Politecnico di Milano
Dipartimento di Elettronica e Informazione
prof.
Vincenzo Caglioti
Analisi e sintesi di immagini – Quarto appello 14 settembre 2006
Matricola _________
Cognome ____________________
Nome ______________________
Istruzioni
Svolgere prima la parte di teoria, senza consultare gli appunti.
In seguito svolgere gli esercizi, consultando liberamente gli appunti
Tempo a disposizione: 2 ore
Voti parziali degli esercizi e voto finale:
Teoria
1 (MAX 10.0) __________________
Esercizio
3 (MAX 21.0) __________________
Voto finale: (MAX 31) ______________________________
1. Teoria
Illustrare il metodo di Canny per la rilevazione dei contorni. Evidenziare il legame tra la larghezza del filtro
spaziale adottato e l’errore di localizzazione del contorno.
Analisi e sintesi di immagini – Quarto appello 14 settembre 2006
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2. Esercizio
Dato un punto P e uno specchio piano, esiste un punto virtuale Q, creato dalla riflessione di P. La
posizione di Q è tale che P e Q sono simmetrici rispetto al piano dello specchio: in particolare, 1) il
punto medio del segmento PQ si trova sulla superficie dello specchio e 2) la direzione del
segmento PQ è ortogonale al piano dello specchio.
Sono dati due specchi piani aventi posizioni e orientamenti incogniti. Dato un insieme di n≥2 due
punti P1, P2 ..,Pn nello spazio 3D, si considerano le loro riflessioni Q1, Q2,..,Qn per opera del primo
specchio e R1, R2,..,Rn per opera del secondo specchio. Si trascurino le riflessioni multiple.
Mediante una telecamera calibrata si rilevano le immagini P1’, P2’.., Pn’ degli n punti reali e le
immagini Q1’, Q2’.., Qn’ e R1’, R2’.., Rn’ dei 2n punti virtuali.
Si vuole ricostruire la forma 3D dell’insieme di punti P1, P2 ..,Pn. Si richiede di articolare lo
svolgimento dell’esercizio secondo la sequenza di passi sotto riportata.
[Per semplicità, si adotti la seguente convenzione: la direzione dell’intersezione tra i due specchi
piani coincide con la direzione verticale (asse z), mentre l’asse x è l’unica retta “orizzontale”
contenuta nel primo specchio.]
a) Data una telecamera calibrata e l’immagine di un parallelogramma, dire come è possibile
risalire dall’immagine di un parallelogramma all’angolo formato tra le coppie di lati
paralleli e al rapporto tra le lunghezze dei suoi lati. Punti 3.
b) Spiegare come si possano ricavare i punti di fuga (e di conseguenza le direzioni) delle
normali ai due specchi piani e l’immagine della retta all’infinito del piano “orizzontale”
(cioè il piano contenente le due normali). Punti 2.
c) Spiegare come si possano ricavare le immagini delle proiezioni ortogonali dei punti P1, P2
..,Pn su ciascuno dei due specchi (si osservi che la proiezione ortogonale di un punto P sul
primo specchio coincide con il punto medio del segmento PQ che congiunge il punto P con
il suo punto riflesso Q). Punti 3.
d) Sfruttando la conoscenza della matrice di calibrazione della telecamera, spiegare come sia
possibile determinare il punto di fuga della direzione verticale (asse z), e i punti di fuga
delle due direzioni orizzontali contenute nei due specchi (una delle due, cioè quella
contenuta nel primo specchio, è la direzione dell’asse x). Punti 2.
e) Spiegare come si possa costruire, per ogni punto Pi, l’immagine del parallelogramma di
seguito specificato: il parallelogramma ha tutti i lati orizzontali, esso ha un vertice in Pi, il
vertice opposto sulla retta di intersezione tra i due specchi e gli altri due vertici su uno
specchio ciascuno. Punti 4.
f) Spiegare come si possa costruire l’immagine, per una coppia di punti P1, P2 l’immagine del
rettangolo di seguito specificato: il rettangolo è interamente contenuto nel (ad es.) primo
specchio, ha un lato verticale contenuto nella retta di intersezione tra i due specchi, ha un
lato orizzontale con vertice sulla proiezione ortogonale di P1 sullo specchio, e l’altro lato
orizzontale passante per la proiezione ortogonale di in P2 sullo specchio. Punti 3.
g) Spiegare infine, utilizzando il risultato del punto a), come si possa ricostruire l’insieme dei
punti P1, P2 ..,Pn a meno di un fattore di scala mediante la costruzione delle immagini di un
opportuno insieme di parallelogrammi. Punti 4.
