ESERCIZI SUI GAS PERFETTI

Corradi Fabio – Matricola 132657 – lezione del 10/11/2000 – ore 10,30 - 12,30
ESERCIZI SUI GAS PERFETTI
ESERCIZIO 1
Problema della miscelazione di due gas diversi in uno scatolone
adiabatico
1
aria
2
aria
Figura 1.1 – Stato iniziale
Lo scatolone adiabatico ha pareti coibentate e quindi la trasformazione
termodinamica avviene senza scambio di calore tra l’interno e l’esterno del
recipiente.
Lo stato iniziale presenta il volume interno dello scatolone suddiviso in due da un
setto, rimuovibile dall’esterno mediante spine, che separa due gas (aria) aventi stati
fisici diversi noti:
Unità di misura
mc.
°C
BAR
Volume
Temperatura
Pressione
1
1
100
1
2
2
200
10
Togliendo le spine che reggono il setto interno i gas si mescolano, dopo uno stato
intermedio di disordine, otteniamo uno stato finale del quale conosciamo il volume
V3 = mc. 3
Voglio conoscere la pressione P3 e la temperatura T3 dello stato finale
3
Figura 2.1 – stato finale
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
Uso l’equazione del 1° principio della Termodinamica
Ufin  Uin  Q  L
-
(1)
Vale a dire che l’entalpia finale meno l’entalpia iniziale deve essere uguale allla
quantità di calore scambiato meno il lavoro, ma poiché:
la miscelazione è in recipiente coibentato quindi adiabatica (senza scambio di
calore con l’esterno)
il recipiente è rigido con volume costante il lavoro è nullo
quindi annullandosi Q-L l’equazione diventa
Ufin  Uin  0
(2)
quindi
(3)
Ufin  Uin
ma piochè l’entalpia interna è nelle grandezze estensive (non in quelle specifiche)
come la massa
M 3  Cv  t 3  M 1  Cv  t 1  M 2  Cv  t 2
(4)
divido tutto per Cv e ottengo:
t3 
M 1  t1  M 2  t 2
M1  M 2
(è una media pesata e ponderata)
(5)
per trovare le masse si utilizza la Legge dei Gas perfetti nella sua forma estensiva
p V  M  R  t
(6)
da cui
M
sapendo che :
p1  1BAR  100.000 Pascal
maria  29
Kg
Kmol
t = temperatura assoluta in Kelvin
dalla (7)
M1 
p1  V 1 100.000  1

 0,934 Kg
R  t 1 8314  373
29
-2-
p V
Rt
(7)
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
M2 
p2  V 2 1000
. .000  2

 14,746Kg
8314
R  t2
 473
29
sommandoli si ottiene
M 3  M 1  M 2  15,68Kg
sostituendo alla (5) si ottiene
M 1  t 1  M 2  t 2 0,934  100  14,746  200

 194 C
M1  M 2
15,68
(si trova una media pesata delle masse)
t3 
avendo trovato la temperatura e la massa dalla (6) si ottiene la pressione
814
15
,
66

 273  194
M 3  R  t3
29
p3  V 3  M 3  R  V 3  p3 

 699832
V3
3
Pa  7 BAR
poiché ogni 100.000 = 1 BAR (Pascal)
Oss.- la pressione finale è maggiore della media delle pressioni iniziali
Alla prova d’esame può presentarsi un’esecizio simile ma può ad esepio essere
richiesto uno degli stati iniziali dando come noto lo stato finale.
N.B. - Per facilitare il calcolo l’entalpia u  Cv  t è meglio utilizzare i °C.
ESERCIZIO 2
Si propone ora un’esercizio simile al precedente ma con gas diversi:
Problema della miscelazione di due gas diversi in uno scatolone adiabatico
1=O2
2=N2
Figura 1.2 stato iniziale e finale
La massa molare di O2  mO 2  32
Kg
Kmol
-3-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
La massa molare di N 2  mN 2  28
Kg
Kmol
Dati:
O2
V 1  1mc.
p1  1BAR
t 1  100 C
N2
V 2  2mc.
p2  2 BAR
t 2  200 C
Incognite p 3 , V 3 , composizione (Nitrox)
Poiché è un misto di azoto e ossigeno quindi se è il 21% è aria, mentre se la
percentuale è maggiore la composizione è arricchita, se invece è minore di tale
percentuale è impoverita
Calcolando le due masse iniziali ottengo le composizioni dalla (7)
p1  V 1 100.000  1
M1 

