MISURE OTTICHE
lunedì 25 giugno 2007
Prof. Cesare Svelto
1a Prova d’esame (o 2° Compitino) AA 2006/2007
Tempo a disposizione 1h50min o 1h40min
Aula E.L.1 ore 16.00
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________
(stampatello)
CdLS e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________ (firma leggibile)
Esercizi svolti (almeno parzialmente)
Compito intero : 1 2 4
2° compitino : 3 4 5
PUNTEGGI:
(11+10+12=33 p)
(12+13+8=33 p)
N.B. gli esercizi non crocettati non saranno corretti (si chiede di crocettare tutti i sottopunti ai quali si è
dato risposta); esercizi o sottopunti crocettati ma non svolti comporteranno una penalità.
SOLUZIONI
(35 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1a) Si descriva il meccanismo di pompa e azione laser a 3 livelli e si commentino vantaggi e svantaggi di
questo schema rispetto a quello a 4 livelli. Si commentino le differenze di efficienza nel pompaggio ottico a
lampade o mediante diodi laser.
1b) Cosa si intende per oscillazione laser a singola frequenza? Come è possibile ottenere una oscillazione
ottica “monofrequenziale”? Si descrivano le principali cause di instabilità di frequenza per un laser a stato
solido pompato a diodi. Come è possibile limitare (passivamente) o ridurre (attivamente) il rumore di
frequenza?
1c) L’uscita di un laser NPRO a Nd:YAG, praticamente diffraction-limited, ha una dimensione di macchia
w0=200 m all’uscita dello specchio multidielettrico. Si vuole collimare il fascio d’uscita su un range di
1.3 km. Si dimensioni il telescopio di collimazione sapendo che la prima lente (oculare) ha focale f=5 cm e si
trova a 4 cm dall’uscita del laser NPRO.
1d) Finesse e free-spectral-range (FSR) di un interferometro Fabry-Perot: si forniscano definizioni e formule
per questi parametri nel caso di una cavità ottica a specchi (identici) piani e paralleli. Se gli specchi hanno
riflettività R=R1=R2=98 % e si trovano a 5 cm di distanza l’uno dall’altro, si calcolino i valori dei due
parametri precedentemente definiti e si valuti il fattore di merito della riga di risonanza alla una lunghezza
d'onda di 1550 nm.
1e) Se è possibile collocare i due specchi di cui sopra lungo un lato di un tavolo ottico da 2.51.2 m2, come
si devono posizionare gli specchi in modo da ottenere il minimo FSR? Quanto vale questo FSR? Quanto vale
approssimativamente la pendenza di discriminazione (Hz-1) sul bordo frangia della riga di trasmissione?
21a,b)
Vedi appunti e dispense del Corso.
21c) Per
collimare il fascio laser sul range L=1300 m, occorre posizionare al centro del range (Z=L/2=650 m)
un beam waist con dimensione di macchia w0=[Z/]1/2[(1.064×10-6 m)(650 m)/3.14]1/21.5 cm. La
magnificazione del telescopio è M=w0/w0L=74.
Indicando con d la distanza tra l’oculare e l’uscita del laser e con F la focale della seconda lente del
telescopio, il waist proiettato a distanza Z=L/2 dalla seconda lente del telescopio è w0(Z/F)(f/d)w0L per cui
la focale cercata è F=Z(f/d)(w0L/w0)=650 m(5/4)(0.2/26)=10.95 m11 m.
21d) Vedi
appunti e dispense del Corso.
Indicando con R la riflettività in potenza degli specchi, posti a distanza L, la finesse si calcola come
F= R / 1 R =155 mentre il free-spectral-range vale FSR=c/2L=3 GHz.
Il fattore di merito della risonanza è Q=0/FWHM=(c/0)/(FSR/F)(282 THz)/(3 GHz/155)14.5106.
In maniera ancora più approssimata, Q=0/(FSR/F)(300 THz)/(3 GHz/150)=15106.
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Se valutato a =1550 nm, anziché a =1064 nm, il fattore di merito è Q10106.
