Carlo Càssola - 2/3/1999 RIASSUNTO DI MAGNETISMO

Carlo Càssola - 2/3/1999
RIASSUNTO DI MAGNETISMO - CAPITOLO I

Introduzione
I fenomeni magnetici sono noti fin dall'antichità e prendono il nome dalla città di Magnesia, in
Asia Minore, presso la quale era stato scoperto un giacimento di un materiale che esibiva proprietà
magnetiche.
Gli oggetti che hanno proprietà magnetiche sono in grado di esercitare delle forze, cioè hanno la
capacità di attirare o respingere corpi metallici. Questa forza, in apparenza un nuovo tipo, è detta
appunto forza magnetica.
Per prima cosa esaminiamo brevemente le analogie e le differenze fra forze elettriche e forze
magnetiche. Analogie:
a) la forza magnetica può essere attrattiva o repulsiva e ciò suggerisce l'esistenza di due tipi
di "carica magnetica", che vengono chiamate, per convenzione, carica NORD e carica SUD
(ciò avviene perché la Terra esibisce proprietà magnetiche e i suoi poli non sono molto
distanti dai poli geografici; va però ricordato che il Polo Nord magnetico è situato in
prossimità del Polo Sud geografico e viceversa).
b) è possibile magnetizzare un corpo in un modo simile alla conduzione: se un oggetto
metallico è posto in contatto con una calamita, assume proprietà magnetiche (=attrae o
respinge altri oggetti metallici); se però l'oggetto viene distaccato dalla calamita, ritorna un
oggetto qualunque.
Differenze:
a) non è possibile rilevare proprietà magnetiche su ogni tipo di corpo, ma solo su alcuni;
viceversa tutti i materiali (sia pure con delle differenze fra isolanti e conduttori) partecipano
ai fenomeni elettrici.
b) non è possibile separare la carica magnetica nord da quella sud: ogni oggetto
magnetizzato contiene sempre una quantità di carica magnetica totale nulla. È ben nota a
questo proposito la cosiddetta "esperienza della calamita spezzata": se rompiamo una
calamita per separare i suoi poli, non otteniamo due oggetti contenenti ciascuno un solo polo
magnetico, bensì due calamite più piccole aventi ambedue polo nord e polo sud.
L'esperienza può essere ripetuta ulteriormente senza variazioni. Le calamite possono quindi
esistere solo come DIPOLI. Viceversa i corpi elettricamente carichi possono presentarsi sia
come dipoli sia come monopoli.
c) non è possibile magnetizzare un corpo permanentemente con tecniche semplici (ad es.
strofinio, induzione); in realtà la magnetizzazione permanente è possibile, ma richiede
tecniche molto evolute.
Si potrebbe pensare, ed è stato fatto in passato, di introdurre i fenomeni magnetici con lo stesso
schema di quelli elettrici, cioè a partire dalla misurazione della forza attrattiva e repulsiva fra
cariche magnetiche: tale forza ha lo stesso aspetto della forza di Coulomb ed è infatti detta forza di
Coulomb magnetica; tuttavia le sostanziali differenze sopra citate fra elettricità e magnetismo,
nonché l'impossibilità pratica di disporre di monopoli magnetici, hanno condotto a trattare
l'argomento con un approccio diverso. In effetti, le scoperte più recenti hanno permesso di
concludere che i fenomeni magnetici non sono altro che un caso particolare di quelli elettrici (oggi
si parla infatti di Elettromagnetismo). Ripercorriamo alcune tappe dello studio del Magnetismo:
- Nel '700 Michell e Coulomb misurano, con artifici piuttosto complicati (calamite molto lunghe
e sottili) la forza di Coulomb magnetica e verificano che essa segue la stessa formula di quella
qq
elettrica; a parte il valore della costante, è: F  k 1 2 2 .
r
- Nel 1820 il danese Oersted scopre, per caso, che un filo elettrico percorso da corrente devia
l'ago di una bussola; quindi, è chiaro che la corrente genera un campo magnetico.
1
-
Pochi anni dopo Ampère formula il teorema che porta il suo nome (vedi infra) e ipotizza che le
forza magnetiche siano sempre causate da cariche elettriche in movimento.
Intorno alla metà dell'800 Henry e Faraday scoprono che un campo elettrico variabile genera un
campo magnetico, e viceversa.
Nel 1865 James Clerk Maxwell sintetizza tutti i fenomeni elettromagnetici in quattro eleganti
equazioni che portano il suo nome, e che spiegano anche tutti i fenomeni ottici.
I PARTE - EFFETTI MAGNETICI SU CARICHE E CONDUTTORI
 Forza di Lorentz; forza magnetica agente su un filo percorso da corrente
La forza esercitata da un campo magnetico su una carica elettrica in movimento è detta forza di
Lorentz. Innanzitutto dobbiamo puntualizzare che, per ora, l'unico modo che abbiamo di ottenere un
campo magnetico (indicato con una lettera B), è utilizzare una calamita. Se prendiamo una calamita
dai poli ampi e piatti, affacciati fra loro (ad es. a ferro di cavallo) e poniamo della limatura di ferro
tra di essi, vediamo che questa si dispone approssimativamente lungo segmenti rettilinei da un polo
all'altro. Tali linee sono le linee di campo magnetico. Per convenzione si pone che il campo
magnetico vada dal polo nord al sud. Se i poli sono abbastanza ampi e vicini il campo magnetico
tra di essi è costante (tali condizioni sono simili a quelle richieste a un condensatore: armature
abbastanza estese e vicine). Una carica q posta nel suddetto campo magnetico non subisce alcuna
forza quando è ferma. Se è in movimento con velocità v, è soggetta invece alla forza di

