L13

1
La lezione di oggi
Il comportamento microscopico dei gas
Il 1 principio della termodinamica
2

Equazione di stato dei gas

Applicazioni dell’equazione di stato

La teoria cinetica dei gas

Il 1 principio della termodinamica
3
Equazione di stato dei gas ideali

Gas ideale: non ci sono interazioni tra le molecole

Condizioni standard ( T = 20 oC, P= 1 atm )

Gas reale in condizioni standard = gas ideale
Se voglio
aumentare la
pressione P…
Aumento la
temperatura a V
costante
Aumento il numero
di molecole (N)
Equazione di stato
dei gas perfetti
Diminuisco il volume
(V)
NT
Pk
V
4
Equazione di stato dei gas ideali
Equazione di stato
dei gas perfetti
NT
Pk
V
P V  N k T k  1.38  10 J/K
-23
Costante di
Boltzmann
N: numero di molecole di gas (  massa)
T in K, P in Pa, V in m3
PV nRT
n: numero di moli di gas (
T in K, P in Pa, V in m3

massa)
R  kNAvogadro  (1.38 10-23 J/K)(6.022 1023 molecole/m ole)  8.31 J/(mole  K)
5
Moli e massa molecolare
o
o
o
o
o
Unità di massa atomica (u, o uma) è ottenuta assegnando
arbitrariamente 12 u al 12C
1 u = 1 uma = 1.665.10-27 kg
Una mole (o grammo-molecola)  numero di Avogadro di quantità
elementari (atomi, molecole,....)
Una mole contiene tante quantità elementari quante ce ne sono in 12
grammi di 12C
Una mole è il numero di grammi di sostanza uguale alla massa
molecolare espressa in uma
Problema
Calcolare la massa di una molecola di ossigeno O2
m
M molecolare ossigeno
N Avogadro
-3
32.0

10
kg/mole
- 26


5.32

10
kg/molecol a
23
6.02  10 molecole/m ole
massa di 1 mole = 32.10-3 kg
6

Equazione di stato dei gas

Applicazioni dell’equazione di stato

La teoria cinetica dei gas

Il 1 principio della termodinamica
7
Trasformazioni isoterme
Parto dall’equazione di stato dei gas
PV nRT
Ipotesi:
 T costante (trasformazione isoterma)
 Massa costante
Legge di Boyle
Piniziale Viniziale  Pfinale Vfinale
Nel piano PV le isoterme
sono iperboli
PV = k
8
Trasformazione isobara
Parto dall’equazione di stato dei gas
PV nRT
Ipotesi:
 P costante (trasformazione isobara)
 Massa costante
Legge di Charles
Viniziale Vfinale

Tiniziale Tfinale
Nel piano VT le isobare
sono rette
V=k.T
 T = 0, V = 0
 T = 0  zero assoluto
9

Equazione di stato dei gas

Applicazioni dell’equazione di stato

La teoria cinetica dei gas

Il 1 principio della termodinamica
10
La teoria cinetica dei gas


Pressione e temperatura  grandezze macroscopiche
Posizione o velocità di una molecola
 grandezze microscopiche
Come faccio a misurarle ?
o Macroscopiche: manometro e termometro
o Microscopiche: ???
o Teoria cinetica dei gas:





gas  insieme di molecole
grande numero di molecole identiche
ogni molecola ha massa m ed è
puntiforme
si muovono in modo casuale e
obbediscono alle leggi di Newton
solo urti elastici
11
Teoria cinetica e pressione dei gas
Una molecola di massa m, con velocità v, in un contenitore di volume V urta contro la
parete
Quantità di moto
Prima dell’urto
p i,x  - mv x
Dopo l’urto
p f, x  mv x
p x  2mv x
Variazione
F parete su molecola
causa la p
Tempo necessario a fare
andata e ritorno
2mv x mv 2x
F

2L/v x
L
2L
t
vx
Pressione
media
2a legge di
Newton
 p
 F  t

 p
 F  t
2
2
F
mv x /L mv x
P 

2
A
V12
L
Teoria cinetica e pressione dei gas
Distribuzione delle velocità delle
molecole di un gas a due
temperature
(Distribuzione di Maxwell)
Velocità più probabile
Generica velocità in 3 dimensioni
(v 2 ) m  (v 2x ) m  (v 2y ) m  (v 2z ) m
Non ci sono direzioni privilegiate (v 2x ) m  (v 2y ) m  (v 2z ) m
(v ) m  (v )  (v )  (v )  3 (v )
2
Nella pagina
precedente
avevamo
ottenuto
2
x m
2
y m
mv
P
V
2
z m
2
x
2
x m
ovvero
1
(v 2x ) m  (v 2 ) m
3
Per N
molecole
1 m(v 2 ) m 2 N
Km
P N

