Stelle degeneri - Dipartimento di Fisica e Astronomia

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Adattamento in versione italiana di Cesare Chiosi
Dipartimento di Astronomia,
Università degli Studi di Padova, Italia
Anno Accademico 2005-2006
1
Letteratura
Introduttiva:
S. L. Shapiro & S. A. Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars,
Wiley & Sons, New York, 1983
N. K. Glendenning, Compact Stars, Springer, Berlin, 1997
R. Kippenhahn & A. Weigert, Stellar Structure and Evolution, Springer, Berlin,
1990
R. & H. Sexl, Weisse Zwerge, Schwarze Loecher, Vieweg, Braunschweig, 2. Auflage,
1984
Specializzata:
S. Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure, Univ. Chicago
Press, 1939
R. d'Inverno, Einfuehrung in die Relativitaetstheorie, VCH, Weinheim, 1995
V. P. Frolov & I. D. Novikov, Black Hole Physics, Kluwer, Dordrecht, 1998
F. W. Hehl, C. Kiefer & R.J.K. Metzler (eds.), Black Holes: Theory and Observation
(179. Heraeus Seminar, Bad Honnef, Aug. 1997), Springer, Berlin, 1998
R. N. Manchester & J .H. Taylor, Pulsars, Freeman, San Francisco, 1977
Ya. B. Zel’dovich & I. D. Novikov, Relativistic Astrophysics, Vol. 1, Univ. Chicago
Press, 1971
Popolare:
M. Begelman & M. Rees, Gravity's Fatal Attraction: Black Holes in the Universe,
Scientific American Library, Freeman, New York, 1996 ; bzw. Schwarze Loecher im Kosmos,
Spektrum, Heidelberg 1997
J. P. Luminet, Schwarze Loecher, Vieweg, Braunschweig 1996
K. S. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, Norton,
New York, 1994; bzw. Gekruemmter Raum und verbogene Zeit, Droemer
Knaur, Muenchen 1994
J. A. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, Scientifc American Library,
Freeman, New York, 1990; bzw. Gravitation und Raumzeit, Spektrum,
2
Heidelberg 1991
Indirizzi WWW utili:
Albert Einstein Institut fuer Gravitationsphysik, Golm (Einstiegsseite zu vielen
Aspekten der relativistischen Physik und zu Gravitationswellendetektoren)
http://www.aei-potsdam.mpg.de
Living Reviews in Relativity
http://www.livingreviews.org/sitecontents.html
Elektronisches Preprint-Archiv
http://xxx.uni-augsburg.de
Usenet Relativity FAQ
http://www.desy.de/user/projects/Physics/relativity.html
NASA Chandra X-ray Observatory
http://chandra.nasa.gov/chandra.html#
ESA XMM-Newton X-ray Observatory
http://wave.xray.mpe.mpg.de/xmm
3
CAPITOLO 1
1.1 Introduzione e Sommario
In natura esistono quattro Interazioni Fondamentali due delle quali (elettromagnetismo e gravità)
sono a lunga distanza.
Le forze elettromagnetica e gravitazionale fra due protoni di massa m p e carica e alla distanza r
sono espresse da:
da cui
dove
è la costante di struttura fine di Sommerfeld,
è la costante di struttura fine della gravitazione, h  2 è la costante di Planck e c è la velocità
della luce (nel vuoto). La gravitazione non è importante nello strutturare le proprietà della materia
alle piccole dimensioni (atomi e nuclei).
Scala di lunghezza atomica: Raggio dell’atomo di Bohr ao
Si consideri un elettrone di massa me che si muove con velocità v lungo l’orbita di raggio a0
attorno ad un protone (atomo di Idrogeno). La forza elettrica e forza centrifuga si pareggiano
Con l’aiuto del Momento Angolare L possiamo scrivere
la quale imponendo la quantizzazione di L ( L  n ) diventa
Da questa segue
dove
/( me c ) è la lunghezza Compton degli elettroni.
4
Scala delle energie atomiche:
dove me c 2 è la energia di massa dell’elettrone.
Le scale di lunghezza e di energia atomiche sono in gioco anche nell’interazione elettromagnetica
e nel principio di indeterminazione di Heisemberg.
Dove è importante la forza gravitazionale?
Per oggetti macroscopici e neutri è importante la forza gravitazionale. Quanto sono grandi le scale
di lunghezza e di massa? Consideriamo un corpo solido sferico di massa M e raggio R, contenente N
atomi di numero di massa A e numero atomico Z :
dove mu è l’unità di massa atomica e m12C è la massa dell’atomo di Carbonio con numero di massa
A=12. Ancora
Ne segue pertanto:
ovvero
Per l’energia interna dovuta a tutti gli atomi si ha
ed infine la energia totale è
Con A = Z/2, Etot  0 quando valga la relazione
pertanto
Oggetti corrispondenti al corpo in esame sono caratterizzati dall’avere
e cioè essi sono simili al pianeta Giove.
Oggetti con M  M max sono stabilizzati dal forze di stato solido contro la forza gravitazionale.
Nel caso che si tenga conto della forte interazione dovuta alle forze elettromagnetiche espressa da
 S  102  , si trova
5
e
cioè una Stella di Neutroni. Il fattore 105 deriva dai diversi ordini di grandezza delle costanti di
accoppiamento, della massa del nucleoni e del raggio degli atomi.
Raggio di Schwarzschild:
Affinché una particella di prova di massa m possa allontanarsi ad una qualunque distanza dalla
superficie di un corpo di massa M e raggio R essa deve possedere una energia cinetica pari alla
energia potenziale gravitazionale
La velocità critica, chiamata velocità di fuga, è data da
Ponendo ora v = c, la massima velocità di fuga possibile, per una data massa M si deriva un raggio
critico detto raggio di Schwarzschild
Se un corpo di massa M è compresso fino al raggio di Schwarzschild, la sua velocità di fuga è pari
alla velocità della luce
Oggetti con R  RS sono chiamati Buchi Neri.
La densità media di un Buco Nero di massa M è
dalla definizione di raggio di Schwarzschild segue che
ovvero
6
Nel caso di un Buco Nero stellare con M = Mo is ottiene un valore per la densità media pari a circa
2  1016 g/cm3 , circa 100 volte maggiore della densità nucleare. In un buco nero molto massiccio di
circa 109 masse solari la densità media è   0.02 g/cm3 . Per l’esistenza di un Buco Nero non
sono dunque necessarie densità estremamente elevate.
Difetto di massa
Quando una stella si forma da una nube di gas, viene liberata energia di legame gravitazionale. Il
guadagno (differenziale) di energia dovuto all’accrescimento di uno strato sferico di materia con
densità  e spessore dr sopra una già esistente distribuzione di massa (simmetria sferica)
r
m( r )  4   (  ) 2 d  di raggio r è dato da
0
Gm( r )
dm
con
dm=4 r 2 dr
r
La energia gravitazionale di legame totale è dunque
dEG  
ovvero
Se la densità è costante abbiamo
3 GM 02
4
EG  
con M 0 
 R3
5 R
3
Il fattore 3/5 ha origine dall’aver assunto la simmetria sferica e che la distribuzione di densità sia
incompressibile. In generale vale la relazione approssimata entro un fattore dell’ordine dell’unità
dove Mo è la massa della stella. L’energia di legame gravitazionale liberata viene emessa sotto
forma di fotoni e/o neutrini. Pertanto la stella ha una massa minore di quella della nube di gas da cui
si è formata
Il difetto di massa è dato da
Il difetto di massa relativo (ordine di grandezza) è espresso da
Per il Sole e per le Nane Bianche il difetto di massa gravitazionale è minore del difetto di massa
dovuto alle forze nucleari ( M nuc  1% ).
7
Equilibrio idrostatico
Trattiamo il caso di una sfera di gas di raggio R auto-gravitante e in equilibrio idrostatico. In ogni
punto della sfera il gradiente (negativo) di pressione (in una stella la pressione diminuisce dal centro
verso l’esterno) eguaglia la forza gravitazionale attrattiva
L’ordine di grandezza del gradiente di pressione è dato da
Poiché alla superficie della stella la pressione è quasi nulla, mentre al centro è circa uguale al valore
medio possiamo scrivere
Analogamente possiamo approssimare la forza gravitazionale :
dove M è la massa totale e  è la densità media. Da questo segue
cioè il rapporto fra il raggio di Schwarzschild al raggio stellare è circa uguale al rapporto fra la
pressione media e il valore dell’energia di massa a riposo della stella.
Stelle “normali” non degeneri
La materia della stella e composta da un gas ideale con equazione di stato
dove R  8.32  107 erg/K/Mol è la costante universale dei gas, T la temperatura e Vmol  N a M A / 
è il volume molare. N a  1 / mu  6.023  1023 è il numero di Avogadro e M A  Amu è la massa
degli atomi con numero di massa A. Per una miscela di gas ideali M A viene espresso mediante il
peso molecolare. La trasformazione della (1.11) dà
dove K B  R / N A  1.38  1016 erg/K è la costante di Boltzmann. In equilibrio idrostatico
Quando una stella si raffredda, il suo raggio cresce (stadio di gigante rossa). Ne segue ancora che
da cui si vede che il grande effetto relativistico avviene attraverso la temperatura media degli interni
stellari. Per il bruciamento dell’Idrogeno si ha
8
cioè l’ordine di grandezza degli effetti relativistici in stelle normali viene determinato dalla fisica
nucleare. Ancora si noti che l’ordine di grandezza degli effetti relativistici è indipendente dalla
costante di gravitazione.
Perdita di energia per radiazione
Ogni corpo scambia calore con l’ambiente circostante. Tale scambio avviene anche quando il corpo
si trova nel vuoto, cosi che direzione di scambio di calore è solo verso l’esterno. La perdita di
energia avviene attraverso l’emissione di radiazione. La luminosità L, cioè la quantità totale di
energia (a tutte le lunghezze d’onda) per unità di tempo che un corpo nero sferico di raggio R e alla
temperatura T emette è
dove   5.67  105 erg/cm2 /s/K 4 è la costante di Stefan - Boltzmann. Essa proviene dalla teoria
di Planck del corpo nero:   ( 2 5 k B4 ) /( 15c 2 h3 ) .
Se una stella non ha sorgenti interne di energia nucleare, essa si raffredda con scala temporale di
Kelvin - Helmholtz:
Per il sole  KH  107 anni.
Conclusione: Stelle composte di gas ideali possono esistere in equilibrio idrostatico per un
tempo maggiore di  KH solo se nel loro interno hanno una sorgente di energia (ad esempio
nucleare).
Tale conclusione è in ultima analisi la conseguenza del fatto che
Stelle degeneri
Mentre la pressione di una stella non degenere e’ regolata dall’energia cinetica delle particelle di
gas, la pressione nella materia degenere è conseguenza del principio di Pauli
Di conseguenza, per un gas ideale: quando T  0 anche P  0 e pertanto non può esistere
equilibrio. Per valutare la pressione di un gas degenere di elettroni (Fermioni) consideriamo un
elettrone (Fermione) in un cubo di lato d e volume d 3 e volume. In base al principio di
indeterminazione di Heisemberg, il momento pF dell’elettrone (Fermione) obbedisce a
La energia cinetica o energia di fermi dell’elettrone (non relativistico) diventa
Se   kT la energia cinetica dell’ elettrone non viene determinata dalla temperatura ma dalla
densità
9
Si noti per una assegnata densità, più leggera è la particella in gioco più alta sarà la sua energia
Fermi (  F  m 1 ) e maggiore sarà il suo contributo alla pressione. Pertanto si può approssimare
La densità di massa è invece data dalle particelle più pesanti
Sostituendo queste approssimazioni nella 1.16 si ottiene
dove
è la densità alla quale la distanza media delle particelle eguaglia la lunghezza Compton degli
elettroni  / 2  / me C  3.86  1011 g/cm3 .
Per   c segue dal principio di indeterminazione di Heisenberg
cioè che gli elettroni sono relativistici. La energia di Fermi è pertanto  F  pF c (segue da
 F  pF2 / 2me ) e
Infine la equazione di stato di un gas di Fermi è data da
Conseguenza: grazie agli effetti quantistici un gas esercita una pressione anche a T = 0
(energia di “punto zero”).
Nane Bianche:
Stelle di Neutroni:
gas degenere relativistico di elettroni
gas degenere non relativistico di neutroni
Nane Bianche e Stelle di Neutroni non hanno una sorgente interna di energia, ciò nonostante
esse sono in equilibrio idrostatico.
1.2
FENOMENOLOGIA DEGLI OGGETTI COMPATTI
Tavola sinottica
10
NANE BIANCHE
i)
Oggetti singoli
Stelle deboli e di colore bluastro (ne sono state osservate circa 2000); al centro di Nebulose
Planetarie (molto calde e blu con T > 100000 K ), osservati circa 500 oggetti
ii)
Oggetti in sistemi binari
I) Senza accrescimento di materia: stelle deboli e bluastre, sopraffatti dalla stella
compagna e difficili da scoprire (scoperti circa 10 oggetti, 20 includendo anche sistemi binari con
radio-pulsars). Esempio: Sirio B con Periodo orbitale di 49.9 anni, raggio R=0.008 Ro, massa
M=1.05 Mo,   3  106 g/cm3 .
II) Con accrescimento: Novae, Novae Nane (molto probabilmente stelle con parziali
brillanti eruzioni di materia (Novae: circa 1000) .
iii) Grandezze caratteristiche
Masse:  M  0.58 M  con   0.1 ,
poche
con
M
<
0.4
Mo
and
M>0.8
Mo.
Raggio  R  0.012 M  . Luminosità L  10  10 L . Densità    4.75  10 g/cm . Gravità
3
2
5
3
 GM / R2  1.1 108 g/cm3 cioè 105 g .
iv) Tipo spettrale:
DA: righe di H, solo righe di Balmer, niente He o metalli, temperatura superficiale . DB: righe di
He, niente righe di H e metalli, temperatura superficiale 12000  Te  30000 K . DC: spettro di
transizione. DO: forti righe di He, anche HeI e H, temperatura 45000  Te  100000 K . DZ: solo
righe di metalli, niente H o He. DQ: righe del C (molecola C2).
DBA: con righe di He e H.
Frequenza: per temperature effettive nell’intervallo 10000—100000 K, N DA  4 N non DA e per
temperature più basse N DA  Nnon DA .
v)
Rotazione e campo magnetico
Le Nane Bianche isolate ruotano lentamente. Esse inoltre hanno campi magnetici con intensità da
3  104  109 G .
11
v)
Popolazione totale
Il tasso di formazione delle Nane Bianche è stimato a 1012 / anno / pc3 . Dal volume del Disco
Galattico VDisk   r 2 ( 2 H ) stimato assumendo R = 15 kpc e 2H = 200 pc pari a VDisk  1011 pc 3 ,
ne segue il tasso di nascita di 0.1 Nana Bianca per anno, il quale per un’età della Via Lattea di circa
10 miliardi di anni corrisponde un totale di circa 109 Nane Bianche.
FIGURA. 1
Bianca.
Esempio di Nana Figura.
2 Nana Bianca in
accrescimento (schizzo).
FIGURA. 3 Distribuzioni della
masse delle Nane bianche
STELLE DI NEUTRONI
i) Stelle singole
Radio-pulsars (N = 1300), ad esempio Crab Nebula e Vela; comportamento singolare .
ii) Stelle in sistemi doppie
12
I)
senza accrescimento
Pulsars binarie, millisec pulsars (N=100), PSR B1913+16; Hulse -Taylor pulsar; NS-NS systems
utili verificare la teoria della Relatività Generale; PSRB1937+214, la pulsar con il più corto periodo
e con l’orologio più preciso (N=50); PSRB1821, la prima pulsar scoperta (N=50); PSRB1257+12,
millisec pulsar con tre pianeti.
II)
con accrescimento
Massicce (HMXB) (N=70) e di piccola massa (LMXB) (N=120) sistemi binari X o pulsar-X.
iii) Proprietà caratteristiche
Temperatura effettiva di circa 1,000,000 K = 0.1 Kev  raggi X; intensi campi magnetici da 1012 a
1013 G; alcune con rotazione critica (alcuni msec), ma anche periodi di rotazione a 10 s; alta
velocità peculiare, valore medio 450 km/s; la più elevata 3000 km/s, cioè v =0.01 c
 Ekin  3  1050 erg ;
Causa ? Associazione a resti di supernova (Crab, Vela); popolazione circa 100,000 radio-pulsars
attive nella nostra Galassia; circa 100,000,000 pulsars durante l’intera storia della Galassia (stima
sulla base del tasso di formazione di 1 Pulsar ogni 100 anni).
Figura 1.4: Ha immagine dei dintorni della
Millisec Pulsar PSR 0437-4715. La freccia indica
la direzione di moto della pulsar .La stella subito
sotto il fronte d’urto è una Nana Bianca che
assieme alla Pulsar forma un sistema doppio. La
distanza fra la pulsar e fronte avanzato dell’onda
d’urto è circa 1400 AU.
Figura 1.5: Immagine HST della stella di
neutroni isolata (non pulsante) RXJ1856353754.
Scoperta da ROSAT grazie alla
emissione X (Walter et al. 1996, Nature 379,
233) ed in seguito osservata con HST
(Walter& Matthews 1997, Nature 389, 358).
