la forza elastica - 808 kB

Roberto Capone
Esercizi di Fisica
Dinamica del punto materiale
La forza elastica
Si consideri una molla nel suo stato di riposo, cioè quando non è compressa né tirata; uno dei due capi è
fisso, mentre all’altro capo, che è libero, è attaccato un oggetto assimilabile ad una particella. Se
esercitiamo una certa azione sulla molla tirando il blocco verso destra, la molla eserciterà una azione di
richiamo verso sinistra tendendo a ripristinare il suo stato di riposo. Se, al contrario, esercitiamo una azione
verso sinistra comprimendo la molla, la molla a sua volta eserciterà una azione elastica tentando
nuovamente di ripristinare il suo stato di riposo. Per molte molle si può ritenere che la forza F esercitata
dalla molla sia proporzionale allo spostamento d del capo libero della molla rispetto allo stato di riposo.
Tale forza è descritta dalla legge di Hooke
La legge di Hooke mette in relazione la forza applicata e lo spostamento (inteso come allungamento o
accorciamento) di una molla.
La forza F di richiamo esercitata da una molla è proporzionale, secondo un coefficiente di elasticità k, allo
spostamento d dalla sua condizione di riposo ed ha verso contrario ad esso:
F  kd
Lo spostamento è in genere un allungamento, ma può anche essere un accorciamento se la molla in
condizione di riposo non ha le spire a contatto. Appendendo una molla ad un gancio e attaccando alla molla
un peso, la molla si allunga per effetto della forza esercitata dal peso e l'allungamento si arresta quando la
forza peso viene equilibrata dalla forza elastica.
F  P  kd
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Dinamica del punto materiale
Se si aumenta il peso applicato alla molla, l'allungamento della molla cresce in modo direttamente
proporzionale, fino ad un limite di elasticità. Se si supera tale limite, le deformazioni della molla divengono
anelastiche, cioè permanenti; scaricando tutto il peso dalla molla, essa si trova ad avere una lunghezza
maggiore che all'inizio.
k è la costante di Hooke e si misura in N/m; più k è grande e più la molla è rigida, ovvero occorre una forza
maggiore per produrre un dato allungamento.
Se una massa m viene vincolata ad una molla posta su un piano orizzontale e la molla viene allungata e poi
lasciata libera, la massa compirà delle oscillazioni armoniche intorno alla posizione di riposo con un periodo
pari a
#
In effetti, la legge fondamentale della dinamica ci permette di calcolare l’accelerazione di un corpo di massa
m soggetto alla forza elastica:
F  ma  kd
da cui
a
k
d
m
Come si vede l’accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento del corpo ed è sempre rivolta
nel senso opposto ad esso.
Ricordando che l’accelerazione vale
a   2d
e che

2
T
si ha che
 4 2 
a   2 d
T 
Dall’uguaglianza
4 2
k
 2 
m
T
si ricava la relazione # espressa in precedenza.
Esercizio svolto
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Dinamica del punto materiale
Ad una molla, fissata ad un sostegno, si appende un oggetto che pesa 1,26N e si ottiene un allungamento di
9cm.
 Quanto vale la costante elastica della molla?
Appendendo alla molla un oggetto di peso diverso si ottiene un allungamento di 13cm
 Quanto pesa l’oggetto?
Soluzione
La molla segue la legge di Hooke
F  kd
Poiché la forza peso è uguale alla forza elastica si ha:
F peso   kd
Da cui si ricava la costante elastica k
k
F peso
d
dove d indica l’allungamento. Introducendo i dati, tenendo conto di portare le misure nel SI, si ha
k
1,26 N
N
 14
0,09m
m
Nel secondo caso, applicando la legge di Hooke, in cui si sostituisce la forza peso al posto della forza elastica
si ha:
F peso  14
N
 0,13m  1,82 N
m
Esercizi proposti
ESERCIZIO N°1
Una molla, appesa a un sostegno e caricata con un peso di o,96N, si allunga di 12cm.
 Quanto vale la costante elastica?
Appendendo alla molla un peso diverso essa si allunga di 18cm
 Quanto vale il peso?
ESERCIZIO N°2
Una molla è lunga 12cm e ha la costante elastica di 7,5N/m. Appendendo alla molla un peso di 0,45N quale
lunghezza raggiunge la molla?
ESERCIZIO N°3
La costante elastica di una molla è 10N/m. Appendendo alla molla un peso essa si allunga di 5cm.