3V
3
V
13
Energia cinetica e temperatura
Equazione dei gas perfetti
+
PV NkT
1
PV  Nm(v 2 ) m  NkT
3
Pressione nella teoria cinetica
dei gas
1 m(v 2 ) m
P N
3
V
2 1
N( mv 2 ) m  NkT
3 2
L’energia cinetica media delle
molecole di un gas è proporzionale
alla Temperatura
1
K m  ( mv 2 ) m
2
3
K m  kT
2
Velocità quadratica media
v qm  (v ) m
2
 3kT 
m
3kT

(M/N A )
3N A kT

M
3RT
M
14
Esercizio
Qual è l’energia cinetica media di una molecola di gas a 37 C ?
3
3
K m  kT  (1.38  10 -23 J/K)(273  37 K)  6.4  10 21 J
2
2
Calcolo l’energia cinetica media di una mole dello stesso gas
alla stessa temperatura.
3
K
 N A ( kT) 
2
(6.02 ×1023 molecole/mole)(6.4 ×10-21 J/molecola) = 3900 J/mole
1 mole di gas
m
3700 J sono tanti o pochi ? Prendiamo una pietra di 1 kg e vediamo a che
velocità devo lanciarla per avere questa K ?
2K
v

m
2 × 3900
= 88 m/s  320 km/h
1
15
Esercizio
Qual è la velocità quadratica media delle molecole presenti nell’aria
(O2 e N2) a temperatura ambiente (20 C) ?
m(O 2 )  M O2  (u.m.a.)  (32)(1.66  10 -27 kg) 5.3  10 -26 kg
v qm
3(1.38  10 -23 J/K)(273  20)
3kT
 480 m/s  1700 km/h


- 26
5.3  10 kg
m
m(N 2 )  M N 2  (u.m.a.)  (28)(1.66  10 -27 kg) 4.6  10 -26 kg
v qm
3(1.38  10 -23 J/K)(273  20)
3kT
 510 m/s  1800 km/h


- 26
4.6  10 kg
m
16
Energia interna di un gas ideale

Energia interna: somma dell’energia potenziale e cinetica
delle molecole che la compongono

U = Si (Ui + Ki)

Gas perfetto: urti elastici


Ui = 0
Ki = 3/2 kT
3 N
3
3
N A kT  nRT
U  NkT 
2 NA
2
2
Numero di
molecole
Numero di
moli
17
La legge di Dalton (o delle pressioni parziali)





Considero una miscela di due gas perfetti
I due gas non interagiscono/reagiscono tra di loro
Le molecole non interagiscono tra di loro
La pressione è data dagli urti delle molecole sulle pareti
Il contributo alla pressione totale è indipendente per i 2 gas
Gas 1
Gas 2
Gas
(1+2)
N1 k T
P1 
V
N kT
P2  2
V
Ptotale =
Ptotale  P1  P2
(N1 + N 2 ) k T
V
Legge di Dalton
In una miscela, ciascun gas esercita la pressione che
eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume
18
Esercizio
Un pneumatico viene gonfiato a una pressione relativa di 200 kPa a T=10 C. Dopo
un tragitto di 100 km, la T sale a 40 oC.
Qual è ora la pressione del pneumatico ?
n costante (non aggiungo/tolgo aria)
Condizioni a contorno
PV nRT
V costante (se varia il volume,
varia di una quantità trascurabile)
Equazione di stato dei gas
perfetti
Piniziale Pfinale

Tiniziale Tfinale
19
Esercizio
PV nRT
Equazione di stato dei gas
perfetti
Piniziale Pfinale

Tiniziale Tfinale
P e T assolute !!!
Tfinale
(273  40) K
3.01105 Pa  3.3  10 5 Pa  330 kPa
Pfinale 
Piniziale 
(273  10) K
Tiniziale
P Pfinale - Piniziale 3.30 105 - 3.01105
29 kPa



 0.10  10%
5
P
Piniziale
3.0110
301kPa
La pressione è aumentata del 10% (non trascurabile !)
20