 
Lorentz: F  q v  B . Tale forza risulta ottenibile tramite l'operazione di prodotto vettoriale.



Pertanto essa è sempre perpendicolare al piano formato da v e da B . Per calcolare il verso di F si
utilizza la regola della mano destra. La forza di Lorentz serve anche per definire l'unità di misura
del vettore B. Infatti, se  è l'angolo compreso fra v e B, la forza in modulo è F  q v B sin  .

F
Scelto il caso semplice in cui   e quindi sin  1, F  qvB , da cui B 
; si definisce come
2
qv
campo magnetico unitario quello che esercita una forza di 1 N su una particella carica 1 C in moto
con velocità pari a 1 m/s in direzione perpendicolare al campo. Tale unità di campo magnetico è
detta Tesla. Un campo magnetico di 1 Tesla è molto grande (si ricordi che una carica di 1 C è un
valore enorme), quindi si usano frequentemente i suoi sottomultipli: mT, T. Ancora molto usato è
il Gauss, corrispondente a 0,1 mT, cioè 100 T; il Gauss, però, non è un'unità S.I.
Se tra i poli della calamita viene posto un filo percorso da una corrente I, il fenomeno è identico al
precedente: il filo contiene delle cariche elettriche che si muovono nella direzione del filo
medesimo; se i portatori di carica sono positivi, il verso del moto è quello della corrente, se sono
negativi, il verso è l'opposto. Tutte le cariche in moto, se il filo è rettilineo, hanno lo stesso valore di

 
v. Applichiamo la forza di Lorentz per una singola carica q che percorre il filo: F  q v  B . Il
tratto di filo immerso nel campo magnetico sia lungo l; le cariche che si muovono nel filo
l
impiegheranno un certo tempo t a percorrere il tratto l, dato dalla relazione: v  (il moto è in
t
buona approssimazione rettilineo e uniforme); in tale tempo il filo è attraversato da una carica totale

pari a Q=It (si ricordi la definizione di intensità di corrente I); se orientiamo l come vettore nel
verso di v (che è quello del moto delle cariche positive), si può scrivere la forza di Lorentz come

 


