dettaglio degli argomenti da studiare - Digilander

ARGOMENTI DI MATEMATICA
PER LA PREPARAZIONE
AL TEST DI INGRESSO ALL’UNIVERSITÀ
Indice degli argomenti
INSIEMI, NUMERI E OPERAZIONI ............................................................................................................... 1
ALGEBRA CLASSICA: MONOMI E POLINOMI .......................................................................................... 2
RADICALI E NUMERI REALI ........................................................................................................................ 2
EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI ...................................................................................................... 2
DISEQUAZIONI ................................................................................................................................................ 3
LOGARITMI ED ESPONENZIALI .................................................................................................................. 3
FUNZIONI ......................................................................................................................................................... 3
GEOMETRIA ANALITICA .............................................................................................................................. 4
TRIGONOMETRIA ........................................................................................................................................... 4
PROBABILITA E STATISTICA ....................................................................................................................... 4
GEOMETRIA ELEMENTARE ......................................................................................................................... 5
APPROFONDIMENTI....................................................................................................................................... 5
Vediamo gli argomenti in dettaglio
INSIEMI, NUMERI E OPERAZIONI
Insiemi
 Simbologia (appartiene, non appartiene, sottoinsieme,…)
 Definizioni (insiemi uguali, vuoto, universo,…)
 Corrispondenze fra insiemi (univoca, biunivoca)
 Operazioni con gli insiemi (intersezione, unione, differenza, complemento)
 Proprietà delle operazioni con gli insiemi (commutativa, …)
 Quantificatori (per ogni, esiste)
 Prodotto cartesiano
Numeri naturali
 Operazioni fondamentali e loro proprietà
 Divisione con resto, criteri di divisibilità e numeri primi
 Scomposizione in fattori primi
 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo
Numeri interi relativi
 Valore assoluto di un numero relativo
 Confronto fra numeri relativi
 Operazioni fra numeri relativi
Numeri razionali
 Proprietà invariantiva e frazioni equivalenti
 Operazioni tra frazioni
 Numeri decimali e frazioni generatrici
 Operazioni tra numeri decimali
Percentuali
 Problemi di sconto
 Problemi di interesse
 Variazione percentuale
Potenze di un numero razionale
 Proprietà delle potenze
 Potenze e operazioni fondamentali
ALGEBRA CLASSICA: MONOMI E POLINOMI
Monomi
 Grado di un monomio intero
 Monomi simili e somma tra monomi
 Prodotto tra monomi e potenza intera di un monomio
 Quoziente tra monomi
 Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di più monomi
 Minimo comune multiplo (m.c.m.) di più monomi
Polinomi
 Grado di un polinomio
 Somma e differenza di polinomi
 Prodotti e quoziente dì un polinomio per un monomio
 Prodotto di polinomi
 Prodotti notevoli
 Potenza n-esima di un binomio e triangolo di Tartaglia
 Principio di identità di due polinomi
 Quoziente di due polinomi
 Regola di Ruffini
 Criteri di divisibilità
 Scomposizione di un polinomio in fattori
 Raccoglimento a fattore comune
 Raccoglimento a fattore parziale
 Scomposizione tramite i prodotti notevoli
 Scomposizione tramite i binomi notevoli
 Scomposizione di un trinomio di secondo grado
 Scomposizione tramite la regola di Ruffini
 M.C.D, e m.c.m. di più polinomi
 Semplificazione di frazioni algebriche
 Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore
 Somma di frazioni algebriche
 Prodotto di frazioni algebriche
 Potenza di frazioni algebriche
 Quoziente di frazioni algebriche
RADICALI E NUMERI REALI
Numeri razionali, irrazionali e reali
Radicali algebrici e aritmetici
 Proprietà invariantiva dei radicali aritmetici
 Operazioni con i radicali aritmetici
 Somma di radicali aritmetici simili
 Radicali doppi
 Potenza con esponente razionale (frazionario)
 Razionalizzazione delle frazioni
EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI
Uguaglianze, disuguaglianze e identità
Equazioni
 Soluzione di un’equazione
 Equazione impossibile, indeterminata, determinata
 Classificazione delle equazioni (numerica, letterale, intera, frazionaria, irrazionale)
 Forma normale e grado di un’equazione (p(x)=0, con p(x) polinomio ordinato)
 Teorema fondamentale dell’algebra (equazione di grado n ammette al più n soluzioni)
 Metodo della verifica
 Condizioni di esistenza delle espressioni frazionarie