La stella di neutroni è molto calda (T =1.2
x10^6K) e dista solo 61 pc (Walter 2001, ApJ
549, 433). E’ dunque la stella di neutroni più
vicina.
BUCHI NERI
i)
Stelle singole
Direttamente non osservabili a parte gli effetti gravitazionali.
ii)
In stelle doppie
13
Senza accrescimento difficili da osservare, nessun esempio not. Con accrescimento: raggi X in
sistemi binari. Alcuni candidati ad esempio Cyn X-1.
iii) Buchi neri massicci in galassie attive (AGN):
La macchina per la produzione di jets extragalattici. Masse 106 M   M BH  109 M  . Luminosità
L  1047 erg/s , luminosità di accrescimento Lac  GMM / R per un oggetto con R = Rs
Prova: comportamento kepleriano del gas nel vortice di accrescimento.
Figura 1.6: Misura della velocità del gas caldo
del disco-di accrescimento rotante nel centro
della galassia attiva M87. Il gas si allontana da
noi con una velocità fino a 500 km/s. Queste
alte velocità sono probabilmente dovute alla
presenza di un Buco Nero massiccio
( M BH  3  109 M  )
Figura 1.7: Simile alla Figura 1.6 ma per la
galassia NGC4527, dove il moto kepleriano
attorno al Buco Nero è stato misurato
precisamente grazie ad una riga maser
dell’acqua.
14
CAPITOLO 2
STELLE NANE BIANCHE
2.1
SCOPERTA E STORIA DELLE NANE BIANCHE
1834 Bessel (1784-1846) scopre il comportamento variabile di Sirio  stella doppia con un
compagno invisibile.
1862 A.G. Clark trova Il compagno di Sirio vicino al luogo predeterminato. Dagli elementi orbitali
e dalla parallasse ricava per Sirio B: M  1M  ,L  1 / 400L
1915 Adams determina il tipo spettrale (F) di Sirio B: T  8500 K, R  R / 55,   61000 g/cm3
1924 A.S. Eddington formula il paradosso: alta densità solo con completa ionizzazione, cioè alta
temperatura. Una stella con una densità così elevata ha bisogno di energia per raffreddarsi!
1926 R.H. Fowler risolve il paradosso di Eddington: Completa ionizzazione non solo ad alta
temperatura ma anche per T 0, quando la pressione è sufficientemente elevata (ionizzazione da
pressione). Principio di Pauli, statistica di Fermi-Dirac per il gas di elettroni (degenerazione) 
equazione di stato, le Nane Bianche sono dei politropi con n=3/2, e quindi R  M 1 / 3 .
1931 S. Chandrasekhar generalizza il principio di Fowler: Validità della Teoria della Relatività
Speciale  Degenerazione relativistica  Massa limite per le Nane Bianche. Inizia la controversia
con Eddington, il quale afferma: non esiste la degenerazione relativistica e quindi non vi è una
massa limite. La relazione massa-rggio R  M 1 / 3 vale per qualunque M. Chandrasekhar cerca il
sostegno dei fisici (come Pauli, Bohr etc..), i quali tuttavia non prendono spesso posizione.
1939 Chandrasekhar cerca la conclusione della controversia e scrive il libro “An introduction to the
Study of Stellar Structure”. Si procura altre preoccupazioni, La controversia finalmente cessa con la
morte di Eddington.
15
2.2 EQUAZIONE DI STATO DI UN GAS IDEALE DI FERMIONI
La distribuzione dei momenti (distribuzione di Fermi) di N Fermioni ideali con massa m, spins s ed
energia
in un volume V ad una temperatura T è dato dalla relazione
con
s:
peso statistico: per particelle g = 2s+1; per fotoni g = 2; per neutrini g = 1
V / h3 4 p 2 : numero di celle nello spazio delle fasi con volume h3 nell’intervallo
di momento p, ….., p+dp
f(E):
probabilità che una cella dello spazio delle fasi all’energia E sia occupata
   / n |S ,V : potenziale chimico
dove è la densità di energia (inclusiva della energia di massa a riposo) e n è la densità numerica di
fermioni. Spesso al posto del potenziale chimico si adopera la grandezza


,
(2.3)
kBT
detta parametro di degenerazione. Dalla distribuzione di Fermi si derivano:
Densità numerica
Densità di Energia
Pressione (isotropa)
dove il fattore 1/3 viene dall’integrazione sullo spazio delle direzioni e v  pc 2 / E è la velocità dei
fermioni. Per densità di particelle sufficientemente bassa e una temperatura elevata si ha
cioè la distribuzione di Fermi f(E) tende a quella di Maxwell - Boltzmann f MB ( E ) . In questo caso
non degenere si ha f MB ( E ) << 1 e si trova
16
cioè  / kBT <0 se la densità di particelle è inferiore ad una densità critica
Introducendo m  Amu e n   / Amu si deriva
ovvero
Per l’aria (A = 30) a temperatura T = 273 K si ottiene  / kBT  30 . Al limite per T0 (con
n>n*)    / kBT   e la funzione f(E) diventa
cioè la distribuzione di Fermi totalmente degenere (funzione a gradino).
1] Limite non relativistico (NR)
In questo caso (p/mc<<1) per la energia delle particelle abbiamo
ovvero senza la energia di massa, l’energia della particella
La densità numerica di particelle è
la quale con l’aiuto della variabile ausiliaria
e mkBTdx  pdp diventa
Introducendo gli integrali di Fermi
si ottiene
Questa è anche una equazione implicita per ricavare il parametro di degenerazione  per una
assegnata temperatura T e densità numerica di particelle nNR . La equazione mostra che la
degenerazione cresce al crescere della densità e decrescere della temperatura. Ancora si ottiene
17
ovvero
Utilizzando la relazione (2.13) si ha
Per la pressione usiamo la relazione
Confrontando questa con la (2.14) si deriva
A] Nel Caso di completa degenerazione (    ) abbiamo
e da questa
e
Risolvendo la (2.18) in  ed inserendo l’espressione risultante nella (2.19) si deriva
da cui
dove YF è la densità numerica di fermioni per barione.
B] Nel limite di fermioni non degeneri (   ) si ha
dove (n+1) è la funzione Gamma. Per valori positivi di n si ha (n+1) = n! Pertanto
( 3 / 2 )   / 2 e ( 5 / 2 )  3  / 4 . Pertanto la densità numerica di particelle è data da
e la densità di energia (2.15) da
18
2] Limite estremamente relativistico (ER)
Nel caso estremamente relativistico abbiamo p/mc >>1 e E  pc . La densità numerica di particelle
è data da
Ponendo x  pc / k BT si deriva
cioè
Analogamente
e con l’aiuto delle (2.12) e (2.24)
Per la pressione si ha
e dal confronto con la (2.25)
A] Nel caso di totale degenerazione (    ) si derivano le seguenti espressioni
e
ovvero
e
19
B] Nel caso di fermioni non degeneri (    ) otteniamo
e
ovvero
Riassumendo
Nel caso di fermioni non degeneri (ND) si ottiene la equazione di stato di un gas ideale sia in
condizioni non relativistiche (NR) che estremamente relativistiche (ER).
Nel caso di un gas completamente degenere (D) la pressione non dipende dalla temperatura.
Nel caso non degenere e non relativistico la pressione del gas è in ogni caso minore della pressione
della radiazione
L’integrale ha il valore  4 / 15 . Con g = 2 e  = = 0 (fotoni) si ha
dove
è la costante della radiazione. Per T  1010 K si ottiene (cgs): P  2  1025 e P  106 n , pertanto
P  P se n  2  1031 .
20
2.3 SFERE GASSOSE POLITROPICHE
Il più semplice modello di stella [Emden 1907; Lane 1870].
Definizione di politropo: Modello di stella in equilibrio idrostatico nel quale la distribuzione di
pressione densità obbediscono alla relazione
Le grandezze K e n sono chiamate costante politropica ed indice politropico, rispettivamente. La
relazione (2.28) vale sull’intera stella in quanto K e n sono costanti con il raggio r. Molto
verosimilmente possono dipendere dal tempo.
La legge politropica non deve necessariamente essere identica alla equazione di stato. Vi sono due
possibilità
A] La equazione di stato è un politropo. Questo per esempio vale nel caso di elettroni totalmente
degeneri
B] Le dipendenze della pressione e temperatura sono accoppiate.
Il gas in una stella obbedisce alla equazione di stato P=P(,T). Inoltre per la stratificazione di
temperatura può anche esservi una dipendenza secondaria T=T(P).
Stratificazione isoterma: se T  T0 in un gas ideale [ P  ( R /  )T ]  P   , n= e K
dipende da To epertanto è variabile da caso a caso ma costante in una data stella.
Stratificazione adiabatica: ( T  P AD ) grazie alla convezione in un gas ideale con gradiente di
temperatura dato da    AD  ( d lnT / d ln P )AD . Se possiamo trascurare la pressione di radiazione,
allora per gas mono - atomico  AD  2 / 5 e cioè T  P2 / 5 in tutta la stella. Pertanto se  =
costante si ha il comportamento politropico
1
1
1- AD
P n
con
n=
 AD
con n = 3/2.
Commento importante. Quando la equazione di stato è di tipo politropico, la constante K è
prefissata e dipende dalle costanti della fisica. Al contrario se le stratificazioni di temperatura e
pressione sono accoppiate, allora K è un parametro libero, costante all’interno di una stella ma
variabile da stella a stella.
Equazioni di Emden
L’equazione di equilibrio meccanico è
con
21
Combinate assieme danno la cosiddetta equazione di Poisson
Per un politropo (2.28) essa diventa
da cui
Introducendo due variabili dimensionali così definite
e
si ottiene la equazione differenziale non lineare di Emden
per la funzione di Lane-Emden y(x) con le condizioni al contorno
y( x  0 )  1
e
dy/dx|x=0  0
Soluzioni analitiche di questa equazione esistono solo per n = 0,1, 5.
Per n < 5 y = 0 per x  x0   e
tipo y( x )  1 
y’(xo ) < 0. I politropi con n < 5 hanno comportamento del
2
x
6
per x <<1 .
Proprietà importanti dei politropi
Il raggio del politropo è il punto xo dove la funzione y(x) si annulla per la prima volta. Pertanto
La massa di un politropo è
22
ovvero
In virtù della (2.32)
ed infine
ovvero
Attenzione: Per n = 3 la massa non dipende da  c
Dalle equazioni precedenti per massa e raggio di un politropo si deriva la relazione Massa-Raggio
(inequivocabilmente fissata da K e n)
per n = 3
la massa M è indipendente da R
per n = 1
il raggio R è indipendente da M
Per assegnati K, n e M vi è una sola soluzione.
Energia potenziale
La energia potenziale di un politropo è data da
2.4 MASSA LIMITE DI CHANDRASEKHAR
23
Il gas di elettroni di una Nana Bianca è fortemente degenere. Pertanto possiamo la equazione di
stato di un gas di fermioni totalmente degenere con g=2.
Caso non relativistico (   106 g/cm3 )
Sostituendo ne  Ye / mB ne segue
tale equazione di stato è quella di un politropo con n = 3/2.
Caso relativistico (   106 g/cm3 )
una equazione di stato corrispondente al politropo di indice n = 3.
Relazioni Massa-Raggio. Dalle relazioni Massa-Raggio e Massa-Densità Centrale dei politropi
(2.37) otteniamo
1 n
2n
 c  M 3 n
cioè per gas totalmente degenere non relativistico (n = 3/2 e K  K3 / 2 )
R  M 1 / 3
assieme a
c  M 2
Dalla d c / dM  0 segue che d/dM > 0, pertanto la degenerazione cresce con la massa M del
politropo. Sopra una certa massa il gas degenere di elettroni diventa anche relativistico.
R  M 3 n
assieme a
1] Gas di elettroni degenere ed estremamente relativistico
Il politropo ha indice n = 3. La relazione Massa - Raggio è singolare, cioè esiste una Massa M3
indipendente da R e c (2.36). Per n = 3-con  << 1 si ha
RM
1
2

6
c  M 
e ancora
lime0 c  
e pertanto
lim 0 R  0
2
assieme a
2] Passaggio da n = 3/2 a n = 3
Per un gas non relativistico di elettroni n = 3/2. La densità centrale del politropo corrispondente
scala come   M 2 , cioè la densità centrale e la energia di Fermi degli elettroni crescono con la
massa M fino a che gli elettroni diventano relativistici. Tuttavia per una Nana Bianca di Massa M si
ha d/dMr < 0 cioè la degenerazione degli elettroni nel centro è maggiore che vicino alla superficie.
Conseguenza: la Nana Bianca non è un politropo.
Equazione di stato in una Nana Bianca
Partiamo dalla relazione per la pressione per un gas totalmente degenere
24
Indichiamo con m la massa e con me la massa a riposo degli elettroni così che per una certa velocità
Risolviamo in v questa relazione
e con questo deriviamo
Definiamo ora le variabili z = p/mec e
forma
x  pF / me c e con queste scriviamo la pressione nella
Da questo si ottiene immediatamente
con
Se la degenerazione degli elettroni non è completa allora interverranno dei termini correttivi
contenenti la temperatura (Chandrasekhar 1939).
Analogamente si trova
con
Introducendo ora le espressioni trovate per la pressione (2.41) e la densità (2.43) nella equazione
di Poisson dell’equilibrio idrostatico si ricava la equazione
In base alla definizione di f(x) (2.42) si ha
e da questa
25
Questa equazione può essere trasformata introducendo una nuova variabile y 2  x 2  1 nella
seguente
Poniamo x0  x( r  0 ) e yo2  x02  1 e definiamo un raggio adimesionale
2A 1
 G Byo
e un Potenziale  tale che
r  
con
=
cm
(2.45)
ed infine
con condizioni al contorno centrali (   0 )  1 (segue da 2.46) e ( d  / d  ) 0  0 , assieme alla
condizione supplementare ( 1 )  1 / y0 , la quale assicura l’annullarsi della densità alla superficie
della Nana Bianca.
La massa di una sfera di gas di raggio è data da
Dalla equazione di stato introdotta in precedenza, la massa della Nana Bianca è data da
La equazione differenziale (2.47) implica che se y0   la funzione  si riduce alla funzione  n
di Lane-Emden con n = 3. Segue inoltre che per   0 R  0 , il raggio della stella si annulla.
Infine la massa della Nana Bianca tende al valore limite
dove 1 ( 3 ) è il punto definente la superficie della funzione 3 di Lane-Emden con n = 3.
Per x0   e pertanto y0  x02  1   (cioè gli elettroni nell’intera Nana Bianca sono degeneri
e relativistici) la equazione di stato tende si avvicina a quella del gas di elettroni estremamente
relativistico, cioè f ( x )  2 x 4 e
Pe  2 Ax 4
assieme a
=Bx3
ovvero
con
26
dove K Ch è la costante politropica di un gas di elettroni totalmente degenere ed estremamente
relativistico.
La massa limite di Chandrasekhar è la massa di politropo con n = 3 e K3  KCh ed assume il valore
Per materiale fatto di elio o carbonio o ossigeno Ye  0.5 e M Ch  1.44 M  .
2.5 FORMAZIONE ED EVOLUZIONE DELLE NANE BIANCHE
2.5.1
PRINCIPI DI STRUTTURA ED EVOLUZIONE STELLARE
Una stella si forma dal mezzo interstellare mediante il collasso di addensamenti locali (con massa
maggiore della massa di Jeans) e successive frammentazioni.
La forza motrice dell’evoluzione di una stella è la Gravitazione.
Le stelle perdono energia per radiazione e neutrini ( e . La energia persa viene prodotta

o da processi di fusione nucleare (fasi di bruciamento idrostatiche)

o dalla liberazione dell’energia di legame gravitazionale (la stella si contrae, si addensa
e si riscalda).
Nota: Il teorema del Viriale
Trattazione integrale di un sistema composto da particelle qualunque. Il teorema del viriale si deriva
dalle equazioni dell’equilibrio idrostatico e di conservazione della massa:
ovvero
Integrando sull’intera stella si ottiene
che per integrazione parziale diventa
27
dove EG è la energia di legame gravitazionale. Poiché la pressione alla superficie è nulla il primo
termine del membro di sinistra è nullo. Da questo segue il Viriale
che nel caso particolare di un gas ideale con P /   RT /   ( 2 / 3 )cV T diventa
dove ET è la energia interna e cV il calore specifico a volume costante. Una stella contraendosi
aumenta la sua energia di legame gravitazionale | EG | e la sua densità. La energia di legame liberata
per contrazione, metà va persa per radiazione Erad   EG / 2 . La rimanente metà aumenta la
energia termica (  ET   EG / 2  0 ). Pertanto la stella si riscalda.
Una stella non può raffreddarsi! Fintanto che la materia costituente la stella è un gas perfetto,
ne segue che quando la gravitazione domina la sua evoluzione essa deve sempre aumentare la
densità e temperatura.
Le interazioni Coulombiane fra nuclei atomici (  Z1 Z 2 ) stabiliscono una gerarchia di bruciamenti
nucleari in funzione di T.
 I bruciamenti nucleari sono limitati nello spazio e nel tempo. Essi generano una
struttura a cipolla nella stella.
 Le ceneri di una fase, sono il combustibile di quella successiva.
