CINEMATICA
Caratteristiche generali
La cinematica, è la scienza che studia il moto dei corpi senza tener conto delle cause che lo determinano.
Il moto
Un corpo è in movimento quando a partire da un certo istante occupa delle posizioni diverse rispetto ad un sistema di
riferimento. È importante chiarire fin dall'inizio che il moto in fisica è un concetto relativo.
Punto materiale
Un corpo si può considerare con buona approssimazione un punto materiale se le sue dimensioni sono piccole rispetto
alle dimensioni della regione di spazio in cui avviene il moto.
Sistema di riferimento
I sistemi di riferimento sono costituiti da una terna di assi cartesiani resa solidale
con dei corpi rispetto ai quali vengono studiati i moti, da uno strumento di misura
delle distanze e da uno strumento per misurare i tempi.
Una terna di assi è costituita da tre rette orientate (x, y e z), ciascuna delle quali è
perpendicolare alle altre due e con un punto in comune (O) che si chiama origine.
z
O
Ad esempio il sistema di riferimento terrestre comprende una terna di assi
x
cartesiani solidale con il centro della terra, mentre un sistema di riferimento
rispetto alle pareti della stanza nella quale state studiando è individuato da una
y
terna di assi cartesiani solidale alle pareti.
Se state passeggiando mentre studiate, la vostra posizione cambia continuamente
rispetto alle pareti della vostra stanza, quindi, con il passare del tempo vi muovete rispetto alla terna ad esse solidale.
Per studiare il vostro moto occorre eseguire misure di lunghezza per determinare, istante per istante, la vostra posizione
rispetto alla terna di riferimento e misure di durata per determinare i tempi di spostamento da una posizione a quella
successiva.
Il sistema di riferimento nel suo complesso è costituito, quindi, da una terna di assi cartesiani solidale alle pareti, da un
metro e da un orologio.
Traiettoria
Si chiama traiettoria la linea che unisce le posizioni successive occupate da un corpo in movimento. Un esempio è la
scia lasciata da un aereo quando percorre in cielo una rotta ad alta quota.
Legge oraria
La legge oraria è una relazione matematica che lega tra loro il tempo t e la posizione s occupata dal corpo in
quell'istante di tempo. E’ importante osservare che alla stessa traiettoria possono corrispondere leggi orarie diverse, a
conferma del fatto che traiettoria e legge oraria sono due concetti totalmente diversi.
Spostamento
Lo spostamento è una grandezza vettoriale che con il suo modulo individua la lunghezza di traiettoria percorsa dal
corpo a partire dalla posizione di partenza, detta posizione iniziale. La sua direzione rappresenta la direzione del moto,
mentre la sua freccia indica il verso di percorrenza.
Facciamo un esempio, supponiamo che voi vi spostate da un punto A ad un punto B della vostra stanza descrivendo una
certa traiettoria.
Lo spostamento (s) è definito dal vettore di modulo uguale alla distanza AB, la cui
AB = s
direzione è la retta passante per A e per B mentre il suo verso va da A a B (vedi figura).
L'istante in cui si iniziano a contare i tempi si chiama istante iniziale e in genere si
indica con (to), mentre il tempo tra l'istante iniziale e quello finale che nell'esempio fatto
corrisponde a quello trascorso per andare dal punto A al punto B, si indica con (t).
Essendo lo spostamento una grandezza vettoriale, ovviamente, va composto o
decomposto con le stesse regole già studiate nel paragrafo "Operazioni con i vettori".
B
s
A
1
Moto rettilineo
Si chiama moto rettilineo il moto di un punto materiale la cui traiettoria è un segmento di retta.
Nel moto rettilineo il sistema di riferimento è costituito da un solo asse cartesiano, che coincide con la traiettoria. Su
tale asse scegliamo un punto origine, un unità di misura e un verso positivo. A ogni punto della traiettoria corrisponde
una coordinata, che si chiama ascissa del punto.
Variazione di una grandezza
La lettera greca Δ (delta), posta davanti a una grandezza t, indica la sua variazione, cioè la differenza tra due valori di t:
Δt=t2-t1
Consideriamo un punto che si muove in linea retta, ad esempio un auto su di una strada rettilinea.
