Unità didattica di Fisica
Il Iº Principio della Termodinamica e sue applicazioni.
(Una prima bozza di appunti per studenti bisognosi…)
Docente: Giorgio Erby
Scuola: Liceo Linguistico
Classe : V P – Sperimentazione Brocca
Prerequisiti:
Concetti di forza e pressione.
Concetto di energia meccanica, di lavoro, di attrito.
Principio di conservazione dell’energia.
Concetto di temperatura e calore.
Leggi di Boyle, Gay-Lussac, equazione di stato dei gas perfetti
Teoria cinetica dei gas
Calorimetria
Curve di Andrews ed equazioni di stato di Wan Der Waals per i gas reali: transizioni
di fase e calori latenti.
Obiettivi:
Concetto di stato termodinamico, di variabile termodinamica e di equilibrio
termodinamico.
Concetto di trasformazione termodinamica reversibile: trasformazioni isoterme,
isobare, isocore e adiabatiche. Essere in grado di determinare la pendenza di una
curva isoterma e di una curva adiabatica attraverso l’uso di elementari trasformazioni
geometriche di scala nel piano (p, V).
Concetto di trasformazione termodinamica ciclica; energia interna come funzione di
stato : una prima dimostrazione attraverso la combinazione di trasformazioni
termodinamiche particolari studiate.
Saper determinare le variazioni dell’energia interna lungo particolari trasformazioni
termodinamiche.
Lavoro effettuato o subito da un sistema lungo una trasformazione termodinamica:
saper determinare tale lavoro lungo una generica trasformazione termodinamica.
Saper determinare le variazioni di lavoro e di energia interna di un sistema lungo una
trasformazione ciclica.
Iº Principio della Termodinamica: enunciato e sua applicazione per la definizione
dell’energia interna come funzione di stato
Calore specifico a volume costante e calore specifico a pressione costante: Relazione di
Mayer
Determinazione dell’equazione di stato di una trasformazione adiabatica di un gas
perfetto.
1
Indice:
1.
2.
3.
4.
Stati termodinamici e loro trasformazioni, pag. 2
Energia interna come funzione di stato: una prima deduzione elementare,pag. 4
Il Iº Principio della Termodinamica, pag. 7
Applicazioni del Iº Principio:
a) Energia interna come funzione di stato ,pag. 10
b) Relazione di Mayer, pag 11
c) Equazioni adiabatiche di un gas perfetto, pag. 13
1. Stati termodinamici e loro trasformazioni.
Per stato termodinamico di un sistema fisico s’intende l’insieme dei valori di pressione,volume e
temperatura del sistema. Lo stato termodinamico di un sistema può essere allora rappresentato
dal punto di coordinate (p,V) alla temperatura T nel piano di Clapeyron.
Le grandezze fisiche macroscopiche p,V,T si dicono anche variabili termodinamiche.
Si dice che lo stato termodinamico di un sistema fisico è
Uno stato d’equilibrio termodinamico se il sistema si trova simultaneamente nelle seguenti
condizioni:
Equilibrio meccanico (idrostatico)
Equilibrio termico (temperatura costante)
Equilibrio chimico (nel caso di sostanza non omogenea): la struttura interna e la
composizione chimica del sistema restano costanti
In seguito si prenderanno in considerazione unicamente stati d’equilibrio termodinamico, in
quanto sono gli unici stati per i quali le leggi fisiche possono avere una rappresentazione
matematica nel contesto della termodinamica classica.
Una trasformazione termodinamica è una trasformazione che connette tra loro stati
d’equilibrio termodinamici:
p
2
una trasformazione termodinamica esprime
perciò un cambiamento dei valori delle
variabili termodinamiche dello stato
termodinamico di un sistema fisico.
In realtà dalla definizione si può evincere
1
che, per passare in modo continuo dallo
(p1,V1 ,T1)
stato (p1,V1 ,T1) allo stato (p2,V2 ,T2),
la trasformazione deve passare attraverso
una successione di punti del piano (p,V)
compresi tra lo stato 1 e lo stato 2 i quali,
O
devono rappresentare a loro volta degli stati
d’equilibrio termodinamico. Si assume perciò, idealmente che la trasformazione dallo stato 1
allo stato 2 avvenga così lentamente da permettere al sistema di trovarsi in uno stato
d’equilibrio in ciascun punto della trasformazione medesima.
