I.T.A.S. “Grazia Deledda” Progetto PON: Sperimentare innovando -21 /10/08
Mirella Rafanelli
La I e la II legge di Keplero – L’effetto di una forza centrale di tipo gravitazionale sul
moto di un corpo
Lo studio del moto di oggetti in presenza di forze variabili si può affrontare in modo elementare
considerando, per piccoli tratti,
- le variazioni di posizione come se si trattasse di un moto uniforme
- gli incrementi della velocità come per un moto uniformemente accelerato
- l’accelerazione di volta in volta aggiornata al valore assunto nella nuova posizione occupata dal
corpo
Tutto questo naturalmente è reso più facile da strumenti di calcolo veloci.
Riportiamo una prova effettuata con TI-Nspire CAS
Lo schema segue i suggerimenti di Richard Feynmann .
Il moto avviene su un piano. Per posizione e velocità vengono dati i valori inziali delle due
componenti lungo gli assi x,y. Il valore iniziale delle componenti dell’accelerazione è calcolato
secondo le leggi della dinamica, con costanti fittizie.
I valori vengono poi aggiornati nel modo delineato sopra. In particolare:
-Per le componenti della posizione si considera valida per piccoli intervalli di tempo la legge del
moto uniforme
x x0 v x t
y y0 v y t
- Per la velocità si usa la legge del moto uniformemete accelerato (anche questa valida per piccoli
intervalli di tempo)
v x v x0 a x t
v y v y0 a y t
- Per l’accelerazione si usa il valore valido nell’istante considerato secondo la II legge della
dinamica e la legge di Gravitazione Universale
GMm
F
a
e F
m
r2
Dalle due formule precedenti otteniamo
GM
a 2
r
E poiché dobbiamo considerare le componenti x e y dell’accerazione
Se consideriamo l’origine O(0,0) di un sistema di assi cartesiani come il centro della forza, per
“proiettare” l’accelerazione lungo l’asse x dobbiamo moltiplicare il valore di a per x/r e
analogamente per la comp. y
ax
GMx
; ay
GMy
r3
( x y )
Riportiamo tutto questo in una pagina di foglio elettronico:
Per cominciare nella riga più in alto si è attribuito alle colonne dei nomi che diventano
automaticamente nomi di variabile : ad ogni variabile corrisponderà la lista di valori calcolati o
riportati sotto. E’ bene ricordare di evitare nomi di una sola lettera che possono generare conflitti.
Nella colonna A si sono riportati i valori del tempo , a partire da 0, con incrementi di 0.1 s:
Si digita 0 in A1, in A2 si digita =a1+0.1 (ricordare di far precedere il segno =, in modo che venga
eseguito il calcolo); trascinando nelle celle sottostanti si crea una successione di valori
2
2 3
In B1 e C1 si digitano le componenti della posizione iniziale P(0) : (0.5, 0)
In D1 e E1 si scrivono le formule per le componenti dell’accelerazione, precedute anche in questo
caso da =
Come ogni volta che è necessario scrivere un calcolo abbastanza lungo è opportuno usare
(clickando sull’icona nella riga degli strumenti) la tastiera della calcolatrice.
Per v si usano i valori iniziali (0;1,8) ,. In F1 ed F2 si sono digitate le formule
v x v x0 a x t
,
v y v y0 a y t
attribuendo all’accelerazione il valore già calcolato nelle celle C e D e al tempo t si è attribuito il
valore intermedio tra l’inizo e la fine dell’intervallo considerato, cioè 0.05 Nella figura sotto, si
vede la formula scritta in F1
Poi si sono digitate le formule per incrementare ad ogni “giro” i valori delle celle soprastanti
In B2 : = b1+f1*0.1 ed in C2 : = c1+g1*0.1
In F2: =f1+d1*0.1 e in G2: =g1+e1*0.1
Per le formule dell’accelerazione nelle colonne D ed E valgono quelle scritte nella I riga
Si tratta solo di evidenziare e di trascinare le celle verso il basso, tenendo il cursore sull’angolo in
basso a destra della cella in modo che il cursore prenda la forma di piccola croce. Nel nostro caso il
foglio è stato riempito per 100 righe
Per riportare su un grafico la traiettoria ottenuta si inserisce una nuova pagina,con Grafici e
geometria, e si opta per un grafico a dispersione. Nella schermata che si apre abbiamo la possibilità
di attribuire ad x e ad y una qualsiasi della variabili a disposizione. Scegliamo xp e yp
Dall’icona “finestra” selezioniamo “adatta zoom” e da “Vista” nascondiamo la riga di introduzione
in modo da vedere la nostra “orbita”
La I legge di Keplero
Possiamo riconoscere “a colpo d’occhio” un’ellisse, ma se questo non ci basta possiamo ricavare i
parametri necessari a scrivere l’equazione di un’ellisse con il centro si simmetria traslato rispetto
all’asse x.
x 2
a2
y2
1
b2
L’equazione contiene tre parametri e quindi dovremo risolvere 3 equazioni. Individuiamo tre punti
qualsiasi sull’ellisse. Con “punto su”facciamo comparire ascisse e ordinate dei tre punti e
attribuiamo a ciascuna di esse dei nomi di variabile ( Si evidenzia ogni coordinata come testo,
fermandosi sopra ad essa con il cursore: si usa nel menu var. “memorizza” e si digita il nome della
variabile; come di consueto li chiameremo x1,y1 ecc)
Inseriamo una nuova pagina Calcolatrice e qui nel menu Algebra selezioniamo solve, poi usiamo
l’icona che consente di scrivere un sistemadi tre equazioni
Tra le soluzioni proposte scegliamo
086
a 1.35
b 1.07
E le usiamo per scrivere l’equazione dell’ellisse in forma parametrica
La II legge di Keplero
Ritorniamo alla nostra ellisse usando il menu “figure” costruiamo un triangolo che abbia un vertice
nell’origine e gli altri due in posizioni abbastanza vicine del nostro “pianeta”. E’ importante che non
siano posizioni lontane in modo che l’arco di traiettoria e la corda siano praticamente uguali .
Procediamo allo stesso modo per altri due intervalli , tenendo fisso in ogni caso l’intervallo di
tempo. Usiamo il menu Misura, poi Area per tutti e tre i triangoli.
Il risultato evidenzia bene il senso della seconda legge di Keplero