 Q  

l
F  Q  B , o, ugualmente, F  l  B . Infine, essendo Q  It , F  I l  B . Quest'ultima è la
t
t
formula che ci fornisce la forza subita da un tratto di filo rettilineo di lunghezza l, percorso da una
corrente I, immerso in una regione di campo magnetico B. Il vettore l ha la direzione del filo e il
verso della corrente.
2
 Moto circolare di una carica in un campo magnetico
Una carica elettrica che entra in una regione di campo magnetico costante con velocità
perpendicolare al vettore campo B subisce una forza, e quindi un'accelerazione, costantemente
perpendicolare alla sua velocità. È noto dalla cinematica che un'accelerazione perpendicolare alla
velocità ha il risultato di cambiare solo la direzione della velocità, e non il suo modulo. Questa è la
v2
caratteristica del moto circolare uniforme. In tale moto l'accelerazione centripeta è pari a a 
,e
r
v2
quindi la forza centripeta è F  m ; responsabile di tale forza è ora ovviamente il campo magner
v2
tico. Quindi è m
 qvB ; semplificando v si ottiene che il
r
mv
raggio dell'orbita circolare deve essere r 
. Nella figura a
qB
fianco si intende che B è uscente dal piano del foglio. Si noti
che, mentre cambia la direzione di v, B e v rimangono sempre
perpendicolari. Il moto ora introdotto può essere studiato con
tutte le regole note per il moto circolare uniforme. In particola2r
re, è noto che il moto C. U. possiede un periodo, indicato con la lettera T; risulta T 
, quindi
v
2 mv 2m
T


. Tale periodo è chiamato periodo di ciclotrone, in quanto è tipico delle
v qB
qB
particelle cariche che orbitano negli acceleratori di particelle. Gli strumenti di prima generazione
atti ad accelerare le particelle erano chiamati, appunto, ciclotroni. Molto usata è anche la grandezza
1
, detta frequenza di ciclotrone.
T
 Effetto Hall
Fino al 1879 non era stato ideato alcun metodo per distinguere se i portatori di carica in un
conduttore percorso da corrente erano positivi o negativi. Allora le conoscenze sulla struttura della
materia erano alquanto incomplete; si aggiunga che la maggior parte dei fenomeni elettrodinamici
hanno effetti macroscopici equivalenti sia nel caso che cariche positive si muovano nel verso
(convenzionale) della corrente, sia che le cariche negative si muovano nel verso opposto.
Nel 1879 Hall ideò l'esperimento
illustrato a fianco. Si prenda un condut(Campo magnetico B entrante nel piano del foglio)
tore di una certa larghezza (alcuni cm),
a)
b)
percorso da corrente verso l'alto. La figura distingue il caso a), cariche positive
+
+
che si muovono verso l'alto, dal caso b),
+
+
cariche negative verso il basso. Se il con+
v
+
duttore è immerso in un campo magneti+
+
co entrante nel piano della figura, in amF
I
F v +
bedue i casi la forza di Lorentz che agi+
+
sce sui portatori è diretta a sinistra. Se è
+
+
vero il caso a) (portatori positivi), è pre+
+
sente un eccesso di carica positiva sul la+
+
to sinistro del conduttore, e ciò è misurabile perché corrisponde a una differenza
di potenziale tra i due lati (potenziale maggiore sul lato sinistro). Se è vero il caso b) (portatori
negativi), si misura un potenziale maggiore sul lato destro. Hall verificò che si realizzava il secondo
caso, perciò concluse che la corrente elettrica nei conduttori solidi è dovuta al moto di cariche
3
negative in verso opposto a quello convenzionale della corrente. Diverso è il caso delle correnti nei
liquidi e nei gas, dove esistono portatori di carica di ambedue i segni che si muovono in versi
opposti.
II PARTE - CAMPO MAGNETICO GENERATO DA CORRENTI
 Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente; legge di Biot e Savart
Dopo avere esaminato in dettaglio gli effetti di un campo magnetico su cariche singole e su fili
percorsi da corrente, vediamo in quale modo le correnti producono campo magnetico, secondo
quanto trovato da Oersted. Lo studio quantitativo di questo fenomeno è riassunto nella legge di Biot
e Savart, dal nome degli scienziati francesi che hanno ottenuto tale risultato. Da questo punto in poi,
per brevità, la chiameremo legge BS. La legge BS permette di calcolare il campo magnetico dB,

dovuto a un trattino di filo di lunghezza dl , considerato come un vettore orientato nel verso della
corrente. Se siamo interessati a conoscere il
campo magnetico in un punto P, posto a
distanza r dal trattino di filo dl, si individui il