 1,03Kg
R1  t 1 8314  373
32
Oss. –pur avendo le stesse caratteristiche dell’esercizio precedente la massa è più
grande
p2  V 2 200.000  2

 2,85Kg (massa azoto)
R 2  t 2 8314  473
28
da cui si ottiene sommando
M2 
M 3  M 1  M 2  3,88Kg
le FRAZIONI MASSICHE (g)
1,03
gO 2 
 26,54% IN MASSA
3,88
2,85
gN 2 
 37,43% IN MASSA
3,88
normalmente con miscugli di gas non si fa il rapporto di masse, dando le percentuali
si deve sempre specificare se sono : in massa, in volume, ecc. per evitare confusione.
Si procede ora al calcolo del numero di moli
M 1 1,03
nO 2 

 0,03218 Kmol (ossigeno)
uAo 2
32
M 2 2,85
nN 2 

 0,10178 Kmol (azoto)
uAN 2
28
sommando questi valori con il precente si trova il N° di moli totali
si procede ora a calcolare le frazioni molari (come le fr. Massiche)
ntot  nO2  nN 2  0134
. Kmol
-4-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
FRAZIONI MOLARI (X)
no2 0,03218
XO 2 

 24.01%
ntot
0,134
nO 2 0,10178
XN 2 

 75,99%
ntot
0,134
è un’aria respirabile leggermente arricchita di ossigeno
si procede nel calcolo dell’energia interna dalla (3)
Ufin  Uin
(4)
M 3  Cv 3  t 3  M 1  Cv1  t 1  M 2  Cv 2  t 2
si ricerca ora i valori specifici di ossigeno e azoto all’interno della miscela
il rapporto   1,41 (assunto qui)
8314
R
R
(8) ma poiché R 
Cv 

M in moli
  1 0,41
si ottiene
8314
J
Cv 1  32  634
0,41
KgK
8314
J
Cv 2  28  724
0,41
KgK
8314
se il volume finale fosse aria (21%) allora varrebbe la seguente Cv 3  25
0,41
si esegue invece in questo caso il calcolo preciso:
M 1  Cv 1  M 2  Cv 2 1,03  634  2,85  724
J
Cv 3 

 700
M3
3,88
KgK
 M 1  M 2
si calcola ora la temperatura
 M 1Cv1t 1   M 2  Cv 2  t 2  1,03  724  100  2,85  724  200
t3 

 176 C
3,88  700
 M 1  Cv1   M 2  Cv 2
M 3  Cv 3
uso la (6) per calcolare la pressione finale
p3  V 3  M 3  R 3  V 3
da cui
M 3  R3  t 3
p3 
(10)
V3
-5-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
anche per ottenere R3, essendo una miscela, uso la media pesata
1,03 
M 1  R1  M 2  R2

M3
utilizzando la (10) ottengo
R3 
p3 
8314
8314
 2,85
32
28  287 J
3,88
KgK
3,88  287  273  176
 166.600  Pa  1,67 BAR (pressione finale)
3
ESERCIZIO 3 – POMPA DA BICICLETTA
Il volume di aria in 1 per effetto del pistone defluisce in V2
V2
V1
Figura 1.3 – V 1  V 2 esercitando lavoro sul pistone
TA= Temperatura atmosferica = 20°C
PA= 1 BAR
Figura 2.3 – schematizzazione della pompa da bicicletta
Situazione iniziale VA=3 mc.
V 0 1 mc.
V 1 2 mc.
Situazione finale VB=1 mc.
temperatura finale tB ?
pB ?
Pressione finale
Lavoro fatto netto LN ?
Si chiede:
-6-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
adiab.
5
B
4,5
4
1,5m c
3,5
2m c
2,5m c
3
A
2,5
2
1,5
1
0,5
0
V0
1m c
1,5m c
2m c
2,5m c
3m c
Ipotizzando che tutto sia isolato termicamente si considera la trasformazione
adiabatica, poichè avviene in modo molto rapido, in quanto il gas che esce dalla
pompa non ha il tempo sufficiente per trasmettere il calore
Si ricercano ora le coordinate
p  V   cos t perchè adiabatica
pA  V 1,41 A  pB  V 1,41B
1, 41
1, 41
 VA 
pB  pA   1BAR   3  4,7 BAR
 VB 
conoscendo il V e p finali si calcola ora la massa, usando la (7)
pA  VA 100.000  3
M