Una trasformazione termodinamica si dice reversibile se è possibile a partire dal suo stato
finale (ad es. lo stato 2) ritornare al suo stato iniziale (ad es. lo stato 1) ripercorrendo (a
ritroso) la medesima successione di stati di equilibrio con cui si è arrivati allo stato finale.
Viceversa si dice irreversibile la trasformazione espressa da una curva percorribile in un solo
senso.
In generale, sono idealmente reversibili le trasformazioni termodinamiche che per passare da
uno stato iniziale ad uno stato finale devono passare attraverso una successione di stati
intermedi caratterizzati da stati d’equilibrio termodinamico come ad es. le compressione lenta di
un gas all’interno di un cilindro ad opera di un pistone scorrevole o viceversa una sua lenta
(p2,V2 ,T2)
2
espansione; è irreversibile invece la trasmissione spontanea di calore da un corpo più caldo ad
un colpo più freddo o più in generale il raffreddamento (o riscaldamento) rapido di un corpo, o
ancora, la conversione di energia meccanica in energia termica (calore) per attrito. D’ora in
avanti, finchè non si arriverà alla formulazione del IIº Principio della termodinamica si
prenderanno solo in considerazione trasformazioni reversibili. Successivamente si darà una
definizione più rigorosa della differenza tra le trasformazioni reversibili e le trasformazioni
irreversibili.
Una trasformazione termodinamica in cui stato iniziale e stato finale non coincidono si dice
aperta (es. la trasformazione precedente dallo stato 1 allo stato 2).
Una trasformazione termodinamica si dice ciclica se stato finale e stato iniziale coincidono:
p
(p1,V1 ,T1) = (p2,V2 ,T2)
Una trasformazione ciclica può essere
costruita combinando due o più trasformazioni
differenti tra loro , tra quelle descritte nella
tabella sottostante
1=2
V
O
Trasformazioni termodinamiche:
Isoterme
pV=cost, T=cost
Isobare
p=cost
Isocore
V=cost
dove γ > 1
p
Adiabatiche
pV = cost, ΔQ= 0
γ
p
p = cost
(p1,V1)
i
s pV = k
pVγ = h o
a
t erma
d
(p2,V2)
i
(p2',V2)
a b a t ica
p1
V = cost
pV = k
pVγ = h
V
O
O
V1
V2
V
Esempi di Trasformazioni Termodinamiche Cicliche:
p
p
p
A
A
B
T2
A
B
D
D
B
T1
C
D
C
O
V
Isobare + Isocore
O
C
V
Isoterme + Isocore
3
O
V
Isoterme + Adiabatiche
Dimostriamo in particolare, che la pseudo-iperbole espressa dall’adiabatica pVγ = h è più
inclinata verso l’asse verticale dell’iperbole espressa dall’isoterma pV = k.
Operiamo una trasformazione di scala facendo il logaritmo naturale delle equazioni isoterma e
adiabatica rispettivamente :
pV = k → ln(pV) = lnp + lnV = lnk = k', ovvero lnp + lnV = k'
pVγ = h → ln(pVγ ) = lnp + ln(Vγ ) = lnp + γlnV = lnh = h', ovvero lnp + γlnV = h'
si sono trasformate le equazioni delle iperboli in equazioni su somme di logaritmi,
trasformando così delle iperboli in logaritmi secondo una trasformazione di scala logaritmica.
Realizziamo una nuova trasformazione passando ad una scala lineare attraverso le sostituzioni:
y = lnp, x = lnV
nelle equazioni :
lnp = -lnV + k', lnp = -γlnV + h'
da cui:
y = -x + k', y = -γx + h'
che rappresentano le equazioni di due rette aventi pendenza –1 e –γ < -1 rispettivamente.
