Lavoro di una rotazione - Digilander

LAVORO IN UNA ROTAZIONE
(LAVORO DI UN MOMENTO DI FORZE)
Miss Rotazione: la Madre di tutte le trasmissioni di energie meccaniche
Uno dei modi più comuni di trasmettere Lavoro è
attraverso una rotazione; infatti, praticamente ogni
motore trasmette l’energia che produce attraverso la
rotazione di ingranaggi. Per capire meglio questo
concetto, analizziamo brevemente come un motore
trasmette l’energia che produce ai meccanismi che
deve
muovere.
I
motori
che
utilizziamo
maggiormente sono a combustibile chimico (benzina, gasolio, cherosene…): il carburante viene inserito in un
cilindro dove viene trasformato in gas: espandendosi, spinge un pistone (o stantuffo). Il meccanismo più
semplice per trasferire energia dal motore alla ruota è quello di collegare direttamente il pistone del cilindro
motore alla ruota con una sbarra (biella): uno schema di questo accoppiamento biella-ruota è mostrato nel
video https://www.youtube.com/watch?v=MoNvWJyBp0Q. Nota che la biella è collegata alla ruota in modo
decentrato: in questo modo la forza data dallo stantuffo possiede anche un braccio (la distanza della biella
dal fulcro della ruota) cosicché la spinta dello stantuffo genera un momento di forze rotatorio () uguale al
prodotto forzabraccio, che fa girare la ruota.
Per motori più complessi come quelli moderni lo schema è un po’ più articolato, come è mostrato in figura 1.
Figura 1
Guarda la figura 1(a): il cilindro (C) riceve il combustibile che viene bruciato, diventando gas: il vapore
prodotto si espande (A) e spinge il pistone (B). Il pistone è sempre unito alla biella (D) che può essere
collegata ad una ruota (manovella, F) o ad un albero (l’albero a gomiti) in uno dei suoi gomiti (figura 1b):
nota che sia l’aggancio alla manovella sia quello dei gomiti è decentrato proprio per fornire il braccio
necessario a produrre il momento  per far ruotare la manovella o l’albero. Il pistone spinge la biella la quale
spinge la manovella o il gomito dell’albero, che si mette a ruotare facendo ruotare il volano collegato a sua
volta alla ruota motrice. E’ complicato? per capire come funzionano tutti questi movimenti puoi guardare il sito
https://it.wikipedia.org/wiki/Albero_a_gomiti.
Non vi spaventate: all’esame di Fisica non sono previsti quiz riguardanti l’accoppiamento pistone-biellamanovella: la cosa che mi interessa è farvi notare che, a parte il moto del pistone che è lineare (cioè il
pistone avanza ed indietreggia secondo una linea retta), il motore trasmette la sua energia con movimenti
esclusivamente rotatori!
In pratica, ogni macchina, agricola o no, riceve energia attraverso una serie di rotazioni: se
osservate bene, qualunque movimento prodotto da una qualsivoglia macchina è trasmesso attraverso un
volano accoppiato ad un albero motore, cioè ad un albero che viene fatto ruotare da un sistema pistone-biella.
Dunque, se volete comprendere al meglio il funzionamento delle macchine agricole che dovrete utilizzare vi è
necessario imparare in che modo una rotazione trasmette il Lavoro ricevuto: poiché stiamo parlando di
rotazione e non di traslazione, la grandezza che dovrà apparire dovrà essere il momento () e non la forza (F).
Calcolo del Lavoro di una rotazione
Come è già noto (spero), il Lavoro (L) prodotto da una forza F è dato dalla formula1:
L = PF//
(1)
con P lo spostamento del corpo e F// la componente della forza
parallela allo spostamento. Poiché l’eq. (1) è generale, essa deve
valere anche nel caso di un moto rotatorio. Guarda la figura 2:
rappresenta una forza F che fa ruotare un disco intorno al punto O.
La distanza di F da O è R. Nota che F// è sia parallela allo
spostamento –cioè è quella che produce Lavoro- sia perpendicolare
ad R –cioè è quella che produce momento rotatorio-.
