Lezione02.10.08 - Matematica e Informatica

Matematica Discreta
Lezione del giorno 2 ottobre 2008
Equivalenza logica
Se sono dati due predicati P, Q, nelle stesse variabili, e se si ha sia PQ che QP, diremo allora
che P se e solo se Q e scriveremo PQ.
In questo caso i valori delle variabili che rendono vero P coincidono esattamente con quelli che
rendono vero Q, quindi P, Q in pratica rappresentano la stessa affermazione da un punto di vista
logico: diremo allora che i predicati P e Q sono equivalenti.
Per esempio se sono dati i seguenti predicati (con campo di variabilità x=numero intero positivo):
P(x) = “x<20”
Q(x) = “x+7<27”
é facile (utilizzando metodi simili a quelli descritti in precedenza) dimostrare che PQ e che QP
dunque si può concludere che PQ.
Insiemistica
Studieremo la teoria “ingenua” degli insiemi (in contrapposizione alla cosiddetta teoria
“assiomatica”), in cui il concetto di insieme si considera primitivo, ossia non si definisce,
intendendo immediatamente evidente il concetto di insieme come sinonimo di raccolta, collezione
di elementi.
Gli elementi di un insieme possono avere natura arbitraria, ed anche natura diversa fra loro:
potremmo per esempio costruire un insieme che ha come elementi il numero 3, la città di Palermo e
il concetto astratto di bellezza.
Se A è un insieme ed x un suo elemento, diremo che x appartiene ad A e scriveremo xA. Se
invece x non è elemento dell’insieme A, diremo che x non appartiene ad A e scriveremo xA.
Un insieme può essere descritto in modo esplicito, elencando tutti i suoi elementi.
Per esempio possiamo costruire il seguente insieme di nome A:
A ={3, 5, 7, 9}
contenente i 4 numeri interi elencati fra parentesi.
Un insieme si distinguerà solo per gli elementi che contiene, che si considerano sempre distinti
senza ripetizioni, e non per l’ordine in cui sono elencati.
Quindi lo stesso insieme A dell’esempio precedente può essere descritto in modo esplicito anche da
A ={5, 9, 7, 3}.
Nel modo esplicito per verificare se xA basta verificare se x compare nell’elenco degli elementi di
A: nell’esempio precedente si ha 7A, ma 8A.
Ovviamente tale modo esplicito di descrivere un insieme è esauriente solo nel caso di insiemi che
contengano un numero finito di elementi.
Un insieme può essere descritto anche in modo implicito, indicando le proprietà che caratterizzano
i suoi elementi mediante un predicato.
Se P(x) è un predicato nella variabile x, possiamo costruire l’insieme di nome B:
B = { x / P(x) }
(si legge: “B è l’insieme di tutti gli x tali che P(x)”; il simbolo / può talvolta essere sostituito dal
simbolo :); con tale simbologia si intende che gli elementi dell’insieme B sono esattamente tutti i
valori della variabile x che rendono vero il predicato P(x).
Per esempio possiamo costruire il seguente insieme di nome B:
B = { x / x è un intero positivo pari }
(si legge: “B è l’insieme di tutti gli x tali che x è un intero positivo pari”).
In tale esempio il predicato che definisce l’insieme B è appunto P(x)=“x è un intero positivo pari” e
gli elementi di B sono i valori di x che lo rendono vero (quindi tutti gli interi positivi pari).
Dato un insieme A, ed un elemento x, per verificare se xA:
- se A è definito in modo esplicito, basta verificare che x appaia nell’elenco degli elementi di A
- se A è definito in modo implicito mediante un predicato P(x), basta verificare che x renda vero
P(x)
Se il predicato che descrive in modo implicito l’insieme è falso per ogni valore della variabile, si
ottiene un insieme privo di elementi, detto insieme vuoto, e indicato con .
Per esempio:
{ x / x è intero >5 e <3 } = .
Sottoinsiemi di un insieme.
Dati gli insiemi A, B, diremo che B è contenuto in A, oppure che B è sottoinsieme di A, e
scriveremo BA, se ogni elemento di B è anche elemento di A.
Se B non è contenuto in A, scriveremo BA.
Se gli insiemi sono descritti in modo esplicito, per verificare se BA basta verificare che ogni
elemento nell’elenco di B compaia anche nell’elenco di A.
Per esempio se A = {1,3,4,5,6,8}, B = {6, 5, 3}, C = {8, 4, 2} si ha BA (ogni elemento 6, 5, 3
dell’elenco di B appare nell’elenco di A), ma CA (l’elemento 2 dell’elenco di C non appare
nell’elenco di A).
Se gli insiemi sono invece descritti in modo implicito, mediante predicati:
A = { x / P(x) }
B = { x / Q(x) }
allora verificare che BA equivale a dimostrare l’implicazione Q  P (perché affermare che ogni
elemento di B è elemento di A equivale ad affermare che ogni valore di x che rende vero Q rende
vero anche P).