Problema1706a

Due onde piane monocromatiche nel vuoto, di uguale ampiezza A e ugual frequenza 
polarizzate linearmente con il campo elettrico nella stessa direzione, hanno vettori d'onda
che formano fra loro un angolo . Considerato un piano ortogonale alla bisettrice di , si
calcoli la distanza di due, contigue, fra le rette del piano in cui il campo elettrico risulta
nullo (ad ogni istante).
ALCUNI SPUNTI PER LA SOLUZIONE:
Si applica il principio di sovrapposizione.
Prendendo l'asse z nella direzione del campo elettrico, i vettori d'onda delle due onde giacciono nel
piano (x, y) e si puo’ scegliere l'asse y coincidente con la bisettrice dell'angolo .
Le due onde si potranno descrivere nel modo seguente
E1z(r, t) = A cos(k1 r  t)
E2z(r,t) = A cos(k2 r  t)
Usando una formula di prostaferesi si vede che l’onda risultate e’ proporzionale a
cos[(k1 - k2 ) r/2]
e quindi l’onda risultante si annulla in ogni punto r tale che (k1 - k2) r/2=(2n+1)/2
Si osservi poi che per costruzione il vettore k1 - k2 e’ diretto lungo l’asse x quindi le rette su cui
l’onda risultante si annulla sono rette parallele all’asse z (il piano ortogonale alla bisettrice
ovviamente e’ il piano x,z).
Si considerano poi due punti ra ed rb appartenenti a due contigue di queste rette e tali che il modulo
della loro differenza sia uguale alla distanza tra le due rette di appartenenza:
(k1 - k2) ra/2=/2
(k1 - k2) rb/2=3/2
(ra  rb)=D x
con x versore dell’asse x.
Si deriva allora facilmente che la distanza tra due rette contigue e’ D=2/| k1 - k2|