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Metodi Matematici per l’Ingegneria – Prof. M. Caprili
CAPITOLO 2
METODI DIRETTI E ITERATIVI PER LA
RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
39
Metodi Matematici per l’Ingegneria – Prof. M. Caprili
METODI DIRETTI PER LA RISOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE
Sia data una matrice ACnn , e un vettore bCn , il problema consiste nella risoluzione del sistema
lineare
(1)
Ax=b
con detA0.
La classe dei metodi di risoluzione così detti diretti, se non ci fossero errori di arrotondamento nei
calcoli, con un numero finito di operazioni, dipendenti dall’algoritmo e dalla dimensione del
sistema, fornirebbero la soluzione esatta.
Purtroppo, qualunque metodo, non si può mai prescindere da gli errori algoritmici ed eventualmente
anche da gli errori inerenti.
Metodo di Gauss e fattorizzazione LR
Illustriamo il metodo considerando un sistema 33.
Consideriamo dapprima il caso in cui i minori di testa siano non nulli, cioè
a 11  0
(2)
a 11
a 12
a 21
a 22
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23  0
a 31
a 32
a 33
0
Il sistema (1) in forma esplicita si scrive
a 11 x 1  a 12 x 2  a 13 x 3  b 1
(3)
a 21 x 1  a 22 x 2  a 23 x 3  b 2
a 31 x 1  a 32 x 2  a 33 x 3  b 3
Primo passo: rendere nulli a21 e a31 , sostituendo x1 ricavato dalla prima equazione nelle equazioni
seconda e terza. Ciò si ottiene premoltiplicando il sistema (3) per la matrice non degenere
(4)
 1
 a
M1   a 1121
 a 31
 a 11
0 0

1 0
0 1
Così che, il sistema (3), diviene:
a 11 x 1  a 12 x 2  a 13 x 3  b 1
(5)
a (221) x 2  a (231) x 3  b (21)
a (321) x 2  a (331) x 3  b (31)
40
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Secondo passo: rendere nullo l’elemento a32(1) del nuovo sistema sostituendo nella terza equazione
x2 ricavato dalla seconda equazione. Ciò si ottiene premoltiplicando il sistema per la matrice non
singolare
1
0
0


M 2  0
1
0
(6)
0  a (321) 1
( 1)


a 22
Il sistema (4) , equivalente a quello dato a meno degli errori di arrotondamento, diviene:
a 11 x1  a 12 x 2  a 13 x 3  b1
a (221) x 2  a (231) x 3  b (21)
(7)
a (332) x 3  b (32 )
Si osserva che detA=a11 a22(1) a33(2) e il sistema (7) in forma matriciale, si scrive
(8)
Rx=c
con R matrice triangolare superiore che vale
R=M2M1A .
e
c = M2M1b.
Indicando con L1  M 1-1 e L 2  M -12 , ossia
(9)
1

L1   aa1211
 aa3 1
 11
0 0

1 0
0 1
(10)
1

L 2  0

0
0
1
( 1)
a 32
( 1)
a 22
0

0

1

si trova, nelle ipotesi indicate dalla (2), la fattorizzazione della matrice A=LR, con L= L1L2 , che
vale
(11)

1
a
L =  a 1121
a
 a 1131

0
1
(1)
a 32
(1)
a 22

0
0

1

Tale fattorizzazione non sempre esiste ma se esiste è unica.
Terzo passo: il sistema (8) si risolve facilmente procedendo a ritroso
41
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b (32 )
x 3  (2)
a 33
x 2  [b
(12)
(1)
2
b (32 )
1
 a ( ( 2 ) )]  (1)
a 33
a 22
(1)
23
x 1  [ b 1  a 12 ( b (21) 
a (231)  b (32 )
b (32 )
1
1
)


a
(2)
(1)
13
(2) ] 
a 33
a 22
a 33 a 11
Il numero delle operazioni (escluse addizioni e sottrazioni), cioè il costo computazionale, se il
sistema ha n equazioni, è costituito da
n 1
 (n  k)
(13)
n 1
2
k 1
 k
k 1
per la riduzione di A a matrice triangolare R, da
n 1
k
(14)
k 1
per determinare il vettore dei termini noti e infine da
n
n
k 1
k 1
 ( n  k  1)   k
(15)
per la risoluzione del sistema (8).
Tenendo conto delle formule
n
(16)
k 
k 1
n( n  1)
2
n
(17)
k
k 1
2