Traslando le due rette nell’origine tramite la condizione k' = 0, h' = 0 si ha:
y = -γx
y = -x
y
x
C. V. D.
O
Per ricapitolare, la sostanza di questo discorso consiste nel prendere una iperbole (o una
pseudo-iperbole), trasformarla in una curva logaritmica (passaggio ad una scala logaritmica) e
successivamente di trasformare tale curva logaritmica in una retta (passaggio ad una scala lineare)
per evidenziare in modo qualitativo la differenza tra le due pendenze:
p
ln(pV)
y = -x
y = lnp
pV= k
x = lnV
O
V
O
1
pV
O
Naturalmente, il grafico di ln(pV) assume importanza solo nel punto in cui ln(pV) = k' , in
corrispondenza del quale il grafico può essere decomposto a sua volta nella somma di due curve
logaritmiche distinte lnp + lnV: si osservi che in tale somma gli argomenti dei logaritmi devono
essere prima “adimensionalizzati” , le grandezze fisiche p e V devono essere cioè moltiplicate per
4
dei fattori di conversione tali da renderle adimensionali, il che significa convertire tali grandezze in
numeri in quanto gli argomenti delle funzioni matematiche trascendenti devono essere
dimensionali. Ne consegue che con tale procedura noi stiamo valutando unicamente il
comportamento “numerico” delle grandezze fisiche in questione, se si vuole che tale somma di
logaritmi abbia un senso fisico; in ogni caso tale somma non dev’essere svolta in quanto ci interessa
solo come passaggio intermedio per poter esprimere lnp in funzione di lnV. Si osservi che tale
procedimento (esposto qui in modo qualitativa e poco rigoroso..) è noto in matematica (in modo
rigoroso) sotto il nome di “trasformazione topologica” ovvero quel genere di trasformazione che
modifica una linea attraverso deformazioni successive senza effettuare “tagli”; tale procedimento
risulta particolarmente fecondo in fisica quando, attraverso le simulazioni al calcolatore si cerca di
stabilire in modo numerico quale relazione matematica sussista tra le grandezze fisiche di cui si sta
studiando il comportamento: si analizza il grafico della curva che esprime l’andamento della
grandezza fisica in questione e si stima la curva matematica che meglio lo approssima e uno dei
primi passi per realizzare tale stima è determinare come varia la sua pendenza facendo uso,
eventualmente dei passaggi di “scala”. Si fa notare infine che il metodo di studiare il
comportamento di una curva attraverso lo studio della sua pendenza, è di uso familiare in
matematica da parecchio tempo….
2. Energia interna come funzione di stato: una prima deduzione elementare
Si è visto dalla teoria cinetica dei gas che l’energia interna era definita a partire dall’energia
cinetica media di traslazione di un gas perfetto come:
U N Ec
3
N R T
2
dove si è assunta per comodità l’assenza di moti rotazionali e vibrazionali nelle molecole di una
mole del gas, N esprime il numero di molecole (numero di Avogadro nel caso di una mole) ed <Ec>
rappresenta l’energia cinetica molecolare media traslazionale della singola molecola. Questa
relazione ci dice una cosa importante: l’energia interna di un gas perfetto può essere espressa (in
termini di grandezze variabili) unicamente in funzione della sua temperatura assoluta, ovvero
U=U(T)..
Vediamo allora di vedere come può cambiare tale energia nel passare da uno stato termodinamico
(p1,V1,T1) ad uno stato termodinamico (p2,V2,T2) connettendo tali stati con alcune delle
trasformazioni termodinamiche prima viste.
