
Abbiamo visto che la nozione di estremo relativo è molto importante per lo studio del diagramma di
una funzione. Vogliamo ora occuparci di altre due considerazioni del diagramma che non sono
meno importante.
Definizione 1
Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo  a, b , in tale ipotesi il diagramma di f è dotato di
retta tangente in ogni punto di  a, b .
Si ha che f è convessa in  a, b quando in ogni punto x0   a, b accade che il diagramma di f è al di
sopra della retta tangente nel punto di ascissa x0 .
Analogamente si dice che f è concava in  a, b se in ogni punto x0   a, b accade che il diagramma
di f è al di sotto della tangente nel punto di ascissa x0 .
Osservazione notevole
Ricordando che l’equazione della retta tangente al diagramma di f nel punto x0 è
y  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
Possiamo affermare che:
 f convessa in a, b   f ( x)  f ( x )  f ( x )( x  x )
 f concava in a, b   f ( x)  f ( x )  f ( x )( x  x )
0
 x, x0   a, b 
0
0
 x, x0
'
0

  a, b 
0
'
0
Definizione 2
6
Sia f(x) una funzione derivabile nell’intervallo  a, b e x0 un punto interno ad  a, b cioè x0  a, b .
Si dice che x0 è un punto di flesso per la funzione f o anche che il punto P0  ( x0 ; f ( x0 )) è un punto
di flesso per il diagramma di f quando accade che f(x) è concava in  a, x0  e convessa in  x0 , b o
viceversa.
Osservazione
Si noti che se x0 è un punto di flesso per f allora esistono punti di  a, b diversi da x0 in cui il
diagramma di f sta al di sopra della tangente in x0 e punti di  a, b diversi da x0 in cui il diagramma
di f sta al di sotto della tangente in x0 . Conseguentemente la tangente di flesso attraversa il
diagramma.
Osservazione
Nelle applicazioni può capitare che il diagramma di f abbia l’andamento in figura e cioè sia
convesso in  a, x0  e concavo in  x0 , b e la tangente di x0 sia verticale, evidentemente in tal caso
risulta f ' ( x0 )   e si dice che la funzione f ha in x0 un flesso a tangente verticale e la retta di
equazione x  x0 si chiama retta tangente di flesso. Naturalmente tutto ciò vale anche quando
viceversa, in  a, x0  f è concava e in  x0 , b f è convessa.
CRITERIO DI CONVESSITA’ (senza dimostrazione)
Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo  a, b e due volte in a, b . V.s.i.
 f '' ( x)  0  x  a, b 
 f convessa in  a, b 


  concava 


 0







Da questo teorema si deduce immediatamente il seguente risultato.
TEOREMA (condizione necessario di flesso)
Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo  a, b e due volte nel punto x0  a, b . V.s.i.
 x0 punto di flesso per f    f '' ( x0 )  0 
Dim
Se x0 è un punto di flesso, per il criterio di convessità e per il criterio di monotonia la derivata
f ' ( x) risulta crescente in  a, x0  e decrescente in  x0 , b o viceversa. Conseguentemente x0 è un
punto di estremo assoluto e quindi anche di estremo relativo per f ' ( x) . Dal teorema di Fermat
applicato alla funzione f’ segue la tesi.
7
Osservazione
L’implicazione incontrata in questo teorema non si inverte. Ad esempio la funzione f ( x)  x 4 è
convessa in tutto R perché risulta f ' ( x)  4 x3 , f '' ( x)  12 x 2  0  x  . Tuttavia risulta
f '' (0)  0 ; la derivata seconda si annulla nel punto zero che non è di flesso.
Osservazione
Dalle considerazioni svolte in questo paragrafo si deduce che lo studio del segno della derivata
seconda di una funzione f consente di determinare la concavità, la convessità e i punti di flesso del
diagramma. I punti di flesso a tangente non verticale sono da ricercare tra i punti interni
all’intervallo di definizione di f nei quali la derivata seconda si annulla. Se in un punto x0 risulta
f '' ( x0 )  0 e inoltre la derivata seconda è minore di zero a sinistra di x0 e maggiore di zero a destra
allora x0 è un punto di flesso per f. naturalmente si giunge alla stessa conclusione se a sinistra di x0
f '' ( x)  0 e a destra f '' ( x)  0 .
5) ASINTOTI
Si dice asintoto una retta alla quale una curva, che nei casi che ci riguardano è un diagramma, si
avvicina infinitivamente. Gli asintoti si dicono orizzontali, verticali e obliqui.
Considerata una funzione f(x) è facile convincersi che
I)
f ( x)  l 
 y  l asintoto orizzontale per f    xlim

