DINAMICA_DEI_SISTEMI

ESERCIZI DI DINAMICA DEI SISTEMI
Due palline puntiformi di massa m1= 1 kg e m2= 2 kg sono connesse da una molla e giacciono su un
piano liscio orizzontale. Se nella posizione di equilibrio statico m1 riceve un impulso I= 10 Ns diretto
lungo la congiungente le due masse, determinare l’energia di vibrazione del sistema.
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SOL.- La velocità del centro di massa è vC  I /( m1  m2 ) e l’energia di traslazione risulta
Etrasl  (m1  m2 )vC2 / 2 . L’energia vibrazionale è Evibr  Etot  Etrasl 
m2 I 2
 33,3 J
2m1 (m1  m2 )
Su un piano orizzontale liscio due blocchi di massa m1= 2 kg e m2= 3 kg a contatto tra di loro sono
spinti da una forza orizzontale F= 10 N applicata a m1, determinare la forza con cui i due blocchi
interagiscono tra loro.
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F
SOL.- L’accelerazione acquistata dall’intero sistema è a 
. Per la massa m1 si ha:
m1  m 2
m2
F  6 N.
m1 a  F  F12 , da cui si ottiene F12 
m1  m2
Su un piano orizzontale scabro due masse uguali m=3 kg, collegate da una molla di costante elastica
k=150 Nm-1, sono trascinate da una forza costante orizzontale F applicata a una di esse. Sapendo
che esse si muovono a velocità costante e che la molla risulta allungata di un tratto l=7 cm, si
determini il coefficiente di attrito e il modulo di F.
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SOL.- Per le due masse le equazione del moto risultano
F  mg  kl  0 ,
kl  mg  0 .
Dalla seconda si ottiene   kl /(mg ) =0,36, mentre per differenza tra le due si ha F  2kl  0 ,
da cui F  2kl =21 N.
Su una carrucola fissa è avvolta una fune che porta ai suoi estremi due masse puntiformi m1= 1 kg e
m2= 3 kg. Considerando trascurabili le masse della carrucola e della fune nonché gli attriti si
determini l’accelerazione del centro di massa del sistema quando le masse sono abbandonate
all’azione del peso.
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m  m1
SOL.- L’accelerazione con cui si muove ogni massa è a  2
g . L’accelerazione del centro di
m2  m1
m a  m1a m2  m1 
massa è ac  2
g  2,45 m/s2.

