SI – 01 - Università degli studi di Pavia

Esercizio: MM_ScI – 02
(Scelta tra investimenti alternativi)
Uno studente di 20 anni, terminate le scuole medie superiori, può scegliere una delle due
seguenti alternative:
A) iniziare subito a lavorare. In tale caso guadagnerà 2.075 Euro ogni mese (per 12 mensilità
all'anno, con pagamento alla fine di ogni mese),
B) iscriversi all' Università. In tale seconda alternativa guadagnerà, dopo avere completato gli studi,
2.500 euro al mese (sempre per 12 mensilità all'anno, con pagamento alla fine di ogni mese). Per
completare gli studi universitari occorreranno 5 anni (con probabilità del 20%), oppure 6 anni (con
probabilità del 30%), oppure 7 anni (con probabilità del 50%)1.
Tenendo conto che ogni anno di Università comporta una spesa di 3.000 Euro (da sostenersi
anticipatamente all'inizio di ogni anno) e che la vita lavorativa viene stimata in 40 anni (da quando
si inizia a lavorare), si determini:
a) se conviene iniziare subito a lavorare, o iscriversi all'Università, utilizzando il criterio del
REA con un tasso annuo di interesse pari al 0,2% mensile, relativo all’intera vita lavorativa del
soggetto in questione (40 anni) 2;
b) quale scelta converrebbe invece effettuare nel caso in cui si tenesse conto del fatto che solo il
60% degli iscritti termina gli studi universitari (in 5, 6 o 7 anni, nelle proporzioni già sopra indicate)
mentre tutti gli altri interrompono gli studi alla fine del terzo anno (e da tale momento in poi la loro
vita lavorativa sarà quella descritta nell’alternativa “A”)3.
c) Si accenni poi a cosa cambierebbe nella procedura di calcolo se si volesse tenere conto anche
della probabilità di morte.
RISOLUZIONE.
 a) se conviene iniziare subito a lavorare, o iscriversi all'Università, utilizzando il criterio del REA
con un tasso annuo di interesse pari al 0,2% mensile.
Ricordato che il valore attuale “V” di una rendita periodica, certa, immediata, posticipata, di
n termini, con rata costante R, valutato al tasso (periodale) j è calcolabile tramite l’usuale formula:
V  R
1  (1  j )  n
j
) Per semplicità vengono considerati dei compensi mensili costanti per tutta la vita lavorativa. E’ ovvio che la realtà è
diversa, basta però considerare che gli importi in questione siano riferiti a “valuta corrente”, cioè già depurata
dall’inflazione, per rendere un po’ meno irrealistica l’ipotesi adottata.
2
) Allo scopo di semplificare il tipo di problema si è considerata una vita lavorativa pari a quaranta anni in ognuna delle
alternative considerate. Così facendo la durata del progetto (determinata dall’epoca alla quale si smetterà di lavorare)
risulta differente nei vari casi considerati. Le alternative in questione, quindi, non sono tra loro omogenee (secondo le
condizioni normalmente imposte). Per semplicità non viene comunque trattato questo aspetto del problema che
condurrebbe, ad esempio, ad ipotizzare l’introduzione di opportune operazioni integrative atte ad uguagliare la durata
complessiva delle differenti alternative. Si invita comunque il lettore, dopo avere risolto il problema ignorando la
disomogeneità delle alternative, ad impostare la risoluzione del problema considerando anche questo particolare aspetto.
3
) Viene, per semplicità, ipotizzato che tutte le interruzioni del percorso universitario avvengano alla fine del terzo
anno. Per rendere più realistico l’esempio trattato si potrebbe ipotizzare, ad esempio, che l’abbandono degli studi
universitaria possa avvenire, con probabilità da assegnarsi, alla fine di ciascuno degli anni considerati.
1
1
e che il tasso annuale i equivalente al tasso mensile j (in capitalizzazione composta, convenzione
esponenziale) è dato da:
i  1  j   1
12
si ottengono i seguenti valori dell’indice di scelta REA riferiti alle alternative “A” (iniziare subito a
lavorare) e “B” (iscriversi all’università)4:
1  1,002
REA(A) = 2.075 
0,002
 480
 2.075  308,37 = 639.867,75  639.868.
Per quanto riguarda l’alternativa “B”, dopo avere preventivamente calcolato il tasso annuale
i equivalente (in capitalizzazione composta) al tasso mensile j del 0,2%: i = 1,00212-1  0,024265 ,
si ottiene:
 480
5

