Unità didattica
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ E DECADIMENTO RADIOATTIVO
Corso di: DIDATTICA DELLA FISICA
Docente del corso: Prof. Stefano Oss
Specializzanda: Alessia Stanisci
Classe di concorso: 47/A Matematica
INTRODUZIONE
In questo documento si presenta un’unità didattica che descrive la distribuzione di probabilità
di Poisson in un contesto reale quale quello del decadimento radioattivo. Il lavoro proposto vuole
favorire la riflessione sul concetto di probabilità e mostrare - al tempo stesso - le connessioni
esistenti tra la matematica e la fisica.
L’argomento è rivolto agli studenti che frequentano il 3° anno della scuola secondaria di
secondo grado, dopo aver introdotto i principali elementi di statistica descrittiva e di calcolo delle
probabilità.
L’unità didattica sarà conclusa dal docente di fisica che tratterà in modo più approfondito
l’argomento della radioattività e farà fare agli studenti esperimenti di misure radioattive presso il
laboratorio di fisica.
FINALITÀ DISCIPLINARI, METODOLOGICHE E MOTIVAZIONALI
Pur essendo già noto agli studenti fin dalle scuole medie ed elementari il concetto di
probabilità, spesso essi incontrano difficoltà nell’affrontare problemi di tipo probabilistico a seguito
di schemi errati preesistenti nel senso comune. È piuttosto radicata, ad esempio, l’idea che nel
gioco del lotto sia più probabile l’estrazione di un numero che non viene estratto da molte
settimane rispetto a quello estratto la settimana precedente. Anche l’uso di termini come
probabile, possibile, casuale, generano confusione se utilizzati nel contesto probabilistico con le
stesse connotazioni del linguaggio quotidiano.
Dunque, il modulo sulla probabilità proposto all’interno del corso di matematica, ha l’obiettivo
di favorire la nascita di un corretto pensiero probabilistico. Il più delle volte, purtroppo,
l’argomento è affrontato a scuola solo per preparare gli studenti ai test di ammissione
all’università. Il risultato è che il calcolo delle probabilità è percepito dagli alunni solo come uno
strumento per giocare con le carte o le palline estratte da un sacchetto, senza nessuna connessione
con il mondo reale.
1
L’obiettivo di questa unità didattica è invece quello di mostrare che esistono diversi fenomeni
in natura che hanno un comportamento probabilistico e che le distribuzioni di probabilità sono utili
a studiare tali fenomeni. In particolare forte è la connessione tra leggi statistiche e fenomeni della
fisica. Uno di questi fenomeni è il decadimento radioattivo descritto qui di seguito.
A livello disciplinare, al termine dell’unità didattica gli studenti conosceranno i concetti di:
decadimento radioattivo, vita media, tempo di dimezzamento (cenni) e la legge di decadimento1;
sapranno simulare il processo di decadimento con il “lancio di un dado simmetrico a n facce”;
sapranno costruire macro in Excel.
L’approccio seguito è di tipo sperimentale. Non avendo a disposizione un numero sufficiente di
dadi l’esperimento viene condotto nel laboratorio informatico utilizzando il software Excel per
simulare il lancio di un dado a 6 facce. I ragazzi avranno modo così di prendere anche maggiore
dimestichezza con la costruzione di tabelle e realizzazione di grafici in Excel.
PREREQUISITI DISCIPLINARI
Elementi di statistica descrittiva.
Nozioni di calcolo delle probabilità.
Conoscenze di base del software Excel.
METODOLOGIA ADOTTATA
Il lavoro prevede attività di gruppo e individuali che saranno supportare con attività di tipo
laboratoriale e da lezioni frontali.
Le attività saranno strutturate nel modo seguente:
-
visione del film “Eventi casuali” del PSSC e formalizzazione dei concetti descritti nel film
tramite lezione frontale;
-
lavoro di gruppo (di 2 o 3 unità) presso il laboratorio di informatica per simulare
l’esperimento del lancio di dadi a 6 facce con il software Excel.
Strumenti: dvd, scheda cartacea relativa al film “Eventi casuali”, personal computer.
Tempi e spazi: 4 ore, di cui 3 ore presso il laboratorio di informatica e 1 ora in aula.
1
L’argomento della radioattività sarà affrontato più nel dettaglio dal professore di fisica, il quale porterà i
ragazzi in laboratorio per effettuare dei veri esperimenti di misure radioattive con un contatore Geiger.
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QUADRO SPECIFICO DELL’ATTIVITÀ PROPOSTA
1a ora
Ai ragazzi viene mostrata la parte del film “Eventi casuali” del PSSC relativa al concetto di
casualità, all’esperimento sulle misurazioni con un contatore Geiger e al decadimento dei dadi. La
durata complessiva del filmato è di circa 12 minuti. Al termine si raccolgono le prime osservazioni
dei ragazzi sull’argomento e si iniziano a formalizzare alcuni concetti.
-
Il decadimento radioattivo è la trasformazione di un atomo radioattivo (instabile) in un altro
atomo. Esso è un processo statistico in cui la trasformazione di un singolo atomo è un evento
casuale: non si può prevedere quando l’eventuale trasformazione avviene, ma solo che c’è una
certa probabilità che essa avvenga in un dato intervallo di tempo.