p
1. isobara + isocora :
(p1,V1,T1)
(p1,V1,T1) → (p1,V2,T1') (isobara)
U(T1) → U(T1')
∆Up = U(T1') - U(T1)
(p1,V2,T1')
(p1',V1')
T1
T2
(p2',V2',T2)
+
(p1,V2,T1') → (p2,V2,T2) (isocora)
U(T1') → U(T2)
∆UV = U(T2) - U(T1')
(p2,V2,T2)
O
V
Dove ∆Up indica la variazione di energia interna a p = cost (ovvero lungo l’isobara) mentre ∆UV
esprime la variazione di energia interna a V = cost (ovvero lungo l’isocora); indicando allora con
∆UpV la variazione totale di energia interna lungo l’isobara + isocora poiché essa dev’essere la
somma delle variazioni lungo le singole trasformazioni dev’essere:
5
∆UpV = ∆Up + ∆UV = U(T1') - U(T1) + U(T2) - U(T1') = U(T2) - U(T1)
ovvero :
∆UpV = U(T2) - U(T1)
in quanto i termini in T1' si elidono
2. isoterma + adiabatica:
(p1,V1,T1) → (p1',V1',T1) (isoterma)
U(T1) → U(T1)
∆Ui = U(T1) - U(T1) = 0
(p1',V1',T1) → (p2,V2,T2) (adiabatica)
U(T1) → U(T2)
∆Ua = U(T2) - U(T1)
dove con ∆Ui e con ∆Ua si sono indicate le variazioni di energia interna lungo l’isoterma e lungo
l’adiabatica rispettivamente.
Ne consegue che la variazione totale di energia interna lungo l’isoterma + adiabatica è:
∆Uia = ∆Ui + ∆Ua = 0 + U(T2) - U(T1) = U(T2) - U(T1)
ovvero
∆Uia = U(T2) - U(T1)
3. adiabatica + isoterma :
(p1,V1,T1) → (p2',V2',T2) (adiabatica)
U(T1) → U(T2)
∆Ua = U(T2) - U(T1)
(p2',V2',T2) → (p2,V2,T2) (isoterma)
U(T1) → U(T1)
∆Ui = U(T1) - U(T1) = 0
e dunque alla fine è ∆Uai = ∆Ua + ∆Ui = U(T2) - U(T1)
Si è arrivati così alla conclusione che in tutti i tre percorsi termodinamici 1, 2, 3, effettuati, la
variazione di energia interna risulta sempre la stessa: ∆U = U(T2) - U(T1) , in quanto i tre percorsi
connettono gli stessi stati termodinamici, ovvero lo stato iniziale (p1,V1,T1) e lo stato finale
(p2,V2,T2). Tale risultato è diretta conseguenza del fatto che l’energia interna è funzione della sola
temperatura.
L’energia interna risulta in tal caso funzione dello stato termodinamico del sistema, il che significa
che ogni sua variazione dipende solo dal suo stato iniziale e dal suo stato finale.
Questa proprietà dell’energia interna, verificata sui tre percorsi particolari 1, 2 , 3 è del tutto
generale, nel senso che è valida per qualsiasi tipo di trasformazione termodinamica e sarà
dimostrata con l’ausilio del Iº Principio in seguito.
Si notino infine come, a causa di tale proprietà, le variazioni dell’energia interna lungo una isoterma
siano sempre nulle: l’energia interna si mantiene costante lungo le trasformazioni isoterme
6
3. Il I º Principio della Termodinamica
Consideriamo un gas contenuto in un cilindro dotato di un parete scorrevole e supponiamo che il
gas, a causa di una pressione costante p, effettui un’espansione, facendo variare il proprio volume:
il gas nell’incrementare il proprio volume V di una quantità ∆V
fa compiere alla parete scorrevole uno spostamento ∆l.
Se F è la forza esercitata dal gas sulla parete allora nella sua
espansione esso farà un lavoro ∆L = F· ∆l sempre nell’ipotesi
che la forza F sia perpendicolare alla superficie della parete.
La forza può essere determinata a partire dalla pressione p che
Il gas esercita sulla parete scorrevole:
p
∆l
∆V
p
V
p
F
S
in cui S è l’area della superficie della parete scorrevole.
Ne consegue che F = p·S da cui ∆L = p·S · ∆l ; ma ∆V = S · ∆l implica che ∆L = p· ∆V, in
accordo con quanto già visto in meccanica dei fluidi e in teoria cinetica dei gas.
Nel diagramma (p,V) tale lavoro può essere rappresentato nel seguente modo:
p
l’area della zona tratteggiata rappresenta il lavoro
p
effettuato dal gas lungo la trasformazione isobara
considerata.