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Quanto vale il peso?
Di quanto si allunga la molla appendendo un peso di 1N?
Dinamica del punto materiale
Esercizio svolto
Un punto materiale di massa m = 300 g è sospeso ad un filo. La massa è sottoposta alla forza di una molla
ideale, priva di peso, la cui costante elastica è k = 10 N/m e di cui l’altro estremo è fissato ad una parete
verticale. Sapendo che per  = 30° il sistema è in equilibrio con la molla orizzontale, determinare
l’estensione x della molla rispetto alla sua lunghezza a riposo
.
Soluzione
Le forze applicate alla massa M sono il peso, la forza elastica e la tensione T della fune. Scegliamo
un sistema di riferimento con l'asse x orizzontale diretto a destra e l'asse y diretto verso l'alto.
Allora, all'equilibrio, detta x l'estensione della molla:
T  cos   M  g  0
k  x  T  sin   0
queste relazioni si possono scrivere:
T  cos   M  g
k  x  T  sin 
dividendo la seconda per la prima si ricava:
kx
 tg
M g
da cui ricavo x:
x
M  g  tg
 0,17m
k
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Dinamica del punto materiale
Seconda legge di Newton applicata al moto circolare
Consideriamo ora una situazione molto comune associata ad una particella che si muove con moto
circolare uniforme. Si è visto che una particella che si muove con velocità costante in modulo su una
circonferenza di raggio r ha un’accelerazione di modulo
v2
ac 
r
Il vettore accelerazione con questo modulo è diretto verso il centro della circonferenza ed è sempre
perpendicolare a v.
In accordo con la legge di Newton, se c’è un’accelerazione vi deve essere una forza netta diretta verso il
centro della circonferenza perché l’accelerazione ha quella direzione. Indipendentemente dalla natura della
forza agente sulla particella in moto circolare, possiamo applicare la seconda legge di Newton alla particella
lungo la direzione radiale1:
 F  m  ac  m 
v2
r
In generale, un oggetto si può muovere lungo una traiettoria circolare sotto l’azione di vari tipi di forze o
una composizione di forze. Se la forza agente sull’oggetto divenisse nulla, l’oggetto non si muoverebbe più
sulla traiettoria circolare ma si muoverebbe lungo una linea retta tangente alla circonferenza.
Si sente spesso parlare di forza centrifuga, descritta come una forza che spinge verso l’esterno un oggetto che si
muove su una traiettoria circolare. Ciò è simile all’effetto che puoi aver provato probabilmente in un parco di
divertimenti oppure durante una curva stretta sulla tua automobile. Tuttavia essa non è una forza reale, perché le forze
sono sempre interazioni tra corpi. Si tratta allora di una forza “fittizia” che si manifesta come conseguenza del fatto che
non ti trovi in un sistema di riferimento inerziale.
1
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Dinamica del punto materiale
Se, ad esempio facciamo ruotare una pallina legata a un filo, essa descriverebbe una circonferenza finché è
in moto ma non appena il filo si spezza la palla continua a muoversi lungo una linea retta tangente alla
circonferenza nel punto dove il filo si è spezzato.
Rifletti
Stai girando su una ruota panoramica con velocità costante. La cabina nella quale siedi si mantiene sempre
nella corretta orientazione verticale. Qual è la direzione della tua accelerazione centripeta quando stai nella
sommità della ruota? Nel punto più basso della ruota? Qual è la direzione della forza normale che il sedile
applica su di te quando ti trovi nel punto più alto della ruota? E nel punto più basso della ruota?
Curva pericolosa
Un'auto di 1000 kg impegna una curva di raggio 80 m a 100 km/h. La forza centripeta
necessaria per curvare è fornita dalla forza di attrito statico tra gomme e strada. Riuscirà
l'auto a chiudere la curva senza uscire di strada se il coefficiente d'attrito vale 0,8?
La forza centripeta necessaria per mantenere la curva vale
F  m
v 2 1000 Kg  27,8m / s 2

 9645 N
r
80m
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Dinamica del punto materiale
La massima forza d'attrito statico è proporzionale alla forza normale, cioè al peso della macchina
Amax    P  7840 N
Risposta al problema.
La forza d'attrito non riesce a fornire la forza centripeta necessaria alla curva, ne consegue che l'auto curva
ma non abbastanza, con un raggio di curvatura maggiore di R e quindi esce di strada.
Cosa dovrebbe fare l'autista per evitare l'incidente?
La forza centripeta dipende dalla massa, dalla velocità e dal raggio di curvatura. L'autista può agire solo
sulla velocità dell'automobile e diminuirla fino ad ottenere una forza centripeta almeno uguale al massimo
attrito disponibile.
2
mvmax
 P
r
Quindi
vmax  25m / s  90Km / h
Seconda risposta al problema.
Decelerando fino a 90 km/h la forza necessaria per curvare uguaglia la forza di aderenza tra gomme e
strada. Per una maggiore sicurezza l'autista dovrebbe tenersi a velocità inferiore a 90 km/h.
Fisica e realtà
Una macchina viaggia su una strada circolare di raggio r. La strada è piana e la macchina viaggia ad alta
velocità in modo tale che la forza di attrito che causa l’accelerazione centripeta è al suo massimo valore
possibile. Se la stessa macchina è condotta su un altro percorso circolare di raggio 2r e il coefficiente di
attrito fra i pneumatici e la strada è lo stesso di quello della strada precedente, qual è la massima velocità
che la macchina può sostenere senza slittare sulla strada?
Esercizio svolto
Al luna park
Nel rotore del Luna Park una persona viene fatta ruotare molto velocemente dentro un cilindro. La persona
rimane bloccata contro la parete quando il pavimento del cilindro viene aperto. Il coefficiente di attrito
statico tra la persona e la parete è  s ed il raggio del cilindro è R.
a) determinare il massimo periodo di rotazione necessario perché la persona non cada.
b) dare un valore numerico per T se R=4.00m e  s =0.400.Quanti giri al minuto deve compiere il cilindro?
Roberto Capone
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Dinamica del punto materiale
Soluzione
mv 2