1  1,002 
1  1,024265
5
2
.
500


1
,
024265

3
.
000

1,02465 

0
,
002
0
,
024265


 683.833,4  14.305,9  669.527,5
con probabilit à p1  0,2


 480
6

1  1,002 
1  1,024265
6
2.500 
1,024265  3.000 
1,02465 
REA(B) = 
0,002
0,024265

 667.633,4  16.967,0  650.666,4
con probabilit à p 2  0,3



 480
7
1  1,024265
7
2.500  1  1,002 
1,024265  3.000 
1,02465 

0,002
0,024265


 651.817,0  19.565,1  632.251,9
con probabilit à p 3  0,5
Il valore medio di tale variabile casuale vale:
Media[REA(B)] = 669.527,5  0,2 + 650.666,4  0,3 + 632.251,9  0,5  645.231 .
Poiché il REA dell’alternativa “A” risulta inferiore a quello (medio) associabile all’alternativa “B”:
REA(A) = 639.868 < Media[REA(B)] = 645.231
si conclude che sulla base dell’indice di scelta previsto (REA al tasso mensile del 0,2 %) risulta più
conveniente proseguire negli studi universitari (ignorando le questioni connesse con le diverse
durate delle due alternative).
4
) Il REA(A) sarà misurato da un valore di importo certo, il REA(B) è invece aleatorio e sarà quindi rappresentabile da
una variabile casuale.
2
Vale però la pena di osservare che mentre nel caso “A” si opera in condizioni di certezza,
nel caso “B” si è in presenza di dati aleatori e che quindi l’impiego del valore medio del REA
potrebbe essere criticato (in quanto non viene presa in considerazione alcuna “avversione nei
confronti del rischio”). Volendo allora operare introducendo una certa penalizzazione per il rischio
si potrebbe:
i) utilizzare una funzione che riduca il valore dell’indice di scelta riferito al REA tanto più quanto il
progetto relativo è caratterizzato da fattori di incertezza. Tra le tante espressioni possibili una della
più semplici è la seguente:
REA*(B) = Media[REA(B)] - [REA(B)]
con:
REA*(B)