 L’avvenire di un successivo bruciamento, dipende dalla massima temperatura
raggiungibile dalla stella.
Il numero di bruciamenti termonucleari dipende dalla massa della stella.
 Per M  8  10 M  la stella passa attraverso tutti i bruciamenti nucleari possibili.
28
 La contrazione (delle regioni interne, nuclei) porta all’aumento della degenerazione
ed aumento della temperatura centrale cosicché il gas non è fortemente degenere. I
prodotti finali dell’evoluzione delle stelle Nane Bianche, Stelle di Neutroni o Buchi
neri.
 Dal calcolo di modelli stellari si vede che la contrazione in buona approssimazione
tende ad essere auto-simile. Per un politropo con assegnato n questo vale
esattamente (vedi Kippenhahan & Weigert, p. 191). L’evoluzione si dice autosimile o omologa se vale
dove r e R sono due raggi qualunque della stella prima della contrazione e r e R
sono gli stessi dopo la contrazione.
 Conseguenze per i modelli stellari. Nel caso valga la contrazione omologa (2.54)
e
Possiamo parametrizzare la equazione di stato nel modo seguente (assumendo il peso
molecolare costante)
cosi da avere
Combinando le relazioni (2.55), (2.56) e (2.57) si ottiene
Per un gas ideale si ha   1 e   1 da cui d lnT / d ln   1 / 3 , mentre nel caso di
29
un gas degenere   [ 3 / 5,3 / 4 ] ,   0 e d lnT / d ln   0
Con l’aiuto della relazione (2.58) si può intuitivamente comprendere il comportamento
della stella nel piano T   mostrato in Fig. 2.1.
 Le curve colorate sono i luoghi dove avvengono le reazioni termo-nucleari e picnonucleari
 Nelle reazioni termonucleari la energia cinetica dei reattanti dovuto al
comportamento termico dei nuclei atomici è data da
cioè esiste una temperatura di soglia per ogni fase di bruciamento.
 Nelle reazioni picno-nucleari la energia cinetica dei reattanti è data dall’energia
di punto zero degli ioni
cioè esiste una densità di soglia  pic per ogni reazione.
Il passaggio da un modo all’altro di bruciamento è continuo. Per    pic the reazioni sono molto
veloci (tipicamente 105 anni)
(si veda Salpeter & van Horn 1969, ApJ 155, 183; Kippenhahan & weigert, p. 370; Shapiro &
Teukolsky, p. 72).
Numerosi calcoli evolutivi danno il seguente quadro:
- Niente bruciamento di H per M H  0.08 M  . La stella diventa degenere durante la
contrazione verso la sequenza principale.
- Niente bruciamento dell’Elio se M He  0.35 M  . La degenerazione incomincia dopo Hburning se M  0.5 M  . Nell’intervallo di massa 0.5  M / M   2.5 la stella attraversa il
fenomeno di He-flash
- Niente bruciamento del carbonio se M C  0.9 M  . La degenerazione si instaura dopo il
bruciamento di He.
Come abbiamo già visto in precedenza la massa media delle Nane Bianche
 MWD  ( 0.6  0.1 )M  . Il tempo di vita nucleare di una stella di massa simile è più lungo dell’età
dell’Universo. Poiché the Nane Bianche sono osservate in ammassi giovani, la massa dei loro
progenitori deve essere stata maggiore in modo da avere un tempo evolutivo corto. Inoltre i
progenitori devono aver perso massa durante la loro evoluzione.
La relazione fra la massa iniziale Mi e la massa finale Mf(Mi) può essere stimata da osservazioni di
ammassi giovani. Si trova
30
FIGURA 2.1: Cammino evolutivo del centro di stelle
( linee nere) con masse M1, M2 e M3 nel piano
temperatura densità. Il campo vettoriale mostra la
direzione lungo la quale si moverebbe una stella in
contrazione. A sinistra in alto si ha la equazione di
stato di un gas ideale, cioè il cammino ha pendenza
1/3. La linea verde corrisponde ad   0 . Sotto tale
linea si ha il gas di elettroni degeneri. Lungo la linea
gialla vale =3/4 e quindi dlnT/dlnr =0, cioè lungo
questa linea le frecce sono orizzontali e sotto puntano
verso il basso. Lungo le linee rosee blu e rosa avviene
il bruciamento dell’idrogeno, elio e carbonio,
rispettivamente. L’evoluzione della stella con massa
M1 difficilmente entra nella regione di degenerazione,
il suo centro si riscalda durante la contrazione . Nel
centro della stella con massa M2 (< M1) inizia la
degenerazione; la contrazione omologa riscalda la
stella solo fino a circa 107 K Nel caso della stella con
massa
M3 (< M2)
la massima temperatura
raggiungibile è ancora più bassa. Le stelle con massa
M2 e M3 non raggiungono infatti la temperatura
necessaria all’innesco dell’elio.
FIGURA 2.2: Cammino evolutivo nel piano
temperatura e densità centrali di stelle di massa
diversa (i valori sono indicati in masse solari). Le
linee tratteggiate sono i luoghi di bruciamento
dell’idrogeno, elio e carbonio. La linea retta
punteggiata indiac il luogo di separazione fra gas
ideale e gas degenere di elettroni (Iben, 1991, ApJ
Suppl 76, 55].
2.5.2
EVOLUZIONE DELLE NANE BIANCHE
Sotto la condizione che M=costante segue dalla relazione Massa-Raggio che R(t)=costante
pertanto R  0 . Da questo segue ancora che la variazione temporale dell’energia gravitazionale
31
cioè non vi è liberazione di energia gravitazionale. Possiamo inoltre assumere che Enuc  0 cioè
niente sorgente nucleare, in quanto non esiste reazione termonucleare possibile (e se vi fosse la
stella esploderebbe). Pertanto la luminosità delle Nane Bianche deve essere data da
ovvero essere fornita dal serbatoio di energia termica. Pertanto l’evoluzione di una Nana Bianca
comporta il suo raffreddamento!
Il tempo di raffreddamento è dato da
Con
segue
cioè per una data massa deve essere
Le osservazioni danno i seguenti valori
Una valutazione del tempo di raffreddamento di una nana Bianca dà
dove T0  T( r0 ) con r0  r(   0 ) è la temperatura al bordo della regione degenere (praticamente
isoterma ) della Nana Bianca. Per T0  3  107 and =14 (C/O) si deriva
Natura delle Sorgenti e Perdite di Energia dalle Nane Bianche
 In Nane Bianche con L  0.1 L la dominante sorgente di perdita di energia sono i
neutrini (Plasma Neutrini).
 Calore Latente liberato dalla cristallizzazione degli ioni
 energia gravitazionale liberata dalla ristrutturazione della Nana Bianca (dopo la
cristallizzazione).
Decadimenti -inversi
Consideriamo un nuclide (A,Z) con A nucleoni, Z protoni, N=A-Z neutroni, massa del nucleo
M K ( A,Z ) , massa atomica M A ( A,Z )  M K ( A,Z )  Zme . Sono possibili:
32
Decadimento  diretto
che avviene spontaneamente se M K ( A,Z  1 )  M K ( A,Z )  me , dove M A ( A,Z  1 )  M A ( A,Z ) .
Decadimento -inverso (cattura degli elettroni)
è possibile se la densità (ed anche degenerazione) degli elettroni è così elevata che la loro Energia
di Fermi obbedisce alla condizione
cioè la reazione e  ( A,Z )  ( A,Z  1 )   e è esoterma.
Nuclidi importanti per il quali avviene il decadimento -inverso nelle Nane Bianche sono i nuclei gg ( 4 He, 12C, 16O, 20 Ne, 24Mg e 56 Fe , che sono particolarmente legati) attraverso le
Se EF  M A ( A,Z  1 )  M A ( A,Z ) ne segue anche che EF  M A ( A,Z  2 )  M A ( A,Z  1 ) , cioè
può avvenire un doppio decadimento -inverso (A,Z)(A,Z-2).
Per ogni nucleo (A,Z) esiste una densità critica sopra la quale il decadimento -inverso può aver
luogo.
Il decadimento -inverso è di particolare rilevanza nei processi di formazione delle stelle di
neutroni e nella equazione di stato ad altissima densità.
33
CAPITOLO 3
TEORIA DELLA RELATIVITA’ GENERALE
3.1 FONDAMENTI
La teoria della Relatività Generale (RG) è una teoria relativistica e geometrica della gravitazione.
Principio: La teoria della relatività ristretta o speciale (RS) si basa sul principio di relatività:
Le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento che si muovano di moto relativo
rettilineo ed uniforme.
I Sistemi Inerziali (I) costituiscono una classe (KI) di sistemi di riferimento (corpi non soggetti a
forze si muovono di moto rettilineo ed uniforme).
Postulato
- Le leggi del moto di Newton sono invarianti per trasformazioni da I1  I 2

trasformazioni di Galilei.
- Elettrodinamica invariante per trasformazioni I1  I 2  trasformazioni di Lorentz (RS).
Relatività Speciale: Spazio-Tempo descritto dalla Metrica di Minkowski  (Matrice diagonale
4x4) con  ,   0,1, 2,3 e Traccia
L’elemento di linea ds 2 (distanza al quadrato tra due eventi nello Spazio-Tempo) invariante
secondo Lorentz nella metrica di Minkowski è rappresentato da
ovvero in coordinate cartesiane x0  ct, x1 = x, x 2 = y, x 3 = z
34
Si vede dalla (3.2) e dal successivo tensore pressione che viene adoperata la convenzione di
Einstein sulle somme (3.6), cioè si esegue la somma di termini con gli indici ripetuti. Gli indici con
lettere greche vanno da 0 a 3 e quelli con lettere latine da 1 a 3.
La metrica di Minkowski  descrive una geometria pseudo - euclidea, cioè essa è euclidea
(piatta) a parte il segno meno in (3.1).
Per i raggi di luce si ha ds 2  0 (traiettoria è di tipo luce), cioè il cammino della luce è invariante.
Per le particelle dotate di massa, ds 2  0 (la traiettoria è di tipo tempo e scorre dentro il cono di
luce).
Lo Spazio-Tempo può essere descritto anche da coordinate non-cartesiane, coordinate curve y 
(per esempio coordinate polari), oppure il sistema di coordinate di un osservatore accelerato. Sia
la trasformazione fra le coordinate x di un sistema inerziale e le coordinate y di un sistema non
inerziale, cosicché l’elemento di linea è rappresentato da
con
In questo caso la metrica ha una forma complicata. In generale, essa avrà i termini non-diagonali e i
coefficienti dipendenti dalla posizione. Ciò nonostante lo Spazio-Tempo sarà sempre piatto! In
coordinate polari (per esempio) l’elemento di linea della metrica di Minkowski ha la forma
Uno Spazio-Tempo si dice piatto ovvero tipo-Minkowski se esiste una globale trasformazione di
coordinate tale che
Nella Teoria della Relatività Generale: uno Spazio-Tempo di Minkowski non è globalmente
piatto, ma curvo (Spazio di Riemann).
Per effetto del Campo Gravitazionale non esiste nessun corpo di prova neutro, in altre parole non
è possibile realizzare un sistema inerziale.
Sono realizzabili solo Sistemi Inerziali Locali, cioè in ogni punto dello Spazio-Tempo esiste una
trasformazione di coordinate tale che g   (Spazio Tangente).
Principio di Equivalenza
Il principio di equivalenza è una assunzione fisica, la cui realizzazione matematica è il Principio di
Covarianza
Il principio di covarianza dice che una legge fisica deve essere invariante nella forma o covariante
per qualunque trasformazione di coordinate. Esso è pertanto un criterio per formulare le leggi
fisiche (senza gravitazione).
35
La motivazione per il principio di equivalenza o di covarianza è la equivalenza fra massa
gravitazionale e massa inerziale (esperimento di Einstein). La correttezza del principio di
equivalenza deve essere provata sperimentalmente.
Principio di Equivalenza Debole (WEP)
- massa gravitazionale ed inerziale sono uguali mg  mi
-
tutti i corpi cadono con la stessa velocità: pertanto da f a  mi a e f g  mg 
segue a   se mg  mi
-
Definizione esatta: Si collochi una particella di prova non carica (elettricamente neutra;
libera da energia di legame gravitazionale e piccola rispetto alla scala con la quale varia il
campo esterno ) con una velocità iniziale ad certo punto-istante e punto-spaziale dello
Spazio-Tempo, la sua traiettoria successiva è indipendente dalla sua struttura e
composizione interna .
-
In un dominio sufficientemente piccolo dello Spazio-Tempo la fisica del corpo in caduta
libera (meccanica) è identica in un campo gravitazionale e in un sistema di riferimento
uniformemente accelerato.
Principio di Equivalenza di Einstein (EEP)
1. Vale WEP
2. Un esperimento di misura locale e non gravitazionale (condotto in un laboratorio in caduta
libera schermato contro effetti esterni, piccolo rispetto alle scale su cui varia il campo
esterno e in cui gli effetti della gravitazione siano trascurabili) non dipende dalla velocità
di caduta libera.
3. Un esperimento di misura locale non gravitazionale non dipende da dove e quando esso è
condotto.
4. Se vale il principio di equivalenza di Einstein, allora la teoria della gravitazione deve
essere una teoria metrica.
5.
WEP vale per tutti i processi fisici senza gravitazione, cioè la Fisica nelle regioni dello
Spazio Tempo che siano sufficientemente piccole è identica alla Fisica della RS; è
localmente impossibile rivelare l’esistenza di un campo gravitazionale (Fondamento di
tutte le teorie metriche della Gravitazione e non solo della RG!).
Principio di Equivalenza forte (SEP):
Fra tutte le teorie metriche della gravitazione note esso si applica solo alla RG.
1. WEP è valido non solo per i corpi auto-gravitanti ma anche i corpi di prova non carichi.
2. Un esperimento di misura locale (condotto in un laboratorio in caduta libera schermata da
effetti esterni, piccolo rispetto alle scale su cui variano i campi) non dipende dalla velocità
(di caduta libera) dell’apparato di misura.
3. L’esperimento di misura locale non dipende dunque da dove e quando l’esperimento è
condotto.
Congettura di Schiff: Ogni completa, consistente teoria della gravitazione che obbedisca al
principio di equivalenza debole, segue anche il principio di equivalenza di Einstein.
Formulazione delle leggi Fisiche Lorentz - invarianti
36
Il principio di equivalenza ci indica come formulare le leggi fisiche non gravitazionali in presenza
di un campo gravitazionale. Per illustrare il punto prediamo in considerazione la Conservazione
dell’ Energia in RS (annullamento della 4-divergenza del tensore Energia-Impulso)
Ciò deve essere a causa del principio di equivalenza nei sistemi inerziali locali.
L’equazione (3.3) suole essere invariante sotto qualunque trasformazione di coordinate
 Calcolo tensoriale
 La usuale derivazione viene fatta mediante la derivazione covariante (3.15)
Problema noto delle coordinate curvilinee in uno Spazio-Tempo piatto, per esempio nel calcolo
della divergenza di un campo vettoriale
in coordinate sferiche
ma diventa
cioè i vettori unitari (versori) sono dipendenti dalla posizione. In Spazi-Tempi curvi compaiono
dei termini simili a causa della metrica g dipendente dalla posizione, i quali non possono essere
trasformati globalmente.
Equazioni di campo
Fino ad ora abbiamo discusso come la gravitazione influenzi altri fenomeni fisici ed esperimenti di
misura in sistemi inerziali locali. Ora ci poniamo la domanda di come la distribuzione di massaenergia influenzi la geometria dello Spazio-Tempo. Questo ci porta alle equazioni di campo.
Le equazioni di campo devono soddisfare alle seguenti condizioni fisiche:
1. Nel caso limite non-relativistico deve valere la equazione di Poisson Newtoniana
  4 G  .
2. La sorgente del campo gravitazionale deve essere descritta dal tensore simmetrico EnergiaImpulso T  .
3. La gravitazione è determinata dalla metrica spaziale g (principio di covarianza).
4. Deve valere il principio di relatività [ g ]  F[T  ] .
5. La gravitazione è universalmente attrattiva.
Assieme a questo si introducono ancora due ipotesi semplificatrici, non fondate su argomenti fisici:
1. il funzionale F [T  ] è lineare in T 
2. Il funzionale  [ g ] è del secondo ordine in g e quasi lineare (cioè lineare nelle
derivate seconde).
Con l’aiuto di queste condizioni fisiche ed ipotesi semplificatrici, le equazioni di campo della teoria
della gravitazione di Einstein sono univocamente stabilite. Esse sono scrivibili in forma compatta e
senza il termine cosmologico ( g )
37
dove G è il tensore simmetrico di Einstein (3.21) con 10 componenti indipendenti.
Una importante conseguenza delle equazioni di campo è che la 4-divergenza del tensore di Einstein
si annulla,  G  0. Da ciò segue immediatamente la conservazione del tensore energia-impulso
Si vede che la divergenza (3.5) richiede la derivazione covariante, mentre la divergenza nella (3.3)
richiedeva solo la derivazione normale.
Dalla (3.4) si derivano 10 equazioni di campo per 10 incogniti coefficienti della metrica. Inoltre
dalla (3.5), assegnate le sorgenti, si derivano 4 relazioni di conservazione o leggi del moto.
