Sol-2000-11-08_ter

Soluzione 2000-11-08
Termodinamica 2000-11-08
Gruppo A
1A)
La trasformazione AB è isoterma a temperatura T0 : il lavoro si può calcolare come
VB
 p.dV  n.R.T0 ln VA  2.R.300.( ln 2)  ...   415,88.R  416.R
**L'unità di misura del risultato numerico dipende anche dall'Unità di misura scelta per R .
Se per R si assume il valore espresso in Unità SI , allora il risultato sarà espresso in Joule
2A)
La definizione di rendimento è  
Somma algebrica dei lavori compiuti
Quantità di calore assorbita
Essendo in un ciclo U  0 al numeratore si può sostituire
Nella adiabatica Q=0 ; resta pertanto
Q  Q
AB
 L  Q
SCAMBIATE
 QBC
Ma QAB  LAB  ...  416.R (isoterma)
2
QBC  U BC  LBC

3
 nCv (TC  TB )  0  2. R.300.(2 3  1)  ...  528,66.R
2
529.R  416.R
 0,2135  0,21
529.R
3A)
La variazione di entropia dell'Universo è la somma algebrica delle variazioni di entropia (calcolate
per ogni trasformazione) del Sistema e di quella del Resto dell'Universo.
Ma questa somma è nulla (nella singola trasformazione) quando si riferisce a trasformazioni
Reversibili. Resta quindi solo il contributo della trasformazione BC irreversibile
SUniverso  (S BC ) Sist  (S BC ) RU
 QBC  529.R
(S BC ) RU 

 1,11.R (variazione di Entropia del termostato che cede QBC a
TC
476
temperatura TC ) .
2
(S BC ) SIST
T
V
3
 nCV ln C  nR ln C  2. R. ln 2 3  0  2.R. ln 2  1,39.R
TB
VB
2
In definitiva: SU  ...  (1,39  1,11) R  0,28.R
**L'unità di misura del risultato numerico dipende anche dall'Unità di misura scelta per R .
Se per R si assume il valore espresso in Unità SI , allora il risultato sarà espresso in Joule/K
3A bis) Allo stesso risultato si può giungere anche con la seguente considerazione :
La variazione di Entropia dell'Universo è uguale alla Somma algebrica della Variazione di Entropia
del Sistema + quella del Resto dell'Universo. Ma in un ciclo la variazione di Entropia del Sistema è
=0 . Resta quindi SUNIV  S RU . Si devono ora considerare i tre contributi dati alla variazione di
Entropia dalle tre trasformazioni:
lungo la trasf. CA (adiabatica) la S RU  0 ;
QAB
 416 R

 1,39.R
TA
300
lungo la trasf. BC (irreversibile) il termostato cede la quantità di calore QBC alla temperatura
 QBC  529.R

 1,11.R
(costante) TC ; quindi (S RU ) BC 
TC
476
Allora SU  (1,39  1,11).R  0,276.R come già trovato prima.
lungo la trasf. AB (isoterma e reversibile) è S RU  S SIST  
Gruppo B
Si consiglia di leggere anche le spiegazioni relative al problema A) .
1B)
Per il 1° principio, il lavoro compiuto dal sistema lungo la trasformazione CA adiabatica si scrive:
2
LCA  QCA  U CA
5
 0  nCV .(TA  TC )  2. .R.300.(1  2 7 )  328,5.R
2
2B)
 1
| QCEDUTO |
Q ASSORBIO
2
5
Ma QASS  QBC  U BC  LBC  nCV (TC  TB )  100.R  2.R 300.(2 7  1)  100.R  428.R
2
V
E QCEDUTO  QAB  LAB  nR.TA ln B  2.300 R.( ln 2)  416.R cioè la quantità di calore che
VA
viene ceduta (e da ciò il segno negativo) dal Sistema all'Ambiente (RU) lunga la trasformazione AB
(isoterma), quantità di calore uguale al Lavoro compiuto dal Sistema lungo la stessa trasformazione
AB (nell'isoterma è U  0 ) . Quindi:
  1
416 R
 0,028=2,8%
428 R
** Attenzione: è errato porre QBC  nC p T : la trasformazione è irreversibile; lungo essa la
pressione non è definita; si può solo affermare che p ha lo stesso valore all'inizio e alla fine; PERO'
VALE SEMPRE IL PRIMO PRINCIPIO !!!
3B)
La variazione di entropia dell'Universo è la somma algebrica delle variazioni di entropia (calcolate
per ogni trasformazione) del Sistema e di quella del Resto dell'Universo.
Ma questa somma è nulla (nella singola trasformazione) quando si riferisce a trasformazioni
Reversibili. Resta quindi solo il contributo della trasformazione BC irreversibile
SUniverso  (S BC ) Sist  (S BC ) RU
 QBC  428.R
(S BC ) RU 