∆L
E’ altresì evidente che in una trasformazione in cui
V ∆V = 0 si ha ∆L = 0.
O
V
V+∆V
Possiamo allora enunciare la procedura generale che consente di determinare il lavoro effettuato o
subito da un gas lungo una qualsiasi trasformazione termodinamica:
p
(p1,V1)
supponiamo che tale trasformazione sia rappresentata da una
p1
curva che unisce uno stato iniziale (p1,V1) ad uno stato finale
(p2,V2)
(p2,V2); si può allora pensare di dividere l’intervallo (V1,V2)
p2
in n sottointervalli di lunghezza:
L
O
V1
V2
V
V
V2 V1
n
e costruire per ciascuno di tali intervallino un rettangolo avente per base l’intervallino e per altezza
l’ordinata della curva corrispondente all’ascissa del primo dei due estremi dell’intervallino.
In tal modo se l’intervallino è sufficientemente piccolo, si può approssimare l’area sottesa dalla
curva sopra tale intervallino con l’area del rettangolo così costruito. Proseguendo con il medesimo
procedimento si può approssimare l’area sottesa dalla curva sopra l’intervallo (V1,V2) con l’area
data dalla somma delle aree di tutti i rettangoli così costruiti (indicata nella zona tratteggiata): ciò
significa approssimare ogni tratto di curva corrispondente ad un singolo intervallino con un tratto di
trasformazione isobara, in quanto in ciascun rettangolo il la base superiore è una trasformazione
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isobara e la sua area rappresenta per quanto visto, il lavoro eseguito lungo tale trasformazione. Ne
consegue che alla fine si potrà scrivere:
L 1 pi V p1 V p2 V pn V
n
p
Il lavoro si dirà positivo se viene svolto da un fluido in espansione:
esso è il lavoro prodotto lungo una trasformazione che avviene con
il verso da sinistra verso destra .
V1 → V2 > V1
L0
In tal caso si dice che il lavoro viene fatto dal sistema fisico sull’
ambiente esterno (quello circostante al sistema)
L>0
O
V1
V2
V
p
Il lavoro si dirà negativo se viene svolto da un fluido in compressione:
esso è il lavoro prodotto lungo una trasformazione che avviene con
il verso da destra verso sinistra .
V2 → V1 < V2
L0
In tal caso si dice che il lavoro viene subito dal sistema fisico, o meglio
viene fatto dall’ambiente esterno sul sistema fisico
L<0
O
V1
V2
V
Possiamo adesso definire il lavoro fatto da un sistema lungo una trasformazione ciclica:
p
p
p
1
1
1
2
2
2
V
V
V
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
nel caso in cui la trasformazione ciclica è percorsa in senso orario, si può spezzare la curva chiusa
della trasformazione in due punti (ovvero in due suoi stati) 1 e 2 e considerare la trasformazione
come l’unione di due trasformazioni caratterizzate da due curve aperte una, quella superiore, che
avviene da 1 a 2 il cui lavoro risulta positivo e dato dall’area da essa sottesa e l’altra che avviene
sempre da 1 ad 2 il cui lavoro è sempre positivo ed è dato dall’area sottesa dalla curva medesima.
Il lavoro effettuato lungo la trasformazione ciclica non è altro che la differenza tra l’area della curva
superiore e l’area della curva inferiore: infatti il lavoro compiuto lungo la curva inferiore in
direzione opposta a quella della curva inferiore è uguale ed opposto (in segno) al lavoro effettuato
lungo la curva inferiore seguendo lo stesso verso della curva superiore.
Il risultato fornisce un lavoro positivo L = Area (Fig. 2) – Area (Fig. 3) >0, che rappresenta il
lavoro fatto dal sistema lungo l’intera trasformazione ciclica.
Se la trasformazione ciclica è eseguita nel senso opposto, ovvero nel verso antiorario la situazione
s’inverte ed il lavoro stavolta sarà: L = Area (Fig. 3) – Area (Fig. 2) <0 essendo l’area della Fig. 3
inferiore all’area della Fig. 2 e sarà perciò un lavoro negativo, ovvero un lavoro subito dal sistema.