Pertanto si hanno 6 equazioni indipendenti per 10 componenti della metrica dello Spazio-Tempo
g , o in altre parole la Teoria ha 4 gradi di libertà. La ragione di questi gradi di libertà è la
covarianza della teoria, cioè una libera scelta di coordinate.
Verifiche sperimentali della RG
- distorsione gravitazionale
- perielio di Mercurio (43”/100 anni)
- deviazione della luce del sole (1.75”)
- uguaglianza fra mass gravitazionale ed inerziale
- Pulsar binarie
- Dilatazione temporale nel campo gravitazionale della Terra
- Campi intensi: Onde gravitazionali (?), Buchi Neri (?), effetto Lense-Thirring
3.1.1
CONVENZIONI, COORDINATE E TENSORI
Convenzione di Einstein sulle somme
Si deve sommare su indici appaiati, ad esempio
Trasformazioni di coordinate
Una trasformazione di coordinate è data da N equazioni
dove
f  è una funzione differenziabile. Spesso viene usata la scrittura compatta
La derivazione della (3.7) rispetto ad ogni coordinata genera una matrice di trasformazione N x N
(detta matrice di Jacobi)
38
con determinante
Se J '  0 in un dato dominio di valori delle coordinate, allora esiste la trasformazione inversa
x  x ( x') con
FIGURA. 3.1
Tensori contravarianti (indici superiori)
Dati due punti qualunque P e Q in una insieme con coordinate x a e x a  dx a (Fig. 3.1), essi
definiscono un spostamento o vettore infinitesimale PQ (di cui il punto P è l’origine) con
componenti dx a .
In un altro sistema di coordinate x' a le componenti di PQ si trasformano mediante la
trasformazione lineare
dove x' a / xb è la matrice di trasformazione nel punto P.
Vettore contravariante o Tensore contravariante di rango 1
E’ un insieme di grandezze ( X a nel sistema di coordinate x a ) che subordinate ad un punto P si
lasciano trasformare da un’altra trasformazione di coordinate in
Un esempio di vettore contravariante è il vettore dx a / du tangente ad una curva x a  x a ( u ) (3.2).
39
Per la legge di trasformazione di tensori contravarianti di rango 2 vale
Ovviamente possono essere definiti tensori contravarianti di rango più elevato.
Importante caso speciale: un tensore di rango 0 corrisponde ad uno scalare  '   (invariante).
FIGURA 3.2
Tensori covarianti (indici bassi)
Sia data una funzione continua e differenziabile
appartenente ad un insieme.
Se x a  x a ( x') allora è anche   ( x a ( x')) e da questo segue
ovvero (scambio di termini, scambio di indici )
Questa è la trasformazione delle componenti del vettore normale alla iper-superficie   costante .
Attenzione: la trasformazione avviene con la matrice di trasformazione inversa come nel caso di
vettori contravarianti (3.9).
Un vettore covariante o un tensore covariante di rango 1 è una lista di grandezze ( X a nel sistema di
coordinate x a )
coordinate in
subordinate ad un punto ed in grado di trasformarsi per trasformazione di
Le definizioni di cui sopra valgono anche per tensori covarianti di rango più elevato.
40
Nota: poiché il differenziale dx a si trasforma come un tensore contravariante (3.8) si conviene di
scrivere x a (invece di xa ) anche se non esiste alcuna caratteristica tensoriale.
Tensori misti (indici bassi e alti)
Ad esempio
Metrica
Ogni tensore covariante di rango 2 definisce una metrica.
Un insieme con una metrica si chiama insieme di Riemann.
Una metrica contiene la definizione di distanza e di lunghezza di un vettore.
La distanza infinitesimale ds (intervallo) fra due punti x a e x a  dx a è definita come
La lunghezza o norma di un vettore contravariante X a è data dalla espressione
Una metrica è definita
Positiva
Negativa
Indefinita
se per
X
La metrica della GR è indefinita
L’angolo fra due vettori contravarianti X a e
Due vettori contravarianti X a e
X2 0
X2 0
qualunque
Y a è dato da
Y a sono ortogonali fra loro se
Se la metrica è indefinita (come nel caso della GR) esistono i vettori nulli che sono ortogonali con
se stessi
Il determinante della metrica g ab si indica usualmente con g
Una metrica è non singolare se g  0 . In tale caso esiste la metrica inversa g ab (tensore
contravariante di rango 2) che è data da
dove  ac  1 se c = a e  ac  0 se c  a .
Con l’aiuto delle tensore metrico si possono alzare o abbassare gli indici dei tensori ad esempio
41
Il tensore metrico può anche ridurre di due il rango dei tensori, ad esempio
FIGURA 3.3
Derivazione covariante
Sia dato un campo vettoriale covariante Ai ( x ) . La (usuale) derivata
del campo vettoriale si trasforma in
ovvero
Il secondo termine del membro di destra di questa equazione in generale non è nullo, ciè la usuale
derivata Aik non è un tensore.
Il problema nasce in quanto nel calcolo della derivata due vettori con diversa origine vengono
uguagliati
e la matrice di trasformazione in generale dipende dalla posizione. Pertanto è necessario introdurre
il concetto di trasporto parallelo. Per trasporto parallelo si intende un vettore così inclinato che la
sua grandezza e direzione rimangono inalterate (ma non altrettanto le componenti del vettore).
Ipotesi: Il cambio di Ai sia proporzionale allo spostamento e proporzionale alle componenti del
vettore
Un insieme di N 3 funzioni  lik si chiama connessione (non è un tensore!).
Al punto Q vale
42
Dopo questo si definisce la derivazione covariante come
ovvero
Analogamente si definisce la derivazione covariante dei tensori di rango più elevato
Se in un insieme esistono una metrica e una connessione, si può definire la connessione metrica con
a
a
  cb
Vale inoltre  bc
, cioè la connessione metrica è simmetrica rispetto agli indici bassi.
Tensore di Curvatura di Riemann
a
dove  bc
è la connessione metrica dell’insieme.
a
q
 0 , la metrica è piatta e  bc
 0 , cioè la piattezza della metrica implica vera piattezza. Il
Se Rbcd
tensore di curvatura di Riemann implica una serie di simmetrie. Pertanto il numero di componenti
indipendenti i riduce da N 4 a N ( N 2  1 )2 , in GR da 256 a 20 componenti indipendenti.
Identità di Bianchi
Tensore di Ricci
Scalare di Ricci
Tensore di Einstein (simmetrico)
3.2
MOTO DI UNA PARTICELLA DI PROVA
Per particella di prova si intende un oggetto materiale ideale (piccolo, sferico, non carico…) il quale
si muova liberamente in un campo gravitazionale senza influssi di altro tipo (si veda la discussione
sul principio di equivalenza).
43
Nella Relatività Speciale la particella di prova si muove con velocità costante. Le equazioni del
moto della particella di prova sono derivabili dal Principio Variazionale. Si impone che la distanza
(intervallo) lungo una linea di Universo sia estremale
Scriviamo l’integrando della (3.22) nella forma
con
dove  è un parametro qualunque lungo la linea di Universo. Si vede che il segno meno nella
(3.23) vale per particelle dotate di massa e pertanto di tipo tempo (capitolo 3.1). La espressione
(3.22) per ds è invariante per trasformazione del parametro    (  ') .
La funzione di Lagrange per (3.22) è
Dalle equazioni di Eulero - Lagrange
segue
e che il membro di destra della (3.26) è nullo (in quanto la funzione di Lagrange non dipende
esplicitamente dalle coordinate x )
Eseguendo una trasformazione    (  ') si trova che L rimane costante lungo la linea di Universo.
Il parametro  in questo caso è detto parametro di affinità. In ogni caso si può parametrizzare la
linea di Universo della particella di prova mediante la lunghezza s =c cioè mediante il tempo
proprio della particella di prova. Vale dunque  = s, L=1 e dalla (3.27) segue
La moltiplicazione con la matrice inversa   della matrice  dà
Questa è l’equazione del moto per un moto con velocità uniforme lungo una linea retta (moto
rettilineo ed uniforme).
Le curve stremali lungo le quali avviene il moto della particella di prova si chiamano geodetiche.
Nello Spazio-Tempo di Minkowski le geodetiche sono rette quadri-dimensionali.
Le geodetiche di una particella libera sono di tipo tempo ( ds 2  0 ).
Fotoni ed altre particelle con massa nulla si muovono lungo geodetiche nulle ( ds 2  0 ). In questo
caso non si può usare il tempo proprio  come parametro , ma si costruisce  dalla relazione
dx / d   p dove p è il quadri-impulso.
Nella teoria della Relatività Generale, sulla base del principio di equivalenza (3.22) vi è un
principio variazionale per il moto delle particelle di prova.
44
Una particella libera si muove lungo una geodetica dello spazio-tempo. La funzione di Lagrange
(3.25) diventa ora
e dalle equazioni di Eulero-Lagrange si ha (con parametrizzazione affine tale che L = costante)
con
segue
dove
è il simbolo di Christoffel. Moltiplicando per il tensore metrico inverso g  e successivamente
scambiando    si ottiene la equazione delle geodetiche in Relatività Generale
con
3.3
CAMPO GRAVITAZIONALE SFERICAMENTE SIMMETRICO
Una metrica sfericamente simmetrica dipende dal tempo (t) e da una coordinata radiale (r).
Essa può anche essere una funzione delle coordinate angolari  e  ma solo nella combinazione
La forma più generale di una metrica sfericamente simmetrica è (vedi Shapiro & Teukolsky 1983,
cap. 5.6)
dove  e  sono funzioni qualunque di (t,r).
Nella teoria newtoniana: il campo gravitazionale in un punto qualunque esterno ad una
distribuzione sferica di massa dipende solo dalla massa contenuta nella sfera sottosante.
Assegnata una distribuzione di massa sfericamente simmetrica nella regione sottostante, il campo
gravitazionale esterno è statico ed è dato da   GM / r .
Entrambe queste proprietà valgono anche in Relatività Generale e sono note come il Teorema di
Birkoff: Un singolo campo gravitazionale sfericamente simmetrico nel vuoto è statico.
Esso è descritto dalla metrica di Schwarzschild
45
La costante M è il parametro della soluzione. Il significato di questa relazione si chiarisce con la
approssimazione di campo debole della metrica di Schwarzschild. Si consideri una particella di
prova in moto lento (v << c) entro un campo gravitazionale debole (   c 2 ). Per la componente
00 della metrica si trova (si veda Shapiro & Teukolsky 1983, cap. 5.4)
dove  è il potenziale gravitazionale newtoniano. Dall’uguaglianza con la approssimazione di
campo debole della metrica di Schwarzschild ( r  2GM / c 2 ) segue
ed anche
cioè il parametro M della metrica di Schwarzschild è la massa sorgente del campo gravitazionale.
Essa è misurabile, per esempio si può portare un satellite su un’orbita distante dalla sorgente del
campo e con l’aiuto delle leggi di Keplero si può misurare la massa gravitazionale.
La metrica di Schwarzschild è asintoticamente piatta.
Nella metrica di Schwarzschild, le coordinate hanno un immediato significato fisico:
-  e  sono le usuali coordinate polari di una 2-sfera (raggio r)
- La coordinata radiale r è definita dall’unica circonferenza di una 2-sfera con t e r costanti.
In corrispondenza la metrica su una 2-sfera dà per grandezze fisiche misurabili
e pertanto per l’unica circonferenza
- Per l’unica distanza fra 2 punti r1 e r2 su un raggio radiale si ha
-
3.4
La coordinata temporale t tende al tempo di Minkowski tMink per r  GM / c 2 , dove
t  tMink (in un campo gravitazionale il tempo scorre più lento).
STELLE SFERICHE ED EQUAZIONE DI TOLMAN-OPPENHEIMER-VOLKOV
La metrica (3.3) descrive anche il campo gravitazionale all’interno di una stella sferica.
46
In equilibrio idrostatico la funzione metrica  e  non dipendono dal tempo t.
La materia dentro la stella è un gas ideale con equazione di stato data da    ( n,s ) dove
   / c 2 , , n , ed s sono la densità di massa, la densità di energia totale, la densità numerica di
barioni e la entropia per barione, rispettivamente. Tutte queste grandezze sono misurate nel sistema
di coordinate scelto. Con l’aiuto della prima legge della Termodinamica la pressione è P = P(n,s).
Anche se il gas ideale è adiabatico (entropia costante nel tempo), in generale non è iso-entropico,
cioè la sua entropia non è dovunque la stessa. Nane Bianche fredde ( kBT  EF ) e Stelle di
Neutroni sono in buona approssimazione iso-entropiche ( s  0 ). In questo caso vale P =P(), cioè
la pressione è solo funzione della densità di massa.
Per derivare le equazioni di struttura stellare in Relatività Generale si definisce una nuova funzione
metrica m(r) tale che
Con la (3.33) e (3.35) si ottengono delle equazioni di campo
e
ovvero
Questa è la ben nota equazione di Tolman-Oppenheimer-Volkov, generalmente indicata come
Equazione TOV.
Si ritrova il limite newtoniano per P   c 2
e Gm/c 2  r
La funzione metrica m(r) viene anche interpretata come “ la massa entro il raggio r “ e
come la massa totale della stella. Questa ultima relazione garantisce che il coefficiente della
metrica della soluzione interna dolcemente si raccordi al corrispondente coefficiente della soluzione
di Schwarzschild esterna.
Nota: le grandezze m(r) e M contengono tutti i contributi alla massa gravitazione inclusa
l’energia gravitazionale di legame (negativa). Questa affermazione, che nella (3.40) non è
direttamente osservabile, diventa chiara se uno considera il volume proprio diverso da 4 r 2 dr
47
Pertanto la grandezza M nella equazione (3.40) non è solo la somma di tutti i contributi locali alla
massa, ma contiene anche il contributo globale della energia di legame gravitazionale della stella.
Le condizioni al contorno per la equazione di TOV
Esse sono nel centro
e alla superficie
dove P0 è la pressione centrale.
Soluzione della equazione TOV per  = costante
Nel caso di densità costante si deriva dalla (3.36) m( r )  4 / 3r 3  .
Introducendo nuove variabili
e
la forma della equazione TOV diventa
ovvero
ed infine
L’integrazione della (3.42) con le condizioni al contorno P(R) = 0 cioè (X) = 0 dove
dà
In centro (   0 ) si ha
48
Da questo deriva una condizione per X, cioè deve essere P0  
Per una stella incompressibile di massa M si deriva
cioè non esiste una soluzione statica delle equazioni di campo di Einstein se il raggio della stella
(sferica e incompressibile) è minore di 9/8 il suo raggio di Schwarzschild.
Raggio minimo dunque massima compattezza per le Stelle di Neutroni.
In generale: la condizione (3.43) vale per tutte le distribuzioni di densità (r) con d/dr < 0.
49
CAPITOLO 4
STELLE DI NEUTRONI E PULSARS
4.1 STORIA E SIGNIFICATO
Storia
1931 Chandrasekhar trova la massa massima delle nane Bianche M Ch  5.76Ye2 M 
1932 Chadwick scopre il neutrone: Landau inventa la stella di neutroni e calcola la massa massima
1934 Baade & Zwicky: suppongono l’esistenza delle stelle di neutroni nelle Supernovae
1939 Oppenheimer & Volkoff: primo modello di stella di neutroni
1967 Hewish et al. scoprono le radio-pulsars
1968 Gold: le pulsars sono stelle di neutroni rootanti; scoperta della Crab-pulsar nel resto di
supernova SNR1054
1969 Scoperta della Crab-pulsar nel visuale
1971 Scoperta delle pulsar-X con UHURU (ad esempio Her X-1); evidenza di stella di neutroni in
accrescimento in un sistema binario
1974 Hluse & Taylor scoprono la pulsar binaria PSR1913+16
1976 Trumpler et al: prima misra del campo magnetico di una stella di neutroni nella pulsar X Her
X-1
1982 Scoperta della prima ms- pulsar PSR1937+214 con periodo P=1.5578 ms
1987 Scoperta della prima ms-pulsar in un ammasso globulare (M28)
1992 Scoperta del primo pianeta extra-solare attorno alla ms-pulsar PSR1257+12
2000 Scoperta della stella di neutroni giovane (300 anni) nel resto di spernova CasA con
l’osservatorio X Chandra
Significato
Stadio finale dell’evoluzione di una stella massiccia ( M  8M  ) a seguito dell’esplosione di
supernova per collasso gravitazionale
Verosimilmente il risultato del collasso indotto per accrescimento di una Nana Bianca con massa
M  M Ch
Le stelle di neutroni permettono di studiare la materia a densità estreme (   2  1014 g/cm3 ) ed
estremi campi magnetici ( B  1013 Gauss)
Stella di neutroni in accrescimento
Esplosione termonucleare di una stella di neutroni (analogo alle classiche Novae)
50
Contribuiscono alla sorgente di radiazione stellare X nella Via Lattea ( L  1038 erg/s )
Radio-pulsars
Elettrodinamica delle pulsars, accelerazione di particelle relativistiche, generazione di radiazione
Le pulsars in un sistema binario sono un ideale laboratorio relativistico
Le ms-pulsars sono ideali per misurare il tempo, per migliorare le effemeridi etc…
4.2 MODELLI DI STELLA DI NEUTRONI
Un modello di stella di neutroni si ottiene dall’integrazione (numerica) della equazione TOV (3.39)
per una assegnata equazione di stato. Le proprietà del modello stellare (densità centrale, raggio,
massa, momento di inerzia, etc..) dipendono fortemente dalla equazione di stato.