n( n  1)(2 n  1)
6
e sommando le operazioni precedenti si ha:
n 1
(18)
[( n  k) 2  2k]  n 
k 1
n3
n
 n2  .
3
3
Osservazione 1 . Strategia del pivot parziale.
Il metodo di Gauss si può applicare adottando la strategia del pivot parziale. Tale strategia consiste
nell’effettuare preliminarmente, un eventuale scambio di righe per condurre in luogo dell’elemento
a11, che può essere anche nullo, l’elemento di massimo modulo della prima colonna. Al secondo
passo si opera in modo analogo sulla sottomatrice di ordine (n-1) e di elementi aij(1) (i,j=2,3,…,n) In
questo caso lo scambio di righe, se necessario, condurrà, in luogo dell’elemento a22(1), che può
anche essere nullo, l’elemento di massimo modulo del vettore a2j(1), (j=2,3,...,n). Al terzo passo si
considera in modo del tutto analogo la sottomatrice di ordine (n-2) e di elementi aij(2) (i,j=3,4,…,n).
Questa procedura , nella maggior parte dei casi, riduce gli errori di arrotondamento.
Osservazione 2 . Strategia del pivot totale.
In questo caso, prima di applicare il metodo di Gauss, si ricerca l’elemento di massimo modulo su
tutta la matrice e con scambi di righe e/o colonne lo si colloca in i=1 j=1.
42
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Analogamente, prima di effettuare il secondo passo si ricerca l’elemento di massimo modulo sulla
sottomatrice di ordine n-1 e di elementi aij(1) , (i>1, j>1), e tramite scambi di righe e/o colonne lo si
scambia con l’elemento a22(1). Quindi si procede sulla matrice di ordine n-2 , etc.
Anche con la strategia del pivot totale si riducono, nella maggior parte dei casi, gli errori di
arrotondamento. Inoltre, questa strategia ben si presta sia al calcolo della caratteristica di una
matrice ACmn , sia alla risoluzione di un sistema di m equazioni in n incognite. In quest’ultimo
caso il metodo evidenzia se esistono soluzioni e determina un minore non nullo di ordine massimo.
Metodo di Gauss-Jordan
È una variante del metodo di Gauss e trova la sua giustificazione nel calcolo della matrice inversa.
Si debba risolvere il sistema:
(19)
AX=I ,
dove X è la matrice incognita e detA0.
Primo passo: identico al metodo di Gauss con la strategia del pivot parziale.
Secondo passo: si rendono nulli gli elementi della seconda colonna ad eccezione dell’elemento
pivot a22(1) , reso senz’altro diverso da zero con la strategia del pivot parziale. Ciò si ottiene
premoltiplicando il sistema per la matrice non singolare
 1  a12
(1)
a 22

1
0
M2  
 
(1)
 0  a n(12)
a
22

(1)
(20)
0

0  0

  
0  1

0

Terzo passo: identico al secondo ma riferito alla sottomatrice nn-2 di elementi aij(2) con j>2.
All’ennesimo passo si sarà costruita una matrice diagonale con elementi non nulli a11, a22(1), a33(2),...,
1
1
1
ann(n-1). Quindi premoltiplicando il sistema per la matrice diagonale di elementi
, (1) , ..., ( n 1)
a 11 a 22
a nn
si ottiene la matrice identica a sinistra e la matrice inversa a destra, cioè il problema (19), con gli
1
1
1
n+1 prodotti per mezzo delle matrici M1, M2,..., Mn, Mn+1=diag{
, (1) , ..., ( n 1) }, diviene
a 11 a 22
a nn
equivalente a:
(21)
IX=B
e quindi
(22)
A-1= Mn+1 Mn٠٠٠ M
43
1
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Analisi dell’errore
Un sistema lineare, tale che, a piccoli errori nei dati, corrispondono grandi errori nella soluzione, è
detto mal condizionato o mal posto.
Esaminiamo l’errore inerente dovuto ad una variazione A di A e b di b.
Teorema. Se A è non singolare e A -1 A  1 allora A+A è non singolare e la soluzione x + x
del sistema
(23)
(A+A)( x + x )=b+b
dove A x =b, soddisfa la disuguaglianza:
(24)
x
 A)
x
b
A

