1) Dati tre numeri e le quattro operazioni aritmetiche, combinarli in modo da ottenere il
risultato stabilito.
(162, 78, 12)=7
2) Dati tre numeri,le quattro operazioni aritmetiche e la potenza, combinarli in modo da
ottenere il risultato stabilito.
(16, 12, 2)=112
3) Dati tre numeri, le quattro operazioni aritmetiche e la radice quadrata, combinarli in
modo da ottenere il risultato stabilito.
(145, 24, 25)=6
4) Risolvi mentalmente la seguente espressione:
147+62-78
5) Fai mentalmente la seguente moltiplicazione:
32 x 75
6) Verifica mentalmente la seguente uguaglianza:
1
1
1
1
(a 2 ab) 2 (a 2 ab) 2 2(a 2 ab)( a 2 ab) a 2b 2
2
2
2
2
7) Calcola mentalmente il valore della seguente espressione:
a 3 b3 3ab(a b)
sapendo che: a 1,659 e b 0,341
8) Calcola mentalmente il valore della seguente espressione:
0,27 6,6542 0,27 3,3462 0,27 2 6,654 3,346
9) Dimostra che il prodotto di quattro numeri consecutivi aumentato dell’unità è un
quadrato perfetto.
2
10) Dimostra che il numero che precede un quadrato a è uguale al prodotto del numero
precedente e di quello seguente.
11) Perché il quadrato di un numero la cui unità è 5 (cioè un numero che termina con la
cifra 5) si può fare nel modo seguente?
152 1 2 100 25 225
252 2 3 100 25 625
352 3 4 100 25 1225
3
3
12) Siccome 1 2 3 2 2 e 2 3 4 3 3 dimostra la questione in generale, cioè:
“Il prodotto di tre numeri consecutivi sommato col numero di mezzo è uguale al
cubo del numero di mezzo.”
2n1 72n1
13) Trova i primi sei divisori del numero: 5
2 2
14) Sapendo che la differenza di due numeri: a b 2 e che a b 16 , calcola
2
2
oppure: a b 16 e che a b 32
calcola a b .
a b
15) Calcola mentalmente: 2119 e 31 29
16) Calcola mentalmente: 35 45 , 37 43 e 38 42
17) Sai far vedere che i numeri che terminano per 25, 50 e 75 sono divisibili per 25?
18) Dimostra che la differenza tra il quadrato di un numero col prodotto del numero
precedente e seguente è uguale ad uno.
19) Esiste un numero primo formato da diciotto cifre che contenga, solo due volte, tutti i
numeri da 1 a 9?
20) Il prodotto di tutti i numeri primi è un numero pari o dispari? Quale cifra sarà l’unità?
La cifra delle decine è pari o dispari?
2
2
2
21) Sapendo che 27 729 , calcola mentalmente 26 e 28 .
22) Dire quali dei seguenti numeri sono divisibili contemporaneamente per 7, 13 e 31
senza eseguire alcuna divisione.
3906 - 22568 - 31031
3 3
2
2
23) Sapendo che: a b 61 e a b 1 , calcola: a ab b
24) Dimostra che la somma di tre numeri dispari consecutivi è ancora un numero dispari
ed è divisibile per 3.
25) Dimostra che un numero formato da tre cifre uguali è divisibile per 37.
26) Dimostra che il numero precedente un quadrato (o una potenza ad esponente pari),
2
tranne il precedente di 2 4 , non è un numero primo.
27) Perché il numero precedente ed il seguente una potenza con base dispari non è
primo?
28) Dimostra che il numero seguente di una potenza a base pari e ad esponete dispari es.
25 non è primo.
29) Dimostra che il numero seguente di una potenza a base pari e ad esponente del tipo
2n(2k 1) ad es. 210 non è primo.
1) (162-78)/12=7
2)
3)
162 122 112
145 24 25 24 6
4) Per poter risolvere mentalmente dovrai fare questi calcoli:
(131+16)+62-78=131+(16+62)-78=131+(78-78)=131
5) Per risolvere mentalmente questa moltiplicazione osserva che
32=8 x 4 e 75=25 x 3, per cui :32 x 75= (8 x 4) x (25 x 3)=
=(25 x 4) x (8 x 3)=2400
6) L’espressione rappresenta il quadrato di un binomio, cioè:
2
1
1
1
2 1
2
2
2 2
a 2 ab (a 2 ab) ( 2 ab 2 ab) a b
7)
a 3 b3 3ab(a b) (a b)3 (1,659 0,341)3 23 8
8) Raccogliendo a fattore comune 0,27:
0,27(6,6542 3,3462 2 6,654 3,346)
0,27(6,654 3,346) 2
0,27 10 2 27
9) n(n+1)(n+2)(n+3)+1=
(n 2 3n)( n 2 3n 2) 1 (n 2 3n) 2 2(n 2 3n) 1 (n 2 3n 1) 2
Es. 1 x 2 x 3 x 4+1=25
2
2
10) Sia n , il numero che lo precede sarà: n 1 (n 1)( n 1)
2
Es. 40 =1600, il numero precedente 1599=(40-1)(40+1)=39 x 41
11) I numeri che terminano per 5 sono del tipo:
n x 10+5, per cui
(n 10 5) 2 n 2 100 2 n 10 5 25 n 2 100 n 100 25
n 100(n 1) 25 n (n 1) 100 25
ossia tolto 5 si moltiplica n per il successivo n+1 ed al prodotto si scrive come decina
25.
