MM2_ScI-01

Esercizio: MM2_ScI – 01
(Scelta tra investimenti alternativi)
Si dispone di un capitale pari a 10.000 € che può essere investito in uno dei due seguenti
titoli:
A) obbligazione biennale, oggi quotata alla pari, con rimborso del capitale (alla pari) in una unica
soluzione alla fine del prestito (tra due anni) e pagamento di cedole annuali posticipate calcolate al
tasso nominale del 5% annuo. Le cedole incassate verranno depositate su un conto corrente speciale
che frutta anch’esso il 5% di interesse annuo;
B) obbligazione biennale, senza cedole, che frutterà interessi annuali aleatori (pagabili alla fine del
biennio) nella misura del 3%, con probabilità p1=0,6, o nella misura dell’ 8%, con probabilità
p2=0,4 in ciascuno degli anni considerati (si potrà quindi avere un rendimento del 3% nel primo
anno e dell’ 8% nel secondo, oppure un rendimento del 3% sia nel primo anno che nel secondo,
eccetera).
Si calcoli:
il montante finale delle entrate di cui si disporrà alla fine del biennio nella alternativa “A”;
il valore medio dell’importo esigibile alla fine del biennio nella alternativa “B”;
il tasso interno associato alla alternativa “A”;
il tasso interno associato alla alternativa “B” calcolato sulla base del valore medio
dell’importo esigibile alla fine del biennio;
e) il valore delle utilità associate ai montanti finali delle entrate (allo scopo di individuare
l’alternativa più conveniente) utilizzando la seguente funzione di utilità:
  x 


 10.000 



u ( x)  1  e
10.000




f) il valore del “costo del rischio” associato ai montanti finali delle entrate nelle due diverse
alternative (utilizzando la funzione di utilità sopra riportata)
a)
b)
c)
d)
RISOLUZIONE.
 a) montante finale delle entrate di cui si disporrà alla fine del biennio nella alternativa “A”.
Il flusso delle entrate e delle uscite relative alla alternativa “A” può essere descritto nel
modo seguente (sia la sottoscrizione del titolo, che il suo rimborso, vengono eseguiti alla pari):
0
-10.000
1
2
+ 500
+ 500
+ 10.000
+ 525
+ 11.025
======
- 500
1
epoche
investimento iniziale e cedole
rimborso del capitale
reimpiego della prima cedola
montante finale
Poiché sia il titolo considerato che il conto corrente sul quale vengono depositate le cedole
generano interessi al 5% annuo si poteva più semplicemente calcolare il valore del montante finale
delle entrate mediante la seguente semplice formula:
montante finale di “A” = 10.000  (1,05) 2 = 11.025 .
 b) valore medio dell’importo esigibile alla fine del biennio nella alternativa “B”.
I possibili rendimenti nel biennio (e i relativi fattori di montante finale) sono i seguenti:
0
1
3%
3%
8%
8%
2
3%
8%
3%
8%
epoche
 1,031,03 = 1,0609
 1,031,08 = 1,1124
 1,081,03 = 1,1124
 1,081,08 = 1,1664
con probabilità
con probabilità
con probabilità
con probabilità
P1= 0,60,6 = 0,36
P2= 0,60,4 = 0,24
P3= 0,40,6 = 0,24
P4= 0,40,4 = 0,16
Il valore dell’importo esigibile alla fine del biennio nella alternativa “B” è allora descritto dalla
seguente variabile casuale:
10.000 1,0609  10.609