II)  x  x0 asintoto verticale per f    lim  f ( x)   opp.   
 x x0

Nel caso dell’asintoto obliquo y=mx+n è evidente che la distanza PQ del diagramma dalla retta
tende a zero se e solo se tende a zero la “distanza verticale” PT cioè la differenza tra le ordinate del
diagramma della retta.
Ne segue che:

III)  y  mx  n asintoto obliquo per f   lim
x 
 f ( x)  (mx  n)  0 
Si verifica che y=mx+n è un asintoto obliquo se e solo se
m  lim
x 
f ( x)
x
e
n  lim  f ( x)  mx 
x 
Osservazione 1
Si noti che, affinché il diagramma di f(x) abbia la retta obliqua y=mx+n come asintoto è necessario
che risulti m  0 e m, n  . Conseguentemente se uno dei due limiti non esiste oppure esiste ed è
infinito il diagramma è sprovvisto di asintoto obliquo.
Osservazione 2
Si noti che per il teorema di unicità del limite gli asintoti risultano unici
8
6) LA REGOLA DI L’HOPITAL
Consideriamo due funzioni reali f e g entrambe infinitesime o entrambe infinite in un punto x0 . In
tal caso il loro rapporto f/g si presenta in forma indeterminata 0/ 0 o  /  perché il limite può
esistere (finito o infinito) come può non esistere. Un metodo utile per studiare tali forme
indeterminate è fornito dal seguente teorema
TEOREMA DI L’HOPITAL(senza dimostrazione)
Siano f(x) e g(x) due funzioni reali derivabili nell’intervallo a, x0  con x0   (nell’intervallo
 x0 , b con
x0   ). Supponiamo che risulti
lim f ( x)  lim g ( x)  0
xx0
xx0
oppure
lim f ( x)   e lim g ( x)  
xx0
xx0
E che i rapporti f/g e f’/g’ abbiano significato in a, x0  (in  x0 , b ) cioè che risulti
g ( x)  0 e g ' ( x)  0  x a, x0    x   x0 , b  , se f e g sono infinitesime in x0 . In tale ipotesi
vale l’implicazione:

f ' ( x)
l
 xlim
'
  x0 g ( x)



f ( x)
l
   xlim
  x0 g ( x)


Osservazione 1 (notevole)
In base al teorema di l’ Hospital ogni volta che il limite
f ( x)
lim
x  x0 g ( x )
Si presente nella forma indeterminata 0/0 o nella forma  /  si può cercare di calcolare tale limite
sfruttando il limite in x0 del rapporto delle derivate
lim
x  x0
f ' ( x)
.
g ' ( x)
Se quest’ ultimo limite esiste (finito o infinito) allora esiste anche il lim
x  x0
f ( x)
e risulta
g ( x)

f ( x)
f ' ( x) 
lim

lim
 x x
.
'
 0 g ( x) xx0 g ( x) 
Naturalmente può capitare che anche il limite in x0 del rapporto delle derivate f’/g’ si presenti in
forma indeterminata. In tal caso, se f’ e g’ verificano le ipotesi del teorema di l’ Hopital, è possibile
f '' ( x)
riapplicare la regola di l’Hopital e cioè si può provare a calcolare il limite lim ''
x  x0 g ( x)
Evidentemente, se questo limite esiste, risulta
f ' ( x)
f '' ( x)
lim '
 lim ''
x  x0 g ( x)
x  x0 g ( x)
E conseguentemente
f ( x)
f ' ( x)
f '' ( x)
.
lim
 lim '
 lim ''
x  x0 g ( x)
x  x0 g ( x)
x  x0 g ( x)
9
Osservazione 2
Si noti che l’implicazione contenuta nel teorema di l’ Hospital non si inverte. Consideriamo ad
esempio le funzioni
1
f ( x)  x 2 cos ; g ( x)  e x  1
x
Le quali sono entrambe infinitesime in 0 e verificano le ipotesi del teorema. Si ha
1
1
f ' ( x) 2 x cos x  sen x

