Esercizi - Probabilità e variabili casuali

Metodi Quantitativi per l’Analisi dello Sviluppo
Esercizi su probabilità e variabili casuali
Esercizio 1
Si lancino simultaneamente una moneta e un dado.
a) Definire lo spazio degli eventi associati a questo esperimento
b) Qual è la probabilità di uscita di una croce e di un due?
Soluzione
a) Lo spazio degli eventi associati all’esperimento è costituito da 12 eventi elementari:
1
Testa
Croce
Testa;1
Croce;1
2
Testa;2
Croce;2
3
Testa;3
Croce;3
4
Testa;4
Croce;4
5
Testa;5
Croce;5
6
Testa;6
Croce;6
b) la probabilità che si verifichi l’evento “croce;2” è 1/12
Esercizio 2
Nell’esperimento “lancio di un dado” si calcoli la probabilità che:
a) il numero risultante sia inferiore a 2;
b) sia maggiore o uguale a 4;
c) sia pari;
d) sia divisibile per tre;
e) sia dispari e minore di 5;
Soluzione
a) La modalità che realizza l’evento “numero minore di 2” è : 1: La probabilità dell’evento è
1/6.
b) Le modalità che realizzano l’evento “numero maggiore o uguale a 4” sono :4,5,6. La
probabilità dell’evento è: 3/6=1/2
c) Le modalità che realizzano l’evento “numero pari” sono: 2,4,6. La probabilità dell’evento
è3/6=1/2.
d) Le modalità che realizzano l’evento “numero divisibile per 3” sono: 3,6. La probabilità
dell’evento è:2/6=1/3.
e) Le modalità che realizzano l’evento “numero dispari inferiore a 5” sono :1,3. La probabilità
dell’evento è 2/6=1/3.
Esercizio 3
Consideriamo la seguente popolazione di studenti di un istituto superiore, classificati secondo sesso
e risultato scolastico:
Non
Ripetente ripetente
100
320
80
300
180
620
M
F
Totale
Totale
420
380
800
Si estrae a caso una persona. Calcolare:
a) la probabilità che sia femmina
b) la probabilità che sia ripetente;
c) la probabilità che sia femmina ripentente
Soluzione
a) 380/800
b) 180/800
c) 80/800
Esercizio 4
Si consideri l’esperimento consistente nel lanciare cinque volte una moneta e contare il numero di
volte che esce “testa”.
a) Determinare la distribuzione di probabilità della v.c. numero di teste in cinque lanci di una
moneta regolare.
b) Calcolare valore atteso e varianza
Soluzione
a) E’ una variabile casuale Binomiale con p=0,5 e n=5.
X
P(X)
0
1/32
1
2
3
5/32 10/32 10/32
4
5/32
5
1/32
b)Il valore atteso è
E(X)=  x i P( x i ) =0*1/32+1*5/32+2*10/32+3*10/32+4*5/32+5*1/32=80/32=2,5
i
La varianza è V(X)=  ( xi  E ( X )) 2 * P( xi ) = (0-2,5)2*1/32+(1-2,5)2*5/32+(2-2,5)2*10/32+(3i
2,5)2*10/32+(4-2,5)2*5/32+(-2,5)2*1/32=1,25
Si poteva arrivare agli stessi risultati ricordando che per le variabili Binomiali E(X)=n*p=5*0,5=2,5
V(X)=n*p(1-p)=5*0,5*(1-0,5)=1,25
Esercizio 5
E’ stato stimato che in un villaggio africano la probabilità che un bambino nasca sieropositivo è 0,5.
Considerando casualmente 4 bambini calcolare la probabilità che:
a) almeno un bambino sia sieropositivo;
b) almeno un bambino sia sieropositivo e uno no.
Essendo X (numero di nati sieropositivi) una B(4;0,5) si ha:

P(x)= nx  p x  (1  p)n x

4
0
4
4!
a) 1-P(X=0) = 1- 0  0, 5  0, 5 = 1 
 1  0, 0625 =0,9375
0! (4  0)!

b) 1-P(X=0)-P(X=4)= 0, 9375  44  0, 54  0, 50 =0,9375-0,0625=0,875
Esercizio 6
Il tasso di povertà delle famiglie in una città è 0,2. Scegliendo casualmente 5 famiglie calcolare la
probabilità che:
a) nessuna sia povera;
b) una sia povera;
c) al massimo due famiglie siano povere.
X numero di famiglie povere X ~ B (5 ; 0,2)

P(X=1)=  15  *0,2 *0,8 =5*0,2*0,4096=0,4096
a) P(X=0) = 50 *0,20*0,85=1*1*0,32768=0,32768
b)
1
4
c) P(X<=2)=1-P(X>=3)
Se considero P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=

=0,32768+0,4096+ 52  0, 22  0, 83 =
=0,32768+0,4096+10*0,04*0,512=
=0,32768+0,4096+0,2048=0,94208
Considerando 1-P(X>=3)= 1-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)=



= 1   53  0, 23  0,82  45  0, 24  0,81  55  0, 25  0,80  =


=1-[10*0,008*0,64+5*0,0016*0,8+1*0,00032*1]=
=1-[0,0512+0,0064+0,00032]=
=1-0,05792=0,94208
Esercizio 7
In un Paese la probabilità per un bambino appena nato di raggiungere i 35 anni è 0,72. Si
considerino 3 bambini appena nati, calcolare la probabilità che fra 35 anni siano in vita:
a) tutti e tre;
b) almeno 2;
c) solo uno;
d) almeno uno.
Si utilizza una binomiale di parametri n=3 e p=0,72

A) P(X=3) = 33 *0,723*0,280=0,373

B) P(X>=2)= P(X=2)+P(X=3)= 32 *0,722*0,281+0,373=0,808

C) P(X=1)= 13 *0,72*0,282=0,169
D) P(X>=1) =0,169+0,808=0,977
Esercizio 8
In una città, la temperatura massima giornaliera si distribuisce come una v.c. Normale con media 23
gradi centigradi e deviazione standard 7.
a) Si determini la probabilità che la temperatura massima sia tra 21 e 25 gradi.
b) Qual è la probabilità di avere una temperatura massima superiore a 30 gradi?
Soluzione
X~N(23;49)
a) P(21≤X≤25)=P (
21  23 X  23 25  23


)
7
7
7
P(0,29≤Z≤0,29)=
 (0,29)   (0,29)   (0,29)  1   (0,29)  2 *  (0,29)  1  2 * 0,6141  1  0,2282
b)P(X>30)=P (
X  23 30  23

)  P( Z  1)  1  P( Z  1)  1   (1)  1  0,8413  0,1587
7
7
Esercizio 9
Un’indagine di una compagnia telefonica ha stabilito che la durata (in secondi) delle chiamate dei
propri utenti è distribuita come una Normale con media 280 secondi e deviazione standard di 80
secondi.
a) Qual è la probabilità che una telefonata non duri più di un minuto?
b) Qual è la probabilità che duri di più di 280 secondi?
c) Qual è la probabilità che la durata sia tra 240 e 320 secondi?
Soluzione
X~N(280;6400)
 X  280 60  280 

a) P(X≤60)=P 
 =P(Z≤-2,75)=  (2,75)  1   (2,75)  1  0,9970  0,0030
8
80 

b) P(X>280)=0,5 perché la v.c. Normale è simmetrica rispetto al valore medio (in questo caso 280)
 240  280 X  280 320  280 


c)P(240≤X≤320)= P 
 =P(-0,5≤Z≤0,5)=
80
80
80


 (0,5)   (0,5)   (0,5)  1   (0,5)  2 *  (0,5)  1  2 * 0,6915  1  0,3830