21e) Per
ottenere il minimo free-spectral-range occorre massimizzare la distanza L tra gli specchi e
dunque disporli ai due estremi del lato lungo del tavolo: L=2.5 m. Così operando, si ottiene un free spectral
range FSR=c/2L=60 MHz con una larghezza di riga FWHM=FSR/F=387 kHz.
Adottando una approssimazione triangolare per la riga di trasmissione del Fabry-Perot, si ricava una
pendenza S=1/FWHM=1/(387 kHz)=2.510-6 Hz-1.
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(30 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Un elicottero utilizza un telemetro ottico pulsato a Nd:YAG (laser in Q-switching con potenza di picco
1 MW e fascio d’uscita con divergenza 5 mrad). L’ottica di raccolta ha diametro 20 cm e impiega un
fotorivelatore al germanio ( =0.8 A/W), amplificato a transimpedenza con guadagno R=2 k e banda
passante 100 MHz. L’atmosfera presenta una attenuazione di 0.5 km-1 e il bersaglio non cooperativo (=0.5)
è un edificio posto a 800 m dal velivolo.
2a) Si riporti l’espressione che fornisce la potenza ottica ricevuta in funzione della potenza lanciata dalla
sorgente e si calcoli il guadagno d’antenna del telemetro.
2b) Si determini il valore di fototensione di picco all’uscita del ricevitore. Con cosa si deve confrontare tale
livello di segnale?
2c) La risoluzione temporale nella misura di tempo di volo è di 4 ns. Si valuti la risoluzione relativa della
misura di distanza. Si calcoli l’incertezza assoluta (sola quantizzazione) sulla lettura L della distanza
dell’edificio dall’elicottero.
2d) Se dall’edificio viene lanciato un razzo (vrazzo=1800 km/h) contro l’elicottero (praticamente fermo), quale
sarà lo spostamento (shift) Doppler delle frequenze ottiche dell’impulso di ritorno al ricevitore (differenza di
frequenza ottica tra l’impulso lanciato e l’eco ricevuto dal bersaglio, ovvero dal razzo).
Nota: per semplicità di calcolo, si usi il valore c=300 000 km/s per la velocità della luce (nel vuoto e anche nell’aria).
22a) La
potenza ottica ricevuta è
D2
Pr= G r2 Ps =0.5{(0.2)2/[4(800)2]}exp(-20.50.8)106 W3.5 mW
4 Leq
con Ps=1 MW potenza lanciata dalla sorgente, Dr=0.2 m diametro dell’ottica di ricezione, Leq=L/(Tatm)1/2
distanza equivalente dove Tatm=exp(-2L) è la trasmissione, per doppio passaggio, dell’atmosfera (con
=0.5 km-1 attenuazione atmosferica e L=0.8 km tratta di propagazione in atmosfera). Il termine G è il
guadagno del telemetro, che nel caso di un bersaglio non cooperativo vale G=Topt=0.5 essendo Topt1.
Il guadagno “d’antenna” del telemetro è dunque G=0.5 (<1 trattandosi di un bersaglio non
cooperativo).
ricevitore V=RI e I=Pr, dunque
V=RPr=(2103 )(0.8 A/W)(3.510-3 W)5.6 V
Questo segnale andrà naturalmente confrontato con il livello di rumore al ricevitore entro una
banda di 100 MHz.
32b) Al
tempo di volo è T=2L/c, misurato con risoluzione T=4 ns corrispondente a una risoluzione in
lunghezza (costante) L=(c/2)T=0.6 m=60 cm. Pertanto la risoluzione relativa nella misura di distanza e
rel=L/L=(60 cm)/(800 m)0.00075=0.075 %. Anche l’incertezza assoluta, dovuta alla quantizzazione della
misura, è indipendente dalla distanza L ed è pari a u(L)=L/ 12 17.3 cm=18 cm.
32c) Il
lunghezza d'onda di lavoro è 0=1064 nm per cui 0=c/0=282 THz. La velocità di avvicinamento del
razzo all’elicottero è v=1800 km/h=500 m/s. A causa dell’effetto Doppler il segnale di luce ricevuto
sull’elicottero avrà una frequenza r=0+Doppler con Doppler=0(v/c)470 MHz.