Conviene esprimere lo spostamento non tanto direttamente in metri
ma in numero di giri: poiché un singolo giro è lungo 2R , se la
ruota esegue un numero di rotazioni Ngiri allora P= Ngiri 2R
e l’eq. (1) diventa:
L = Ngiri2RF//
(2)
Figura 2
Ma abbiamo appena detto che F// è anche la componente della forza perpendicolare alla distanza R e perciò
è l’unica che genera il momento rotatorio : perciò =RF// e l’eq. (2) diventa:
L = Ngiri2
(3)
L’eq. (3) è quella che cerchiamo: essa ci permette di calcolare il Lavoro di una rotazione una volta noto il
momento agente e il numero di giri eseguito. Adesso vediamo di risolvere qualche problema per impratichirci.
Il motore dell’auto
Un’auto di massa complessiva M=800kg si muove con velocità 50km/h (13,89m/s) lungo una strada con
attrito dinamico Fd praticamente nullo (e perciò può andare praticamente per inerzia, anche a motore spento
mantenendo una velocità costante). Essa vuole aumentare velocità! Per fare questo il suo motore le deve
erogare una forza Fm che la fa accelerare. Se il motore applica un momento =45Nm alla manovella e
durante l’accelerazione essa ha eseguito 300 rotazioni, quanto Lavoro ha erogato il motore? Qual è la
velocità finale dell’auto?
Per risolvere il problema si applica direttamente l’eq. (3):
L = Ngiri2 = 300245 = 84.780 J
Per il calcolo della velocità finale si usa2: Kf = Ki + L  ½800Vf2 = ½800(13,89)2 + 84.780 J =
161.952,84 J  Vf = 20,12 m/s (72,4km/h)
1
Negli appunti “ ENERGIA – teoria e formule” , eq. (9)
2
Come dimostrato negli appunti “ENERGIA –teoria e formule”
Se per dare la stessa energia di cui sopra il motore durante l’accelerazione avesse eseguito 150 giri, quale
sarebbe stato il valore del momento  applicato dal motore?
Si applica di nuovo l’eq. (3): L = Ngiri2  84.780 J = 1502   = 90Nm
Nota che, dimezzando il numero di rotazioni il momento necessario a fornire il Lavoro è raddoppiato.
Possiamo perciò affermare che a parità di Lavoro eseguito, momento
 e Ngiri sono
inversamente proporzionali.
Il sollevamento di un peso
Per continuare ad illustrare il significato fisico dell’eq. (3) risolviamo un
altro problema (vedi figura 3): voglio sollevare una massa M di 10kg
con un argano (A), fatto ruotare da un volano (B) collegato ad un
albero motore che viene fatto ruotare da un motore (questi ultimi due
elementi non sono disegnati in figura). Supponiamo che sul volano sia
applicato un momento  = 30Nm, quanti giri deve ruotare affinché la
massa M si sollevi di un tratto h=1,5m? Affinché lo spostamento non
danneggi l’argano esso deve avvenire a velocità costante (Vi = Vf
 Ki = Kf), come avviene praticamente per ogni macchina.
Figura 3
L’equazione del Lavoro è: L = Kf – Ki. In questo caso, il Lavoro è dato da due forze: il peso di M e la
forza che fa girare l’argano fornendo il momento . Poiché Vf = Vi  Kf = Ki e dunque: L = Kf – Ki
= 0J. Quest’equazione rispecchia la legge generale che, per avere un moto uniforme il Lavoro
complessivo deve essere nullo.
Il Lavoro totale , L , è uguale alla somma dei due termini:
L = Lvolano + Lpeso = Ngiri2 + (-29,4 J)
Lvolano è il Lavoro motore, cioè quello che spinge il peso nel suo movimento verso l’alto:
Lvolano = Ngiri2
Lpeso è il Lavoro resistente, cioè quello che contrasta il movimento:
Lpeso = Mgh = 2kg9,8N/kg(-1,5m) = -29,4 J (il “-“ è presente perché h è in salita) 3
Infine: L = 0  Ngiri2 + (-29,4 J) = 0  Ngiri = 29,4J/(230) = 0,156 giri.
In pratica, il volano deve ruotare per meno di 1/6 della sua circonferenza per sollevare M (per la
precisione, poiché in un giro ci sono 360°, il volano deve ruotare per 360°0,156 = 56,16°).
3
Come dimostrato negli appunti “LAVORO DELLA FORZA PESO”