2
Es 75 =7 x 8 x 100+25=5625
2
3
12) (n 1)n(n 1) n n(n 1) n n
2n1 72n1
13) 5
è divisibile per la somma delle basi e cioè per 5+7=12 e i divisori di 12
sono: 1, 2, 3, 4, 6, 12
a 2 b 2 32
16
a b
2
a 2 b 2 32
ab
2
a b
16
oppure
14) a b
15) 21 x 19=(20+1)(20-1)=339
38 x 42=(40-2) x (40+2)=1600-4
16) 35 x 45=(40-5) x (40+5)=1600-25=1575
37 x 43=(40-3) x (40+3)=1600-9=1591
38 x 42=(40-2) x (40+2)=1600-4=1596
17) 1° I numeri che terminano per 25 sono del tipo: n x 100+25=25(4n+1)
2° I numeri che terminano per 50 sono del tipo:n x 100+50=25(4n+2)
3° I numeri che terminano per 75 sono del tipo:n x 100+75=25(4n+3)
i tre risultati hanno come fattore 25 e quindi…
18) Dopo il quesito J) il quesito K) è del tutto evidente, infatti:
n 2 (n 1)( n 1) n 2 n 2 1 1
19) Non esiste nessun numero primo formato da diciotto cifre che contenga, sole due
volte, tutti i numeri da 1 a 9. Infatti un tale numero avrebbe come somma delle sue
cifre 2 x 45=90 e quindi sarebbe divisibile per 3 e per 9.
20) Il prodotto di tutti i numeri primi è un numero pari avendo 2 come fattore. L’unità è 0
prodotto di 2 x 5. La cifra delle decine è un numero dispari, altrimenti sarebbe
divisibile per 4 e 4 non è fattore primo.
2
21) Siccome 27 =729 si ha:
26 2 =729-27-26=676
282 =729+27+28=784
22) Per vedere se un numero divisibile contemporaneamente per 7, 13, 31 bisogna
trovare un multiplo di essi, e cioè: 7 x 13 x 31=2821. Quindi si faccia la differenza tra il
prodotto di 282 col numero costituito dall’ultima cifra e il numero costituito dalle prime
cifre; se tale differenza dà 0 o 2821, allora il numero sarà divisibile per 7, 13, 31.
Prova per il numero 3906: 6 x 282-390=1302 reiterando 2 x 282-130=434=/=0 per cui
3906 non è divisibile contemporaneamente per 7, 13, 31.
Prova per 22568: 282 x 8-2256=0, ne consegue che 22568 è divisibile per i numeri
sopraddetti.
Prova per 31031 3103 -1 x 282=2821, ne consegue che 22568 è divisibile per i
numeri sopraddetti. (Vedi il criterio di divisibilità nel sito: www.matarti.it e quindi
studiati bene anche le regole pratiche del paragrafo 4)
3
3
2
2
23) Siccome a b (a b)( a ab b ) ne consegue che
a 3 b3
2
2
a ab b
61
( a b)
24) (2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=6n+3
6n è un numero pari, sommato a 3 dà un numero dispari.
6n+3=3(2n+1) da ciò è divisibile per 3.
25) Per determinare un numero divisibile per 37 mi ricavo il multiplo
37 x 3=111, il numero nnn=n(111) è divisibile per 37.
2
26) La soluzione del quesito è quella di J), cioè: n 1 (n 1)( n 1) , per cui non è un
numero primo.
27) La potenza di un numero dispari è dispari per cui il precedente ed il seguente è pari e
quindi non è primo.
2 k 1 1 (2 n 1)(...)
28) (2 n)
e quindi non è primo, ad es.
23 1 (2 1)( 2 2 2 1)
10
2 5
2
4
3
2
29) Per semplicità 2 1 (2 ) 1 (2 1)(4 4 4 4 1)