Masse limite (massa gravitazionale, senza rotazione)
Massa minima
Esiste una massa minima per una stella di neutroni, in quanto nell’intervallo di densità
4  1011 g/cm3    7  1012 g/cm3 l’indice adiabatico è < 4/3 Pertanto l’indice adiabatico
medio in una stella di neutroni può essere minore di 4/3. La energia totale della stella è positiva e la
stella è instabile (vedasi il Teorema del Viriale 2.52).
Massa massima
Per un gas ideale di fermi composto di neutroni si ha M max  0.7M  (massa TOV), R( M max )  9.6
km e densità c  5  1015 g/cm3 .
M max dipende fortemente dalla equazione di stato. Ma per tutte le equazioni di stato realistiche
M max  3M 
Si può stabilire un limite superiore alla massa M max con l’aiuto delle seguenti condizioni (Rhoades
& Ruffini 1974, Phys. Rev Lett. 32, 324)
- La teoria della Relatività Generale è la corretta teoria della gravitazione
- Vale dp / d   0 , cioè la equazione di stato è microscopicamente stabile
- 0  dp / d   c 2 , cioè la casualità è assicurata
- La equazione di stato è nota per   0
La equazione di stato che rispetta queste condizioni e grazie alla quale la massa è massima ha la
forma
Integrando la equazione TOV (3.39) con questa equazione di stato per   0  4.6  1014 g/cm3
e quella di Harrison-Wheeler per   0 si trova
51
Se invece della equazione di stato di Harrison -Wheeler si usa quella di Bayn-Bethe per
  0  5  1014 g/cm3 si ottiene
Le due equazioni di stato che abbiamo ora ricordato verranno illustrate meglio più avanti.
Limite di massa assoluto dovuto alla RG
Si consideri una stella incompressibile senza la condizione che dP / d   c 2 , dalla (3.43)
e
ne segue (vedasi Weinberg 1972, Gravitation & Cosmology, Wiley NY)
ovvero
Equazione di stato
Riferimenti: Shapiro & Teukolsky, cap. 2 e 8; Lattimer & Prakash 2000, Physics Reports, 333-334,
121)
Il calcolo della equazione di stato (EOS) per le stelle di neutroni è complicato e in parte non chiarito
in quanto
- si copre un intervallo di densità di circa dieci ordini di grandezza (fina a 10 volte la densità
nucleare;
- si deve tener conto della dipendenza della densità da diversi tipi di particelle (n, p, e  ,
nuclei,   , 0 , iperoni, quarks);
- è implicata fisica parzialmente sconosciuta (con densità in media due o tre volte la densità
dei nuclei);
- si deve tener conto delle diverse interazioni fra le particelle (colombiana, debole e forte).
In pratica sono obbligatorie delle approssimazioni per i diversi intervalli di densità. Una revisione
della dipendenza della EOS dalla temperatura è importante solo quando si vuole trattare la
formazione di una stella di neutroni, altrimenti T  0 rappresenta una buona approssimazione.
1)   107 g/cm3
La EOS è come nel caso delle Nane Bianche fredde è dominata dalla pressione di Fermi di elettroni
degeneri non relativistici . Gli ioni (nuclei atomici) positivi che garantiscono sono ordinati in un
reticolo Coulombiano.
Se la materia si trova nello stato fondamentale, cioè se la energia per cambiamento di composizione
a seguito di processi deboli ed elettromagnetici non può essere abbassata (equilibrio nucleare), 2656 Fe
è il nucleo di equilibrio.
52
2) 107 g/cm3    4.3  1011 g/cm3
La EOS contiene una miscela di elettroni, nucleoni liberi (n,p) e nuclei (A,Z).
Il decadimento b-inverso ( e  p  n   ) è energeticamente possibile se   crit
cioè se
EF  M A ( A,Z  1 )  M A ( A,Z ) ovvero se la energia di Fermi è maggiore della differenza di massa
dei nuclei coinvolti (si veda capitolo 2.4). Si vede che la reazione inversa ( n  p  e   ) a
causa della degenerazione degli elettroni non è possibile (blocco dello spazio delle fasi).
Correzioni coulombiane. Queste sono necessarie. Infatti la carica positiva non è uniformemente
distribuita, ma è concentrata nei nuclei di carica Z. Questo riduce la energia e la pressione degli
elettroni circostanti: gli elettroni sono respinti nel mezzo di nuclei ed elettroni, la repulsione è
piccola come la attrazione.
La composizione è stabilita dalle reazioni di equilibrio
(   0 in quanto i neutrini possono sfuggire) e la neutralità della carica
I potenziali chimici dei nucleoni sono derivati dalla massa M(A,Z) e il potenziale chimico degli
elettroni dalla teoria del gas di Fermi.
Reazioni all’equilibrio e neutralità della carica fissano il nucleo (A,Z) energeticamente più
favorevole (all’equilibrio) e pertanto la EOS (si veda cap. 4.1)
- Harrison-Wheeler EOS (HW): masse dei nuclei M A ( A,Z ) dal modello di Tropfchen.
- Baym, Pertrick & Sutherland EOS (BPS): come HW, ma con migliori masse e calcolo
dell’energia del reticolo colombiano.
Per   drp  4.3 1011 g/cm3 attraverso il decadimento -inverso vengono liberati dei neutroni
(ciò è energeticamente favorevole in quanto la loro presenza serve ad aumentare il legame). Questo
processo si chiama neutron drip e rende la EOS debole, ovvero abbassa l’indice adiabatico  (si
veda cap. 4.2).
3) 4.3  1011 g/cm3    5  1014 g/cm3
La composizione e data da elettroni (liberi) neutroni e nuclei (A,Z) ricchi di neutroni. I nuclei sono
strutturati in un reticolo colombiano (BCC). Al crescere della densità, la densità numerica di
neutroni liberi aumenta e quella degli elettroni diminuisce. Si instaura la degenerazione dei neutroni
(la degenerazione non è relativistica in quanto EFn  mn c 2 ) e quella degli elettroni decresce. Il
contributo alla pressione alla fine diventa trascurabile. A   2  1012 g/cm3 il contributo del
nuclei diventa pur trascurabile in quanto i neutroni liberi dominano la pressione. Il reticolo
coulombiano si scioglie ma i nuclei continuano ad esistere fino a   nuc  2.8  1014 g/cm3 . Al
crescere ulteriormente della densità sopra nuc anche i nuclei si sciolgono. Per densità   2 nuc la
equazione di stato è sconosciuta.
Modello: Baym, Bethe & Pethik (BBP-EOS) usano una modello di massa M A ( A,Z ) simile al
modello di Trofchen (goccia di liquido compressibile) tenendo in considerazione i risultati
dettagliati di calcoli con molte particelle (in particolare la diminuzione dei termini di superficie a
causa dell’effetto dei neutroni liberi). La BBP-EOS è applicabile fino a   5  1014 g/cm3 . Un
53
FIGURA. 4.1: Equazione di stato sotto il
neutron-drip:
Chandrasekhar; gas di elettroni,
FMT (Fermi-Metropolis-Teller),
HW (Harrison-Wheeler),
BPS (Bethe-Pethick-Sutherland),
n-p-e ( gas ideale di neutroni, protoni ed
elettroni ) e BBP (Bethe-Baym-Pethick).
Per la EOS di Chandrasekhar si è preso e =
56/26 (Figura. 2.2 di Shapiro & Teukolsky)
FIGURA
4.2:
Indice
adiabatico
  ( d ln P / d ln  ) in funzione della densità
per le EOS mostrate in Figura 4.1 (Figura 2.3 di
Shapiro & Teukolsky).
54
risultato importante contenuto nella
4  1011 g/cm3    7  1012 g/cm3 .
BBP-EOS
è
che

<
4/3
nell’intervallo
Problema. Per   nuc la materia adronica compare come un gas di adroni, che interagiscono in
modo forte fra di loro. La componente dominante della pressione è l’interazione forte nucleonenucleone. E’ necessaria una diversa trattazione della EOS in quanto bisogna includere la interazione
fra i nucleoni (teorie non relativistiche a molti corpi o teorie relativistiche di campo).
4)   5  104 g/cm3
Non esistono più i nuclei. I nucleoni sono degeneri relativisticamente: pFN  mN c 2 . Compaiono
nuove particelle (X), molto verosimilmente mesoni (   ) e iperoni ( ,0 , , 0 , ), in quanto
EFN  mX c 2 . Modello: Bethe & Johnson (BJ-EOS) propongono un potenziale di interazione che è
una derivazione del potenziale di Yukawa (con parametri basati su dati sperimentali).
Indubbiamente gli esperimenti non danno informazioni precise sull’interazioni a cortissima distanza
(<0.25 fm).
5) Problemi aperti per   nuc
Soppressione dei processi di scambio pionico in materia nucleare più densa (situazione virtuale NN,
N,  dove  è la risonanza delta dei nucleoni a E=1236 Mev) rendono la EOS più “dura”.
Produzione di mesoni   attraverso la n  p    (se n   p  m  c2  139.6Mev ) possono
rendere la EOS debole. C’è indizio che tale effetto si presenti a   2 nuc .
Comparsa di condensati Bose - Einstein di pioni con spin nullo per temperature tendenti a zero.
Poiché tali condensati si formano da un gran numero di bosoni con diminuzione della energia
cinetica, questi bosoni non contribuiscono alla pressione e pertanto indeboliscono la EOS.
Secondo l’opinione attuale i nucleoni hanno un raggio di circa 0.5 fm e sono circondati da una
nuvola di mesoni, per cui il raggio viene circa raddoppiato. Alla densità nucleare la distanza media
fra nucleoni è circa 2fm e pertanto le nuvole mesoniche non si sovrappongono. A circa 6 volte la
densità nucleare   1.6  1015 g/cm3 le nuvole mesoniche si sovrappongono, così che deve essere
tenuto conto dell’ interazione fra singoli mesoni. In queste condizioni la materia adronica è come
un fluido composto da nucleoni, leptoni e mesoni. All’aumentare ancora della densità si trova una
transizione di fase della materia adronica in un plasma di quark e gluoni. La densità a cui avviene
la transizione di fase non è ancora sicura ( Q  ( 5  8 ) nuc ).
I nucleoni sono composti da 3 quarks di valenza e i mesoni da coppie quark-antiquark. La loro
struttura interna è descritta dalla Cromo-Dinamica Quantistica. Nel centro di una stella di
neutroni, protoni e neutroni sono così compressi che può instaurarsi un Mare di quarks (libertà
asintotica dell’interazione forte alle alte densità). Quando una singola, normale componente di
quark (solo quarks u e d) compare nel centro, i quarks u e d possono trasformarsi in quarks strani
(s) attraverso l’ interazione debole, i quali posseggono una piccola massa. Con questi processi i
neutroni liberi sono assorbiti e la stella di neutroni si trasforma (fino alla sua crosta che non
contiene neutroni liberi) in una Stella di quarks strani (s).
55
Un dettagliato confronto fra le diverse equazioni di stato delle stelle di neutroni è stato presentato da
Arnett & Bowers (Ap. J. Suppl. 1977, 33, 415) e riportato nelle Figure. 4.5 e 4.7. In queste Figure
la massa barionica M A è definita come
e la massa gravitazionale come
dove m(r) è la funzione metrica della equazione di TOV (3.35), R è il raggio della stella di neutroni
e n(r) la densità numerica di barioni.
Struttura
Le stelle di neutroni hanno una struttura a cipolla (Figura 4.8)
La crosta esterna racchiude un reticolo di ioni nuclei atomici completamente ionizzati e un gas di
elettroni degeneri. Essa è spessa circa cento metri. La densità nella crosta esterna cresce verso
l’interno. Essa raggiunge il valore di 3  1011 g/cm3 e i neutroni sgocciolano dai nuclei (neutron
drip). Sotto vi è la crosta interna contenente nuclei pesanti, elettroni degeneri e neutroni. Essa è
spessa circa un km. Ancora più all’internò nella stella di neutroni la materia si trova cosi
densamente compatta che i neutroni diventano un fluido assieme ad piccolo residuo di elettroni,
protoni superconduttori e muoni. Questo superfluido di neutroni contiene la maggio parte della
massa della stella. Nel vero centro della stella le condizioni fisiche della materia diventano ancora
più esotiche. La densità è salita a circa dieci volte la densità nucleare e i quarks elementi costitutivi
dei neutroni diventano liberi. Il centro di una stella di neutroni di 2M  potrebbe essere fatto di
quarks.
56
FIGURA 4.3: Masse „osservate“ di stelle di
neutroni appartenenti a sistemi binari con
radio-pulsars (Thorsett & Chakrabarty,
Astrophys. J., 512 (1999), 288). Vi sono 5
sistemi binari NS-NS (in alto), 8 sistemi
binari NS-WD (in mezzo) e solo 1 sistema
NS- stella di sequenza principale. Le barre
di errore danno il livello di confidenza del
68% e le linee verticali mostrano il valore
M = 1:35  0:04Mo.
FIGURA 4.4: Masse „osservate“ di
stelle di neutroni e Buchi Neri
(Charles, 1998, astro-ph/9806217
und Theory of Black Hole Accretion
Disks, CUP, p.1). Si nota la stretta
distribuzione in massa delle stele di
neutroni. Tutte le masse dei Buchi
Neri misurate stanno sopra il limite
canonico della massa massima delle
stelle di neutroni di circa 3:2Mo
(linea tratteggiata verticale).
57
FIGURA 4.5: Masse barioniche (sinistra) e FIGURA 4.6:
Relazione fra massa
gravitazionali (destra) in funzione della densità gravitazionale e raggio per alcune EOS di stelle
per diverse EOS (Figure da 7 a 10 di Arnett & di (Figura 11 di Arnett & Bowers, 1977).
Bowers, 1977).
58
FIGURA 4.7: Profilo di densità (scala a sinistra) e profilo di
massa (scala a destra) di una stella di neutroni fredda in
funzione del raggio per la EOS B (Reid soft core con ridotta
interazione iperone-iperone da Arnett & Bowers 1977) per tre
diversi valori della densità centrale. I valori lungo le curve
danno logc. Le linee lungo la scala di destra (fra 0.8 <
m(r)/M < 0.9) indicano per ogni modello la regione della
massa della stella di neutroni c > 10^15 g/cm^3. Lungo la
scala di sinistra è indicata la densità nucleare (Figura 6 di
Arnett & Bowers, 1977).
59
FIGURA 4.8: Struttura schematica di una stella di neutroni e di
altre ipotetiche stelle compatte (gentilmente concessa da
FridolinWeber, Univ. Notre Dame, USA).
4.3 NASCITA DI UNA STELLA DI NEUTRONI
Collasso del nucleo (Figura 4.9)
La stella alla fine della sua storia termonucleare ho acquistato una struttura a cipolla con opportuna
composizione. Le tipiche condizioni nel centro del nucleo di Fe-Ni sono c  1010 g/cm3 ,
Tc  1010 K, M c  M Ch ,  coll   dyn   1 / 2  1 msec. Fintanto che   3  1012 g/cm3 : le interazioni
forti ed elettromagnetiche sono in equilibrio; la interazione debole non è in equilibrio e i  e ' s in
pratica sono liberi di sfuggire.
e  -cattura su protoni liberi: e   p  n   e
Effetti *** inducono la cattura di elettroni da parte di protoni legati nei nuclei ricchi di neutroni
 Ye  .
Quando   3 1013 g/cm3   diff   coll
Neutrino trapping: i  e ' s sono catturati durante in collasso del nucleo; n   e ' s
diventano degeneri.
La materia ora si trova in equilibrio- e pertanto vale la condizioni fra i potenziali
chimici e   p   n   e .
60
Idrodinamica
Il nucleo di Fe si separa in due parti : il nucleo interno in collasso omologo ( v  r ), nel quale la
materia è in contatto sonico ( | v | cs ) e la cui massa è M IC  M Ch (Ye ) ;
il nucleo esterno in
caduta libera ( | v | cs ). Per   2  1014 g/cm3 si ha   d ln p / d ln  |S  4 / 3 , cioè i leptoni
relativistici ( e  , e ) dominano la pressione fino all’intervallo della densità della materia nucleare.
Per   2  1014 g/cm3 si ha   2.5 cioè la materia diventa incompressibile: il collasso si arresta
quando   nuc (bounce del nucleo). Al bordo del nucleo interno si instaura un’onda di
compressione (onda d’urto) verso l’esterno
Energetica
Viene liberata energia di legame gravitazionale
di cui circa 99% e’ in neutrini,  102  1051 erg nell’energia cinetica dell’onda d’urto, e
 104  1049 erg in radiazione elettromagnetica.
Prompte explosion e sviluppo dell’onda d’urto (Figura 4.10)
La energia iniziale dell’onda d’urto (Stosswelle) è circa pari all’energia cinetica del nucleo in
collasso omologo meno l’energia del bounce. Le simulazioni idrodinamiche danno indicato che
L’onda d’urto dissipa la sua energia attraverso la foto-dissociazione del nucleo di Ferro in nucleoni
liberi e particelle 
L’onda d’urto sopravvive (energeticamente) su un intervallo di massa dato
La “ prompte explosion” può avvenire se
cioè se la massa iniziale del nucleo di Fe è sufficientemente piccola e l’onda d’urto riesce a
raggiungere gli strati esterni al nucleo.