L’energia interna invece in entrambe le situazioni non cambia: ∆U = 0.
Dalla teoria cinetica dei gas si è definita per V= cost , la quantità di calore Q come variazione
dell’energia interna del sistema:
∆U' = Q
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Tale relazione si traduce affermando che le variazioni di energia interna di un sistema non
soggetto a compressioni od espansioni (e quindi soggetto a trasformazioni isocore) eguagliano
la quantità di calore assorbita o trasmessa dal sistema
Supponiamo adesso, a partire dalla situazione precedente (in cui l’energia interna ha subito una
variazione sotto volume costante pari a Q), che il sistema subisca successivamente una
trasformazione isobara : V → V + ∆V. In conseguenza di tale espansione il sistema (inteso
come fluido) compie un lavoro verso l’esterno, il che equivale ad un trasferimento di energia
verso l’esterno sotto la forma di energia meccanica. Il principio di conservazione dell’energia
però impone che l’energia acquistata da un corpo debba essere compensata da una quantità
equivalente di energia perduta da un altro corpo: l’energia di per sé non può essere distrutta, può
subire solo trasformazioni da una forma all’altra (come ad es. succede nelle conversioni di
energia potenziale in energia cinetica o viceversa); in virtù di tale principio il trasferimento di
energia meccanica dal fluido all’esterno deve causare una riduzione dell’energia posseduta dal
fluido ,deve cioè essere compensato da una perdita della sua energia interna.
La variazione dell’energia interna del sistema deve, in conseguenza di tale trasformazione,
subire una riduzione di energia pari al lavoro effettuato dal sistema sull’ambiente esterno:
∆U' → ∆U = ∆U' - ∆L = Q - ∆L
ovvero:
∆U = Q - ∆L
tale relazione costituisce un estensione del principio di conservazione dell’energia meccanica, in
quanto si considera la conservazione dell’energia intesa oltre che nella forme di energia
meccanica anche nella forma di energia termica che può essere generalizzata attraverso
l’enunciazione del
I º Principio della Termodinamica:
“la variazione dell’energia interna di un qualsiasi sistema, quando esso è soggetto ad una
generica trasformazione, è uguale alla differenza tra la quantità di calore assorbita dal
sistema ed il lavoro fatto dal sistema medesimo sull’ambiente esterno”
Si noti che la quantità di calore Q è intesa positiva quando è assorbita dal sistema mentre è
intesa negativa quando è ceduta dal sistema.
Riassumendo quanto già scritto, il I º Principio della Termodinamica esprime un “bilancio” tra
le varie forme dell’energia: l’energia termica Q, il lavoro meccanico ∆L e la variazione di
energia interna ∆U tra gli stati finale ed iniziale del sistema.
.
9
4. Applicazioni del I º Principio.
Relazione di Mayer
Ricordiamo dalla calorimetria, che il calore specifico di un corpo può essere di due tipi:
calore specifico a volume costante, determinato quando il corpo acquista calore senza
variazioni di volume ed espresso dalla formula:
Q
cV
M T
con ∆Q quantità di calore scambiata tra corpo e ambiente a volume fissato ed M la sua mole;
calore specifico a pressione costante, determinato quando il corpo acquista calore senza
variazioni di volume ed espresso dalla formula:
cp
Q
M T
con ∆Q quantità di calore scambiata tra corpo e ambiente a pressione fissata ed M la sua mole.
Quale applicazione del I º Principio , determiniamo la relazione che sussiste tra i due calori
specifici.