b
A
A
1   (A)
A
dove (A)= A A-1 è il numero di condizionamento di A e la norma matriciale è quella indotta
dalla norma vettoriale.
Dimostrazione. Essendo
A-1 A  A-1 A  1
risulta (I+A-1A) non degenere (non ha
l’autovalore nullo) e quindi anche A+A è non degenere.
Risulta poi:
(A + A) x̂ + A x̂ = b
o anche

(I  A -1A)  x = A -1 (b - Ax)
e
x̂ = (I + A-1A)-1 A-1 ( b  Ax̂) .
Passando alle norme si ha
x  A -1
b  A x
1- A -1 A
e dividendo per la soluzione esatta x riesce
x
 A -1
x
Tenendo conto che x 
b
 A
x
1- A -1 A
b
in definitiva risulta
A
44
.
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b
A

x
b
A
.
 A)
x
A
1   (A)
A
Ne consegue che, se (A) è piccolo il problema è ben condizionato o stabile.
Ad esempio, la matrice di Hilbert:
H n =(h ij)  (
1
),
i , j  1, 2 ,..., n
i  j 1
è mal condizionata, ossia (A)>>1; infatti, (h(4)) = 1.55 104 .
Si può diomostrare con i seguenti esempi, che il valore del determinante non indica il mal
condizionamento di A.
Sia A la matrice definita da
(25)
a 11  1

a i ,i  0.1,
a  0,
 ij
i  1,2 ,...,100
ji
Essendo 2(A)=10, la matrice è ben condizionata, ma il determinante vale 10-99 .
In certi casi il numero di condizionamento può essere ridotto con un’operazione di “scaling” .
Infatti, se la matrice A, vale
 0 


A
1
0



il numero di condizionamento nella norma 1, risulta 1(A)=(1/)2 , che può essere reso
arbitrariamente grande. Se invece, moltiplico la seconda riga (ovvero la seconda equazione nel caso
di un sistema Ax=b) per 2, la matrice diviene

A  
0
0

 
e 1(A)=1.
Il problema ingenerale, di non semplice soluzione, sarebbe quello di trovare due matrici D 1 e D2 ,
diagonali, tali che (D1 A D2) sia minimo.
Se A è hermitiana, risulta
(26)
 2 (A) = A 2  A 1
e se è definita positiva i moduli possono essere omessi.
Sia ~x una approssimazione della soluzione esatta x e
(27)
~-b
r = Ax
45
2

max  i
min  i
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il vettore residuo.
Essendo anche
~ - Ax = A(x
~ - x)

r = Ax
(28)
x - x e quindi una
si può risolvere questo sistema ottenendo una approssimazione dell’errore ~
migliore approssimazione di x . Il procedimento può essere ripetuto.
Metodo di Doolittle
È la fattorizzazione LR, se esiste, diretta della matrice A, dove L matrice triangolare inferiore con
elementi unitari sulla diagonale e R triangolare superiore. Il confronto tra i membri sinistro e destro
ci permette di determinare dapprima la prima riga di R (che coincide con la prima riga di A), poi la
prima colonna di L, quindi la seconda riga di R e la seconda colonna di L, e così via.
Metodo di Cholesky
È una fattorizzazione di una matrice definita positiva nella forma
A = S  S
(29)
con S matrice triangolare inferiore e S* trasposta coniugata di S.
Esempio Sia data la matrice definita positiva
 9
1  2i  1  2i 