Difetto del modello prompte explosion
L’ interazione dei neutrini che sfuggono dal nucleo (per diffusione e/o convezione) con gli strati
sovrastanti non sembra essere sufficiente!
61
FIGURA 4.9: Core-Collapse Supernova: Nucleo
prima del collasso (sopra) e allo stadio della
cattura dei neutrini (sotto).
62
FIGURA 4.10:
Core-Collapse Supernova:
Bounce e formazione dell’onda d’urto (sopra);
Propagazione dell’onda d’urto e burst di neutrini
(sotto).
63
FIGURA 4.11: Core-Collapse Supernova:
Stagnazione dell’onda d’urto e riscaldamento da
neutrini (sopra); Raffreddamento dei neutrini e
vento causato dai neutrini (sotto).
64
Esplosione ritardata (Figure 4.11 e 4.12)
I neutrini sfuggono dal nucleo otticamente spesso con una scala di tempo di circa 1 s tramite
processi diffusivi e/o convettivi e depositano in circa 100 ms circa 1% della loro energia nello
strato tra la neutrino sfera (analogo della fotosfera) e l’onda d’urto. Questo (i) fa aumentare la
pressione e quindi espandere lo strato e (ii) forma una zona di minore densità e maggio temperatura
(hot bubble).
Il gas in questa zona si raffredda attraverso le perdite di neutrini
e si riscalda attraverso i neutrini energetici provenienti dal nucleo attraverso i processi inversi
Problemi:
- La opacità dei neutrini nel plasma denso e correlato;
- Trattazione del trasporto di neutrini: fermioni (blocking), diverse specie di neutrini
(trasporto multi-flavour); risultati fortemente dipendenti da energia e angolo (multi-group,
multi-angle transport)  estreme perdite Boltzmann (perdite radiative) difficili da trattare.
-
La proto stella di neutroni e la bolla riscaldata dai neutrini sono convettivamente instabili; le
osservazioni di supernova mostrano processi di mescolamento e disomogeneità su grande
scala che si instaurano durante l’esplosione  sono indispensabili simulazioni multidimensionali.
Il meccanismo di esplosione ritardata in linea di principio dovrebbe funzionare, ma quando e
come in concreto una stella esploda non è chiaro!
Se avviene l’esplosione, circa 5-50 s dopo il collasso si forma una proto stella di neutroni con circa
1010 K (  1 Mev) che si raffredda per emissione di neutrini ed è osservabile dal flusso di neutrini.
Quando kBT  1 Mev la proto stella di neutroni diventa così fredda (energia di Fermi dei neutroni
di circa 100 Mev) che i neutroni diventano superfluidi (gap-energy di circa 1 Mev). E’ nata una
stella di neutroni.
4.4 STELLE DI NEUTRONI ROTANTI E PULSARS
I periodi di rotazione osservati nelle stelle di neutroni ovvero pulsars (Figura 4.14) stanno fra molti
secondi e 1.56 msec (PSR1937+21).
Descrizione
La descrizione (in relatività generale) delle stelle di neutroni rotanti è sostanzialmente diversa da
quella del caso non rotante. I tre fondamenti sono:
65
Bisogna includere le deformazioni dovute alla rotazione (al Polo nulla e all’equatore massima). La
funzione metrica dipende dalla coordinata angolare  .
La rotazione può stabilizzare la stella rispetto al collasso, la stella di neutroni rotante può avere una
massa maggiore della corrispondente non rotante. La massa totale comporta un corrispondente
cambiamento dello Spazio-Tempo. Gli elementi di linea dipendono dalla frequenza di rotazione
della stella di neutroni.
Le stelle di neutroni rotanti trascinano con se lo Spazio-Tempo: trascinamento del sistema di
riferimento locale.
Gli elementi di linea contengono generalmente dei termini non diagonali g t .
E’ implicito un vincolo di consistenza per le equazioni di struttura: una stella di neutroni che ruoti
con frequenza  , sarà deformata dalla rotazione e trascinerà a sua volta in rotazione il sistema
inerziale di riferimento con velocità angolare ( r, , ) dipendente dalla posizione.
In coordinate sferiche, gli elementi di linea di una configurazione stazionaria, assialmente
simmetrica sono
dove ognuna delle quattro funzioni metriche , ,  e  dipende esplicitamente dalla coordinata
radiale r ed angolo polare  ed implicitamente dalla velocità angolare  (costante) della
configurazione. La grandezza ausiliaria  descrive la velocità angolare del sistema inerziale
locale e dipende anche esplicitamente da r e  ed implicitamente da .
La velocità angolare relativa ( r, , )    ( r, , ) determina la grandezza della forza
centrifuga, la quale come nella teoria newtoniana anche nella teoria di Einstein è data dal tasso di
rotazione degli elementi di fluido rispetto al sistema inerziale locale.
Il modello relativistico di stelle di neutroni in rotazione lenta con   K ( R ) (velocità
kepleriana) è stata sviluppato da Hartle & Thorne sin dal 1968 (ApJ 153, 807). Nella loro
approssimazione analitica la metrica è scritta come una perturbazione della metrica di
Schwarzschild: Questa contiene tre parametri: la massa totale M, il momento angolare
J*  k 2 MR*2 * , con k=0.4 e il momento di Quadrupolo Q* .
Nel caso di una stella di neutroni in rapida rotazione bisogna risolvere le equazioni di Einstein con i
coefficienti della metrica calcolati numericamente. Una descrizione dettagliata del modello
relativistico di stelle di neutroni rotanti si può trovare nel libro di Weber “ Pulsars as astrophysical
laboratories for nuclear and particle physics, Inst. of Physics, 1999) .
Condizioni sulle stelle di neutroni rotanti
Zona interna (analoga al caso non rotante)
Vale la teoria della Relatività Generale
0  dP / d   c 2 per garantire stabilità e causalità
La EOS per alta densità si raccorda a quella conosciuta per bassa densità come ad esempio in
BPS-EOS.
66
FIGURA 4.12: Simulazione idrodinamica del collasso
In simmetria sferica di una stella di M = 15Mo. La figura
Mostra la variazione del raggio di alcune shells di massa
Dall’inizio del collasso fino a circa 0.5 sec dopo il bounce.
La posizione dell’onda d’urto è indicata dalla linea rossa,
quella della neutrino-sfera dalla curva tratteggiata. Le shells
di massa in arancio, blu e verde sono i bordi esterni del nucleo
di ferro, della shell di Si,e della shell di Ne all’inizio del
collasso (Rampp & Janka, Astrophys. J. Lett. 2000, 539, L33).
67
FIGURA 4.13: Zona convettiva nel centro di una supernova circa 0.1 sec dopo la nascita
dell’orda d’urto. La stella di neutroni nel centro ha un raggio di circa 50 km. Il fronte
d’urto al bordo esterno ha circa 300 km.
68
Con la massa corrente delle stelle di neutroni si hanno periodi di rotazione minimi con valori di
circa 0.5 msec.
Stabilità contro la forza centrifuga
La eguaglianza fra forza centrifuga e forza gravitazionale deve dare
Le stelle di neutroni sono dinamicamente e secolarmente stabili rispetto alle deformazioni triassiali
(pertanto non a simmetria assiale) quando queste danno luogo all’emissione di onde gravitazionali
(ampiezza h  Q ), le quali portano via l’energia rotazionale e il momento angolare della stella di
neutroni.
I criteri di cui sopra non sono esattamente conosciuti nella teoria della Relatività Generale. Per un
politropo di indice n in meccanica newtoniana vale il seguente criterio di stabilità con  dato dal
rapporto fra l’energia rotazionale e quella di legame gravitazionale:
1
3 GM 2 1  0.26 per la stabilità dinamica 
  I 2 (
) 

2
5n R
 0.24 per la stabilità secolare 
dove I è il momento di inerzia.
In una stella di neutroni con EOS dura la densità è circa costante (ovvero n  0 ), pertanto
2 R3  0.8 per la stabilità dinamica 


GM
 0.4 per la stabilità secolare 
ovvero quando si vuole soddisfare la stabilità secolare (criterio più forte) contro le deformazioni
triassiali il periodo di rotazione deve soddisfare alla condizione
Per una stella di neutroni con M  1M  e una EOS dura si trova R  15 km, ovvero Pmin  1.3
msec. Ad esempio la pulsar più veloce fino ad ora PSR1937+21 con P = 1.558 sec, la quale è
secolarmente e dinamicamente stabile.
Ulteriori risultati di carattere generale
La rotazione veloce aumenta la massa limite di circa il 20% (Figura 4.15).
Stelle di neutroni con massa critica (raggio minimo) possono ruotare velocemente.
Attraverso la deformazione triassiale una stella di neutroni rapidamente perde energia rotazionale e
momento angolare con l’emissione di onde gravitazionali; in seguito mantiene fisso il periodo di
rotazione e ruota più lentamente.
Il periodo di rotazione minimo di una stella di neutroni con EOS dura è attorno a 1 msec. Con una
EOS debole the stelle di neutroni ruotano alquanto più velocemente senza distruggersi.
69
FIGURA 4.14: Distribuzione osservata dei periodi delle
pulsars.
FIGURA 4.15: Massa gravitazionale in funzione densità di
energia totale (sinistra) e del raggio equatoriale (destra) per
sequenze di modelli di stelle di neutroni con massa a riposo
costante (massa dei barioni) e per una EOS di moderata durezza.
Le sequenze scelte sono indicate con il valore della massa a riposo
corrispondente. La linea punteggiata indica il bordo della regione,
dove la forza centrifuga inizia a far perdere massa. Le linee
approssimativamente parallele mostrano il confine del caso statico
(niente rotazione) (Cook, Shapiro & Teukolsky, 1994, Astrophys.
J. 424, 823).
70
FIGURA 4.16: Relazione fra campo magnetico e Periodo nelle
Pulsars (Glendenning, 1998, Nuclear Physics A638, 239).
Pulsars e loro evoluzione
Le pulsars osservate si possono raggruppare in due classi (vedi Figura 4.14): le pulsars normali
(circa 800) con periodo di rotazione compreso fra 0.03 sec e 8 sec e le millisecond-pulsars (circa
50) con periodi di rotazione fra 1.5 msec e 30 msec. Ciò significa che le pulsars nascono come
pulsars normali e poi dopo lungo tempo diventano millisecond-pulsars.
Il nucleo in rotazione di una stella massiccia collassa a stella di neutroni. La conservazione del
momento angolare fa ruotare la stella di neutroni appena formata e a causa del grande conducibilità
elettrica del plasma nel nucleo a causa della conservazione del flusso magnetico si forma un campo
magnetico molto intenso B  1012 Gauss (il cosiddetto magnete può anche generare campi
magnetici fino a B  1014 Gauss .
Una stella di neutroni giovane è un dipolo magnetico in rotazione che emette radiazione
elettromagnetica.
Questa stella di neutroni rotante e magnetizzata viene osservata come pulsar quando la radiazione
elettromagnetica direzionale emessa arriva sulla terra ad ogni periodo di rotazione.
71
La stella di neutroni perde energia per emissione energia che viene estratta dalla energia
rotazionale. A causa di ciò la stella diventerà più lenta al trascorrere del tempo, il periodo di
rotazione si allunga con P  1015 sec/sec . L’energia di rotazione è sufficiente a che la stella di
neutroni si mostri come pulsar normale attiva per circa 107 anni.
Nel Diagramma Periodo –Campo Magnetico la stella di neutroni a causa della perdita di momento
angolare per emissione si sposta da sinistra verso destra (Figura 4.16). Essa cessa di essere una
pulsar attiva, quando per una data combinazione di periodo di rotazione e campo magnetico essa
supera un valore limite.
Mediante accrescimento di massa e di momento angolare da una stella vicina (o presente dall’inizio
o catturata in seguito) la pulsar incomincia a ruotare più velocemente (spin up). Durante la fase di
accrescimento il campo magnetico della pulsar si riduce per dissipazione ohmica. Nel diagramma
Campo-Magnetico- Periodo (Figura 4.16) la pulsar si sposta nuovamente da destra verso sinistra.
A questo punto la pulsar può diventare una millisecond-pulsars: essa può nuovamente irradiare in
quanto il suo campo magnetico più debole è compensato dalla rotazione più veloce. Poiché il campo
magnetico è ora più debole ( B  108 Gauss ), anche il rallentamento diventa molto più lento
P  1019 sec/sec . La scala di tempo di rallentamento caratteristica  c  P /( 2 P ) è di circa 109
anni.
Le pulsars millisecond sono degli orologi molto precisi.
72
CAPITOLO 5
BUCHI NERI
Nei capitoli precedenti abbiamo visto che sia per la Nane Bianche che per le Stelle di Neutroni
esiste una massa massima. Cosa succede ad un nucleo in collasso se la sua massa è maggiore della
massa massima di una stella di neutroni? La teoria della Relatività Generale afferma che in questo
caso il collasso è inarrestabile e che si forma un Buco Nero. Un Buco Nero è una regione limitata
dello Spazio-Tempo che è casualmente escluso dal mondo esterno. Il limite della regione è
chiamato superficie del Buco Nero ovvero Orizzonte degli Eventi. Si può immaginare che la
soluzione delle equazioni di campo di Einstein, che descrivono il Buco Nero sia molto complicata ,
in quanto il buco nero si forma da stelle con diverse distribuzioni di densità struttura (varie
componenti, campo magnetico, momento angolare). E’ un compito molto difficile ottenere le
soluzioni generali per un buco nero stazionario.
La metrica generale di un corpo nero stazionario, chiamata anche metrica di Kerr-Newman dipende
da tre parametri: la massa M, il momento angolare J e la carica elettrica Q. Casi speciali sono: la
metrica di Kerr (Q=0), la metrica di Reissner-Nordstrom (J=0) e la metrica di Schwarzschild
(J=Q=0).
I corpi astrofisica carichi vengono di solito rapidamente neutralizzati e pertanto il corpo nero carico
è di scarso interesse astrofisica. Nel seguito prederemo sempre Q=0.
Attenzione: nel corso di questo capitolo faremo uso delle Unità Geometriche G=c=1. Pertanto il
tempo e la massa sono espressi in cm: 1 sec = 3  1010 cm (fattore c in unità cgs), 1 g
= 0.7425  10 -28 cm (fattore G / c 2 in unità cgs), altra quantità importante M   1.4766 km.
5.1 BUCO NERO NON ROTANTE
La metrica di Schwarzschild per un buco nero non rotante, statico, sferico (si veda la equazione
(3.34) tenendo conto della notazione diversa dovuta alla diversa interpretazione fisica delle
coordinate) è data da
73
con d 2  d 2  sin2  d . L’orizzonte degli eventi della metrica è data da r = 2M. Si chiama
anche limite statico in quanto per r < 2M non può esistere un osservatore statico.
Un osservatore statico, cioè un osservatore con coordinate solidali ( r , , ), misura in tale campo
gravitazionale il tempo proprio (fisico)
ovvero
dove dt è l’intervallo di tempo delle coordinate (o metrico). Questo è la dilatazione temporale
discussa nel capitolo o spostamento gravitazionale verso il rosso di un orologio in un campo
gravitazionale rispetto ad un orologio all’infinito (d< dt) .
Esiste una singolarità nella metrica di Schwarzschild a r = 2M ?
Per r  2M (da r > 2M) dt , cioè gli orologi sembro rallentare all’orizzonte degli eventi.
Un fotone radiale ( ds 2  d 2  d 2  0 ) si sposta con velocità nel sistema delle coordinate (in
unità di c)
per r  2M si ha dr/dt  0, cioè i fotoni sembrano rallentare. Certamente quello che ha
importanza è la velocità fisica dei fotoni, in quanto anche a r = 2M deve essere
Questo e la condizione che il determinante della metrica det( g )  r 4 sin2  sia regolare anche a
r = 2M, ci fa comprendere che la singolarità posseduta dalla metrica g rr a r = 2M è solo una
deficienza della scelta delle coordinate, cioè è una singolarità delle coordinate non fisica.
L’orizzonte degli eventi della metrica di Schwarzschild è una iper-superficie nulla ( g rr |r  2 M  0 ),
la quale divide lo Spazio-Tempo in due componenti non correlate fra di loro
I. 2M  r  
II. 0  r  2M
All’interno della regione I la coordinata t  x 0 è di tipo tempo ( g 00  0 ) e la coordinata r  x1 è di
tipo spazio ( g11  0 ). All’interno della regione II le coordinate t e r si scambiano i ruoli, cioè la
coordinata t è di tipo spazio e la coordinata r è di tipo tempo. Da questo segue che la topologia della
metrica di Schwarzschild non è euclidea.
74
Una tecnica efficace per l’interpretazione delle soluzioni dell’equazioni di campo di Einstein in
generale e della metrica di Schwarzschild in particolare è l’esame della struttura dei coni di luce nel
futuro.
Definizione: Un locale cono di luce nel futuro è l’origine di tutti i punti x a  dx a nelle vicinanze
del punto x a con
La struttura dei coni di luce confina i possibili movimenti futuri di un osservatore: solo
spostamenti di tipo spazio e di tipo tempo sono possibili, ovvero le direzioni dei moti possibili
devono stare all’interno del cono di luce.