[REA(B)]
indice di scelta corretto per il rischio
coefficiente soggettivo di avversione al rischio5
scarto quadratico medio della Variabile Casuale REA(B)6
Nel caso in cui alla grandezza  venga assegnato, ad esempio, il valore 0,5 e valendo
[REA(B)] = (669.527,5 - 645.231,37)2  0,2 + (650.666,4 - 645.231,37)2  0,2 +
+ (632.251,9 - 645.231,37)2  0,2  14.531 .
si otterrebbe:
REA(A)= 639.868 > REA*(B)=Media[REA(B)] - [REA(B)]=645.231 - 0,5  14.531  637.965
Nella situazione sopra riportata l’alternativa “A” risulterebbe ora preferibile alla “B”7.
ii) utilizzare una funzione di utilità u(x) allo scopo di calcolare l’indice di scelta basato sulla “utilità
attesa”.
Ricordato che una funzione di utilità u(x) fornisce i valori, espressi in termini di utilità,
relativi a “x” unità del bene considerato (ove il bene considerato è spesso il denaro) 8, può essere ad
esempio utilizzata, per semplicità, la seguente funzione:
u ( x)  x
) Il coefficiente  misura il livello di avversione soggettivo nei confronti del rischio (la quantificazione del suo valore
viene quindi stabilito dal soggetto decisore). Valori di  positivi indicano avversione al rischio (quanto più elevato è il
valore numerico di  e tanto maggiore sarà l’avversione), un valore nullo di  indica indifferenza al rischio, valori
negativi di  indicano propensione al rischio (quanto minore è il valore numerico di  e tanto maggiore sarà la
propensione al rischio)
6
) Si ricorda che lo scarto quadratico medio  di una variabile casuale è dato dalla radice quadrata della varianza 2 e
che la varianza è data dalla somma dei quadrati degli scarti ciascuno moltiplicato per la relativa probabilità.
7
) La variazione dell’ordinamento di preferibilità dipende, ovviamente, dall’avversione al rischio che si è considerata
(=3). In presenza di una minore avversione al rischio (<1,96) l’alternativa “A” sarebbe rimasta la migliore.
8
) In generale le funzioni di utilità hanno derivata prima positiva (sono quindi funzioni crescenti) con derivata seconda:
positiva, nel caso di avversione al rischio; nulla, nel caso di indifferenza al rischio; negativa, nel caso di propensione al
rischio. Si possono però prendere in considerazione anche funzione di utilità con caratteristiche diverse da quelle citate.
Nel caso classico di avversione al rischio si ha quindi che l’utilità complessiva u(x) relativa ad “x” unità di bene cresce
al crescere della quantità “x” del bene considerato (derivata prima positiva), ma cresce sempre di meno (derivata
seconda negativa), cioè a dire che l’utilità marginale decresce sempre più al crescere di “x”.
5
3
si otterrebbe:
Utilità di REA(A) =
639.868  800 .
 669.527,5  818,2



Utilità di REA(B) =  650.666,4  806,6


 632.251,9  795,1

con probabilit à p1  0,2
con probabilit à p 2  0,3
con probabilit à p 3  0,5
Il valore medio della utilità sopra riportata varrebbe quindi:
Media{Utilità di REA(B)} = 818,2  0,2 + 806,6  0,3 + 795,1  0.5  803 .
Il valore di tale utilità, riferita all’alternativa “B”, va ora confrontato con l’analogo valore di utilità
associata all’alternativa “A”:
Risultando quindi:
Media{Utilità di REA(B)}  803 > Utilità di REA(A)  800
si può affermare che, sulla base delle ipotesi utilizzate ed adottando la funzione di utilità sopra
precisata (u(x)=x), l’alternativa “A” risulta preferibile all’alternativa “B” in quanto conduce ad un
valore di utilità superiore.9
 b) quale scelta converrebbe invece effettuare nel caso in cui si tenesse conto del fatto che solo il
60% degli iscritti termina gli studi universitari (in 5, 6 o 7 anni, nelle proporzioni già sopra indicate)
mentre gli altri interrompono gli studi alla fine del terzo anno (e da tale momento in poi la loro vita
lavorativa sarà quella descritta nell’alternativa “A”).
Nel caso considerato, indicata con “B*” la nuova alternativa presa in considerazione,
occorrerà semplicemente calcolare la variabile casuale associata al REA della alternativa “B*”
9
) Si ricorda che le funzioni di utilità u(x) con derivata seconda negativa (avverse al rischio) operano, nei confronti di
risultati aleatori (descritti, ad esempio, da una variabile casuale X), penalizzando (cioè: riducendo) il valore della utilità
media. Tale penalizzazione risulterà tanto più consistente quanto maggiore è la dispersione della variabile casuale X che
descrive i possibili risultati. Risulta inoltre possibile quantificare l’entità di tale penalizzazione utilizzando la funzione
inversa della funzione di utilità [u-1(x)] calcolando il c.d. “costo del rischio” dato dalla seguente relazione: costo del
rischio = media{X} - u-1(media delle utilità). Nel caso sopra considerato, ricordando che la funzione inversa
dell’estrazione di radice è l’elevamento a potenza, si otterrebbe (utilizzando per semplicità i valori arrotondati): costo
del rischio = 645.231 – 8002 = 5.231 .
4
(tenendo presente che: la probabilità di arrestare gli studi alla fine del terzo anno, senza laurearsi,
vale: 0,4; la probabilità di laurearsi alla fine del quinto anno vale: 0,60,2=0,12; la probabilità di
laurearsi alla fine del sesto anno vale: 0,60,3=0,18; la probabilità di laurearsi alla fine del settimo
anno vale: 0,60,5=0,30. Nessuna altra situazione è possibile):
 480
5