incasso finale di “B” = 10.000 1,1124  11.124
10.000 1,1664  11.664

con probabilit à P1
 0,36
con probabilit à P4
 0,16
con probabilit à P2  P3   0,48
Il valore medio della variabile casuale sopra descritta vale:
Media[incasso finale di “B”] = 10.6090,36+11.1240,48+11.6640,16 = 11.025
Tale valore medio poteva subito essere calcolato individuando il rendimento medio per
ciascuno degli anni associati alla alternativa “B”:
3% con probabilità (p1=0,6) + 8% con probabilità (p2=0,4) = 30,6 + 80,4 = 5 = 5% annuo.
Di conseguenza si sarebbe subito ottenuto:
Media[incasso finale di “B”] = 10.0001,052 = 11.025.
Si noti che i montanti finale delle entrate nelle due alternative (certo, quello riferito
all’alternativa “A”, e atteso, quello riferito all’alternativa “B”) hanno lo stesso valore in quanto il
rendimento medio della seconda alternativa (5%) è uguale al rendimento certo della prima (5%).
2
 c) tasso interno associato alla alternativa “A”.
Poiché l’alternativa”A” rende il 5% effettivo il suo tasso Interno di rendimento1 sarà il 5%.
 d) il tasso interno associato alla alternativa “B” calcolato sulla base del valore medio dell’importo
esigibile alla fine del biennio.
Come per l’alternativa “A”, anche nel caso “B” si può subito affermare che il tasso interno,
calcolato sulla base del montante finale medio, è pari al 5% annuo.
 e) valore delle utilità associate ai montanti finali delle entrate (allo scopo di individuare
l’alternativa più conveniente) utilizzando la seguente funzione di utilità:
  x 



10.000 
 10.000
u ( x)  1  e 




Per l’alternativa “A” si ottiene:
  11.025 




u (11.025)  1  e  10.000   10.000  6.679,60




Per l’alternativa “B” si ottiene2 :
 10.609  



1  e  10.000   10.000  6.538,5586





 11.124  



U{montante finale di “B”} =  1  e  10.000   10.000  6.712,3103




 11.664  



1  e  10.000   10.000  6.885,1372




con P1
 0,36
con P2  P3   0,48
con P4
 0,16
Il valore medio di tale variabile casuale (utilità attesa) vale:
Media[U{montante finale di “B”}]  6.538,5590,36+6.712,3100,48+6.885,1370,16  6.677,412.
1
) Il fatto che una certa operazione finanziaria produca interessi al tasso del 5% garantisce che tale tasso di interesse
renderà nullo il Rendimento Economico Attualizzato. Potrebbero però esistere, in generale, anche altri valori del tasso
di interesse che determinano l’annullamento del R.E.A. ed in tale situazione non varrebbe più la condizione di unicità
solitamente richiesta per la tradizionale definizione del tasso interno. Nel caso in questione si tratta però di operazioni
classificabili come “investimenti in senso stretto” (tutte le uscite monetarie precedono tutte le entrate) per le quali è
garantita l’esistenza di un solo tasso che annulla il R.E.A.
2
) Si ricorda che si deve operare sulle singole determinazioni della variabile casuale (non sul suo valore medio)
altrimenti non risulta possibile “penalizzare per il rischio” utilizzando la funzione di utilità.
3
 f) valore del “costo del rischio” associato ai montanti finali delle entrate nelle due diverse
alternative (utilizzando la funzione di utilità sopra riportata)
L’alternativa “A” è certa e quindi il costo del rischio associato è nullo.
Per l’alternativa “B” il relativo costo del rischio CR(B) è dato dalla differenza tra il valore medio
dell’importo esigibile alla fine del biennio ed il valore “certo equivalente” all’utilità attesa3:
CR(B) = Media[incasso finale di “B”] - u-1( Media[U{montante finale di “B”}]) =

  6.677,412  
= 11.025 - u-1( 6.677,412) = 11.025 -  10.000  ln 1 
  =
10.000  
 

 11.025 – 11.018,41 = 6,59 .
) L’importo “certo equivalente” riferito ad un prefissato valore di utilità è calcolabile attraverso la funzione inversa
della funzione di utilità. Indicata con u(x) una certa funzione di utilità, la corrispondente funzione inversa verrà indicata
con la scrittura u-1(). Ad un prefissato valore “u” di utilità corrisponderà quindi il seguente valore certo equivalente “x”:
x = u-1(u). La funzione inversa riferita al testo risulta essere la seguente: x = u-1(u) = -10.000 [ln(1-u/10.000)].
3
4