Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta
Lezione del giorno 16 novembre 2009
Osserviamo che nel corso della dimostrazione del Teorema di esistenza del mcd(a,b) si è anche
dimostrato che il mcd(a,b) è combinazione lineare dei numeri a,b con coefficienti interi relativi,
dunque esistono 2 opportuni numeri interi relativi x,y tali che mcd(a,b)=ax+by.
Per esempio se a=14, b=10, esaminando i divisori comuni di a,b è facile verificare che
mcd(14,10)=2: come coefficienti x,y si possono allora scegliere per esempio i valori x= -2, y=3
(infatti ax+by=14(-2)+103=2=mcd(14,10)).
Notiamo anche che i coefficienti x,y non sono unici (nell’esempio precedente vanno bene per
esempio anche i valori x=8, y=11, in quanto ax+by=148+10(-11)=2=mcd(14,10)).
Problemi:
1. Dati i numeri naturali a, b, come calcolare in modo efficiente il mcd(a,b) (senza elencare tutti i
divisori comuni di a,b) ?
2. Dati i numeri naturali a, b, come calcolare degli interi relativi x,y tali che mcd(a,b)=ax+by ?
La soluzione al Problema 1 è nell’Algoritmo Euclideo delle divisioni successive, che illustreremo
in seguito.
Premettiamo un risultato preliminare:
Teorema. Siano a,b numeri naturali e dividiamo a per b:
a=bq+r con q, r interi 0, ed r<b.
Allora:
1) se r>0 si ha mcd(a,b)=mcd(b,r)
2) se r=0 si ha mcd(a,b)=b
Dimostrazione:
1) Supponiamo r>0 e poniamo d=mcd(a,b). La tesi è che d=mcd(b,r).
Dimostriamo dapprima che r è divisore comune di a,b. Essendo d=mcd(a,b), sappiamo già che da,
db (quindi esistono numeri naturali c,v tali che a=dc, b=dv); essendo già vero che db , si deve
solo dimostrare che dr: ma r=a-bq=dc-dvq=d(c-vq) quindi dr.
Resta poi da dimostrare che d è multiplo di ogni divisore comune z di b, r: ma in questo caso
esistono numeri naturali f,g tali che b=zf, r=zg, da cui si ricava a=bq+r=zfq+zg=z(fq+g) ossia za,
quindi z è divisore comune di a, b. Ma per ipotesi d=mcd(a,b) quindi d è multiplo di tutti i divisori
comuni di a, b, e si conclude in particolare che d è multiplo di z, come si voleva.
2) Supponiamo r=0 e dimostriamo la tesi mcd(a,b)=b. Ovviamente b è divisore sia di a (perché
a=bq) che di b (perché (b=b1), dunque è divisore comune di a, b. Resta da verificare che b è
multiplo di ogni divisore comune z di a, b: ma ciò è ovvio, perché, essendo z divisore di b, si ha che
b è multiplo di z .
Algoritmo Euclideo delle divisioni successive:
L’algoritmo consiste in una successione di divisioni effettuate secondo le regole seguenti:
1) La prima divisione si ottiene dividendo a per b.
2) Data una generica divisione dell’algoritmo, la divisione successiva si effettua solo se il resto
della precedente è>0, e nella divisione successiva il dividendo coincide con il divisore della
divisione precedente, mentre il divisore coincide con il resto della divisione precedente.
3) L’algoritmo ha termine quando una divisione ha resto =0.
Schematizzando:
divisione 1
(se r1>0) divisione 2
(se r2>0) divisione 3
(se r3>0) divisione 4
………. etc.
a=bq1+r1
b=r1q2+r2
r1=r2q3+r3
r2=r3q4+r4
con q1,r1 interi 0, r1<b
con q2,r2 interi 0, r2<r1
con q3,r3 interi 0, r3<r2
con q4,r4 interi 0, r4<r3
Osserviamo che l’algoritmo ha termine dopo un numero finito di divisioni: se infatti per assurdo
così non fosse, si otterrebbe una successione infinita di divisioni tutte con resto >0, ma, essendo i
resti legati dalla relazione r1>r2>r3>r4>….., l’insieme di tutti questi resti sarebbe un insieme S di
numeri naturali senza minimo, in contraddizione con l’Assioma del buon ordinamento.
Supponiamo dunque che l’algoritmo abbia termine dopo n divisioni con resto rn=0: dimostreremo
che l’ultimo resto non nullo rn-1 coincide con il mcd(a,b).
Schematizzando:
divisione 1
(se r1>0)
divisione 2
(se r2>0)
divisione 3
(se r3>0)
divisione 4
.
.
.
.