g ' ( x)
ex
E quindi  lim
x 0


f ' ( x)
perchè  lim 2 x cos 1x  sen 1x Tuttavia risulta:
x 0
g ' ( x)
x 2 cos 1x
f ( x)
x
lim
 lim x
 lim x  cos 1x  x
 0 1  0
x 0 g ( x )
x 0 e  1
x 0
e 1
Osservazione 3
Da questi esempi si deduce che la regole di l’ Hospital si può applicare non solo ai limiti nelle
forme indeterminate 0/0 e  /  ma anche, con opportuni artifici di calcolo, a tutte le forme
indeterminate.
7) STUDIO DEL DIAGRAMMA DI UNA FUNZIONE
I risultati fin qui ottenuti ci consentono di studiare l’andamento del diagramma di una espressione
elementare f(x).
È opportuno studiare le proprietà della funzione secondo il seguente schema:
1) si determina l’insieme di definizione di f e inoltre
a) le simmetrie evidenti (f pari, dispari, periodica)
b) quando è semplice farlo si studiano il segno di f e si calcolano le intersezioni con
gli assi
2) si determinano tutti gli asintoti orizzontali e obliqui e si controlla il comportamento di f
nei punti di discontinuità. Questo controllo porta a determinare anche gli asintoti
verticali.
3) Si determinano gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente ed i punti di
massimo e minimo relativo. Ciò si ottiene studiando il segno della derivata di f.
4) Quando non presenta particolari difficoltà si determinano gli intervalli in cui la funzione
è concava o convessa e i punti di flesso, ciò si ottiene studiando il segno della derivata
seconda di f.
8) LA FORMULA DI TAYLOR
Sia f(x) una funzione reale definita in un intorno I( x0 ) del punto x0  R e derivabile in x0 .
Consideriamo la differenza
(*)
r1 ( x)  f ( x)   f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
Osserviamo che essendo
10
(**)
lim
x  x0
 f ( x)  f ( x0 )

r1 ( x)
 lim 
 f ' ( x0 )   0
x

x
0
x  x0
x  x0


Tale funzione ha in x0 un infinitesimo di ordine superiore ad x  x0 nel senso che r1 ( x) tende a zero
più rapidamente di x  x0 quando x  x0 .
Osservazione 1
È noto che in ogni approssimazione l’errore è definito da:
errore = valore vero – valore approssimato
conseguentemente r1 ( x) rappresenta l’errore che si commette quando si assume
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) e cioè quando si sostituisce il valore f(x) di f nel punto x con il valore
in x del polinomio di primo grado P1 ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) .
Significato geometrico
Consideriamo il diagramma della funzione f e il punto P0  ( x0 ; f ( x0 )) di tale diagramma. È noto
che la retta tangente a tale diagramma nel punto P0 ha equazione
y  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
Conseguentemente r1 ( x) rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P  ( x; f ( x)) del
diagramma e del punto ….. della retta tangente
Si nota dalla figura che la distanza verticale tra la curva e la retta tangente quando x è abbastanza
prossimo a x0 è più piccola della distanza di x da x0 e cioè risulta
r1 ( x)  x  x0 per x abbastanza prossimo a x0
Conseguentemente, dal punto di vista geometrico, il limite (**)…. Che la distanza verticale della
curva della tangente a cioè la funzione r1 ( x ) tende a zero più rapidamente della distanza x  x0 di x
da x0 quando x tende a x0
È facile convincersi che tra tutte le rette passanti per il punto P0 la tangente in P0 è quella che
approssima meglio il diagramma y  f ( x ) nei punti x vicini a x0 . Se vogliamo approssimazioni
migliori dobbiamo utilizzare altre curve.
A tale scopo, invece della tangente, adoperiamo la parabola
y  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
f '' ( x0 )
( x  x0 ) 2
2
Consideriamo la funzione


f '' ( x0 )
'
r2 ( x)  f ( x)   f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2 
2