I coni di luce di una metrica si possono rappresentare sotto forma di Diagrammi Spazio-Tempo.
Dato che questi portano a rappresentazioni quadri-dimensionali, nella rappresentazione concreta
(soprattutto in presenza di simmetrie) viene usata solo una dimensione spaziale l massimo due
(Figura 5.1). L’asse temporale nel Diagramma Spazio-Tempo è usualmente l’asse verticale.
In uno Spazio-Tempo curvo la curvatura dello Spazio-Tempo si mostra anche in tali diagrammi in
quanto i coni di luce sono distorti o estesi e girati ed inclinati lungo diverse direzioni.
Per interpretare la metrica di Schwarzschild introduciamo la classe delle geodetiche radiali nulle
(un punto sopra una grandezza significa derivazione della grandezza rispetto al parametro affine 
si veda la equazione (3.24) )
Da questo segue la equazione differenziale (d’Inverno, capitolo 16.4)
FIGURA 5.1: Diagramma Spazio-Tempo di un segnale
luminoso emesso da un punto O, dove sono mostrate due
(sinistra) o una dimensione spaziale (d`Inverno, cap. 16.5
e 16.6).
Integrando si ottiene
75
dove il segno + (-) indica geodetiche radiali nulle dirette verso l’esterno (interno). La
trasformazione t  t scambia una geodetica verso l’esterno con una verso l’interno.
Diagramma dello Spazio-Tempo della soluzione di Schwarzschild in coordinate di
Schwarzschild (Figura 5.2)
Di questo diagramma si possono mettere in evidenza le seguenti proprietà:
Le geodetiche nulle a r   formano un angolo di 45 gradi con l’asse delle coordinate (piattezza
asintotica della metrica.
Un osservatore all’interno della regione II non può restare in quiete. Esso deve muoversi in
direzione della singolarità intrinseca (lo scalare di Ricci, equazione (3.20), R  48M 2 / r 6 diverge)
a r = 0 . (Dato che il tempo proprio lungo una geodetica è massimo un osservatore avvicinandosi
alla singolarità non può muoversi perché subito la sua vita sarebbe più corta !)
Il diagramma sembra suggerire che un osservatore all’interno della regione I che si muova verso
l’origine (del campo o i altre parole verso il buco nero) percepisca il tempo allungarsi sempre più
man mano che si avvicina a r =2M. Lo stesso sembra valere anche per i raggi di luce. Come si
vedrà nella prossima sezione, questo è certamente un controsenso!
FIGURA 5.2: Diagramma Spazio-Tempo della soluzione di
Schwarzschild nelle coordinate Schwarzschild, e dove sono
Mostrate due dimensioni spaziali (d`Inverno, cap. 16.7).
76
Diagramma dello Spazio-Tempo della soluzione di Schwarzschild nelle coordinate di
Eddington- Finkelstein (Figura 5.3)
Si adotti un nuovo sistema di coordinate, nel quale le geodetiche radiali nulle siano dirette verso
l’interno (o verso l’esterno). Per una geodetica puntata verso l’interno si applichi la trasformazione
e si prenda come equazione della geodetica
oppure con una nuova ordinata nulla (parametro temporale avanzato)
Questa è una linea retta, che forma con l’asse x un angolo di 45 gradi.
Differenziando la (5.5) si trova
e con la sostituzione di dt nell’elemento di linea (5.1) si ha l’elemento di linea di EddingtonFinkelstein
L’elemento di linea è regolare a r = 2M. Con ciò, la trasformazione (5.5) estende, in un modo ben
preciso, l’intervallo delle coordinate da 2M < r <  a 0 < r <  . Questo è molto simile alla
analitica estensione di una funzione nell’analisi complessa e pertanto la (5.8) è chiamata
prolungamento analitico della (5.1).
La (5.8) può essere scritta in maniera più semplice col prevedere il parametro temporale avanzato v
Le geodetiche radiali nulle rivolte verso l’interno sono con v = costante.
Orizzonte degli eventi
Dalla Figura 5.3 si capisce che la iper-superficie r = 2M funziona come una membrana semipermeabile che lascia passare le curve nulle di tipo tempo dirette verso il futuro solo da fuori
(regione I) a dentro (regione II). Al contrario nessuna curva nulla di tipo tempo diretta verso il
futuro può passare dalla regione II alla regione I. Per questo motivo la iper-superficie r = 2M è
chiamata orizzonte degli eventi. In quanto pone un confine, quello che per principio può essere
osservato da un osservatore esterno. L’orizzonte degli eventi pone un confine assoluto in quanto
tutti gli eventi interni sono preclusi ad ogni osservatore esterno.
Collasso sfericamente simmetrico verso un buco nero
La metrica di Schwarzschild è valida nel vuoto circostante una distribuzione di materia con
simmetrica sferica. All’interno di stella a simmetria sferica, il cui raggio R* sia maggiore del
raggio di Schwarzschild RS , vale la soluzione interna di Schwarzschild non singolare
77
dove m(r) è una funzione di r che tende a zero più rapidamente di r (con m( R* )  M ). Pertanto
esiste anche la soluzione di Schwarzschild completa (esterna + interna) di una stella a simmetria
sferica senza singolarità fintanto che R*  RS .
FIGURA 5.3: Diagramma Spazio-Tempo della soluzione di Schwarzschild
Nelle coordinate di Eddington-Finkelstein, dove sono mostrate due dimensioni
Spaziali ( d`Inverno, cap. 16.10). Si vede che per r = 2M fotoni in moto radiale
“stanno dove sono”.
La Teoria della Relatività Generale dice innanzi tutto: una stella a simmetria sferica (e massa
sufficientemente elevata si contrae fino a diventare un buco nero ( R*  RS ) e tutta la materia della
stella finirà in una singolarità (Figura 5.4).
78
Un osservatore sulla superficie della stella può osservare come il raggio della stella superi il raggio
di Schwarzschild.
Un osservatore lontano registra regolari, lontani segnali con ritardo temporale sempre più
crescente. Un segnale emesso a r = 2M non arriverà mai per quanto a lungo si attenda (la singolarità
non è visibile!).
Dopo un tempo finito   RS / c  105 M / M  sec la stella a causa dell’estremo spostamento verso
il rosso non è più osservabile.
Il collasso asferico in un buco nero porta alla costruzione di un orizzonte degli eventi non
stazionario. Tuttavia l’emissione di onde gravitazionali ( Q  0 ) porta rapidamente (  103 M / M 
sec) ad una situazione stazionaria (Figura 5.5).
Il Teorema No-Hair (senza capelli) afferma che all’atto della formazione un Buco Nero è
determinato dalla sua massa, momento angolare e carica (la dimostrazione è un notevole compito
della fisica matematica).
Un Buco Nero è il più semplice corpo macroscopico che si conosca
Quando una stella oltrepassa il suo orizzonte degli eventi, le sue proprietà non sono più osservabili
ma solamente M, J e Q. Per esempio non è più possibile sapere quanti barioni abbiano contribuito
alla formazione della stella di neutroni. La formazione di un buco nero comporta una perdita
crescente di informazione.
5.2
TRAIETTORIA DI UNA PARTICELLA DI PROVA NELLA METRICA DI
SCHWARZSCHILD
Per analizzare la traiettoria di una particella di prova nella metrica di Schwarzschild partiamo dalle
considerazioni sviluppate nel capitolo 3.2. Tuttavia invece della funzione di Lagrange
adopereremo l’equivalente funzione di Lagrange (nella ipotesi che  sia il parametro affine e che L
sia costante lungo la geodetica
con x  dx / d  . Con la metrica di Schwarzschild si ha
con t  dt / d   p t (t-componente del quadri-impulso) e così di seguito. Il parametro affine  è
scelto in modo tale che/m per una particella di massa m.
79
FIGURA 5.4: Collasso sferico di un buco Nero nelle coordinate di
Eddington-Finkelstein (Fig. 4 in Luminet, astro-ph/980152).
80
FIGURA 5.5: rappresentazione schematica di un collasso
asferico verso un Buco Nero (Fig. 7 da Luminet, astro-ph
/980152).
Dalle equazioni di Eulero-Lagrange (3.26) si deriva
Invece di usare direttamente la equazione per r (è più semplice) si utilizzi la relazione
81
(nello Spazio-Tempo di Minkowski si ha  p0  p1  p 2  p3  m2 | p | E 2  m2 c 2 dove
p è il 3-impulso.
2
2
2
2
Senza perdita di generalità si può scegliere il sistema di coordinate in modo tale che inizialmente la
particella si trovi sul piano equatoriale    / 2 . Dalla equazione (5.10) ne segue che   0 cioè
la particella rimane sul piano equatoriale.
Per    / 2 si ottiene dalle relazioni (5.11) e (5.12) per i momenti canonici coniugati
p  L / x
dove l ed E sono costanti del moto.
Per comprendere il significato fisico delle costanti del moto, si consideri un osservatore statico (cioè
un osservatore situato alle coordinate fisse r , , che si trovi sul piano equatoriale. Egli compie
delle misure nel suo sistema inerziale locale con l’aiuto dei suoi quadri-versori cioè del suo locale
sistema di base ortonormale. Si indichino le grandezze misurate con questa base con il simbolo ,
per gli autovettori ortonormali si ha
In uno Spazio-Tempo con metrica g (a causa di ds2  dx  dx  g dx dx e dx  dx e ) si
ottiene per i vettori di base ortogonali
Dalle relazioni (5.1), (5.16) e (5.17) si ricavano finalmente gli autovettori ortonormali della
metrica di Schwarzschild
La energia della particella è la t-componente del 4-impulso misurato nel locale sistema ortonormale
dell’osservatore, cioè la proiezione del 4-impulso lungo la direzione et̂
Dalla (5.18) si ottiene
e da questa con la (5.15)
82
cioè
Per r   si ha Elocale  E , cioè la grandezza conservata è la “Energia all’infinito” la quale è
connessa tramite il fattore di redshift a Elocale .
Il significato fisico della grandezza conservata l si ottiene considerando la velocità tangenziale
misurata localmente
Dalla (5.14) segue
cioè la grandezza conservata l è il Momento Angolare della particella ( ovvero in linguaggio
newtoniano mrvˆ ).
Particelle dotate di massa
In questo caso è opportuno normalizzare le grandezze conservate E e l alla massa della particella,
introducendo la Energia Specifica
e il Momento Angolare Specifico
dalla (5.14) si deriva
dalla (5.15)
e dalla (5.13)
ovvero
La equazione (5.26) può essere risolta in r = r() (in generale esiste un integrale ellittico). Poi dalla
(5.24) si deriva  (  ) e dalla (5.25) t(  ) .
La velocità radiale (misurata dall’osservatore locale) è data da
83
ovvero
Per r  2M si ha v r̂  1 , cioè per un osservatore locale statico vicino a r la particella si avvicina
all’orizzonte degli eventi lungo una geodetica radiale con la velocità della luce indipendentemente
dal momento angolare. Attenzione: per r < 2M non esiste un osservatore statico!
Le geodetiche più semplici sono quelle radiali l̂  0 cioè la particella cade radialmente (   0 ). In
tal caso si ha
Si consideri il caso limite di r   . Ci sono tre possibilità:
1. Ê  1 la particella cade dalla posizione a riposo a r = R
2. Ê  1 la particella cade dalla posizione a riposo all’infinito
3. Ê  1 la particella cade con velocità di infall finita dall’infinito ( v  v )
La integrazione della (5.28) per il caso Ê  1 , cosicché 1  Ê  2M / R , porta ( = 0 a r = R)
Si può ora definire il cosiddetto parametro di cicloide 
e con questo si ha
cioè il tempo proprio di caduta da r = R > 2 M fino a r = 2M è finito, esattamente come il tempo
proprio di caduta da r = R > 2M fino a r = 0. Questo ultimo dà
Il corrispondente tempo delle coordinate (metrico) si ottiene integrando la (5.25) con t = 0 a r =
R> 2M
Il tempo metrico (cioè il tempo proprio di un osservatore all’infinito) è infinito per una caduta da r
= R> 2M fino a r = 2M, in quanto
R
tan( / 2 ) 
1
per r = 2M
2M
84
FIGURA 5.6: Rappresentazione schematica del potenziale
effettivo per una particella dotata di massa che orbiti attorno
ad un Buco Nero non rotante (Fig. 12.2 di Shapiro & Teukolsky).
Passiamo ora al caso di orbite non radiali. Gli integrali ellittici che si ottengono da (5.12), (5.24) e
(5.26) non sono particolarmente informativi. Tuttavia possiamo avere un quadro generale delle
orbite possibili considerando un Potenziale Effettivo così definito
La equazione (5.26) può essere scritta nella forma
Per orbite circolari deve valere V / r  0
radiale). Dalla prima condizione si ha
(niente accelerazione) e dr/d = 0 (niente velocità
cioè il potenziale effettivo V(r) non ha minimi per l  2 3M  3.464M (non esiste un’orbita
circolare stabile). Dalle equazioni (5.32) e (5.33) si ha
e
cioè orbite circolari esistono solo per r  3M , dove il limite r = 3M vale solo per orbite di fotoni
( E 2  E / m   ).
Le orbite circolari sono stabili se
(minimo di potenziale). Pertanto sono possibili orbite circolari stabili solo per r > 6M.
Energia di legame delle particelle: sorgente di energia
Facendo uso della
85
si ottiene che la energia di legame (per massa) di una particella nell’ultima orbita circolare stabile a
r = 6M è data da
Questa è la frazione della energia di massa a riposo liberata quando una particella originariamente
ferma all’infinto lentamente spiraleggia fino all’ultima orbita circolare stabile a da questa cade
dentro il Buco Nero. Essa è chiaramente maggiore della frazione massima liberata dai bruciamenti
nucleari (< 0.9%) andando da H a Fe. Pertanto l’accrescimento di materia su un buco nero è una
potente sorgente di energia.
Particelle prive di massa
Per particelle prive di massa la linea di Universo della particella dipende solo dal parametro b = l/E
detto parametro di impatto e non separatamente dal l ed E (Shapiro & Teukolsky capitolo 12.5).
Il potenziale effettivo ha la forma
max
con Vphot
 1 / 27M 2 a r = 3M.
Il parametro di impatto critico per l’ingresso della particella dentro il buco nero è
La sezione d’urto di cattura di particelle senza massa (fotoni) che cadono dall’infinito è
cioè il raggio effettivo del Buco Nero è reff  5.2M  2.6 RS .
Una particella senza massa (fotone) sfugge al buco nero se l’angolo fra la direzione radiale la
direzione di propagazione è
Da questo si vede che 50% della radiazione di un emettitore isotropo stazionario a r = 3M verrà
catturata dal buco nero e che a r = 2M solamente un fotone radiale può arrivare all’infinito.
5.3 BUCO NERO ROTANTE E SOLUZIONE DI KERR
In questo capitolo la segnatura della metrica è (+1,-1,-1,-1)
86
FIGURA 5.7: Potenziale effettivo per una
particella dotata di massa e momento angolare
qualunque, la quale orbiti attorno ad un
Buco Nero non rotante (Fig. 12.3di Shapiro
& Teukolsky).
87
FIGURA 5.8:
(a) Angolo fra la direzione di propagazione
di un fotone e la direzione radiale ad un dato punto P.
(b) La radiazione che viene emessa ai vari punti P nella
direzione indicata dalle aree scure, viene catturata dal Buco
Nero (Fig. 12.6 di Shapiro & Teukolsky). Le aree mostrate
valgono per un osservatore locale statico.
88
La forma anticipata di Eddington-Finkelstein della metrica di Kerr (si veda d’Inverno cap. 19.1,
19.2)
dove
L’analogo della soluzione di Schwarzschild si ottiene attraverso la trasformazione di coordinate
( v,r, , )  ( t,r, , ) con
dove
Tale espressione della soluzione di Kerr (dovuta a Boyer-Lindquist) è
Kerr stesso, il quale nel 1963 trovò questa soluzione delle equazioni di campo di Einstein, fece uso
di coordinate di tipo cartesiano così definite
La corrispondente espressione di Kerr della soluzione è data da
Proprietà fondamentali della soluzione di Kerr
La soluzione dipende da due parametri m e a. Si ponga a = 0 nella espressione di Boyer-Lindquist
si ha la soluzione di Schwarzschild nelle omonime coordinate e il parametro m può essere
identificato con la massa del Buco Nero.
I coefficienti della metrica sono indipendenti da t e  . Pertanto la soluzione è stazionaria ed
assialmente simmetrica. Essa possiede inoltre una simmetria discreta attraverso la seguente
trasformazione
La prima simmetria discreta mette in evidenza che il campo di Kerr nasce da una sorgente in
rotazione. La seconda simmetria significa che il parametro a specifica il momento angolare.
89
La coordinata r non è l’usuale coordinata radiale delle coordinate sferiche (se non nel limite
asintotico di r   ). Consideriamo la espressione di Kerr della soluzione (5.37) nelle usuali
coordinate cartesiane (x,y,z) cosicché il raggio usuale è dato da
Da questo segue con la (5.37)
Per r >> a si ottiene
cioè R asintoticamente e nel limite di Schwarzschild a  0 coincide con r.