m2  m1
m2  m1 2
2
Una piastra di massa m2= 3 kg è appoggiata in quiete su un piano orizzontale scabro (2= 0,2). Sulla
lastra un corpo di massa m1= 2 kg si muove con velocità iniziale orizzontale v0= 3 m/s. Se il
coefficiente di attrito tra il corpo e la lastra è 1= 0,6, quale lunghezza percorre m1 rispetto alla lastra
prima di fermarsi?
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SOL.- Per un osservatore fisso le equazioni del moto sono
1
 1m1 g  m1a1 ; v1  v0  a1t ; x1  v0 t  a1t 2 = 0,758
2
1
 1m1 g  2 m1  m2 g  m2 a2 ; v2  a2t ; x2  a2 t 2 = 0,069 avendo posto che le velocità finali
2
siano uguali. Lo spazio percorso richiesto è x  0,689 m.
Una catena è sospesa in quiete verticalmente con il suo estremo che sfiora un piano orizzontale. Se la
si abbandona determinare durante la caduta il rapporto tra le forze esercitate sul piano dalla parte in
caduta e da quella già caduta.
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SOL.- Detta x la variazione di quota ad un istante generico durante la caduta dell'estremo superiore
della catena di massa lineica , la parte in caduta esercita sul piano una forza pari a
dm
dx
F v
 v
 v 2  2 gx , mentre quella già caduta esercita una forza pari al proprio peso
dt
dt
F2  xg . Pertanto il rapporto, costante durante tutta la caduta, è F1 / F2 =2.
Una pallina di massa m= 50 g cade sul pavimento da un’altezza h= 5 m. Nell’urto viene dissipata
una quantità di energia E= 0,1 J. Determinare l’impulso fornito al pavimento.
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SOL.- La velocità prima dell’urto vale v0  2 gh  9,9 m/s, mentre quella dopo l’urto è
v1  v02 
2E
 9,7 m/s. L’impulso fornito al pavimento vale I  mv0  mv1  0,98 Ns.
m
Due sferette di uguale massa sono sospese per mezzo di fili inestendibili e privi di massa a uno
stesso punto. Mentre una sferetta è ferma nella posizione di equilibrio l’altra è lasciata cadere, a filo
teso, da ferma da un’altezza h= 10 cm rispetto alla quota di equilibrio. Supponendo l’urto
completamente anelastico determinare l’altezza a cui arriveranno le due sferette.
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SOL.- Nell’urto si conserva la quantità di moto mv1  2mV con v1  2 gh e V  2 gH , da cui si
ha H  h / 4 = 2,5 cm.
A seguito di un urto centrale elastico di una particella di massa m1 contro un’altra ferma di massa m2
le rispettive velocità sono uguali e opposte. Si determini il rapporto tra le masse.
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SOL.- Urto:
1.- conservazione della quantità di moto m1V  m1v  m2 v ;
1
1
2.- conservazione dell’energia cinetica: m1V 2  ( m1  m2 )v 2 .
2
2
Elevando al quadrato la prima e facendo il rapporto con la seconda si ottiene m2 / m1  3 .
Nel vertice della sua parabola distante xv=1000 m dal punto di lancio e a un’altezza h=19,6 m un
proiettile esplode in due frammenti di uguale massa. Mentre il primo frammento cade al suolo,
supposto orizzontale, esattamente sulla verticale del punto di esplosione dopo t1=1 s
dall’esplosione stessa, trascurando ogni resistenza dovuta al mezzo, determinare la distanza dal
punto di lancio ove cade il secondo frammento.
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SOL.- Detta V la velocità (orizzontale) che il proiettile possiede un attimo prima dell’esplosione, v1 e
v2 le velocità dei due frammenti dopo l’esplosione, per la conservazione della quantità di moto si ha
2mV  mv1x  mv2 x , 0  mv1 y  mv2 y .
Per il primo frammento si ha v1x  0 , quindi: v2 x  2V e v 2 y  v1 y .
Poiché il vertice della parabola viene raggiunto dal proiettile in un tempo pari a quello di caduta
libera da tale punto tv  2h / g =2 s, la velocità orizzontale del proiettile prima dell’esplosione è
V  xv / tv  500 m/s. Dalle equazioni orarie dei moti dei due frammenti scritte, per semplicità,
rispetto a un sistema di coordinate con origine nel vertice della parabola
x1 (t )  xv ,
y1 (t )  v1 y t  gt 2 / 2
x2 (t )  v2 x t ,
y2 (t )  v2 y t  gt 2 / 2 .
Imponendo y1 (t1 )  h , v 2 y  v1 y si ottiene per il secondo frammento il tempo di caduta e la
distanza dal punto di esplosione. In definitiva si ha per il secondo frammento x2c=5000 m.
Dentro una nuvola omogenea in quiete di particelle solide un velivolo spaziale si muove a velocità
costante con una spinta F0=1,5106 N. Di quanto deve variare il velivolo la propria spinta per
raddoppiare la velocità supponendo gli urti con le particele perfettamente anelastici?
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SOL.- La massa delle particelle urtate nell’unità di tempo è proporzionale alla velocità del velivolo.
La variazione di quantità di moto conferita a tale massa, inizialmente ferma, è quindi proporzionale
al quadrato della velocità. Poiché la spinta è pari alla variazione della quantità di moto nell’unità di
tempo, per raddoppiare la propria velocità la spinta deve diventare F=4F0, sicché la variazione di
spinta deve essere F=F-F0=3F0=4,5106 N.
Contro un blocco di legno di massa M= 3 kg, posto in quiete su un piano scabro, viene lanciato con
velocità v= 40 m/s orizzontale un proiettile di massa m= 100 g che vi resta conficcato. Se dopo l’urto
il blocco percorre sul piano un tratto lineare s= 10 m prima di fermarsi, determinare il coefficiente di
attrito dinamico esistente tra il blocco e il piano.
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SOL.- Nell’urto totalmente anelastico si conserva la quantità di moto: mv  (m  M )V . Lo spazio
1
percorso è ricavabile dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica: (m  M )V 2  (m  M )gs , da
2
2
1  mv 
cui  