vettore r orientato da dl al punto P. Sia 
 
l'angolo formato dai due vettori dl e r . Il

  0 I dl  r
campo magnetico risulta: dB 
. Il
4 r 3
simbolo  0 indica la permeabilità magnetica
N
del vuoto, una costante del valore 4  10 7 2 .
A
È chiaro che la legge BS non fornisce il campo magnetico nel punto P, ma solo quello dovuto a un
trattino del filo. Per conoscere il campo magnetico totale B si devono sommare gli effetti dell'intero
filo, tenendo conto che ogni trattino ha diversa distanza r da P e che varia anche l'angolo . È
piuttosto evidente che la legge BS è estremamente difficile da usare, se non in pochi casi semplici
che abbiano caratteristiche geometriche particolarmente favorevoli. Come unico esempio forniamo
quello del circuito circolare di raggio r, per il quale è possibile calcolare il campo magnetico nel
centro, che chiamiamo P. La parte vettoriale della legge
BS ci porta a concludere che l'effetto di qualunque
trattino di filo produce, in P, un campo magnetico
rivolto verso l'alto (se il verso della corrente fosse
opposto a quello indicato in figura, sarebbe verso il
basso). Si noti che l'angolo fra r e dl è retto, quindi sin
dl
I
è sempre uguale a 1. L'effetto di un singolo trattino di
 0 I dl r  0 I dl
filo è dunque, per Biot e Savart, dB 
; dal momento che I e r sono uguali per

4 r 3
4 r 2
ogni trattino di filo, il campo magnetico totale si ottiene operando una somma di addendi dB che
0 I
hanno tutti quanti in comune la parte
. La somma di tutti i trattini dl su una circonferenza
4r 2
 I
 I
fornisce ovviamente 2r, quindi in totale si ha B  0 2  2r  0 . Questo semplice risultato
2r
4r
finale ci porta a concludere che il campo magnetico totale al centro di tale circuito, detto anche
 I
spira, dipende solamente dal valore di I e di r ed è B  0 .
2r

Circuitazione del campo magnetico e teorema di Ampère
Un metodo più agevole per calcolare il campo magnetico generato da un filo percorso da
corrente viene dal teorema di Ampère, che si basa sul concetto di circuitazione già visto per il
4
campo elettrostatico. In tale ambito si era concluso che
 
E
  dl  0 , e cioè che la circuitazione del
campo elettrostatico è nulla. Questo risultato corrispondeva ad affermare che il lavoro totale su un
percorso chiuso era nullo. Per quanto il significato intuitivo sia molto meno immediato, è possibile
calcolare la circuitazione anche per il campo magnetico. Si scelga un percorso chiuso nello spazio,
su cui sia fissato un verso di percorrenza; tale percorso si troverà in una regione di spazio
contenente uno o più fili percorsi da corrente. L'obiettivo finale è quello di calcolare il campo

magnetico totale generato dalla presenza delle correnti. Dunque, ogni trattino dl del percorso,
orientato nel verso di percorrenza, si trova in un punto al quale, secondo le caratteristiche del campo

magnetico, compete un certo vettore B . In tale punto è dunque possibile calcolare il prodotto
 
scalare B  dl , il cui valore dipende ovviamente dal coseno dell'angolo , compreso fra i vettori
 
dl e B . Se sommiamo tutti i prodotti scalari lungo il percorso chiuso otteniamo la circuitazione del
 
campo magnetico, che si rappresenterà come  B  dl . Il valore di questa circuitazione ci viene
fornito appunto dal teorema di Ampère. Il teorema si enuncia in questo modo:
Scelto un percorso chiuso nello spazio e scelto su di esso un verso di percorrenza, la circuitazione
del campo magnetico è uguale alla costante  0 moltiplicata per la somma di tutte le correnti
concatenate con il percorso; se si guarda il percorso dalla parte in cui il verso di percorrenza appare
antiorario, le correnti uscenti devono essere prese col segno +, quelle entranti col segno -. In
 