Equazioni equivalenti (stessa soluzione)
Equazioni intere di primo grado
Equazioni frazionarie dì primo grado
Equazioni incomplete di secondo grado
Equazioni complete di secondo grado (formula risolutiva)
Equazioni frazionarie di secondo grado
Somma e prodotto delle radici di un’equazione di secondo grado
Scomposizione di un trinomio di secondo grado in fattori
Regola di Cartesio
Equazioni di grado superiore al secondo
Proporzioni (uguaglianza tra due rapporti)
Sistemi di equazioni
 Soluzione di un sistema
 Grado di un sistema
 Metodi risolutivi dei sistemi lineari (sostituzione, confronto, combinazione lineare o riduzione)
 Carattere dei sistemi lineari (determinato, indeterminato o impossibile)
DISEQUAZIONI
Disequazioni
 Rappresentazione grafica della soluzione di una disequazione
 Disequazioni e non applicabilità del metodo della verifica delle equazioni (sostituzione della
soluzione)
 Disequazioni equivalenti
 Disequazioni intere di primo grado
 Segno di un prodotto o di un quoziente
 Disequazioni frazionarie di primo grado
 Segno di un Trinomio di secondo grado e disequazioni
 Disequazioni intere di secondo grado
 Disequazioni frazionarie di secondo grado
 Disequazioni di grado superiore al secondo
LOGARITMI ED ESPONENZIALI
 Definizione di logaritmo
 Segno del logaritmo
 Teoremi sui logaritmi
 Sistemi di logaritmi maggiormente utilizzati

Logaritmi decimali e logaritmi naturali

Passaggio da un sistema di logaritmi a un altro
FUNZIONI
Definizione di funzione
 Notazioni e osservazioni: funzioni suriettive, iniettive e biettive
 Campo di esistenza
 Funzioni crescenti e decrescenti
 funzioni pari e dispari
Coordinate cartesiane e funzioni
 Rette e segmenti orientati
 Ascisse sulla retta
 Riferimento cartesiano ortogonale;
Rappresentazione grafica delle funzioni
 Condizione di appartenenza
 Intersezione tra curve
 Intersezioni con gli assi
 Segno di una funzione
 Grafici di alcune funzioni notevoli (vedere il file nel sito)
 Funzione inversa
 Curva esponenziale
 Curva logaritmica
GEOMETRIA ANALITICA
Coordinate cartesiane e geometria analitica

Distanza tra due punti e coordinate del loro punto medio
Curve nel piano

Condizione di appartenenza

Curve del piano come luoghi geometrici

Curve algebriche e curve trascendenti
Curve algebriche del primo ordine: rette

Equazione generale della retta

Casi particolari

Equazione canonica della retta

Coefficiente angolare: rette parallele e perpendicolari

Equazione delle rette passanti per uno o per due punti

Distanza di un punto da una retta
Curve algebriche del secondo ordine: coniche

Equazione generale di una conica

Circonferenza

Circonferenze con equazione incompleta

Posizioni reciproche tra rette e circonferenze (esterna, tangente, secante)

Ellisse; eccentricità dell’ellisse

Parabola

Iperbole

Eccentricità dell’iperbole

Asintoti di una iperbole

Iperbole equilatera
Metodo pratico per il riconoscimento di una conica
Proporzionalità diretta e inversa fra grandezze
TRIGONOMETRIA
Angoli e loro misura
Definizione delle funzioni goniometriche
 Circonferenza goniometrica
 Seno, coseno e tangente
 Valore delle funzioni goniometriche per angoli particolari
 Archi associati
 Rappresentazione grafica di seno, coseno e tangente
Teorema fondamentale della trigonometria
Formule trigonometriche principali
Equazioni goniometriche
Disequazioni goniometriche
PROBABILITA E STATISTICA
Calcolo delle probabilità

Il concetto di evento

Probabilità di un evento

Teorema delle probabilità totali

Teorema delle probabilità composte
Statistica

Distribuzioni statistiche

Moda mediana e media aritmetica
Progressioni






Progressioni aritmetiche
Calcolo dell’n-esimo termine
Calcolo della somma dei primi n termini
Progressioni geometriche
Calcolo dell’n-esimo termine
Calcolo della somma dei primi n termini
GEOMETRIA ELEMENTARE
Geometria piana

Angoli e rette

Triangoli

Criteri di congruenza fra triangoli

Perimetro e area dei triangoli

Triangoli equilateri

Triangoli isosceli

Triangoli rettangoli

Perimetro e area dei poligoni

Poligoni regolari

Circonferenza e cerchio
Geometria solida

Parallelepipedi

Piramide e tronco di piramide

Poliedri regolari

Cilindro

Sfera

Cono e tronco di cono
APPROFONDIMENTI
Calcolo combinatorio

Disposizioni semplici

Permutazioni semplici

Combinazioni semplici
Sistemi di numerazione in base diversa da 10

Passaggio dal sistema numerico in base n al sistema decimale

Passaggio dal sistema decimale al sistema numerico in base n

Operazioni con numeri in base n
Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali e logaritmiche
 Equazioni irrazionali
 Disequazioni irrazionali
 Equazioni esponenziali
 Equazioni logaritmiche
 Disequazioni esponenziali
 Disequazioni logaritmiche
Cenni sui numeri complessi
 Numeri immaginari
 Numeri complessi e loro operazioni
 Numeri complessi coniugati
Teoremi sui triangoli (derivanti da goniometria)