-
La probabilità di decadimento può essere considerata costante, una volta che siano fissati
l’isotopo radioattivo oggetto di studio e l’ampiezza dell’intervallo di tempo.
-
La legge statistica che regola il processo di decadimento è una legge di tipo esponenziale. Ad
ogni istante
t
t il numero di atomi “superstiti” (non decaduti) è dato da N (t ) N (t 0) e ,
dove N0 è il numero di atomi radioattivi all’istante iniziale t=0 e τ è la vita media della
sostanza radioattiva considerata2.
-
Il tempo di dimezzamento t1/2 è il tempo necessario affinché il numero di atomi radioattivi si
riduca della metà. Se il numero dei decadimenti è abbastanza grande, il tempo di
dimezzamento rimane costante ed è dato da t1/2 = ln2 τ
-
= 0,693 τ.
Sullo stesso modello statistico del processo di decadimento si basa il gioco “lancio di un dado
simmetrico a n facce”: si conosce qual è la probabilità che esca una data faccia (1/n) ma non si
può prevedere quando quella data faccia uscirà. Si può quindi simulare il decadimento
stabilendo a priori ad esempio che dopo ogni lancio simultaneo di N dadi (che rappresentano il
numero di atomi) si eliminano tutti quelli che presentano una determinata faccia (come il
numero 5). Il numero di lanci rappresenta il tempo t. Così come ogni volta che un atomo decade
il numero di atomi in grado di decadere si riduce di una unità, il numero di dadi diminuisce ad
ogni lancio successivo essendo eliminati tutti quelli con la faccia numero 5.
-
Variando il numero di facce n di un dado o la regola che determina quali dadi eliminare la legge
che descrive la diminuzione di N dadi è la stessa. Cambia, invece, la probabilità che ha il singolo
dado di essere eliminato ad ogni lancio. Questa probabilità determina quanti lanci sia necessario
effettuare perché la popolazione di dadi si riduca della metà.
-
In maniera analoga, i tempi di decadimento radioattivo variano al variare degli elementi
radioattivi ma sono tutti governati dalla stessa legge di probabilità (la distribuzione di Poisson).
2
Gli alunni non conoscono ancora gli esponenziali e i logaritmi.
3
2a e 3a ora
Nel laboratorio di informatica i ragazzi, divisi in gruppi di 2 o 3 persone, iniziano a costruire il
foglio di lavoro per simulare il lancio simultaneo di N dadi a 6 facce ed eliminare quelli con la faccia
numero 5. Si inizia con il lancio di 500 dadi. Gli alunni imparano anche a costruire una macro.
Il foglio viene strutturato nel modo seguente:
Interruttore Contatore Valore Possibili
0/1
lanci
estratto
esiti
1
98
2
1
2
3
4
5
6
Lanci
97
Frequenza
dei
possibili
esiti
Esito
0
1
0
0
0
0
16
14
14
14
21
19
Statistica lanci faccia 5
N° lanci
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dadi
eliminati
(E)
0
78
75
60
47
45
28
31
13
26
21
Dadi
rimasti
(R)
500
422
347
287
240
195
167
136
123
97
76
Valore
teorico
500
416,667
347,222
289,352
241,127
200,939
167,449
139,541
116,284
96,903
80,753
Probabilità
di uscita di
una faccia
0,167
Ottenuta la serie dei dadi rimasti si chiede ai ragazzi di costruire la serie dei valori teorici:
considerando che la probabilità che esca la faccia numero 5 è di 1/6 ci si può attendere che in
media la popolazione dei dadi diminuisca di 1/6 ad ogni lancio. I valori teorici si ricavano
applicando la formula Nt = Nt-1*(1-p), dove p=1/6.
Successivamente gli alunni tracciano il grafico dei dati ottenuti, in modo da poter visualizzare la
relazione esistente tra il numero di dadi rimasti e il numero di lanci e capire che è simile a quella
esistente tra atomi decaduti e tempo vista nel film.
Infine si riuniscono tutti i dati ottenuti dai vari gruppi in un’unica tabella e si calcola la media.
La serie dei dati medi è una buona approssimazione della serie dei dati teorici. Si fa notare ai
ragazzi che il numero iniziale di dadi si riduce della metà al quarto lancio, che corrisponde
all’incirca al tempo di dimezzamento. Non si chiede agli alunni di ricavare la formula del tempo di
dimezzamento perché non conoscono ancora gli esponenziali e i logaritmi.
4
4a ora
Si chiede agli studenti di ripetere l’esperimento eliminando i dadi che presentano un faccia con
un numero pari e di confrontarla con la curva ottenuta con l’esperimento della volta precedente.
STRUMENTI DI VERIFICA E VALUTAZIONE
-
Quesiti-stimolo da proporre oralmente.
-
Valutazione del lavoro di gruppo.
-
La verifica scritta costituita da quesiti a risposta multipla e non, per valutare l’acquisizione
di conoscenze, competenze e capacità sull’intero modulo sarà eseguita dal docente di
fisica.
MATERIALE UTILIZZATO
L.M. Gratton, S. Oss e F.Operetto, Un’unità didattica sul decadimento radioattivo in GdF
Vol. XLVII, n.3 luglio-settembre 2006;
PSSC Film, Eventi casuali
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