(se rn-2>0)
divisione (n-1)
(se rn-1>0)
divisione n
a=bq1+r1
b=r1q2+r2
r1=r2q3+r3
r2=r3q4+r4
con q1,r1 interi 0, r1<b
con q2,r2 interi 0, r2<r1
con q3,r3 interi 0, r3<r2
con q4,r4 interi 0, r4<r3
rn-3=rn-2qn-1+rn-1
rn-2=rn-1qn+rn
con qn-1,rn-1 interi 0, rn-1<rn-2
con qn,rn interi 0, rn=0
Se il resto rn=0 (quindi se l’algoritmo ha termine con la divisione n) affermiamo che rn-1=mcd(a,b).
Per dimostrare tale affermazione basta applicare la parte 1) del Teorema precedente alle prime (n-1)
divisioni, ottenendo:
mcd(a,b)=mcd(b,r1)=mcd(r1,r2)=mcd(r2,r3)=…..=mcd(rn-2,rn-1)
e poi applicare la parte 2) dello stesso Teorema all’ultima divisione, ottenendo:
mcd(rn-2,rn-1)=rn-1
per concludere che in effetti rn-1=mcd(a,b).
Esempio: calcoliamo mcd(371,98) con l’algoritmo delle divisioni successive.
Eseguiamo in tutto le seguenti 5 divisioni:
371=983+77
98=771+21
77=213+14
21=141+7
14=72+0
q1=3, r1=77
q2=1, r2=21
q3=3, r3=14
q4=1, r4=7
q5=2, r5=0
ottenendo alla fine 7=mcd(371,98).
Per risolvere il Problema 2, illustreremo ora un algoritmo (detto Algoritmo Euclideo esteso) per
calcolare i coefficienti interi relativi x,y tali che mcd(a,b)=ax+by, basato sull’algoritmo euclideo
delle divisioni successive.
Se n è il numero delle divisioni successive effettuate, costruiamo le seguenti 2 successioni di interi
relativi (in cui utilizzeremo anche i valori dei quozienti delle divisioni):
prima successione: s0,s1,s2, … , sn
seconda successione: t0,t1,t2, … , tn
dove si pone, nella prima successione:
s0=1, s1=0, e per ogni indice i=2,3, …, n si=si-2-si-1qi-1
e nella seconda successione:
t0=0, t1=1, e per ogni indice i=2,3, …, n ti=ti-2-ti-1qi-1
(dove qi-1 è il quoziente della divisione numero i-1).
Osserviamo che s2=s0-s1q1=1, t2=t0-t1q1=-q1, da cui as2+bt2=a-bq1=r1 (si ricava dalla divisione 1);
inoltre s3=s1-s2q2=-q2, t3=t1-t2q2=-1+q1q2 , da cui as3+bt3=-aq2+b(1+q1q2)=b-(a-bq1)q2=b-r1q2=r2 (si
ricava dalla divisione 2); con analoghi calcoli si ottiene in generale che asj+btj=rj-1 , e in particolare
(per j=n) si ottiene asn+btn=rn-1=mcd(a,b). Quindi i coefficienti cercati nella combinazione lineare
sono x=sn , y=tn .
Esempio: riprendiamo l’esempio precedente mcd(371,98)=7, in cui sono state effettuate n=5
divisioni successive.
La costruzione delle successioni si e ti porta ai seguenti valori:
s0=1, s1=0, s2=1, s3=-1, s4=4, s5= -5
t0=0, t1=1, t2=-3, t3=4, t4=-15, t5=19
da cui si ricava x=s5=-5, y=t5=19 e infine 7= mcd(371,98)=371•(-5)+98•19 .
Numeri primi
Sia a un qualunque numero naturale. Dall’eguaglianza a=a•1 segue che a,1 sono in ogni caso
divisori di a (detti divisori banali di a).
Definiamo numero primo un numero naturale a>1 i cui unici divisori sono i divisori banali 1,a .
Nota: osserviamo che, nella definizione di numero primo, il numero naturale 1 non è considerato
primo. Il motivo di questa esclusione del numero 1 dai numeri primi sarà chiarito nella
dimostrazione del “Teorema di fattorizzazione unica”.
Per verificare se un numero naturale a>1 è primo o non lo è, un test “ingenuo” (poco efficiente)
consiste ovviamente nell’esaminare tutti i numeri naturali x compresi fra 2 e (a-1), e per ognuno di
tali x testare se esso è divisore o no di a (cioè dividendo a per x e verificando se il resto è 0): se
nessun valore x fra 2 ed (a-1) è divisore di a, si conclude che a non ha divisori non banali, quindi a è
primo; se qualche valore x fra 2 ed (a-1) è divisore di a, si è trovato un divisore non banale di a,
quindi a non è primo.
Si devono dunque effettuare (nel caso peggiore) a-2 divisioni.
Esempio:
Dato il numero a=1009, non si trova nessun valore x con x=2,3,4,….,1008, che sia divisore di x
(effettuando 1007 divisioni). Quindi a=1009 è primo.
Nota: nell’agosto del 2008 è stato trovato il più grande numero primo attualmente conosciuto (esso
ha quasi 13.000.000 cifre in base 10).
Utili notizie possono essere trovate sul sito www.mersenne.org