La posizione s rappresenta l’ascissa del punto materiale; l’istante di tempo t è il valore indicato dall’orologio quando il
punto materiale è nella posizione s.
Se all’istante t1 il punto è nella posizione s1 e all’istante t2 è nella posizione s2 si definisce:
- spazio (o distanza) percorso Δs la differenza tra le due posizioni: Δs=s2-s1
- intervallo di tempo Δt la differenza tra i due istanti: Δt=t2-t1
Velocità
La velocità è una grandezza cinematica che serve a determinare la rapidità con cui un corpo si sposta in un intervallo di
tempo definito.
In altre parole, un corpo viaggia ad una velocità maggiore di un'altro quando rispetto ad esso impiega minor tempo per
percorre lo stesso tratto di traettoria.
Esistono due tipi di velocità: velocità media e velocità istantanea.
Velocità Media
La velocità media (vm), di un corpo che percorre uno spazio (Δs=s2-s1) in un intervallo di tempo (Δt=t2-t1), si calcola con
la relazione: vm = Δs/Δt = (s2-s1)/(t2-t1) ed è una grandezza vettoriale.
La sua unità di misura, nel Sistema Internazionale (S.I.) è m/s perchè lo spazio si misura in metri e il tempo in secondi.
In alcuni casi la suddetta unità di misura è troppo piccola, si pensi per esempio alla velocità di un automobile che viene
espressa in Km/h.
Per trasformare la velocità da m/s in Km/h bisogna tener conto che un chilometro equivale a mille metri ed un'ora a
3600 secondi, per cui i Km/h si ottengono moltiplicando i m/s per 3,6.
Nel passaggio inverso, cioè da Km/h a m/s bisogna dividere per 3,6.
Il grafico spazio-tempo
Un grafico spazio-tempo è costituito da:
un asse orizzontale dei tempi
un asse verticale dello posizioni
Un punto del grafico spazio-tempo dà informazione sulla posizione di un corpo, che si muove su una retta, ad un
determinato istante.
Il grafico spazio-tempo non è la traiettoria di un corpo, che, nel caso di un moto rettilineo, è un segmento, ma
rappresenta la legge oraria.
1- I tratti più ripidi sono quelli in cui la velocità media
è maggiore.
2- Nei tratti orizzontali l’oggetto è fermo.
3- Nei tratti inclinati verso il basso l’oggetto torna
indietro (cioè si muove nel verso negativo.
4- La velocità media tra due punti P1 e P2 nel grafico
spazio-tempo è uguale alla pendenza della retta
secante che passa per i due punti.
Spazio (m)
P indica
dove e quando
6
4
P2
Δs
P1
vm = Δs/Δt
Δt
0
3
7
Tempo (s)
Velocità istantanea
La velocità media (vm), di un corpo che percorre uno spazio (Δs=s2-s1) in un intervallo di tempo (Δt=t2-t1), si calcola con
la relazione: vm = Δs/Δt = (s2-s1)/(t2-t1). Accanto alla velocità media esiste un altro concetto importante che è quello di
velocità istantanea. Se noi andiamo da Napoli a Roma a una velocità media di 90 km/h, questo non vuol dire che ad
ogni istante la nostra velocità è di 90 km/h. Per definire la velocità che un corpo ha ad un certo istante di tempo useremo
la stessa formula della velocità media, ossia vi = (s2 - s1) / (t2 - t1) ma andremo a considerare intervalli di tempo t2 - t1
2
molto piccoli. Diminuendo progressivamente l'intervallo di tempo t 2 - t1 la velocità media riproduce esattamente la
velocità istantanea.
Spazio (m)
Spazio (m)
Vm
P(t2)
Vi
s2
P(t1)
P(t2)
P(t1)
s1
0
t1
t2
Tempo (s)
0
Tempo (s)
La velocità istantanea rappresenta la velocità posseduta dal corpo in un determinato istante e graficamente è
rappresentata dalla tangente alla curva del grafico dello spazio-tempo nel punto preso in considerazione, si indica con vi
e si misura in m/s.
Ad esempio, sono velocità istantanee quelle segnalate dal tachimetro delle autovetture.
