Matematica Discreta
Lezione del 15/05/09
La crittografia moderna
Attualmente, con l’avvento dei canali digitali, un messaggio testuale viene trasmesso lungo un
canale di informazione in formato numerico: ogni carattere è trasformato in un numero intero non
negativo (rappresentato in genere in base 2, servendosi delle cifre binarie 0,1) mediante delle
codifiche concordate a livello internazionale.
Una delle codifiche più usate è il codice ASCII (American Standard Code for Information
Interchange) che trasforma ogni carattere alfanumerico (ed anche vari caratteri di interpunzione e
comandi di formattazione) in un byte di 8 bits binari 0,1, corrispondente ad un numero binario
compreso fra 0=(00000000)2 e 255=(11111111)2 .
Per esempio nel codice ASCII la codifica numerica della lettera A maiuscola è 65=(01000001)2,
della lettera B maiuscola è 66=(01000010)2, e così via proseguendo fino alla codifica numerica
della lettera Z maiuscola che è 90=(01011010)2; le codifiche numeriche delle lettere minuscole
vanno da 97=(01100001)2 a 122=(01111010)2, lo spazio è codificato con 32=(00100000)2 ; le cifre
decimali 0,1,2,….,9 hanno codifiche numeriche da 48=(00110000)2 a 57=(00111001)2 etc…
Una volta codificati i singoli caratteri del testo, si trasmettono in successione le loro codifiche,
formando una successione di bits 0,1.
Per esempio la frase “Vediamoci alle 3” codificata nel codice ASCII darebbe origine al seguente
messaggio di 128 bits:
01010110011001010110010001101001011000010110110101101111011000110110100100100000
011000010110110001101100011001010010000000110011
(ogni gruppo di 8 bits è la codifica di un carattere, ed essendo 16 il numero di caratteri del testo,
compresi gli spazi, si ha un totale di 816=128 bits).
Ovviamente oggi il significato di “messaggio” non è più limitato al caso di un messaggio testuale:
può essere un qualunque file che contiene informazioni (un’immagine, un file sonoro,un file video
etc…): anche in questo caso l’informazione viene codificata con numeri rappresentati in base 2, e
trasmessa come successione di bits 0,1.
Indipendentemente dall’informazione contenuta, definiremo dunque messaggio una qualunque
successione finita di bits binari 0,1.
La successione di bits che forma il messaggio è in genere suddivisa in “blocchi” più piccoli (sui
quali singolarmente opera l’eventuale cifratura o decifratura): spesso di fissa un intero N>0 tale che
il valore numerico rappresentato da ogni singolo blocco sia <N.
Se vogliamo che tutti i blocchi abbiano valore numerico <N (dove N è un intero>0 fissato) e siano
blocchi della stessa lunghezza k, dovremmo calcolare la massima potenza 2k di base 2 che sia N, e
spezzare la successione di bits in blocchi tutti di lunghezza k (sappiamo che un numero di k cifre in
base 2 è sempre <2k, dunque è anche <N a maggior ragione).
Nell’esempio precedente, per fare in modo che ogni blocco abbia per esempio valore numerico
<1200=N, poiché 210=1024 è la massima potenza di base 2 che sia <1200, dovremmo spezzare la
successione di 128 bits in blocchi di lunghezza 10 (l’ultimo blocco avrebbe lunghezza 8), e
applicare a ciascuno l’eventuale cifratura o decifratura.
Nella crittografia dunque si definirà “messaggio” un qualunque numero intero x0 che sia minore di
un intero positivo prefissato.
Con tale convenzione la struttura di un sistema crittografico sarà formata da:
- l’insieme dei messaggi in chiaro X={0,1,2,….,N}, dove N è un intero >0 fissato
l’insieme dei messaggi cifrati Y={0,1,2,….,M}, dove M è un intero >0 fissato
una funzione di cifratura f : X Y, e una funzione di decifratura g : Y X tali che
g(f(x))=x per ogni messaggio in chiaro xX
Spesso si avrà X=Y (dunque anche N=M).
Il vantaggio di tale schematizzazione è anche quello di permettere di definire le funzioni f, g
servendosi di algoritmi aritmetici (visto che f,g agiscono su numeri interi).
-
Sistemi crittografici a chiave pubblica.
Abbiamo visto che il problema dello scambio delle chiavi è un grave problema dei sistemi
crittografici.
Una efficiente soluzione a questo problema fu trovata negli anni ’70 con la nascita dei sistemi
crittografici a chiave pubblica.
Si tratta di sistemi crittografici in cui le chiavi di cifratura e decifratura sono diverse; mentre la
chiave di cifratura è pubblica (quindi nota a tutti), la chiave di decifratura è segreta e conosciuta
solo dal soggetto destinatario, ma con la condizione che, a partire dalla conoscenza della chiave di
cifratura, il calcolo della chiave di decifratura (da parte di un intruso) abbia “alta” complessità di
calcolo (quindi sia “computazionalmente difficile” la decifratura del messaggio in chiaro, se non si
conosce a priori la chiave di decifratura).
In generale il calcolo della chiave di decifratura (a partire dalla conoscenza della chiave di cifratura)
dovrebbe essere equivalente alla soluzione di un opportuno problema matematico per il quale non
sia conosciuto un algoritmo di “bassa” complessità di calcolo (per esempio di complessità
polinomiale).