Naturalmente lo spettro ottico del laser pulsato non è una sola riga a 0=282 THz ma avrà un profilo a
campana (sin2x/x2) centrato attorno a 0. Tutte le frequenze dello spettro subiranno in prima approssimazione
lo stesso shift Doppler, Doppler, calcolato in precedenza.
22d) La
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(35 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3a) È dato un Ring Laser Gyro ottimizzato per scopi di ricerca scientifica con mezzo attivo a stato solido
Nd:YAG con cavità quadrata, assimilabile per la nostra analisi ad una cavità circolare di raggio
R = 10 m. Si determinino:
- l’espressione e il valore della responsività di frequenza (f = fsagnac/rot);
- il valore di fsagnac che si misura a causa della rotazione terrestre ponendo il RLG parallelamente
all’orizzontale ad una latitudine di 45°, trascurando eventuali effetti di locking);
- la massima velocità di rotazione misurabile da questo giroscopio;
3b) Il RLG del punto 4a) ha una frequenza di aggancio flock = 100 kHz.
Quale è il valore minimo di velocità angolare misurabile?
3c) Da quale effetto risulta teoricamente limitato il valore minimo di velocità angolare misurabile, nel caso
in cui si adottino opportune tecniche di dither per eliminare il problema della zona morta?
3d) Si supponga che uno dei quattro specchi della cavità laser sia posto in vibrazione a causa di disturbi
ambientali, con una escursione massima (misurata ortogonalmente allo specchio) pari a s = 0.1 pm.
Sotto opportune ipotesi semplificative, si determini cosa accade al segnale di battimento di uscita,
supponendo che il giroscopio stia ruotando ad una velocità angolare rot = 5 °/h.
33a)
= 2R/ = (210)/(106410-9) = 18.797 MHz/(rad/s)
Ricordando che rot = terra sin(45°)= 10.6 °/h = 5.1410-5 rad/s, si ha: fsagnac = frot = 966.6 Hz.
La massima velocità di rotazione misurabile è quella per cui lo spostamento di frequenza Sagnac
eguaglia mezzo free spectral range della cavità ad anello: fsagnac,max = FSR/2 = (c/2R)/2 = 4.77 MHz.
Quindi: rot,max = fsagnac,max/f = 0.127 rad/s.
33b)
rot,min = flock/f = 0.0053 rad/s=5.3 mrad/s.
23c) Il valore minimo di velocità angolare misurabile risulta limitato in ultima analisi dalla larghezza di riga
del laser ad anello, che a sua volta dipende dalla potenza circolante in cavità (oltre che dalla qualità e stabilità
del risonatore ottico).
23d) Con = 5 °/h = 2.4210-5 rad/s, si ha: f
rot
sagnac = frot = 454.71 Hz.
Supponendo che lo spostamento dello specchio pari a s corrisponda ad una variazione del raggio
equivalente della cavità pari proprio a s (o comunque dell’ordine di s), si ha una variazione relativa di
responsività data da: f/f = s/R = 10-14. Tale valore rappresenta anche la variazione relativa della
variabile di uscita fsagnac. Si può quindi concludere che la misura della velocità risulta affetta da un
errore trascurabile, dovuto alla variazione del fattore di scala (responsività) dello strumento di misura.
La variazione del perimetro della cavità può anche essere vista come un piccolo dither sulla lunghezza di
cavità, e dunque sulle frequenze del laser ad anello. Tuttavia tale dither è così limitato da non introdurre
vantaggi nello sgancio dei modi dalla zona di locking a bassa velocità angolare e neppure variazioni
apprezzabili nella misura rispetto al RLG con specchi fermi.
Casomai, occorrerebbe osservare che a un disallineamento (piccolo) di uno specchio, rispetto alla
condizione di ottimo allineamento, corrisponderà certamente una diminuzione della potenza laser
disponibile per il giroscopio e di conseguenza si avrà un degrado (piccolo) delle prestazioni di misura.
f
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(45 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si descriva, con l’aiuto di uno schema a blocchi del set-up sperimentale, un sistema di stabilizzazione
Pound-Drever.
4b) Si commentino le differenze di prestazioni ottenibili con la stabilizzazione in frequenza di un laser
rispetto a riferimenti assoluti (molecole) o relativi (Fabry-Perot).