 3,57 Kg
8314
R  tA
 293
29
a 20°C
si calcola ora la temperatura in B usando la (6)
pB  VB  M  R  tB
pB  VB
4700  1
tB 

 459,9 K = 186,9 °C
M  R 3,57  8314
29
utilizzando il 1° principo della termodinamica
u2  u1  Q  L
non avendo scambio di calore con l’esterno poiché considerato adiabatico
u2  u1   L
quindi
L  u1  u2  M  Cv  t 1  t 2  3,57  713  186,9  20  424.800 J
si trova nelle tabelle
-7-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
questo non è il lavoro netto svolto dall’uomo poiché è comprensivo anche della
pressione esterna esercitata dall’aria, quindi:
adiab.
5
B
4,5
4
1,5m c
3,5
2m c
2,5m c
3
A
2,5
2
1,5
1
0,5
0
V0
1m c
1,5m c
2m c
2,5m c
3m c
questa porzione di lavoro è svolta dalla spinta dell’aria
LN  L  pa  V 2  V 1  424.800  100.000  3  1  224.800 J
lavoro netto fatto dall’uomo
Oss.- esaminando un altro esempio simile al suesposto ma con una pompa diversa
dalla precedente avente una condotta di sola entrata di aria dotata di valvola e una
condotta di uscita dell’aria in questo caso si ha:
Aria
Figura 2.4
-8-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
adiab.
lavoro svolto dall’aria
l’area del ciclo dell’aria rappresenta il precorso che si svolge :
quando si tira il pistone l’aria entra dal condotto giallo, mentre quando il pistone
viene spinto la valvola posta sul condotto giallo si chiude e l’aria esce dal condotto
verde.
ESERCIZIO 5
Q=10.000 J
Figura 1.5 – stato iniziale
L’esercizio si svolge apportando calore Q ad un contenitore simile ad una pentola
con coperchio a stantuffo in modo tale che lo stesso possa scorrere all’interno del
vano della pentola stessa (sistema aperto), viene sopra rappresentato (figura 1.5) lo
stato iniziale: apportando calore la pressione interna aumenta e fa alzare lo stantuffo
di una quantità che viene indicata con  Z dati:
p1 3 BAR
V1 0,3 mc
T1 20 °C
-9-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
3
1
2
2,5
2
1,5
1
0,5
0
la parte del grafico inferiore a 1 BAR rappresenta il lavoro svolto dall’aria
si vuole conoscere: il volume finale (V2), la temperatura finale (t2), e l’aumento
dell’energia potenziale ( Ep )
Ep  P  g  Z
(11)
Kg
Ep  M  g  Z
(12)
L  pV 2  V 1  p0V 2  V 1
(13)
deve essere presa in considerazione solo l’area superiore a P0= 1 BAR
a pressione costante
(14)
Q  M  Cp  t 2  t 1
nota la temperatura e la pressione si può calcolare il volume
M  R  t2
(15)
V2 
p2
p1  V 1 300.000  0,3 90.000
M1 


 1,07 Kg
8314
R  t1
84
.
000
 293
29
dalla (14) si ottiene:
-10-
Lezione del 10/11/2000 ore 10.30 – 12.30
t 2  t 1 
Q
10.000

 13,11  t 2  13,11  20  33,11 C
M  Cp 1,07  713
p2  p1  3BAR
dalla (15) si ottiene
8314
1,07 
 293
29
V2 
 29,96mc
3000
dalla (13) si trova il lavoro
L  3  29,96  0,3  129,96  0,3  59,32 J
Z
-11-