IL PARADOSSO DEI DUE BAMBINI
Prima formulazione
A)Il sig.X ha esattamente due figli, dei quali uno è maschio. Qual è la probabilità che
siano entrambi maschi? (si consideri esattamente uguale a 1/2 la probabilità di avere un figlio maschio
o una figlia femmina)
Soluzione
Consideriamo lo spazio degli eventi elementari equiprobabili
MM { due figli maschi}
MF {primogenito maschio , secondogenita femmina}
FM {primogenita femmina , secondogenito maschio }
FF { due figlie femmine}
ciascuno con probabilità 1/4.
Dobbiamo determinare la probabilità dell’evento { due figli maschi} quando si sappia che
almeno un figlio è maschio
Definizione classica di Probabilità
Probabilità condizionata
Se esiste sicuramente un figlio maschio,
gli eventi si riducono a tre
Sia M1 l’evento : {il sig. X ha almeno un figlio
maschio }
MM MF FM
P(M1) = 1-P(FF)= ¾
ciascuno con probabilità 1/3.
P( MM ∩M1) =P(MM)= 1/4
Seconda formulazione
B) Il sig.X ha esattamente due figli, dei quali uno è maschio. Qual è la probabilità che
anche l’altro sia maschio?
Questa seconda formulazione suggerisce un approccio diverso che però spesso non si
realizza in una corretta modellizzazione.
Soluzione intuitiva (errata)
Se un figlio è maschio, l’altro può essere indifferentemente maschio o femmina e non c’è
motivo di pensare che la probabilità debba essere diversa nei due casi.
Pertanto la probabilità che anche l’altro figlio sia maschio è uguale a ½.
Analisi dell’errore
Gli eventi {anche l’altro figlio è maschio}
e { l’altra figlia è femmina} non sono equiprobabili .
Sapendo che “almeno uno è maschio” , possiamo immaginare in un sol modo la situazione MM,
mentre l’evento contrario si presenta in due modalità :MF e FM
Il ragionamento che sta alla base della soluzione precedente sarebbe corretto se il quesito fosse così
formulato
C) Il sig.X ha esattamente due figli, il primo dei quali è maschio. Qual è la
probabilità che anche l’altro sia maschio?
oppure
D) Incontri il sig.X, in compagnia di un bambino che ti presenta come uno dei due
suoi figli. Qual è la probabilità che anche l’altro sia maschio?
Definizione classica di Probabilità
Probabilità condizionata
C)
C)
Se è stabilito che il primo figlio è maschio , lo
spazio degli eventi elementari si riduce a
Sia M1 l’evento : {il primo figlio è maschio}
P( MM ∩M1) = 1/4
MM MF
ciascuno con probabilità 1/2.
P(M1) = 1/2
D)
D)
Se il sig. X esce con un figlio maschio,che
indicheremo con M*, sicuramente non ha due
femmine.
Sia M1 l’evento :
Lo spazio degli eventi elementari può essere
così rappresentato
P( MM ∩M1) = 1/4
M*M MM* M*F FM*
Pertanto su quattro eventi possibili, 2 sono
favorevoli all’evento MM , la cui probabilità e
quindi uguale a ½
{il sig. X esce con un figlio maschio}
P( MF ∩M1) = 1/8
P(FM ∩M1) = 1/8
P(M1) =
P( MM ∩M1) + P( MF ∩M1) + P(FM ∩M1) = 1/2
L’aspetto paradossale è generato dal fatto che non è facile cogliere la differenza tra
la situazione prospettata nelle due prime formulazioni e quelli delle formulazioni C
e D (specialmente se il primo problema è presentato nella formulazione B)
Per comprendere le differenze si deve tener conto del fatto che le tre informazioni
Il sig.X ha esattamente due figli, dei quali uno è maschio
Il sig.X ha esattamente due figli, il primo dei quali è maschio
Il bambino che sta con il sg. X è uno dei suoi due figli
modificano in modo diverso lo spazio degli eventi elementari, come si evince
dai procedimenti risolutivi corretti.
