Matematica Discreta - Matematica e Informatica

Matematica Discreta
Lezione del giorno 17 aprile 2009
Leggi di cancellazione in un gruppo
Sia A un gruppo rispetto all’operazione *.
Se sono dati 3 elementi a,b,cA tali che a*c=b*c allora si ha a=b (è la cosiddetta legge di
cancellazione a destra, perché il secondo operando c viene “cancellato” in ambo i membri
dell’eguaglianza). Dimostriamo tale legge di cancellazione: se eA è l’elemento neutro di A, e se
c’A è il simmetrico di c in A, si ha (utilizzando la proprietà associativa):
a=a*e=a*(c*c’)=(a*c)*c’=(b*c)*c’=b*(c*c’)=b*e=b dunque a=b (tesi).
Con ragionamento analogo si ottiene la cosiddetta legge di cancellazione a sinistra valida in ogni
gruppo A: se sono dati 3 elementi a,b,cA tali che c*a=c*b allora si ha a=b.
Notare che se A non è gruppo, tali leggi possono anche non valere (come vedremo in un prossimo
esempio).
Se A é un gruppo finito di cardinalità n, la tavola dell’operazione di A forma un quadrato latino di
ordine n: infatti sappiamo che se gli n elementi distinti di A ordinati come segue
A = {a1,a2,......,an}
allora la tavola dell’operazione di A é una matrice nxn in cui nella generica casella all’incrocio fra
riga i e colonna j vi é il risultato ai*aj . Se per assurdo non si ottenesse in tal modo un quadrato
latino, vi sarebbero 2 elementi uguali nella stessa riga o nella stessa colonna. Ma se per esempio vi
fossero 2 elementi uguali nella stessa riga i (nelle colonne j,k) allora si avrebbe la seguente
eguaglianza:
ai*aj = ai*ak
e per la legge di cancellazione a sinistra si concluderebbe che aj=ak (contraddizione perché gli
elementi a1,a2,......,an sono distinti. Con ragionamento analogo, se vi fossero invece 2 elementi
uguali nella stessa colonna, si otterrebbe una contraddizione (utilizzando stavolta la legge di
cancellazione a destra).
Dunque un modo per ottenere un quadrato latino di ordine n é per esempio quello di costruire la
tavola dell’operazione di un gruppo di cardinalità n.
Il monoide delle funzioni da un insieme in sé stesso
Sia T un insieme non vuoto qualunque, e consideriamo l’insieme F(T) i cui elementi sono tutte le
possibili funzioni f: T  T. Per esempio, se T è finito di cardinalità n, l’insieme F(T) ha cardinalità
nn, come è ben noto dal calcolo combinatorio. Se T è infinito ovviamente anche F(T) è infinito.
Sappiamo che nell’insieme F(T) é definita l’operazione di composizione di funzioni: prese due
funzioni f,g : T  T, la loro composizione è la funzione fg : T  T definita applicando di seguito
prima la funzione g e poi la funzione f (formalmente per ogni elemento xT si ha (fg)(x)=f(g(x))).
Nell’insieme F(T) l’operazione di composizione è associativa: se infatti sono date 3 funzioni
f,g,h : T  T
calcolando il corrispondente di un elemento generico xT mediante le funzioni f(gh), (fg)h si
ottiene lo stesso risultato:
[f(gh)](x)=f((gh)(x))=f(g(h(x)))
[(fg)h](x)=(fg)(h(x))=f(g(h(x)))
dunque é vero che f(gh)=(fg)h.
Inoltre esiste in F(T) l’elemento neutro rispetto all’operazione di composizione ed esso coincide con
la funzione identica iT : T  T definita da iT(x)=x per ogni xT. Si verifica infatti facilmente che
per ogni fF(T) si ha:
fiT=f
iTf=f
Dunque l’insieme F(T) di tutte le funzioni da T in T rispetto all’operazione di composizione è un
monoide.
Esempio: Se T={a,b} ha cardinalità 2, allora F(T) contiene 22=4 funzioni f1,f2,f3,f4 : T  T definite
rispettivamente da:
f1(a)=a, f1(b)=b
f2(a)=a, f2(b)=a
f3(a)=b, f3(b)=a
f4(a)=b, f4(b)=b
Calcoliamo per esempio la composizione f2f3 .
Si ha: (f2f3)(a)=f2(f3(a))=f2(b)=a, (f2f3)(b)=f2(f3(b))=f2(a)=a
Dunque:
(f2f3)(a)=a, (f2f3)(b)=a
Si osserva dunque che la composizione f2f3 coincide con la funzione f2 :
f2f3=f2.
Calcoliamo invece la composizione f3f2 .
Si ha: (f3f2)(a)=f3(f2(a))=f3(a)=b, (f3f2)(b)=f3(f2(b))=f3(a)=b
Dunque:
(f3f2)(a)=b, (f3f2)(b)=b
Si osserva dunque che la composizione f3f2 coincide con la funzione f4 :
f3f2=f4.