Nelle trasformazioni a volume costante (isocore), dal I º Principio e dalla calorimetria segue
che:
∆L = 0, Q = cV · M · ∆T ∆UV = cV · M · ∆T
si noti che l’ultima relazione poteva essere dedotta anche facendo uso della teoria cinetica dei
gas, in quanto ∆U = (3/2)R · ∆T = Q implica che
cV
U
3 R
M T 2 M
perciò se la trasformazione è (p1,V1,T1) → (p2,V1,T2) con p2 > p1, poniamo:
U1 = U(T1), U2 = U(T2), ∆U = U2 - U1 , ∆T = T2 - T1
Per cui:
ovvero:
U2 - U1 = cV · M · (T2 - T1),
U2 = cV · M ·T2 + U1 - cV · M · T1
Fissando la temperatura T1 dello stato iniziale risulta automaticamente fissata anche la sua
energia interna : T1 = cost U1 = U(T1) = cost segue che U1 - cV · M · T1 = k = cost,
mentre mantenendo T2 = T come variabile risulterà variabile anche U2 = U(T2) = U(T),
si può scrivere:
U = cV · M ·T + k
relazione lineare in T quasi identica a quella dedotta in teoria cinetica dei gas con la sola
differenza che qui, l’energia interna non si annulla necessariamente a T = 0.
Effettuiamo, con lo stesso procedimento, una trasformazione isobara (p=cost) e determiniamo
la quantità di calore scambiata con l’esterno in virtù della stessa differenza di temperatura usata
nella trasformazione isocora appena vista, facendo passare il sistema lungo la trasformazione:
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(p1,V1,T1) → (p1,V2,T2) con V2 > V1 e p2 = p1 = p = cost . Stavolta la quantità di calore
scambiata e la differenza di temperatura saranno legate tra loro attraverso il calore specifico a
pressione costante, ovvero tramite la relazione:
Q c p M T
e trattandosi di una espansione, il sistema compierà un lavoro pari a:
L p2 V2 p1 V1 p V2 p V1 p V2 V1
L’equazione di stato dei gas perfetti, applicata al gas quando si trova prima a temperatura T1 e poi
a temperatura T2 danno rispettivamente:
p1 V1 p V1 R T1 ,
p2 V2 p V2 R T2
che sostituite nell’espressione del lavoro danno :
L R T2 R T1 R T2 T1 R T
Ma il I º Principio applicato a tal trasformazione dice che:
U p Q L c p M T R T
Riassumendo (alla Mike…) si sono considerate due trasformazioni isoterme rispettivamente alle
temperature T1 e T2:
p
si è scelto uno stato dell’isoterma a temperatura T1,
rappresentato dal punto di coordinate (p1,V1 ) e lo si
è connesso con due stati distinti dell’isoterma a temperatura
T2, rappresentati dai punti di coordinate (p2,V1) e (p1,V2)
(p2,V1,T2)
rispettivamente con una trasformazione isocora ed una
trasformazione isobara.
(p1,V2,T2)
Infine si sono determinate le variazioni di energia interna e il
(p1,V1,T1)
T1 T2
lavoro prodotto lungo tali trasformazioni.
V
Si osservi ora che le variazioni di energia interna devono, per quanto già visto, dipendere
unicamente dalle variazioni di temperatura e dunque le variazioni di energia interna lungo l’isocora
e lungo l’isobara devono coincidere tra loro in quanto entrambe connettono stati con la medesima
differenza di temperatura:
∆UV : (p1,V1,T1) → (p2,V1,T2), ∆Up : (p1,V1,T1) → (p1,V2,T2) ed U = U(T) implicano :
∆UV = ∆Up .
Si osservi che questa è una proprietà del tutto generale : ogni qualvolta che da uno stato
termodinamico appartenente ad una isoterma si connettono due diversi stati termodinamici
appartenenti ad un’altra isoterma comune ad essi (appartenenti cioè ad una medesima isoterma
diversa da quella del primo stato), la variazione di energia interna lungo le due diverse
trasformazioni che connettono il primo stato agli altri due non cambia.
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Sostituendo nell’ultima eguaglianza le espressioni delle variazioni di energia interna determinate
per le due trasformazioni si ha:
cV M T c p M T R T c p M R T
dividendo prima entrambi i membri per
∆T segue:
M cV M c p R
ovvero:
M c p cV R
che divisa tutta per M dà la relazione di Mayer tra i due calori specifici:
c p cV
R
M
tale relazione implica anche che:
c p cV
ovvero che
cp
cV
R
cV
M
1 ; ad es. se CV = (3/2)R/M, allora è Cp = 2R/M
.
12