4c) Un laser a Nd:YAG a singola frequenza (del tipo monolitico NPRO) viene duplicato esternamente in un
cristallo PPLN (Periodically-Poled Lithium Niobate) ottenendo 20 mW in seconda armonica a partire da
0.5 W di potenza in fondamentale. L’uscita nel verde viene stabilizzata in frequenza sulla componente
iperfine a1 della riga spettrale R(85)33-0 della molecola di iodio, nota a 563 260 223 513(5) kHz. Il sistema di
stabilizzazione impiega il metodo di Pound-Drever e retroaziona il segnale di errore su una cella Peltier che
regola la temperatura del cristallo NPRO di Nd:YAG. Si suppone che il laser stabilizzato raggiunga un livello
di stabilità in 2a armonica pari a 100 volte meglio dell’accuratezza, u()/, con cui è nota la frequenza della
transizione molecolare.
Nel caso del laser considerato nell’esercizio, si commenti la presunta banda di retroazione del sistema di
controllo e si indichi come si potrebbero migliorare le prestazioni del sistema.
Quanto vale la stabilità di frequenza, assoluta e relativa, ottenuta in 2a armonica? E in fondamentale?
4d) Si considera ancora il laser a NPRO stabilizzato come al punto 4c). La lunghezza d'onda in fondamentale
del laser viene impiegata come riferimento (R) in un wavemeter da laboratorio che opera, in aria, secondo lo
schema mostrato in figura. Per ipotesi il carrello mobile viene arrestato in corrispondenza di un numero intero
di conteggi di frange di interferenza alla lunghezza d'onda di riferimento R.
Nd:YAG
2X
X
s
R
Con l’esperimento si vuole misurare la lunghezza d'onda “incognita” (X) di un laser a He-Ne nel rosso,
spostando il carrello mobile di una quantità s=20 cm.
Quante frange di interferenza si contano sui fotorivelatori PDR e PDX?
Da cosa sono determinati e quanto valgono l’errore e l’incertezza, X e u(X), nella determinazione di
X?
Si commentino le eventuali approssimazioni e ipotesi semplificative adottate e si scriva una soluzione
più completa per la determinazione dell’incertezza u(X) senza approssimazioni.
OPZIONALE:
4e) Due laser a NPRO simili a quello sinora descritto vengono fatti battere su un rivelatore al Si, nel verde, e
su uno al Ge, nell’infrarosso. Se i laser hanno una stabilità di frequenza nel verde al livello di 5×10-10, quanto
varranno le varianze di Allan dei due battimenti (verde e IR)?
24a,b)
Vedi appunti e dispense del Corso.
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34c) La
banda di retroazione del sistema di controllo sarà limitata a pochi hertz a causa del sistema di
attuazione (termico): la costante di tempo termica del cristallo di YAG a NPRO può essere dell’ordine di
qualche secondo. Per aumentare la banda di retroazione e dunque le prestazioni del laser stabilizzato,
converrebbe impiegare un attuatore più veloce: di tipo piezoelettrico (B1kHz-100kHz) o elettroottico
esterno (BkHz-MHz).
L’accuratezza con cui è noto il centro-riga della transizione considerata è u(green)=5 kHz e pertanto,
secondo i dati, la stabilità ottenuta nel verde (2a armonica) è green=u(green)/100=50 Hz, con una stabilità
relativa green/green=(50 Hz)/(563 260 223 513 kHz)=8.9×10-14.
La stabilità di frequenza in (armonica) fondamentale, IR=green/2282 THz, è tale che
IR/IR=green/green=8.9×10-14, esattamente uguale alla stabilità relativa in 2a armonica mentre la stabilità
assoluta in fondamentale è IR=green/2=25 Hz.
lunghezza d'onda in fondamentale è IR=c/IR=1065.2 nm=R con incertezza u(IR)=2u(green),
essendo /=-/ e quindi u(green)/green=u(IR)/IR.
Per il laser nel rosso, sappiamo che =X632.8 nm.