A =  1  2i
6
 1  2i 
 1  2i  1  2i
9 
Applicando la fattorizzazione diretta A = S  S si ha
s11  a 11  3
s21 

s11
3
a 21 1  2i

s11
3
s22  a 22  s21
2

7
3
s22
s31 
a 31
1  2i

s11
3

s13
s32 
a 32 _ s31 s21  12  22i

s22
21
s23
2
1  2i
3
7

3
1  2i

3
 12  22i

21
2 86

7

s12

s33  a 33  s 31  s 32
2

2 86
7
46
s33
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n3
Costo computazionale per una matrice di ordine n è
.
6
METODI ITERATIVI PER LA RISOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE
Dato il sistema lineare
Ax=b
con detA0, scomposta la matrice A in
(30)
A=M-N,
con M non degenere, il problema dato può equivalentemente porsi nella forma
(31)
x = M -1 Nx  M 1 b
la cui soluzione è un vettore, detto punto unito, che soddisfa ovviamente l’uguaglianza (31).
Il problema posto nella forma (31) suggerisce il procedimento iterativo:
(32)
x ( i 1)  M 1 Nx ( i )  M 1 b ;
cioè, assegnato un vettore iniziale x(0), si determina
x (1)  M 1 Nx ( 0)  M 1 b
e quindi
x ( 2 )  M 1 Nx (1)  M 1 b
e così via.
Si osserva che se la successione così costruita è convergente ad un vettore  allora  è sicuramente
soluzione.
È interessante però sapere a priori quando la successione {x ( i ) } , generata a partire da un x(0)
arbitrario, risulta convergente.
A tale scopo posto P=M-1N e q= M-1b il problema
(33)
x=Px+q
ha soluzione unica se e solo se
(34)
(P)<1
ossia se e solo se P è una matrice convergente.
Infatti, se x è la soluzione (questa esiste ed è unica per essere I-P non degenere), ossia
(35)
x  Px  q ,
per sottrazione col metodo iterativo x(i+1)=Px(i)+q, si trova
47
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(36)
x ( i 1)  x  Px ( i )  Px
o anche
e ( i 1)  Pe ( i )
(37)
dove e ( i )  x ( i )  x , e ( i 1)  x ( i 1)  x .
Risolvendo l’equazione (37), si ottiene
(38)
e ( i )  P i e ( 0)
e passando al limite, poiché Pi tende a zero, viene
(39)
lim e ( i )  0 .
i
Una condizione solo sufficiente vale se esiste una norma tale che P  1 .
Infatti in tal caso, per il teorema di Hirsch, si ha ( P)  P .
Se poi il metodo iterativo risulta convergente per ogni x (0) iniziale, allora preso un vettore iniziale in
modo che
(40)
e ( 0)  x ( 0)  x
(si osserva che la soluzione esiste per ipotesi) sia un autovettore associato all’autovalore di massimo
modulo M, per la (38) risulta
(41)
e ( i )  P i e ( 0)  iM e ( 0) .
Passando al limite dovrà essere
(42)
lim iM  0
i
ossia  M  1 in quanto e ( i )  0 per i.
In pratica il processo iterativo, supposto convergente, si arresta quando
(43)
x ( i 1)  x ( i )   .
Tuttavia, non è detto che la soluzione sia approssimata con la precisione .
Infatti, se P  1 risulta
x ( i )  x ( i 1)  x ( i )  x  ( x ( i 1)  x ) 
 e ( i )  e ( i 1) 
 ( P  I)e ( i 1)
per cui
48
Metodi Matematici per l’Ingegneria – Prof. M. Caprili
(44)
e
( i 1)
x ( i )  x ( i 1)



1 P
1 P
e quindi può accadere che e ( i 1) sia grande anche se  è piccolo.
Esaminiamo il caso in cui il test di arresto sia
r k 
b

dove
r k   b  Ax k   A  x k   Ae k 
Risulta
e k   A 1 r k 
e k   A 1 r k   A 1 b 
Ma
A  b
b  A 
b