 1,17.R (variazione di Entropia del termostato che cede QBC a
TC
366
temperatura TC ) .
2
T
p
7
(S BC ) SIST  nCP ln C  nR ln C  2. R. ln 2 7  0  2.R. ln 2  1,386.R
TB
pB
2
In definitiva: SU  ...  (1,386  1,17) R  0,21.R
3B bis)
Allo stesso risultato si può giungere anche con la seguente considerazione :
La variazione di Entropia dell'Universo è uguale alla Somma algebrica della Variazione di Entropia
del Sistema + quella del Resto dell'Universo.
Ma in un ciclo la variazione di Entropia del Sistema è =0 . Resta quindi SUNIV  S RU . Si devono
ora considerare i tre contributi dati alla variazione di Entropia dalle tre trasformazioni:
lungo la trasf. CA (adiabatica) la S RU  0 ;
QAB
 416 R

 1,38.R
TA
300
lungo la trasf. BC (irreversibile) il termostato cede la quantità di calore QBC alla temperatura
 QBC  428.R

 1,17.R
(costante) TC ; quindi (S RU ) BC 
TC
366
Allora SU  (1,38  1,17).R  0,21.R come già calcolato sopra.
lungo la trasf. AB (isoterma e reversibile) è S RU  S SIST  
COMMENTO:
Per il calcolo del Lavoro o delle Quantità di calore scambiate, non si può far ricorso a
trasformazioni alternative: L e Q non sono funzioni di stato e quindi dipendono dalla
trasformazione; cambiando questa, il risultato non ha più alcun riferimento con la trasformazione di
partenza. L'unica considerazione valida è l'applicazione dei Principi (il Primo ed eventualmente il
Secondo).
Errori molto frequenti sono quelli relativi al calcolo della variazione di Entropia.
Se si segue il ragionamento tipo 3 Bis) ricordare che i contributi del Sistema sono già utilizzati
(ponendo SSIST  0 per l'intero ciclo). Occorre mettere in conto solo i contributi attribuibili al
Resto dell'Universo (RU) . Questi ultimi però sono ricavabili dai contributi del Sistema (cambiati di
segno) soltanto per le trasformazioni Reversibili . Per le trasformazioni IRREVERSIBILI occorre
procedere di volta in volta, osservando ciò che fa proprio il RU.
Se invece si segue il ragionamento tipo 3) ricordare che nella trasformazione BC il Sistema è a
contatto con un termostato e quindi RU è proprio questo termostato.
La Variaz. di Entropia del Sistema deve essere calcolata su una trasf. reversibile fra gli stessi stati
iniziale e finale; ma la variazione di Entropia del RU deve essere calcolata per una trasformazione
che riguarda RU (cioè il termostato): non ha senso invocare trasformazioni di fantasia (Isobare,
Isocore o altre) che possono semmai riguardare solo il Sistema. Il termostato compie un solo tipo di
trasformazione: scambia calore mantenendo costante la sua temperatura!!! Quindi, in questo caso,
per RU è sempre S RU 
 dQ
TTERMOSTATO
.
Gruppo C
1C)
LCD  pD (VD  VC )  2.(5  10)  10 J
Lavoro negativo: si compie Lavoro dall'esterno sul Sistema.
2C)
Non è necessario calcolare esplicitamente le Temperature; esse possono essere ricavate dalla
pV
Equazione di stato come: pV  nRT  T 
e sostituite.
nR
Quindi (ciascuna Q col suo segno):
3
5
VC ( pC  pB )  pC (VD  VC )
nCV (TC  TB )  nC p (TD  TC )
QASS  QCED
2

 1
 ...  1  2
3
5
QASS
nCV (TA  TD )  nC p (TB  TA )
VA ( p A  pD )  pB (VB  VA )
2
2
  ...  1 
3.10.(4)  5.2.(5)
85
 1
 19%
3.5.(4)  5.6.(5)
105
3C)
La variazione di Entropia dell'Universo è SU  SSIST  S RU
Ma SSIST  0 (è un ciclo) ; resta da calcolare S RU .
Lungo le isobare reversibili la (S RU ) ISOBARA  (SSIST ) ISOBARA
Lungo le isocore irreversibili , S RU va calcolata analizzando ciò che avviene: un termostato
scambia calore a T costante . Quindi abbiamo:
 T
  (TC  TB )  (TA  TD ) 
T 
SU  S RU  nCP ln B  ln D   nCV 


TC 
TC
TA
 TA


Ma la prima parentesi è =0 (perché i rapporti fra temperature che vi figurano sono l'uno l'inverso
dell'altro e quindi i logaritmi sono uguali in valore assoluto ma di segno opposto)
Nella seconda parentesi i segni meno derivano dal fatto che le quantità di calore scambiate dal
termostato sono opposte a quelle scambiate dal sistema nelle stesse trasformazioni.
Alla fine resta:

 T

3 
1 
 T

 1
SU  nCV  B  1   D  1   2 R 3  1   1  3R 1    4 R
2 
3 

 3
  TA  
 TC
