Processi Relativistici e
Spazio delle Fasi
Processi Relativistici (1)
• Richiamo: Matrice S e matrice T per transizioni non
relativistiche:
• Estensione a processi relativistici:
• H’ e’ densita’ volumetrica d’Hamiltoniana d’interazione
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (2)
• Commenti:
• Equivalenza massa-energia consente creazione e distruzione di
particelle.
– tramite l’interazione viene distrutto lo stato iniziale e creato lo
stato finale.
• Gli elementi di matrice sono al minimo del secondo ordine:
scattering di 2 particelle richiede interazione di ciascuna con il
campo che media l’interazione.
– L’interazione avviene tramite lo scambio di particelle virtuali (offmass-shell perche’ non rispettano la relazione E2=p2+m2)
• d(4)(pi-pf) garantisce conservazione del 4-impulso
• Sviluppo perturbativo di solito rappresentato pittorescamente
tramite diagrammi di Feynman, nella loro versione covariante
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (3)
• Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:
• Estensione al caso relativistico:
• Densita’ di rate d’interazione
– Da integrare sullo spazio delle fasi accessibile allo stato finale
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (4)
• Normalizzazione: 1 particella in volume V
• Imponendo condizioni periodiche su ciascun lato (L=V1/3):
• Da cui il numero di stati per intervallo di px:
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (5)
• Per N particelle:
• Problema: e’ una espressione non invariante di Lorentz.
Infatti:
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (6)
• Pero’:
• E’ invariante. Allora ridefiniamo dn come:
• Attenzione: il fattore di spazio delle fasi ora
contiene N fattori extra 1/Ei che occorre
compensare. Si ridefinisce l’elemento di matrice
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (7)
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (8)
• NB: rate di transizione NON e’ invariante di Lorentz.
– Integrale e’ somma di quantita’ invarianti
– La divisione per Ea o EaEb rende il rate non invariante
• Ok per decadimento: inverso del rate e’ la vita media dello
stato (instabile) che non e’ ovviamente un invariante
(dilatazione dei tempi).
• Anche per le reazioni il rate misurato in interazioni/unita’
di tempo non e’ invariate visto che l’unita’ di tempo dipende
dal riferimento scelto.
• E’ possibile definire una quantita’ invariante: la sezione
d’urto totale
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (9)
• Sezione d’urto totale:
• Flusso:
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (10)
• M contiene le funzioni d’onda delle paricelle iniziali e finali.
• Decadimenti:
• Reazioni:
Fabrizio Bianchi
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Processi Relativistici (11)
Fabrizio Bianchi
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Invarianti e Non
• N.B.:
• σ : Sez. d'urto totale e’ invariante di Lorentz
– Significato classico: Area efficace intercettata dal
proiettile
– Area: Non dipende dal riferimento (grandezza
trasversale)
• Γ : Rate totale di decadimento: non e’ invariante
di Lorentz
– Vita media: t = 1/Γ
– Dipende dal riferimento (v. dilatazione dei tempi)
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi (1)
• Supponiamo che M non dipenda dagli impulsi delle particelle
finali. Esce dall’integrale che quindi si riduce al puro fattore di
spazio delle fasi:
• Spesso evidenza effetti dinamici rilevata confrontando le
distribuzioni statistiche osservate con quelle previste dal solo
spazio delle fasi.
• Rn e’ funzione dell’energia totale (uguale in stati iniziale e finale)
ed e’ una misura del peso statistico totale della configurazione
dello stato finale.
– Possibile limitare l’integrazione ad alcuni dei gradi di liberta’ dello
stato finale, ottendo distribuzioni statistiche di Rn rispetto ad una o
piu’ variabili dello stato finale
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi (2)
• Proprieta’ dell’elemento invariante di spazio delle fasi:
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi a Due Corpi (1)
• L’integrale totale sullo spazio delle fasi a 2 corpi:
• Integrando su p2 (usando la d):
• L’argomento della d e’ un invariante e si puo’ calcolare in
qualsiasi riferimento. Nel CM:
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi a Due Corpi (2)
• Quindi:
• Poiche’:
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi a Due Corpi (3)
• R2(E) si puo’ scrivere:
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi a Due Corpi (4)
• Il rate totale e’:
• Per ottenere la distribuzione angolare occorre dividete il rate
differenziale per il rate totale:
• Spazio delle fasi e’ fattore puramente statistico -> distribuzione
angolare uniforme.
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi a Tre Corpi (1)
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi a Tre Corpi (2)
Fabrizio Bianchi
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Spazio delle Fasi a Tre Corpi (3)
• Eseguendo l’integrazione su cosq13 (si riporta ad un’integrazione
che elimina la d visto che cosq13 dipende da E2):
• Le variabili angolari non sono vincolate e si integrano subito.
Rimane:
• Dove l’integrale e’ esteso alla regione cinematicamente permessa
(Dalitz Plot !). Il rate differenziale:
• E’ costante e mostra che, in assenza di effetto dell’elemento di
matrice, la popolazione statistica del DP e’ uniformemente
distribuita.
Fabrizio Bianchi
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p-p -> p+p-n
• In assenza di effetti dinamici:
Dalitz Plot uniforme
– Nel plot dati ad un energia nel
CM di circa 3.8 GeV
• Addensamenti e rarefazioni nei
dati sono segno di forti effetti
dinamici
• E’ equivalente presentare il plot
in termini di masse invarianti al
quadrato o di energie:
Fabrizio Bianchi
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