Per R   la metrica di Kerr (5.37) tende alla metrica di Minkowski  ab , cioè la soluzione di Kerr
è asintoticamente piatta.
La soluzione di Kerr descrive il campo del vuoto attorno ad una sorgente rotante, dove a attraverso
la velocità angolare e ma attraverso il momento angolare (spesso all’infinito) sono in relazione.
Tuttavia essa non descrive la metrica esterna di una stella rotante, assialmente simmetrica e
collassate. Essa è asintoticamente corretta in senso asintotico cioè quando tutta la dinamica è
cessata.
Singolarità e orizzonte
Nella ricerca di invarianti di Riemann R  R abcd Rabcd si ottiene che la metrica di Kerr possiede una
singolarità solo a   0 . Dalla
si deriva
cioè
Si tratta che presso la singolarità esiste anche un anello di raggio a che giace nel paino equatoriale z
= 0 (Figura 5.9).
Nella metrica di Kerr, superfici infinitamente spostate verso il rosso (come nel caso statico della
metrica di Schwarzschild) sono date dalla condizione
cioè
Tali superfici hanno le seguenti proprietà:
Nel caso limite di Schwarzschild per a  0 , la superficie S  è fissata da r = 2M e la superficie
S  da r = 0.
Queste superfici sono assialmente simmetriche.
90
FIGURA 5.9:
Orizzonte degli eventi, limite di
stazionarietà ed anello di singolarità della soluzione di
Kerr (Fig. 19.3 di d'Inverno).
S  all’equatore ha il raggio 2m e ai poli (se a 2  m 2 ) il raggio m  ( m2  a 2 )1 / 2 .
La superficie S  è completamente contenuta dentro la superficie S  .
La esistenza di tali superfici implica la esistenza di un Orizzonte degli Eventi (iper-superficie con r
= costante, di tipo luce e cioè g11  0 ). Dalla espressione della metrica di Kerr (5.35) segue
Pertanto, g11  0 quando   r 2  2mr  a 2 è nullo, cioè (se a 2  m 2 ) esistono due orizzonti degli
eventi
Nel limite di Schwarzschild ( a  0 ) si ha r  2m e r  0 cioè le superfici infinitamente spostate
verso il rosso e l’orizzonte degli eventi coincidono.
L’orizzonte degli eventi r  r giace completamente all’interno di S  cioè esiste una regione fra i
due chiamata Ergosfera.
Se a 2  m 2 non esiste un orizzonte degli eventi e si presenta la cosiddetta singolarità nuda (***).
Il matematico inglese Penrose ha suggerito l’ipotesi che una singolarità nuda sia proibita (Censore
Cosmico).
La soluzione di Kerr è regolare in tre regioni
91
Geodetiche Nulle
Poiché la soluzione di Kerr non è sfericamente simmetrica, non esistono geodetiche nulle radiali.
La sorgente rotante trascina con se lo spazio circostante e le geodetiche. Questo effetto relativistico
è noto come frame dragging.
Mentre nella teoria newtoniana è possibile, in un sistema di riferimento rotante, nel quale la
sorgente sia a riposo, questo non avviene nel caso della Relatività Generale in quanto non esiste un
sistema di coordinate, nel quale la soluzione di Kerr coincida con quella di Schwarzschild.
Le equazioni delle geodetiche nulle ds 2  0 nella iper-superficie  =costante (in quanto
assialmente simmetriche) sono (d’Inverno capitolo 19.6)
dove
e
Nella regione I dove  > 0 e pertanto dr/dt > 0 cioè r  l descrive una geodetica nulla verso
l’esterno. Analogamente r  l descrive geodetiche nulle verso l’interno.
L’insieme delle geodetiche nulle verso l’interno e l’esterno gioca nella metrica di Kerr lo stesso
ruolo che le geodetiche nulle radiali giocano nella metrica di Schwarzschild. Esse contengono
l’informazione sul cambiamento lungo r della struttura dei coni di luce.
All’orizzonte degli eventi r  r t e  sono singolari. Come nel caso della metrica di
Schwarzschild, questo è ancora una conseguenza di una singolarità delle coordinate in quanto
passando alle coordinate di Eddington – Finkelstein essa può essere rimossa (d’Inverno cap. 19.6).
Limite Stazionario
Per curve nulle dr  d  ds 2  0 nella regione I (cioè fotoni, che girano attorno al Buco nero con
dati r e  ) l’elemento di linea di Boyer-Lindquist (5.35) si può scrivere
Risolta in d / dt si ottiene
92
Si vede che queste curve non sono geodetiche. Tuttavia esse toccano le linee di Universo dei fotoni,
che girano attorno alla sorgente con assegnati r e  .
Il segno positivo nella (5.42) significa d / dt > 0, cioè i fotoni girano attorno alla sorgente nella
direzione di rotazione del buco nero.
FIGURA 5.10:
Diagramma spaziale della
soluzione di Kerr (a^2 < m^2) nel piano equatoriale
(Fig. 19.5 di d'Inverno).
Quando si ha d  / dt  0 ? A tal scopo bisogna esaminare quando la (5.42) può essere negativa.
Nella regione I
Poiché nella (5.42) il denominatore è positivo, si ha
Perciò sulla superficie S  la derivata d  / dt  0 , e ogni particella su questa superficie che cerchi
di girare attorno alla sorgente in verso contrario alla sua direzione di rotazione, deve muoversi con
la velocità della luce e rimanere stazionario (stazionario relativo ad un osservatore collocato
all’infinito).
93
Nella ergosfera i coni di luce ruotano verso la direzione di  fino a che fotoni e particelle saranno
obbligati a girare attorno alla sorgente nella direzione del momento angolare (Figura 5.10).
Pertanto la superficie S  è anche la superficie limite per la stazionarietà. La superficie è di tipo
tempo, in quanto in due punti dell’asse, dove essa è di tipo nullo e con orizzonte degli eventi
r  r coincidono. Pertanto dove la superficie è di tipo tempo può essere attraversata sia da
particelle muoventesi verso l’interno che da particelle muoventesi verso l’esterno.
Orbita di una particella nell’equatore di un Buco Nero rotante
Come nel caso della metrica di Schwarzschild, le equazioni del moto sono derivate dalla
lagrangiana (si veda Shapiro & Teukolsky cap. 12.7). La equazione per r cioè moto radiale nel
piano equatoriale, si ha
dove  è la massa a riposo della particella e E e l sono le costanti di integrazione.
Per orbite circolari, il potenziale effettivo V deve soddisfare la condizione V = 0 e V / r  0 .
Entrambe queste equazioni possono essere risolte in E e l. Dopo molta algebra si ottiene per la
energia specifica e momento angolare specifico
e
Nel limite di a  0 si hanno le relazioni corrispondenti della metrica di Schwarzschild. Il segno
positivo significa orbite co-rotanti, mentre in segno negativo significa orbite retrograde.
Orbite circolari sono possibili da r   fino ad una orbita circolare minima rph , dove il
denominatore nella (5.44) e (5.45) si annulla, cioè
Da questo segue
L’orbita circolare minima rph corrisponde pertanto all’orbita di un fotone ( v  c ).
Non tutte le orbite con
r  rph sono legate. Per mezzo di una piccola infinitesima perturbazione
diretta verso l’esterno, una particella può portarsi su un’ orbita non legata ( E  1 ) e scappare
all’infinito (traiettoria asintoticamente iperbolica). Orbite circolari legate ( E  1 ) esistono solo per
r  rmg dove rmg indica l’orbita circolare marginalmente legata con E  1
94
Si vede che rmg è anche il periastro minimo di tutte le orbite paraboliche. In problemi astrofisici la
caduta di particelle dall’infinito è quasi sempre parabolica poiché ( v  1) . Ogni particella che
penetri a r  rmg cadrà direttamente nel buco nero.
Inoltre non tutte le orbite circolari sono stabili. Infatti la stabilità richiede  2V / r 2  0 ovvero
La soluzione per raggio dell’orbita circolare marginalmente stabile è
con
e
La tabella seguente da un riassunto dei diversi raggi critici delle orbite circolari:
La proprietà che nelle coordinate di Boyer-Lindquist, r ,rph ,rmg e rms tendano tutti a m per
a  m è un artefatto delle coordinate.
La energia specifica E e l’energia di legame specifica 1  E per una particella di prova nell’ultima
orbita circolare stabile possono essere riassunte nella tabella seguente:
Una interessante proprietà del Buco Nero è l’esistenza di orbite con energia negativa. Risolvendo la
equazione del moto (5.43) per E si deriva
dove il segno della radice quadrata è determinato per r   . Per avere E < 0 abbiamo bisogno di
l < 0 (orbita retrograda)
Il limite della regione delle orbite con energia negativa si determina rendendo il più piccolo
possibile il membro di sinistra della disuguaglianza. Questo avviene per   0 (particelle ultra95
relativistiche) e r  0 . Si vede che E < 0 se r  r cioè la ergosfera (dal greco ergos = lavoro) è il
luogo delle orbite con energia negativa.
Una particella può essere immessa in un’orbita con energia negativa solo all’interno della superficie
limite della stazionarietà: essa poi cade immediatamente all’interno del Buco Nero.
Estrazione di energia da un Buco Nero
Penrose (1969) sfruttò questa proprietà dei buchi Neri per dimostrare con un esperimento ideale che
i buchi neri rotanti sono degli immensi serbatoi di energia. Supponiamo di inviare una particella di
prova con energia Ein nella ergosfera dove questa particella è stata programmata a separarsi in
due. Una delle due particelle va in un’orbita con energia negativa e quindi cade all’interno del buco
nero ( Edown  0 ), mentre l’altra particella va in un’orbita con energia positiva ( Eout  0 e quindi
torna indietro all’infinto (Figura 5.11).
La conservazione dell’energia impone
Anche se una parte dell’energia di massa è andata persa nel processo, vi è un guadagno netto di
energia all’infinito. L’energia è estratta dalla energia rotazionale del Buco Nero che rallenta un
poco quando la energia negativa retrograda della particella viene catturata.
Il processo di Penrose non verosimilmente importante in astrofisica in quanto la separazione della
particella in due frammenti deve avvenire con velocità relative circa pari a 0.5 c. E’ difficile
immaginare processi astrofisici di tale energia.
La massima energia estraibile dal processo di Penrose (si veda Frolov & Novikov) è data da
dove M 0 è la massa iniziale e a0 il momento angolare iniziale del Buco Nero. La quantità M ir si
chiama la massa irriducibile ed è data da
Per a02  M 02 si ricava
Un’altro modo di scrivere la massa irriducibile è
dove
A parte un fattore numerico, la grandezza A è uguale alla superficie del Buco Nero
dove g è il determinante della 2-metrica (t = costante, r  r = costante) cioè g  ( 2Mr sin  )2 .
Da questo segue
96
ovvero
Nel limite di Schwarzschild a  0 si ricava A  4 ( 2M )2
FIGURA 5.11: Sezione di un Buco Nero rotante
(Fig. 10 di J.P. Luminet, astro-ph/9801252).
.
Teorema dell’Area di Hawking
In ogni interazione l’ area di superficie di un buco nero non può mai diminuire. Se vi sono più
buchi neri la somma delle aree di superficie non può mai diminuire.
Possiamo usare il teorema di Hawking per dimostrare che non si può ottenere una singolarità nuda
aggiungendo massa ad Buco Nero in rotazione massima nel tentativo di forzarlo ad una più rapida
rotazione. Dalla relazione
Con  A  0 segue
97
e da questa
e nel caso limite a  M
ovvero
Pertanto M 2 rimane sempre maggiore di a 2 e l’orizzonte non viene distrutto. La sezione d’urto
della particella, che cresce con a/M, va a zero come a  M .
5.4
TERMODINAMICA DI UN BUCO NERO
La legge dell’aumento dell’area assomiglia alla seconda legge della termodinamica per l’aumento
dell’entropia. Su questa base, Bekenstein (1973) si pose la domanda se fosse possibile sviluppare
una termodinamica dei buchi neri.
Prima di sviluppare il problema si ricordi che nella classica Teoria della relatività Generale non è
possibile uno stato di equilibrio per i Buchi Neri. In quanto un Buco Nero posto in campo di
radiazione continuamente assorbe radiazione senza mai arrivare ad uno stato di equilibrio.
Se un corpo caldo cade in un Buco Nero, la entropia dell’Universo diminuisce. Poiché questa è
una contraddizione della seconda legge della termodinamica, i Buchi Neri devono avere entropia.
I corpi che cadono nei Buchi Neri ne aumentano la massa M, il momento angolare L e la entropia S.
E’ l’entropia dei Buchi Neri collegata all’area dell’orizzonte?
Radiazione di Hawking: creazione di coppie nelle vicinanze dell’orizzonte (teoria quantistica di
campo in un campo gravitazionale).
Idea: Il vuoto ha una struttura complessa, che permette la creazione, interazione e distruzione di
particelle virtuali (di vita breve). Un vuoto normale è stabile, cioè non possono essere create
particelle reali (di lunga vita). In presenza di campi esterni (ad esempio E,B e G ) le particelle
virtuali possono trarre energia dal campo circostante e pertanto materializzarsi e diventare particelle
reali (di lunga vita).
Hawking (1974, 1975) afferma: il vuoto è instabile nel campo gravitazionale nelle vicinanze di un
buco nero.
Un buco Nero emette particelle come un corpo nero (trascurando la dispersione delle particelle) con
la temperatura di Hawking
dove gravitazione alla superficie  caratterizza la intensità del campo gravitazionale. Essa vale
98
ovvero
la gravitazione superficiale di un Buco Nero (anche rotante) e quindi la sua temperatura sono
costanti all’orizzonte e sono determinati dalla massa e momento angolare del Buco Nero.
Per a = M si ha k = 0 (5.48) e TH  0 (5.47) : cioè in un buco nero rotante alla massima velocità la
gravitazione superficiale svanisce e la temperatura di Hawking è nulla.
Nel limite di Schwarzschild J = 0 si ha
cioè la temperatura di Hawking di Buco Nero di Schwarzschild diventa
Essa è inversamente proporzionale alla massa del Buco Nero e il suo valore è dato da una
combinazione di costanti fondamentali della Fisica.
Dalla definizione di massa di Planck
si ha
ed infine
Per un Buco Nero con massa M  m pl le correzioni quantistiche sono descrivibili in maniera
semiclassica. Per M  m pl è necessaria la teoria quantistica della gravitazione.
La radiazione di Hawking provoca una perdita di energia (massa) del Buco Nero e porta alla fine
alla evaporazione del Buco Nero. Qui viene meno il teorema della superficie, in quanto assieme alla
massa si annulla anche la superficie del Buco Nero
dove    2 k B4 /( 60 3 c 2 ) . Per la diminuzione temporale della massa del Buco Nero è espressa
dalla relazione
dove b  1 /( 30 83 )  2.6  106 ,  pl 
particelle che saranno irradiati.
G c5  5.6  1044 sec e N è il numero di stati e tipi di
99
Il tempo di vita del Buco Nero si deriva da
per un buco nero con massa solare t H  1065 anni.
Quando la massa del Buco Nero tende a zero, la sua temperatura di Hawking si innalza ed N
aumenta. Ha luogo una fase finale dell’evoluzione simile ad una esplosione. La energia della
radiazione di Hawking arriva fino a circa   100Mev(1015 g/M) .
La evaporazione del Buco Nero contribuisce alla radiazione Gamma di fondo. Dalle osservazioni si
trova che il limite superiore al contributo da parte di Buchi Neri in evaporazione alla densità
1015 g )
cosmica è molto piccolo (circa (BH
 108 ).
Domanda frequente: l’evaporazione del Buco Nero è completa o rimane una massa a riposo
M rest  m pl ? La risposta a questa domanda richiede una teoria quantistica della gravitazione.
Primo Principio della Termodinamica dei Buchi Neri:
Invertendo la condizione per la superficie di un Buco Nero A(M,J) si ottiene una relazione l’energia
interna (massa)
Da questo segue che le energie interne di due Buchi Neri stazionari che differiscono nell’area dA e
nel momento angolare dJ differiranno della quantità
dove H  4 J /( MA ) è la velocità angolare e  H dJ è la energia di rotazione del Buco Nero.
Questa relazione è identica al Primo Principio della Termodinamica.
100
Regione
0
1
Termodinamica
Temperatura T
costante
in un corpo in
equilibrio
termico
dE=TdS+ Lavoro
reversibile
2
dS >= 0 in ogni
processo
3
Non esiste processo
che porti allo stato
T=0
Buco Nero
 costante in tutto l’orizzonte
di un buco nero stazionario
dM 

dA   H dJ
8
=TH dS H + H dJ
dA  per ogni processo classico.
Per ogni processo
S  S H  Sm  0
Non esiste processo che porti allo
stato  = 0 ( a 2  M 2 )
SH  A /( 4l pl2 ) è la entropia di Bekenstein-Hawking e Sm è la entropia di materia e radiazione
fuori dal Buco Nero.
Per il sole S Sole  1058 k B mentre per un Buco Nero di massa uguale SBH ( Sole )  1077 kB , cioè la
nascita di un buco Nero implica una gigantesca perdita di informazione. Questa è una
conseguenza del Teorema “no-hair” (niente capelli).
101
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