 A
e quindi
e k 

 A 1
b

  A 1 A   A   .
Si conclude che, l’errore relativo sulla soluzione, può essere grande se, il numero di
condizionamento di A è grande nonostante, l’errore relativo sul residuo, sia piccolo.
Metodo iterativo di Jacobi
La matrice A si scompone nella forma specifica A=M-N dove M=D=diag{ a 11 , a 22 ,..., a nn }, N=B+C
con B={-aij se i>j, 0 se ij } e C={-aij se i<j, 0 se ij}.
Il metodo in forma matriciale si scrive
(45)
x ( i 1)  D 1 ( B  C) x ( i )  D 1 b
dove è stato supposto che gli elementi della diagonale di A siano tutti non nulli.
In termini di componenti il metodo viene
49
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x (ji 1) 
(46)
n
1
( b j   a jk x (ki ) )
a jj
k 1
,
j=1,...,n .
k j
Metodo iterativo di Gauss-Seidel
In questo caso M=D-B, N=C e il metodo in forma matriciale si scrive
(47)
x ( i 1)  ( D  B) 1 Cx ( i )  ( D  B) 1 b
mentre esplicitamente in termini di componenti diviene
(48)
x ( i 1)  D 1 ( Bx ( i 1)  Cx ( i )  b)
ossia
(49)
x (ji 1) 
j1
n
1
( b j   a jk x (ki 1)   a jk x (ki ) ) , j=1,...,n .
a jj
k 1
k  j1
All’atto pratico può accadere che il metodo di Jacobi sia convergente e quello di Gauss-Seidel no e
viceversa.
Entrambi i metodi convergono se la matrice A è a predominanza diagonale forte per righe o per
colonne, oppure se la matrice A è a predominanza diagonale debole per righe o per colonne ed ha
grafo fortemente connesso.
Se alcuni elementi della diagonale di A sono nulli è sempre possibile determinare un sistema
equivalente permutando le righe e/o le colonne di A in modo che la nuova matrice abbia gli
elementi diagonali non nulli.
Nel caso la matrice A sia hermitiana il metodo di Gauss-Seidel è convergente se e solo se A è
definita positiva.
Metodo di rilassamento
Tramite il metodo di Gauss-Seidel si ha il vettore provvisorio
(50)
x ( i 1)  D 1[ Bx ( i 1)  Cx ( i )  b] .
Adesso a partire da x(i) si effettua un passo di lunghezza  x ( i 1)  x ( i )
x ( i 1)  x ( i ) , ossia si trova
(51)
x ( i 1)  x ( i )  ( x ( i 1)  x ( i ) )
,
nella direzione di
 0.
Calcolare alternativamente le componenti di x̂ ( i 1) , x ( i 1) , tramite le (50), (51), è equivalente a
sostituire la (50) nella (51) e risolvere l’equazione
(52)
x ( i 1)  x ( i )  [ D 1 ( Bx ( i 1)  Cx ( i )  b)  x ( i ) ]
rispetto a x(i+1) , ossia applicare il metodo iterativo di rilassamento:
50
Metodi Matematici per l’Ingegneria – Prof. M. Caprili
(53)
x ( i 1)  ( D  B) 1[(1  ) D  C]x ( i )  ( D  B) 1 b .
Se 0<<1 il metodo è detto di sottorilassamento, se >1 di sovrarilassamento o anche SOR da:
Successive Over Relaxation.
In termini di componenti, per le (49) e (51), il metodo diviene:
(54)
x (ji 1)  (1   ) x (ji ) 
j1
n

( b j   a jk x (ki 1)   a jk x (ki ) ) , j=1,...,n .
a jj
k 1
k  j1
La convergenza del metodo è al solito assicurata se la matrice di iterazione:
(55)
H()  ( D  B) 1[(1  ) D  C]
ha raggio spettrale <1.
Condizione solo necessaria per la convergenza è che:
(56)
0<<2.
Infatti
det H() 
1
det[(1  ) D  C]
det( D  B)
e poichè le matrici D-B e (1-)D+C sono triangolari risulta:
det H ( ) 
1
det(1   ) D  (1   ) n .
det D
Ricordando che il determinante di una matrice è il prodotto dei suoi autovalori, allora se il metodo è
convergente, cioè (H())<1, dovrà essere
(1  ) n  1 ,
ossia
1    1,
cioè la (56).
Si osserva che se la matrice A è definita positiva la condizione (56) è anche condizione sufficiente
per la convergenza. Evidentemente la velocità di convergenza dipende dal valore di . La velocità è
più alta se il raggio spettrale è più piccolo. La massima si avrà per il valore di  che rende minimo
(H()).
Il metodo SOR, può essere anche definito ponendo
51
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M
D
E

e quindi, per la (30),
1

N    1 D  F.
 