.
Traccia della soluzione
a) determino i punti di fuga delle direzioni dei lati di un parallelogramma (intersecando le immagini di
lati paralleli) e costruisco un piano parallelo alle rette di interpretazione di tali punti di fuga.
Intersecando questo piano con i ragi di vista dei vertici ottengo un parallelogramma simile a quello
originale. Da questo ricavo i rapporti tra lunghezze e gli angoli.
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b) Le congiungenti tra punti P e riflessioni Q sono perpendicolari al 1° specchio: intersecando le
immagini di due di tali congiungenti si ottiene il punto di fuga della direzione ortogonale al 1°
specchio. Lo stesso si fa per il secondo specchio. Congiungendo i due punti di fuga ottenuti si ha
l’immagine della retta all’infinito associata alla direzione orizzontale (cioè ortogonale all’intersezione
tra i due specchi).
c) La proiezione ortogonale di un punto P sul primo specchio è il punto medio del segmento che
congiunge P alla sua riflessione Q. Questi tre punti allineati più il punto all’infinito costituiscono una
quaterna armonica. Imponendo che anche le immagini di tali punti costituiscano una quaterna
armonica si ottiene l’immagine della proiezione ortogonale di un punto sullo specchio.
d) Il punto di fuga della direzione verticale è semplicemente la proiezione di [0,0,1,0], mentre i punti di
fuga delle direzioni orizzontali contenute nei due specchi sono le proiezioni di [1,0,0,0] (poiche’ il
primo specchio contiene l’asse x) e di [1, tan alpha, 0, 0] dove alpha è l’angolo tra i due specchi
(trovato al punto a).
e) Il parallelogramma orizzontale cercato avrà un lato avente P come primo vertice e un punto A del 1°
specchio come secondo vertice. Questo punto si troverà sulla parallela (orizzontale) al secondo
specchio passante per P e sulla parallela (orizzontale) al primo specchio passante per la proiezione
ortongonale di P sul 1° specchio. Poiché sono noti i punti di fuga di tali direzioni, nonché l’immagine
della proiezione ortongonale, è facile costruire l’immagine A’ del secondo vertice A del lato come
intersezione tra rette immagine. Analogamente si trova l’immagine B’ del secondo vertice B dell’altro
lato passante per P. Il vertice opposto C (che si trova sull’intersezione tra i due specchi) si troverà
allora intersecando lati paralleli a quelli citati sopra, passanti per i vertici A e B. Allora l’immagine C’
di tale vertice si trova intersecando le immagini di quei lati: i quali sono le congiungenti tra A (B) e
l’opportuno punto di fuga.
f) Avendo costruito i parallelogrammi del punto precedente per il punto P 1 e per il punto P2, sono
noti i vertici C1’ e C2’, che si trovano sull’immagine dell’intersezione tra i due specchi. Dunque il
rettangolo considerato passa per la proiezione ortogonale di P1 sul 1° specchio e per il punti C1 e C2
. Son già note le immagini di tali vertici, nonchè i punti di fuga delle direzioni dei due lati mancanti:
è facile quindi trovare l’immagine del quarto vertice del rettangolo
g) Poiché sono note le giaciture dei piani che contengono i parallelogrammi e di rettangoli citati al
punto e) e al punto f), nonché le loro immagini, è possibile, grazie al punto a), determinare tutti i
rapporti tra lunghezze e gli angoli. Così fissando una dimensione come fattore di scala è possibile
ricostruire le coordinate (relative) tra i punti P nello spazio 3D.
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