Applicando le regola di l’ Hopital si ha
11
lim
x  x0
r2 ( x)
 x  x0 
2
 lim
f ( x)   f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )  21 f '' ( x0 )( x  x0 ) 2 
 x  x0 
x  x0
2
H
 f ' ( x)  f ' ( x0 )

f ' ( x)  f ' ( x0 )  f '' ( x0 )( x  x0 ) 1
= lim
 lim 
 f '' ( x0 )   0
x  x0
x

x
2  x  x0 
2 0
x  x0

Dove certamente occorre supporre f derivabile una volta in un intorno I( x0 ) di x0 e due volte nel
punto x0 .
Ne segue che r2 ( x) tende a zero per x  x0 più rapidamente di ( x  x0 ) 2 e cioè del quadrato della
distanza di x da x0 e si capisce che se x è abbastanza vicino a x0 risulta ( x  x0 ) 2 < x  x0 e dunque
l’approssimazione ottenuta è migliore.
In generale, applicando ripetutamente n-1 volte la regola di l’Hopital si ottiene il seguente risultato
TEOREMA
Sia f(x) una funzione derivabile n-1 volte in un intorno di x0 e n volte nel punto x0 .
Considerata la differenza


f ' ( x0 )
f '' ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
rn ( x)  f ( x)   f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 )  . . . . 
( x  x0 ) n 
1!
2!
n!


Dove con il simbolo n! si intende il fattoriale di n e cioè il prodotto 1  2  3  n, risulta
rn ( x)
0
x  x0 ( x  x ) n
0
lim
E cioè, come si suol dire, rn ( x) per x  x0 è infinitesimo di ordine superiore a ( x  x0 ) n .
Ciò premesso si da la seguente
Definizione
Nelle ipotesi su f del teorema precedente, l’uguaglianza


f ' ( x0 )
f '' ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f ( x)   f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  . . . . 
( x  x0 ) n 
1!
2!
n!


Si chiama formula di Taylor della funzione f di punto iniziale x0 .
Il polinomio di grado  n
f ( x0 ) 
f ' ( x0 )
f '' ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 
( x  x0 )2  . . . . 
( x  x0 ) n
1!
2!
n!
Si chiama polinomio di Taylor di punto iniziale x0 .
La funzione rn ( x) che rappresenta l’errore che si commette quando si assume f ( x)  rn ( x) si chiama
resto di Peano della formula di Taylor.
Se x0  0 la formula di Taylor si chiama anche formula di McLaurin.
12
Osservazione 1
È utile tenere presente che se f(x) e g(x) sono due infinitesime in x0 in simboli
f ( x)  ( g ( x))
Che si legge f è un o piccolo di g in x0 , esprime che f(x) è in x0 un infinitesimo di ordine superiore
a g(x) e cioè che risulti
f ( x)
lim
0
x  x0 g ( x )
Utilizzando questa definizione, posto rn ( x) 
 ( x  x )  in virtù del teorema precedente la formula
n
0
di Taylor può riscriversi nella forma
f ( x)  Pn ( x) 
(x  x ) 
n
0
E esprime che la funzione f(x) si può rappresentare in un intorno I( x0 ) come somma del suo
polinomio di Taylor e di un infinitesimo in x0 di ordine superiore a ( x  x0 ) n
Osservazione 2
È facile verificare, calcolando le derivate della funzione considerate nel punto 0, che la formula di
McLaurin di e x , sen x, cos x, log(1  x) con n=3 sono:
x x 2 x3
e  1     ( x3 )
1! 2! 3!
x3
senx  x   ( x3 )
3!
x2
cos x  1   ( x3 )
2!
x 2 x3
log(1  x)  x    ( x3 )
2 3
x
Tali espressioni possono essere utilizzate per il calcolo dei limiti in forma indeterminata.
Utilizzando la formula di Taylor è possibile dimostrare il seguente risultato che può essere utile
nelle applicazioni.
TEOREMA (condizione sufficiente di estremo relativo)
Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo  a, b e due volte nel punto x0  a, b V.s.i.
 f ' ( x0 )  0 e f '' ( x0 )  0 
 x0 è un punto di massimo relativo 



(minimo)
( 0) 



13
Dim
Consideriamo la formula di Taylor di f con n=2:
f '' ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  r2 ( x)
2
'
Tale formula, per le ipotesi, si può riscrivere nella forma
f ( x)  f ( x0 ) 
f '' ( x0 )
( x  x0 ) 2  r2 ( x)
2
Dividendo per ( x  x0 ) 2 e passando al limite per x  x0 , si ha
lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 ) f '' ( x0 )

0
( x  x0 )2
2
Conseguentemente, per il teorema della permanenza del segno,
 I ( x0 ) : f ( x)  f ( x0 )
x  I ( x0 )
L’uguaglianza è valida solo per x  x0 .
Ma ciò significa, secondo definizione,che x0 è un punto di massimo relativo per f.
Il teorema è dimostrato.
14
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