Questo metodo è denominato SOR in avanti. In quanto le componenti del vettore x vengono
calcolate nell’ordine naturale. Per contro, scambiando la matrice E con la F, si ha il metodo
denominato SOR all’indietro. In questo caso la componenti del vettore x vengono calcolate a
ritroso, ossia dapprima la n-ma, quindi la (n-1)-ma, etc. Si possono infine, combinare questi due
metodi per dare luogo al metodo detto SSOR (symmetric successive over-relaxion). In pratica, se
scriviamo il metodo SOR all’avanti nella forma
D  E  x
 1
 k 
 2
 b  1   D x k    F x k 
e il metodo SOR all’indietro nella rappresentazione
D  F x
 k 1
 b  1   D x
 1
 k 
 2
  E x k  .
Allora eliminando x(1+1/2) dalla seconda tramite la prima, si ha il metodo SSOR, la cui matrice di
iterazione risulta
S  D  F
1
1   D   ED   E1 1   D   F ,
e il metodo, diviene
x k 1  D  F 
1
1  D  ED  E 1 1  D  F x k  
.
1
1
 2   D  F  DD  E  b
In questo metodo le componenti del nuovo vettore vengono calcolate alternativamente: dapprima la
componente x1, poi la componente xn,, quindi la x2 poi la xn-1, e così via.
Metodo del gradiente coniugato
Sia dato il sistema lineare:
(57)
Ax=b
con A definita positiva e x=a soluzione.
Se A non è definita positiva si può considerare il problema equivalente
con B=ATA definita positiva in quanto detA0.
Allora, consideriamo il funzionale
1
f ( x)  ( b  Ax) T A 1 ( b  Ax) ,
2
che è positivo per xa per essere A-1 definita positiva.
52
Metodi Matematici per l’Ingegneria – Prof. M. Caprili
Essendo poi:
f ( x) 
1 T
1
x Ax  x T b  b T A 1 b
2
2
il problema del minimo di f(x), che, ovviamente, è ottenuto per x=a, è equivalente al problema di
minimo di
F( x) 
1 T
x Ax  x T b .
2
Inoltre risulta
gradF(x)=gradf(x)=Ax-b=-r(x)
che si annulla nella soluzione del sistema (57).
Il metodo del gradiente coniugato consiste nel determinare una successione x (k) che converge al
minimo di F(x), ossia alla soluzione di (60).
Si consideri un x(0) iniziale e si calcoli:
x (1)  x ( 0)   0 d ( 0)
.
La direzione d(0) potrebbe essere quella del gradiente di F(x(0)) e di verso opposto (decrescenza di
F(x) ) ossia d ( 0)  gradF( x ( 0) )  r ( x ( 0) ) ma è preferibile scegliere, per migliorare la convergenza,
la seguente procedura detta del gradiente coniugato.
Alla prima applicazione si calcola
d ( 0)  r ( 0)  r ( x ( 0) )
e
0 
( r ( 0) ) T  r ( 0)
(d ( 0) ) T  A  d ( 0)
per cui
x (1)  x ( 0)   0 d ( 0) .
Alla seconda applicazione
r (1)  r ( x (1) )
d (1)  r (1)  1d ( 0)
dove
( r (1) ) T  A  d ( 0)
1   ( 0 ) T
(d )  A  d ( 0 )
53
Metodi Matematici per l’Ingegneria – Prof. M. Caprili
che dà d(1)TAd(0)=0, ossia d(1) è la direzione coniugata di d(0) rispetto ad A; quindi 1, che minimizza
F(x(1)+d(1)), vale:
d (1) T  r (1)
.
 1  (1) T
d  A  d (1)
Pertanto
x ( 2)  x (1)   1d (1) .
Alla k-esima applicazione
r (k)  r(x(k) ) ,
d ( k )  r ( k )   k d ( k 1) ,
k  
r ( k )  A  d ( k 1)
,
(d ( k 1) ) T  A  d ( k 1)
(d ( k ) ) T  r ( k )
 k  (k) T
(d )  A  d ( k )
e quindi
x ( k 1)  x ( k )   k d ( k ) .
La successione converge ad a e si arresta in pratica quando
r (k)
b
2

2
54
.