PROGRAMMA DEL MODULO DI FISICA MATEMATICA PER IL CORSO DI L. M. IN
INGEGNERIA DELL’AUTOMAZIONE, A. A. 2013-14(PROF. G. FIORE)
1 - CINEMATICA
Richiami sui moti rigidi: spazio e terna solidali, vettore velocità angolare e formule di Poisson,
formula fondamentale delle velocità in un moto rigido. Moti ed atti di moto rigido particolari.
Teorema di Mozzi.
Richiami sui moti rigidi piani. Atti di moto rigido piano. Teoremi sui centri di rotazione assoluti e
relativi in sistemi articolati in moto rigido piano (Chasles, regole di allineamento, etc.).
Coordinate normali, vincoli olonomi unilaterali/bilaterali, fissi/mobili, interni ed esterni.
Spostamenti virtuali, coordinate lagrangiane, grado di libertà.
2 - GEOMETRIA DELLE MASSE
Calcolo dell’energia cinetica di un solido con atto di moto rotatorio attorno ad una retta r: il
momento di inerzia Ir. Tensori doppi come endomorfismi di uno spazio vettoriale euclideo; criteri
di tensorialità di una matrice. Tensore di inerzia ed il calcolo del momento angolare e dell’energia
cinetica di un solido con un punto fisso O. Momenti e prodotti di inerzia rispetto ad una terna
ortonormale. Legge di variazione di Ir per r in una stella di centro O. Teorema di Huygens.
Ellissoide d’inerzia. Piani, assi e momenti principali/centrali di inerzia. Ruolo delle simmetrie del
solido nella ricerca degli assi principali d’inerzia. Legge di variazione della matrice d’inerzia per
traslazione di una terna baricentrale. Matrice d’inerzia per sistemi materiali piani, in particolare nel
caso del segmento, rettangolo, disco omogenei, per sistemi composti. Esercizi.
Ricerca degli assi e momenti principali di inerzia come soluzione di un problema agli autovettori:
teorema di esistenza di una base ortonormale di autovettori per tensori doppi simmetrici su spazi
vettoriali di dimensione arbitraria. Formula risolutiva per le equazioni algebriche di terzo grado.
3 - DINAMICA DEI SISTEMI MATERIALI
La formulazione delle leggi della dinamica classica attraverso le Equazioni Cardinali della
Dinamica (ECD). ECD nella prima forma per un sistema particellare, teoremi della quantità di
moto, del moto del baricentro e del momento della quantità di moto. Equivalenza al variare del
polo. Relazione tra le ECD di sistemi disgiunti e quelle della loro unione. Teoremi di Koenig.
Dinamica di un solido con asse fisso (liscio) con le ECD: determinazione del moto, dei cimenti
dinamici e delle reazioni vincolari. Bilanciamento statico e dinamico dei cimenti dinamici.
Applicazione: pendolo composto.
Dinamica di un solido con punto fisso (liscio) con le ECD: equazioni di Eulero. Caso libero (o di
Poinsot) e sue soluzioni: rotazioni permanenti, precessioni regolari dei giroscopi, descrizione
qualitativa della soluzione tramite la costruzione di Poinsot nel caso generale; integrale dell’energia
e del quadrato del momento angolare. Cenni sull’effetto giroscopico, ed applicazione alla trottola
(giroscopio) pesante. Dinamica di un solido libero.
Vincoli ideali, vincoli lisci e Principio delle Reazioni Vincolari (PRV). Derivazione delle
equazioni di Lagrange per un sistema di particelle e/o solidi soggetti a vincoli olonomi, bilaterali;
estensione a sistemi contenenti anche solidi. Linearizzazione e disaccoppiamento delle equazioni di
Lagrange attorno a posizioni di equilibrio stabile.