1  1,002
1  1,024265
5
2
.
500


1
,
024265

3
.
000

1,024265 

0
,
002
0
,
024265


 683.833,4  14.305,9  669.527,5
con probabilit à p1  0,12


 480
6

1  1,002
1  1,024265
6
2.500 
1,024265  3.000 
1,024265 
0,002
0,024265


 667.633,4  16.967,0  650.666,4
con probabilit à p 2  0,18

REA(B*)  

 480
7
1  1,024265
7
2.500  1  1,002
1,024265  3.000 
1,024265 

0,002
0,024265

 651.817,0  19.565,1  632.251,9
con probabilit à p 3  0,30



 480
3
1  1,002 
1  1,024265

3
1,024265  3.000 
1,0242605 
2.075 
0,002
0,024265


 595.460,72  8.778,47  586.682,25 con probabilit à p 4  0,40
Il valore medio di tale variabile casuale vale:
Media[REA(B*)] = 669.527,50,12+650.666,40,18+632.251,90,30+586.682,250,40  621.811
Poiché il REA dell’alternativa “A” risulta superiore a quello associabile all’alternativa “B”:
REA(A) 639.868 > Media[REA(B)] = 621.811
si conclude che sulla base dell’indice di scelta previsto (REA al tasso mensile del 0,2 %), dei valori
di probabilità assunti, e ignorando le questioni connesse con il rischio, risulta ora più conveniente
non proseguire negli studi universitari.10
Come già mostrato con riferimento alla situazione precedentemente analizzata (alternativa
“B”, senza possibile interruzione degli studi alla fine del terzo anno) si potrebbe ora operare
effettuando delle valutazioni più approfondite che tengano conto della incertezza caratterizzante
10
) In tema di avversione nei confronti del rischio si osservi che il dato eventualmente da penalizzare sarebbe il valore
medio del REA(B), essendo l’alternativa “A” caratterizzata da soli dati considerati certi. Poiché il valore medio del
REA(B) risulta già inferiore al corrispondente REA(A) si può tranquillamente affermare che le procedure di
penalizzazione del rischio non modificherebbero in ogni caso l’ordinamento di preferibilità limitandosi a ridurre
ulteriormente il valore dell’indice che già risulta inferiore.
5
l’alternativa “B*” procedendo quindi mediante una tecnica di valutazione che penalizza la presenza
di elementi di rischio. Si lascia al lettore di effettuare le analisi relative.
 c) Si accenni poi a cosa cambierebbe nella procedura di calcolo se si volesse tenere conto anche
della probabilità di morte.
Qualora si volesse prendere in considerazione anche la possibilità che il soggetto in
questione muoia prima di avere completamente concluso il periodo di vita lavorativa (ipotizzato
pari a 40 anni, ad iniziare dal momento in cui si è iniziato a lavorare) si dovrà operare ricordando
che ognuna delle poste considerate (sia in uscita, nel corso dell’eventuale perfezionamento degli
studi, sia in entrata, durante gli anni di lavori) avrà in realtà natura aleatoria in quanto l’effettivo
pagamento, o l’effettiva riscossione, avverrà solamente nel caso in cui il soggetto sia in vita.11
11
) Per semplicità supporremo che sia gli esborsi, che gli incassi, verranno effettivamente e completamente corrisposti
solamente nel caso in cui il soggetto sia in vita nell’istante in cui tali esborsi, o tali incassi, sono stati ipotizzati. Non
considereremo quindi, ad esempio, la possibilità di corrispondere, o incassare, solamente una frazione degli importi
considerati in conseguenza di decesso nel corso dell’anno (per gli esborsi) o del mese (per gli incassi).
6