Il moto rettilineo uniforme
Il movimento di un punto materiale che si muove lungo una retta con velocità costante è detto moto rettilineo uniforme.
In questo caso la velocità media è detta semplicemente velocità ed è indicata con v.
In un grafico spazio-tempo il moto rettilineo uniforme viene indicato con una retta passante per l’origine, la cui
pendenza rappresenta la velocità.
Nel moto rettilineo uniforme, le distanze sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati a
percorrerle.
Nel moto rettilineo uniforme con velocità v la posizione
all’istante t è: s = v·t
Spazio (m)
Nel caso in cui la posizione iniziale non coincide con
l’origine, la legge del moto rettilineo uniforme diventa:
s = s0 + v·t con s0 chiamato posizione iniziale.
L’equazione precedente è chiamata legge oraria del
moto rettilineo uniforme.
0
Tempo (s)
Accelerazione
In generale la velocità di un corpo non rimane costante nel tempo ma può aumentare o diminuire. Una grandezza fisica
importante per descrivere il moto di un corpo è l'accelerazione media, la quale viene definita come il rapporto tra la
variazione di velocità e l'intervallo di tempo in cui tale variazione avviene: am = Δv/Δt = (v2-v1)/(t2-t1). Dal momento che
l'unità di misura della velocità nel Sistema Internazionale è il metro al secondo (m / s), l'unità di misura
dell'accelerazione è il metro al secondo quadro (m / s2). Come nel caso della velocità anche qui possiamo introdurre il
concetto di accelerazione istantanea: l'accelerazione media diventa uguale all'accelerazione istantanea quando
rendiamo molto piccolo l'intervallo di tempo t2 - t1. L'accelerazione media in un intervallo molto piccolo di tempo
coincide con l'accelerazione del corpo in quell'istante di tempo.
Il grafico velocità-tempo
Un grafico velocità-tempo è costituito da:
un asse orizzontale dei tempi
un asse verticale della velocità
Molto interessante è anche l'interpretazione geometrica del grafico velocità-tempo: nel caso di moto rettilineo uniforme
l'area del rettangolo in figura infatti è uguale allo spazio percorso dal corpo in un intervallo di tempo uguale alla
lunghezza della base del rettangolo.
3
Questa proprietà del grafico velocità-tempo rimane valida anche per moti diversi dal moto rettilineo uniforme: invece di
ottenere una linea parallela all'asse delle ascisse avremo una curva generica ma l'area sottesa al grafico rimarrà
numericamente uguale allo spazio percorso dal corpo.
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Un altro esempio molto importante di moto è il moto rettilineo uniformemente accelerato, caratterizzato da una
traiettoria rettilinea e da un'accelerazione costante. Questo significa che in un moto rettilineo uniformemente
accelerato l'accelerazione a non varia nel tempo. Se ora ci ricordiamo com'è definita l'accelerazione, a = (v - v0) / (t - t0),
possiamo dire che in un moto rettilineo uniformemente accelerato il rapporto tra la variazione di velocità v - v0 e
l'intervallo di tempo t - t0 è uguale a una costante. Questo vuol dire che la variazione di velocità e l'intervallo di tempo
in cui tale variazione avviene sono direttamente proporzionali: v - v0 = a · (t - t0).
Come caso particolare, supponiamo di far partire il cronometro all'istante t 0 = 0 e che in quell'istante il corpo risulti
fermo v0 = 0. In questo caso la velocità del corpo v e il tempo t risultano direttamente proporzionali: v = a · t e il grafico
è la retta passante per l'origine riportata in figura:
Andiamo ora a ricavarci la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. Come abbiamo detto nella
precedente sezione lo spazio s percorso dal corpo è dato dall'area del triangolo che ha per base il tempo t e per altezza la
velocità v raggiunta dal corpo all'istante t. Ricordandoci ora che v = a · t, la legge oraria del moto uniformemente
accelerato diventa s = 1/2 · v · t = 1/2 · a · t2. Se nel moto rettilineo uniforme lo spazio percorso è direttamente
proporzionale al tempo t, nel moto rettilineo uniformemente accelerato lo spazio è direttamente proporzionale al
quadrato del tempo.
4