Il fotodiodo PDR conta il cammino ottico 4s (si veda la Figura per comprendere il motivo del fattore 4
rispetto allo spostamento del carrello mobile) in termini di R (una frangia di interferenza ogni R/2) e quindi
conterà un numero di frange
4s 8s
1.6 m
NR=
=1 502 027 frange
R / 2 R 1065.23 10-9 m
Analogamente, per il fotodiodo PDX che conta le frange sulla stessa variazione di cammino ottico (4s)
in termini di X/2 e dunque della lunghezza d'onda incognita, si ottiene
4s 8s
1.6 m
NX=
2 528 445 frange
X / 2 X 0.6328 10- 6 m
Solitamente nella misura con il wavemeter si arresta il carrello mobile quando NR è un numero intero e
dunque la relazione 8s=NRR è “esatta” (esente da errore/incertezza di quantizzazione e con incertezza bassa
quanto è bassa l’incertezza su R, che in prima approssimazione sarà ritenuta trascurabile). L’equazione della
misura si ottiene da NXX=NRR (=8s) e quindi X=(NR/NX)R. Immaginando trascurabile l’incertezza su
R, e poiché è nulla l’incertezza su NR (numero intero contato senza errori), si ricava l’errore/incertezza su X
come X= (NRR)(NX/N 2X).
Considerando il caso peggiore di errore, NX=1, si ottiene
1
1
X= N R R 2 (1 502 027 1065.2 nm )
=0.000 25 nm=0.25 pm
NX
(2 528 445) 2
Considerando l’incertezza statistica (deviazione standard della possibile dispersione di valori del
misurando) si ottiene
UNI1
u UNI1
N R R
u(X)= (X)= N R R
2
NX
N X2
34d) La
dove UNI1 indica una PDF uniforme di larghezza unitaria. Essendo poi u(UNI1)=1/ 12 0.3, si ricava una
incertezza standard per la lunghezza d'onda incognita X come
0.3
u(X)= 1 502 027 1065.2 nm
=0.075 pm (circa 1/3 del valore di X).
(2 528 445) 2
Nei calcoli precedenti si è ritenuto u(R)0 quando invece è u(R)=u(IR). Volendo svolgere un calcolo
senza approssimazioni, da X=(NR/NX)R si ricava l’incertezza relativa:
1 / 12
(2.5 kHz ) 2
1.3 1014 8 1023
ur(X)= u N X u R u N X u R
2
2
(2 528 445) (282 THz )
2
r
2
r
2
r
2
r
ur(X)ur(NX)=1.210-7 e dunque u(X)=Xur(X)7.210-14 m=72 fm.
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Tale incertezza su X è sostanzialmente dovuta all’incertezza di quantizzazione sul conteggio delle frange
interferometriche, il cui contributo in termini di incertezza relativa è notevolmente superiore a quello
dell’incertezza sulla lunghezza d'onda del riferimento.
Una ulteriore approssimazione utilizzata nelle precedenti misure di X, e stime di incertezza u(X), è
stata di considerare il cammino dei fasci laser nel vuoto e non in aria come spesso avviene in un
wavemeter da laboratorio: si dovrebbe dunque impiegare la relazione generale =(c/n)/, che tiene conto
dell’indice di rifrazione dell’aria e della sua dipendenza dalla lunghezza d'onda n=n(), e non semplicemente
=c/. Per ottenere i livelli di incertezza prima calcolati, ovvero ur(X)10-7, occorrerebbe tenere in conto le
variazioni dell’indice di rifrazione con la lunghezza d'onda e dunque gli errori che si producono nella misura
per la presenza di n(R)n(X) e delle rispettive incertezze non certo trascurabili in quanto superiori al livello
di qualche parte in 10-7.
rumore di frequenza / è uguale sia nel verde che nell’infrarosso (essendo green=2IR e green=2IR).
La varianza di Allan è
24e) Il
=225×10-20=5×10-19
laser1 laser 2
ancora uguale nel verde e nell’infrarosso.
Il fattore due rispetto alla varianza del singolo laser deriva dall’avere considerato il battimento tra 2 sorgenti
laser con la stessa instabilità di frequenza.