Equazione di stato dei gas

Applicazioni dell’equazione di stato

La teoria cinetica dei gas

Il 1 principio della termodinamica
21
Il primo principio della termodinamica




Voglio applicare la legge di conservazione dell’energia
Il calore è una forma di energia che viene scambiata
Energia interna: somma di energie potenziale e cinetica di un
sistema
Caso 1: nel sistema entra una quantità di calore Q senza che venga
compiuto del lavoro
Uf = Ui + Q
t = t0
t = t1
t = t2
U = Uf - Ui = Q
Convenzione importante
Il sistema acquista calore: Q > 0
Il sistema cede calore:
Q<0
Uf > U i
Uf < U i
22
Il primo principio della termodinamica

Caso 2: il sistema compie un lavoro sull’ambiente esterno
N.B. il sistema è
termicamente isolato  Q=0
U f = Ui - L
t = t0
t = t1
t = t2
U = Uf - Ui = -L
Convenzione importante
Il sistema compie lavoro:
Compio lavoro sul sistema:
L>0
L<0
In generale, se Q e L sono entrambi diversi da 0, vale il
Primo principio della
termodinamica
U = Q - L
23
Il primo principio della termodinamica
U, Q, L
Q  energia che fluisce
per contatto termico
L  energia trasferita per
azione di una forza che
agisce su una distanza
U dipende dallo stato del sistema (T, P, V)
U  FUNZIONE DI STATO
Q e L dipendono da come il sistema cambia da uno
stato all’altro
24
Trasformazioni reversibili e irreversibili





Processi quasi-statici: sono molto lenti
Il sistema è sempre in equilibrio con l’ambiente circostante
Il valore di P e T è sempre uniforme in tutto il sistema
Sistemi privi di attrito e forze dissipative
Questi processi sono reversibili  torno allo stato iniziale
Nella realtà tutti i processi sono irreversibili (attrito,.....),
ma noi faremo sempre l’approssimazione di processi reversibili
25
Trasformazione isobara P = cost
Il gas si
espande
Il gas compie un lavoro L sul pistone
L  F  (x f - x i ) 
P  A  (x f - x i ) 
P  (Ax f - Ax i ) 
L = area sotto la curva che
rappresenta la trasformazione
nel diagramma PV
P  (Vf - Vi )  P  V
Primo principio della
termodinamica
Q = U + P. V
26
Trasformazione isocora
Il recipiente
contiene un
gas
L  F  (x f - x i )  0
Area = 0
Fornisco una
quantità di
calore Q
Il volume
rimane
costante
Trasformazione isocora  L = 0
Primo principio della
termodinamica
U = Q
27
Trasformazione isoterma
Espansione
isoterma
Equazione dei gas perfetti
PV NkT
T  costante
P V  costante
costante
P
V
 Vf
L  NkT ln 
 Vi
Nel piano PV la
trasformazione è
descritta da
un’iperbole

 Vf 
  nRT ln 


 Vi 
Il lavoro L è l’area
sottesa dalla curva
Nota. Se comprimo il gas,
Vf/Vi<1, ln(Vf/Vi )<0,
L<0, compio lavoro sul
28
sistema
Trasformazione adiabatica
Non ho scambio di calore con l’esterno
Q=0
Compressione adiabatica
Una
compressione
veloce è una
buona
approssimazione
di adiabatica
Espansione adiabatica

P V  costante
29
Il primo principio della termodinamica
Trasformazione
Grandezza costante
In base al primo
principio:
Isobara
P = costante
Q = U + L=
U + PV
V = costante
V = 0
quindi L = 0
Q = U
Isoterma
T = costante
T = 0
quindi U = 0
Q=L
Adiabatica
Q=0
U = -L
Isocora
30
Esercizio
n. 72, pag. T124 Walker
Un cilindro dotato di un pistone mobile contiene 2.50 moli di argon a temperatura
costante di 295 K. Quando il gas viene compresso isotermicamente, la sua pressione
aumenta da 101 kPa a 121 kPa.
Trovare:
1. Il volume finale del gas
2. Il lavoro compiuto dal gas
3. La quantità di calore fornita al gas
31
1. Il volume finale del gas
Equazione dei gas perfetti
PV nRT
R  8.31 J/(mol  K)
n R T 2.5  (8.31)  (295)
-2
3
Vf 


5.1

10
m
Pf
121  10 3
2. Il lavoro compiuto dal gas
 Vf
L  nRT ln 
 Vi
 Pi
L  nRT ln 
 Pf

 Pi 
  nRT ln 


 Pf 

 101  10 3
  (2.5)  (8.31)  ln 
3
121

10



  - 1.1 kJ
32

3. La quantità di calore fornita al gas
1 principio della
termodinamica
U = Q - L
Q  U  L  0  (-1.1 kJ)  - 1.1 kJ
33
Riassumendo
La conservazione dell’energia
porta alla formulazione del
1 principio della termodinamica
34