Questa fu l’idea di Diffie ed Hellman (1976): essi però non riuscirono a trovare un problema
matematico per la cui soluzione non si fossero trovati algoritmi di complessità polinomiale e che
potesse essere utilizzato per costruire un sistema crittografico a chiave pubblica.
Poi, nel 1977, Rivest, Shamir e Adleman (del MIT) proposero un sistema crittografico a chiave
pubblica, che dalle loro iniziali fu chiamato sistema RSA.
Esso si basa sul Teorema RSA che ora dimostreremo.
Lemma.
Se i numeri primi distinti p, q sono entrambi divisori del numero naturale a, anche il prodotto pq è
divisore di a.
Dimostrazione:
Per ipotesi esistono b, c numeri naturali tali che pb=a, qc=a.
Sia d=mcd(p,q). Poiché d è divisore comune del numero primo p, si ha d=1 oppure d=p.
Analogamente si ha d=1 oppure d=q. Essendo p, q distinti, l’unica possibilità è d=1. Per una
proprietà del massimo comune divisore, esistono x, y interi relativi tali che 1=px+qy. Dunque:
a = a1 = apx+aqy =(qc)px+(pb)qy = pq(cx+by)
e si ottiene che pq é divisore di a, cioé la tesi.
Teorema RSA.
Sia n un numero naturale prodotto di 2 primi distinti p,q e sia t un naturale tale che t1 (mod (n)),
dove (n) è la funzione di Eulero.
Allora per ogni intero x0 si ha:
xtx (mod n).
Dimostrazione:
Se x=0 la tesi è banale, quindi sia x>0, cioè x numero naturale.
Calcolando la funzione di Eulero con le usuali formule si ha (n)= (pq)=(p-1)(q-1): per ipotesi si
ha t-1=k(p-1)(q-1) con k intero, cioè t=1+k(p-1)(q-1)
Dimostriamo dapprima che p è divisore della differenza xt-x.
Se p è divisore di x, ciò è banale perché sarà x=ph con h intero, da cui xt-x = ptht-ph = p(pt-1ht-h).
Supponiamo allora p non divisore di x; per il Piccolo Teorema di Fermat si ha:
xp-11 (mod p)
Ricordando che la congruenza è compatibile con il prodotto, possiamo moltiplicare membro a
membro tale congruenza per sé stessa k(q-1) volte ottenendo:
xk(p-1)(q-1)1 (mod p)
e moltiplicando ancora per la congruenza x x (mod p) otteniamo:
x1+k(p-1)(q-1)x (mod p)
ossia:
xtx (mod p)
quindi p è divisore della differenza xt-x.
Con ragionamenti analoghi si ha che q è divisore della differenza xt-x.
Per il Lemma, essendo p,q primi distinti, anche il loro prodotto n=pq è divisore di xt-x, e si ha la tesi
xtx (mod n).
Possiamo allora implementare il sistema crittografico RSA nel modo seguente.
Il soggetto destinatario B sceglie 2 numeri primi distinti p,q e calcola il loro prodotto n=pq,
rendendo pubblico n, ma tenendo segreti i fattori primi p,q .
Lo spazio dei messaggi in chiaro (e anche di quelli cifrati) é l’insieme {0,1,….,n-1}.
Il soggetto B sceglie poi un naturale c coprimo con (n): sappiamo che nel monoide Z(n) delle
classi di congruenza modulo (n) (rispetto al prodotto di classi) la classe [c] è simmetrizzabile.
Il soggetto B calcola il simmetrico [d] di [c] nel monoide Z(n) : per il calcolo di d si può usare,
come sappiamo, l’algoritmo Euclideo delle divisioni successive (algoritmo di complessità
polinomiale, quindi “efficiente”)
La chiave di cifratura (resa pubblica) è il valore c; la chiave di decifratura (tenuta segreta dal
destinatario B) è il valore d.
La funzione di cifratura f : {0,1,….,n-1} {0,1,….,n-1} è definita ponendo f(x)=xcmodn (è la
riduzione modulo n del numero xc, ottenuta in pratica calcolando il resto della divisione di xc per n).
La funzione di cifratura g : {0,1,….,n-1} {0,1,….,n-1} è definita ponendo g(y)=ydmodn .
Dobbiamo però verificare che per ogni messaggio in chiaro x, si abbia g(f(x))=x.
Osserviamo che (essendo [d] simmetrico di [c]) si ha [c][d]=[cd]=[1] in Z(n) quindi:
cd 1 (mod (n)).
Posto t=cd, possiamo allora applicare il Teorema RSA ottenendo:
xcd = xt x (mod n).
Ma posto y=f(x)=xcmodn segue (per una proprietà della riduzione modulo n):
y xc (mod n).
Analogamente posto z=f(g(x))=f(y)=ydmodn segue:
z yd (mod n).
Moltiplicando membro a membro la congruenza y xc (mod n) per sé stessa d volte si ha:
yd xcd (mod n)
e per transitività:
z xcd (mod n)
ma xcd = xt x (mod n) e per transitività:
z x (mod n)
Ma z,x sono entrambi numeri compresi fra 0,1,…,n-1, dunque se sono congrui modulo n, sono
certamente uguali fra loro (ricordiamo che le classi di congruenza modulo n con rappresentante
compreso fra 0,1,…,n-1 sono tutte distinte), dunque:
x = z = f(g(x)).
E’ dunque vero che decifrando la cifratura del messaggio in chiaro x, si riottiene x.