R
n
f  s n
T
f  mg  0
v
2R
T
4 2 R s
g
T  2,54 s
  23,6 giri / min
Ancora sull’auto in curva
Un’automobile di massa m=1600 kg viaggia con velocità costante su una pista circolare di raggio R = 190
m. Quale è il valore minimo del coefficiente di attrito  s (pneumatici-terreno) che impedisce alla
macchina di slittare verso l’esterno ?
Idee chiave
1) se l’auto percorre una traiettoria circolare è sottoposta a forza centripeta
2) l’ unica forza orizzontale che agisce sull’ auto è l’attrito  forza centripeta = attrito
3) l’auto non slitta verso l’esterno quindi si tratta di un attrito statico
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Dinamica del punto materiale
4) se l’auto è sul punto di slittare il modulo della forza di attrito è massimo
mv 2
R
 s  N
Sapendo che
f s ,max 
e che
f s ,max
si ha:
mv 2
 s  N
R
mv 2
s 
 0,21
mg  R
da cui
Pertanto se  s  0,21 l’auto slitta verso l’esterno
La macchina in una curva sopraelevata
Un ingegnere vuole progettare una rampa sopraelevata per la strada, tale che le macchine non
debbano fare affidamento sull’attrito per affrontare la curva senza slittare. Si supponga che
l’auto percorra la curva a 48 km/h e che il raggio della curva sia 50.0 m. Con quale angolazione
deve essere sopraelevata la curva ?
n  sin  
mv 2
r
Poiché la somma delle forze lungo y è pari a zero, si ha
n  cos   mg
Dividendo membro a membro si ottiene:
tg 
v2
rg
 v2 
 = 20,1°
rg
Da cui   arctg 
Roberto Capone
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Dinamica del punto materiale
Esercizi proposti
Esercizio n°1
Un’auto di 1500Kg che si muove su una strada orizzontale piana, affronta una curva di 35,0m di raggio. Se il
coefficiente di attrito statico tra pneumatici e terreno asciutto è 0,500, trovare la velocità massima che
l’auto può mantenere per affrontare con successo la curva
[13,1m/s]
Esercizio n°2
In un giorno piovoso l’auto descritta nell’esercizio precedente comincia a sbandare nella curva quando la
sua velocità raggiunge 8,00m/s. In questo caso, qual è il coefficiente di attrito statico?
[0,187]
Esercizio n°3
Un oggetto di massa 0,500Kg è attaccato all’estremità di una fune di lunghezza 1,50m. L’oggetto ruota su
una circonferenza orizzontale. Se la fune può sopportare una tensione massima di 50,0N, qual è la massima
velocità dell’oggetto prima che la fune si spezzi?
[12,2m/s]
Esercizio n°4
Calcolare la tensione della fune se la velocità dell’oggetto è 5,00m/s
[8,33N]
Esercizio n°5
La curva sopraelevata di un'autostrada è stata progettata per una velocità
una brutta giornata il traffico percorre l'autostrada alla velocità v.
A- Quanto vale l’angolo  di sopraelevazione?
B- Quanto deve essere il minimo coefficiente d'attrito
scivolare verso il basso?
 s che consente di superare la curva senza
C- Usando tale coefficiente, con quale velocità massima
scivolare verso l’alto?
[
vmax
vmax . Il raggio della curva è r. In