formula, il teorema di Ampère si scrive:  B  dl   0 ( I ) . Si intende che sono concatenate con il
percorso solo quei circuiti che non attraversano il percorso prima in un senso e poi in quello
opposto.
È evidente che la circuitazione del campo magnetico manca di un valore pratico immediato.
Mentre nel caso elettrico si faceva svolgere un percorso a una carica esplorativa per verificare che il
lavoro compiuto fosse nullo, qui il percorso chiuso non corrisponde ad alcun moto reale. Il
significato del teorema di Ampère è puramente quello di artificio tecnico, grazie al quale è possibile
calcolare in maniera relativamente semplice dei risultati che altrimenti sarebbero difficilissimi o
addirittura impossibili da ottenere. In questo senso il ruolo del teorema di Ampère nel Magnetismo
è simile a quello del teorema di Gauss in Elettrostatica.
A titolo di esempio, vediamo un'applicazione del teorema di Ampère: il calcolo del campo magnetico in un punto P situato a distanza r da un filo elettrico di
lunghezza indefinita percorso da una corrente I. In tutti i punti
della circonferenza in figura, per i quali la distanza dal filo è
sempre r, il campo magnetico ha sempre lo stesso valore ed è
sempre orientato secondo la tangente alla circonferenza. Infatti
la legge BS, nella sua parte vettoriale, ci dice che il verso di B
 
si calcola secondo il prodotto vettoriale dl  r , e quindi che
esso giace sul piano perpendicolare a quello del filo percorso
da corrente, ed ha sempre il la direzione e il verso della
tangente. Inoltre, essendo fissi i valori di I, r e sin, il campo
magnetico deve avere lo stesso modulo lungo la circonferenza.
Perciò se calcoliamo la circuitazione di B, il risultato è,
guardando il percorso circolare dall'alto (verso antiorario),
 
B
  dl   0 I . Essendo la circuitazione la somma di tutti i
 

prodotti scalari B  dl  B dl cos   B dl (con = ), possiamo dedurre che la il totale di tutti i
2
trattini dl di percorso è 2r e quindi la circuitazione fornisce: B 2r   0 I , da cui banalmente
5
B
0 I
. Questo risultato sarebbe ottenibile anche dalla legge BS, ma a prezzo di fatiche
2r
enormemente maggiori e solo grazie alle tecniche del calcolo integrale.

Forza magnetica agente tra fili paralleli; definizione di ampère
Siamo ora in grado di trattare il compendio di quanto visto nelle parti I e II, e cioè le forze
reciproche che si scambiano due fili percorsi da corrente. Per semplicità, si usa sempre la
configurazione di due fili paralleli. Il filo di sinistra abbia corrente I 1 , quello di destra I 2 . La loro
distanza sia r. Se si considera il filo 2 situato nella
regione del campo magnetico generato dal filo 1,
 I
evidentemente tale campo magnetico vale B1  0 1 ,
2r
orientato verso il basso come in figura (si calcola con il
prodotto vettoriale della legge BS); tale valore è lo
stesso in tutti i punti del filo 2. Sappiamo dal secondo
paragrafo che un tratto di lunghezza l del filo 2 subirà
 

una forza pari a F  I 2 l  B ; ma i vettori l e B sono
perpendicolari, quindi F=I2lB. È facile vedere che la
forza, nel caso in figura, deve essere attrattiva. Sostitu I
l II
endo nel calcolo di F il valore di B si ottiene: F  I 2 l 0 1  0 1 2 . Quest'ultima formula
2r
2 r
esprime la forza attrattiva che il filo 1 esercita sul 2; è facile rendersi conto che la forza che il filo 2
esercita sull'1 si potrebbe calcolare allo stesso modo, e che essa deve essere identica ma opposta in
verso (per il III principio della Dinamica). È inoltre chiaro che se le due correnti fossero discordi
anziché concordi come quelle descritte in figura la forza sarebbe identica, ma repulsiva invece che
attrattiva. La formula della forza agente tra due fili paralleli di lunghezza l è estremamente
importante perché serve per dare la definizione dell'unità di misura della corrente, l'ampère, che già
conosciamo. In effetti noi abbiamo detto che il Coulomb si introduce attraverso l'ampère, ma in
pratica abbiamo fatto il viceversa. Si definisce come unità di misura della corrente elettrica quel
valore di corrente che attraversa due fili paralleli e concordi attraversati da corrente uguale se essi
sono lunghi 1 metro, sono distanti 1 metro e si attraggono con una forza pari a 2  10 7 N . Di
conseguenza resta definito il Coulomb come quella carica elettrica che attraversa una sezione
qualunque di un filo percorso da una corrente di 1 ampère in 1 secondo.
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