(notare che l’operazione di composizione non è in questo caso commutativa)
Se calcoliamo tutti i risultati possibili per le diverse coppie di elementi di F(T)={f1,f2,f3.f4}
otteniamo in questo caso la seguente tavola dell’operazione di composizione in F(T) :
f1
f2
f3
f4
f1
f1
f2
f3
f4
f2
f2
f2
f4
f4
f3
f3
f2
f1
f4
f4
f4
f2
f2
f4
In questo caso F(T) non è un gruppo: gli elementi f2,f4 non hanno simmetrico, come si vede
esaminando la tavola.
Notiamo anche che non vale la legge di cancellazione a sinistra: per esempio f2f3=f2f4 ma non è
vero che f3=f4 . Non vale neanche quella a destra: per esempio f1f4=f4f4 ma non è vero che f1=f4.
Non si ottiene dunque un quadrato latino, in questo caso,
Ricordiamo che, dato un monoide A rispetto all’operazione *, il sottoinsieme A* di tutti gli
elementi simmetrizzabile di A è un gruppo rispetto alla stessa operazione di A.
Studiamo allora il gruppo degli elementi simmetrizzabili del monoide F(T).
Se una funzione fF(T) é biunivoca, sappiamo che esiste la funzione inversa f-1 : T  T (dunque
anche f-1F(T)); si ha inoltre ff-1=iT, e che f-1f=iT.
Dunque: se una funzione fF(T) é biunivoca, essa é simmetrizzabile nel monoide F(T) ed il suo
simmetrico é la funzione inversa f-1.
Ma viceversa supponiamo che una funzione fF(T) sia simmetrizzabile e che f ‘F(T) sia il suo
simmetrico, cioè f ‘ : T  T é una funzione tale che ff ‘=iT, e che f ‘f=iT. Da ciò segue allora che
f é iniettiva (perché se f(a)=f(b) allora applicando f ‘ ad ambo i membri si ha f ‘(f(a))=f ‘(f(b)), da
cui (f ‘f)(a)= (f ‘f)(b), cioé iT(a)=iT(b), ed infine a=b) ed inoltre f é surgettiva (comunque dato
bT, posto a=f ‘(b)T, si ha f(a)= f(f ‘(b))=(ff ‘)(b)=iT(b)=b, dunque per ogni bT esiste qualche
aT tale che f(a)=b).
Dunque: se una funzione fF(T) é simmetrizzabile nel monoide F(T), essa é biunivoca.
Abbiamo in pratica dimostrato che il gruppo F(T)* degli elementi simmetrizzabili del monoide
F(T) é formato da tutte e sole le funzioni biunivoche da T in T.
Se per esempio T è un insieme finito di cardinalità n, allora il gruppo F(T)* contiene n! funzioni
biunivoche.
Esempio: Se T={a,b,c} ha cardinalità 3, allora F(T) contiene 33=27 funzioni da T in T (é troppo
lungo costruirle tutte, e la tavola dell’operazione sarebbe una matrice 27x27). Il gruppo F(T)* degli
elementi simmetrizzabili ha cardinalità 3!=6 ed é formato dalle 6 funzioni biunivoche da T in T che
sono le seguenti f1,f2,f3,f4,f5,f6 definite da:
f1(a)=a, f1(b)=b, f1(c)=c (quindi f1=iT applicazione identica di T)
f2(a)=a, f2(b)=c, f2(c)=b
f3(a)=c, f3(b)=b, f3(c)=a
f4(a)=b, f4(b)=a, f4(c)=c
f5(a)=b, f5(b)=c, f5(c)=a
f6(a)=c, f6(b)=a, f6(c)=b
La tavola dell’operazione del gruppo F(T)* é in questo caso (rispetto all’ordine f1,f2,f3,f4,f5,f6) la
seguente matrice 6x6:
f1 f2 f3 f4 f5 f6
f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6
f2 f2 f1 f5 f6 f3 f4
f3 f3 f6 f1 f5 f4 f2
f4 f4 f5 f6 f1 f2 f3
f5 f5 f4 f2 f3 f6 f1
f6 f6 f3 f4 f2 f1 f5
Si può notare che, come previsto, la tavola é un quadrato latino di ordine 6, essendo F(T)* un
gruppo.
Inoltre la tavola non é simmetrica rispetto alla diagonale principale, quindi l’operazione del gruppo
F(T)* in questo caso non é commutativa (per esempio f3f2f2f3).
Quest’ultima osservazione non é un caso: se T é un insieme con almeno 3 elementi, l’operazione di
composizione nel gruppo F(T)* non é mai commutativa. Infatti se T={a,b,c,..........} basta definire le
2 funzioni f,g : T  T ponendo
f(a)=a, f(b)=c, f(c)=b (sugli altri elementi f agisce come l’applicazione identica)
g(a)=c, g(b)=b, g(c)=a (sugli altri elementi g agisce come l’applicazione identica)
e si osserva facilmente che f,g sono biunivoche, dunque f,gF(T)*, ma le 2 composizioni fg, gf
sono diverse (perché per esempio (fg)(a)=f(g(a))=f(c)=b, mentre (gf)(a)=g(f(a))=g(a)=c).
Notiamo invece che nel caso di un insieme T={a,b} di cardinalità 2, il gruppo F(T)* contiene solo 2
funzioni biunivoche (oltre la funzione identica iT, vi è la funzione f definita da f(a)=b, f(b)=a) e in
questo caso l’operazione è commutativa con tavola:
iT f
iT iT f
f
f iT