vmax
è possibile percorrere la curva senza
= 95 km/h; r = 210 m; v = 52 km/h]
Esercizio n°6
Calcolare la velocità periferica di un corpo di massa m = 0,5 kg che si muove con velocità angolare ω= 0,6
rad/s lungo una circonferenza di raggio r = 1m. Quanto valgono l'accelerazione e la forza centripeta?
2
Ris.: v = 0,6 m/s, a = 0,36 m / s , F = 0,18N
Esercizio n°7
Un disco con raggio R = 25 cm ruota con velocità angolare costante intorno ad una retta perpendicolare ad
esso e passante per il suo centro. Un punto materiale A appartenente al bordo percorre un arco di 5 cm in
0,1 s. Calcolare:
a) la velocità periferica e la velocità angolare
b) l'accelerazione centripeta
c) il periodo e la frequenza del moto
Roberto Capone
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Dinamica del punto materiale
d) il valore della forza che impedisce al punto di staccarsi, se la sua massa è pari a 2 g
3
Ris.: a) v = 0,5 m/s, ω= 2 rad/s; b) T = 3:14 s,f = 0,32Hz; c) F  2  10 N
Esercizio n°8
Un'autovettura percorre una curva di raggio R = 50m. Sia   0,7 il coefficiente di attrito tra pneumatici e
asfalto.
A - Si calcoli la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva senza sbandare.
B - Si supponga che la curva sia sopraelevata, ovvero giaccia su un piano inclinato con inclinazione di 10°
rispetto all'orizzontale, qual è in questo caso la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva
senza sbandare?
Esercizio n°9
Lungo la curva sopraelevata disegnata in figura, supposta circolare e di raggio R=200m, in una strada larga
12m (lato BC del triangolo BAC in figura) e realizzata in modo tale da avere coefficiente di attrito
trascurabile, il limite di velocità è di vMAX =100 km/h. Calcolare di quanto il bordo esterno della strada, lato
BA, debba essere rialzato rispetto a quello interno, affinché l’autovettura, procedendo alla massima
velocità consentita, non sbandi uscendo fuori strada.
Esercizio n°10
Roberto Capone
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Dinamica del punto materiale
V
N
ut
j
un

P
Un ingegnere vuole progettare una rampa sopraelevata per la strada, tale che le macchine non debbano
fare affidamento sull’attrito per affrontare la curva senza slittare. Si supponga che l’auto percorra la curva a
48 km/h e che il raggio della curva sia 50.0 m. Con quale angolazione deve essere sopraelevata la curva ?
Esercizio n°11
Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva piana di raggio costante r=80 m con una velocità
costante di 60 km/h. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote dell’automobile
necessario perché l’automobile si mantenga la traiettoria curva.
Esercizio n°12
Un’automobile sta percorrendo una curva di raggio 30 metri. Il coefficiente di attrito tra pneumatici e fondo
stradale è 0,7.
Qual è la massima velocità con cui l’automobile può percorrere la curva senza pericolo?
Se nevica e il fondo stradale è viscido, il coefficiente di attrito si riduce a 0,2. In queste condizioni qual è la
massima velocità che l’automobile può raggiungere senza slittare?
Che cosa accade se l’automobile supera la massima velocità?
[51Km/h; 27,6Km/h]
Esercizio n°13
Una curva ha il fondo stradale inclinato di 30° rispetto al piano orizzontale.
Se l’automobile di massa 900Kg percorre la curva, a quale forza centripeta è soggetta?
Se il raggio della curva è di 150m, a quale velocità massima può viaggiare l’automobile senza slittare?
Se la curva fosse piana quale dovrebbe essere il coefficiente di attrito per mantenere l’automobile sulla
strada a parità di velocità?
[ Fc  5097,4 N ; v=105Km/h; k=0,58]
Esercizio n°14
Alida si diverte a far ruotare a 10 giri/s intorno al dito una catenina con un ciondolino di massa 20g su una
circonferenza orizzontale di raggio 12cm. La catena supporta al massimo la tensione di 9N senza spezzarsi.
Qual è la massima velocità che può avere il ciondolino (trascurando il peso)?
Un ciondolino di massa doppia a quale velocità potrebbe ruotare?
Roberto Capone
Esercizi di Fisica
(suggerimento: la tensione nella catenina è la forza centripeta)
Dinamica del punto materiale
[7,35m/s; 5,2m/s]
Esercizio n°15
Una pallina di massa 200g ruota su una circonferenza verticale di raggio 30cm, trattenuta da un filo di nylon
teso durante la rotazione.
Qual è la minima velocità che deve avere la pallina nel punto più alto della traiettoria perché il filo non si
allenti?
Se la pallina passa per il punto più alto con una velocità doppia, qual è la tensione del filo?
[v=1,7m/s; T=15,4N]
Esercizio n°16
Una pallina di 150g, trattenuta da un filo di nylon, viene fatta ruotare su una circonferenza verticale di
raggio 40cm. La massima tensione che il filo può sopportare è 2N
Qual è la massima velocità che può avere la pallina nel punto più alto della circonferenza?
E nel punto più basso?
Roberto Capone
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Dinamica del punto materiale