  8,5 10-3.
2sg  m  M 
Un blocco, inizialmente fermo, di massa M= 1 kg con un profilo di un
quarto di circonferenza di raggio R= 0,5 m è libero di muoversi senza attrito
su un piano orizzontale fisso. Un punto materiale di massa m= 0,2 kg
scivola senza attrito, partendo da fermo dal punto più alto del blocco,
Determinare la velocità del blocco rispetto al piano fisso quando il punto
raggiunge il piano.
·m
M
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SOL.- Detta y la quota del punto materiale rispetto al piano, per la conservazione dell’energia
1
1
meccanica (l’unica forza che compie lavoro è il peso) si ha: mv 2 (t )  MV 2 (t )  mgR  y (t ) .
2
2
Per y=0 le velocità del punto e del blocco sono v e –V rispettivamente e tenendo conto della
conservazione della quantità di moto lungo l’asse x orizzontale si ha:
2mgR
V 
 0,57 m/s.
M2


 M 
 m

Un proiettile si muove alla velocità v= 500 m/s ed esplode in tre frammenti di uguale massa
aumentando l’energia cinetica di = 50%. Determinare la massima velocità che può avere uno dei
tre frammenti.
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SOL.- Per la conservazione della quantità di moto la velocità massima sarà posseduta da un
frammento se esso si muove nella direzione iniziale del moto, mentre gli altri due si muovono in
verso opposto. Ciò significa che nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa i due
frammenti che si muovono all’indietro possiedono velocità metà di quella massima. Poiché l’unica
energia che può variare è quella rispetto al centro di massa, si ha
1 m  vrc, max

2
2 3  2
2
 1m 2
1
 
vrc, max   mv2 . La velocità richiesta è data, per la composizione delle
2
 23
velocità, da vmax  vrc, max  v  v(1  2 ) = 1000 m/s.
Su un carrello di massa m0= 200 kg, che inizia a muoversi sotto l’azione di una forza orizzontale
costante F= 300 N, da un serbatoio sovrastante discende sabbia al tasso costante k=dm/dt= 25 kg/s.
Determinare l’espressione della velocità del carrello in funzione del tempo fornedone il valore
numerico all’istante t*=10 s dopo l’inizio del moto e del caricamento.
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SOL.- La massa del carrello varia nel tempo secondo la legge m(t )  m0  kt . Il secondo principio
della dinamica per un osservatore inerzaile si scrive Fdt  d (mv) , che integrata tra l’istante iniziale,
t
t
0
0
ove v(0)=0, e l’istante generico t, fornisce F  dt  d (mv)  (m0  kt)v(t ) da cui si ha
v(t ) 
Ft
, che per l’istante t* fornisce v(t*)= 6,67 m/s.
m0  kt
Un razzo di massa iniziale m0= 103 kg deve essere lanciato verticalmente dalla superficie terrestre.
Sapendo che la velocità di emissione dei gas relativa al razzo è vr= 3 103 m/s si determini la massa
di carburante consumata nell’unità di tempo affinché la spinta equilibri il peso.
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dm m0 g

 3, 27 kg/s.
SOL.- La massa richiesta è data da
dt
vv