2
2
2
Allan
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(20 min)
Esercizio 5
(svolgere su questo foglio e sul retro)
5) Con un velocimetro Doppler (LDV) si vuole misurare la velocità di emissione del gas di scarico di un
motore a reazione. Si sa che il campo di velocità previste per il gas combusto è da 300 m/s a 800 m/s. Si
ipotizza che, di volta in volta, la specifica velocità misurata nelle stesse condizioni di lavoro del getto può
variare solo di qualche decina di metri al secondo e la risoluzione che si vuole ottenere nella misura è
v=2 m/s.
5a) Quale tipo di sorgente laser converrebbe impiegare nel velocimetro e perché?
5b) Si dimensioni la geometria del sistema ottico di misura per ottenere nel fluido delle frange di interferenza
ottica con una spaziatura di 5 µm.
5c) Quali frequenze spettrali occorre poter misurare nel segnale di forward scattering e con quale
risoluzione? Quale fotorivelatore e con che caratteristiche si potrebbe impiegare? Con quale strumento si
potrebbero rilevare le frequenze Doppler in questione?
5d) Si proponga un altro metodo ottico di misura per rilevare queste alte velocità.
5a) Potrebbe essere conveniente utilizzare un laser a He-Ne (=632.8 nm633 nm) perché il fascio d’uscità
è visibile e con profilo trasversale ottimamente Gaussiano (modo TEM00 fondamentale con fattore M21) e
la frequenza e ampiezza dell’oscillazione ottica sono di buona stabilità. La lunghezza d'onda nel visibile
(rosso) consente di allineare agevolmente (ad esempio osservando i punti d’arrivo su uno schermo bianco
posto a una certa distanza) i due fasci nella zona di interferenza e misura. Per avere più potenza ottica
nella misura si potrebbe impiegare un diodo laser a semiconduttore, sempre nel visibile.
5b) I due fasci ottici interferenti si devono incrociare ad un angolo 2 tale che
/2
/2
632.8 109 m
D
e quindi = arcsin
=arcsin(63×10-3)63 mrad3.6°
arcsin
6
sin
D
2 5 10 m
5c) Le frequenze di battimento da misurare si ricavano dalla relazione
v
300 m/s
v
800 m/s
v
fD
per cui fD,min= min
=60 MHz e fD,max= max
=160 MHz
D
D
5 m
D
5 m
La desiderata risoluzione in velocità v=2 ms comporta la necessità di operare misure della frequenza
Doppler con una risoluzione fD=v/D=(2 m/s)/(5 µm)=400 kHz.
Si potrebbe impiegare un fotorivelatore al silicio amplificato a transimpedenza, con area
sufficientemente stretta da mantenere una banda passante di circa 200 MHz (>fD,max=160 MHz).
Le frequenze in questione potrebbero agevolmente essere rivelate con un analizzatore di spettro per
radiofrequenza (AS a eterodina), oppure campionando velocemente il segnale (anche a soli 8 bit) e
trasformandolo con algoritmo FFT.
5d) Si potrebbe fare una misura dello spostamento Doppler di un fasci olaser incidente ad un certo angolo
rispetto alla direzione di uscita/moto delle molecole di gas combusto (ad esempio con un interferometro di
Michelson si rivela il battimento tra il cammino che attraversa il gas combusto e un cammino di riferimento).
Se la misura è a banda strettissima, disponendo di un mixer e di un oscillatore sinusoidale ausiliario, con
frequenza fLO, si potrebbe effettuare la misura mediante analisi spettrale FFT effettuando prima
dell’analizzatore di spettro a FFT, che opera con 16 bit, una conversione eterodina (downconversion) della
frequenza fD all’uscita del fotorivelatore. Il segnale utile verrebbe quindi traslato alla frequenza intermedia
fIF=fD-fLO limitata nel campo di misura dell’analizzatore e quindi da 0 a 100 kHz. In questa banda di misura
non sarebbe possibile misurare con una sola fLO tutte le variazioni di velocità (vmax=10 m/s corrisponde a
fD=2 MHz). Tuttavia, tenendo conto di come viene aggiornata fLO (tracking) per rimanere nel campo di
misura dell’analizzatore di spettro a FFT, si potrebbe comunque fare la misura mantenendo l’elevata
risoluzione e accuratezza tipici dell’analizzatore di spettro a FFT.
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