Background 3

Nota per l’insegnante:
La formula E = mc2 è discussa in dettaglio nel Materiale di Background
“Conservazione dell’Energia—Rivisitata”.
Qui, trattiamo tre altre formule importanti,
una di cui gli studenti dovrebbero avere qualche conoscenza,
e due che probabilmente non hanno mai visto prima:
#1
E = hf
#2
E = gmc2
#3
 
ig



m   0
#1
E = hf
Hello.
Come Amministratore Delegato di
una grande ditta, questa formula mi
sembra un po’ difficile e mi provoca
un leggero mal di testa.
Il fotone può essere considerato come un piccolo pacchetto di ENERGIA.
Per esempio, la LUCE è un flusso di fotoni.
E, benchè ciò vada contro il senso comune
(e non sia facile da immaginare),
il fotone ha entrambe le caratteristiche di …
UNA PARTICELLA
UN’ONDA
Infatti, crediamo che ogni cosa mostri questa doppia natura
MA
che questo si manifesti solo nel mondo microscopico. Questo è conosciuto come
“dualismo onda-particella”.
OGNI particella ha natura sia di onda sia di particella.
SVILUPPIAMO ORA QUESTO CONCETTO
IN MODO DA POTER DESCRIVERE ALCUNE
PROPRIETA’ DEL FOTONE
USANDO LA TERMINOLOGIA DI SOLITO
RISERVATA ALLE ONDE,
COME…
LUNGHEZZA D’ONDA (l)
(la distanza misurata in metri tra due creste successive)
λ
λ
FREQUENZA (f)
(per esempio, quante volte al secondo un tappo
FREQUENZA (f)
(per esempio, quante volte al secondo un tappo
fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda;
si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz)
FREQUENZA (f)
(per esempio, quante volte al secondo un tappo
fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda;
si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz)
0.00 secondi
FREQUENZA (f)
(per esempio, quante volte al secondo un tappo
fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda;
si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz)
0.25 secondi
FREQUENZA (f)
(per esempio, quante volte al secondo un tappo
fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda;
si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz)
f = 1 ciclo in 0.50 secondi
= 2 cicli al secondo
= 2 Hz
0.50 secondi
L’ENERGIA di un singolo fotone
è data dalla seguente
semplice piccola formula:
E=hf
dove “h” è un fattore che ci permette di convertire la
frequenza di un fotone nella sua energia.
In base a questa formula,
più grande è la frequenza (f) del fotone,
più grande è la sua energia (E).
E = hf
IL FATTORE DI CONVERSIONE h E’ CHIAMATO COSTANTE DI PLANCK,
ED HA UN VALORE ESTREMAMENTE PICCOLO:
h = 6.63 × 1034 joule secondo (J s)
POSSIAMO ANCHE ESPRIMERLO IN DIFFERENTI UNITA’:
h = 4.14 × 1015 elettronvolt secondo (eV s)
SE VOGLIAMO TROVARE LA LUNGHEZZA D’ONDA DEL FOTONE,
USEREMO UNA VERSIONE LEGGERMENTE DIVERSA DELLA FORMULA:
E
hc
l
DOVE c E’ LA VELOCITA’ DELLA LUCE:
3.00 × 108 metri al secondo (m/s)

QUESTA VERSIONE DELLA FORMULA CI DICE CHE
MAGGIORE E’ LA LUNGHEZZA D’ONDA DEL FOTONE,
MINORE E’ LA SUA ENERGIA.
ENERGIA CRESCENTE
f
QUESTE FORMULE CI DICONO ANCHE CHE
LE ENERGIE NELLO SPETTRO ELETTROMAGNETICO
CRESCONO DALLE FREQUENZA PIU’ PICCOLE A QUELLE PIU’ GRANDI,
E DECRESCONO DALLE LUNGHEZZE D’ONDA PIU’ CORTE A QUELLE PIU’
LUNGHE.
#2
E=g
2
mc
Come Amministratore Delegato di
una grande ditta, questa formula mi
sembra un po’ difficile e mi provoca
un forte mal di testa.
AVETE GIA’ VISTO QUESTA FORMULA:
E = mc2
ESSA CI PERMETTE DI CONVERTIRE LA MASSA (m) IN ENERGIA (E).
LA FORMA LEGGERMENTE MODIFICATA:
E
m 2
c
PUO’ ESSERE USATA PER CONVERTIRE ENERGIA IN MASSA.

E = mc2
DA’ QUELLA CHE E’ DETTA “ENERGIA A RIPOSO”.
CIO’ SIGNIFICA ESATTAMENTE QUEL CHE DICE:
E’ L’ENERGIA TOTALE DI UNA MASSA CHE
NON SI STA MUOVENDO.
SE ABBIAMO UNA MASSA IN MOVIMENTO
DOBBIAMO CAMBIARE UN POCO QUESTA FORMULA…
SI HA
E = gmc2
QUESTA FORMULA DA’ L’ENERGIA TOTALE DI UNA
MASSA IN MOVIMENTO.
SEMBRA IDENTICA A E = mc2
MA CON QUALCOSA DI EXTRA
COSA E’ g
?
(OLTRE A ESSERE UNA LETTERA GRECA)
AAAAHHHHHH!
g
1
1
V
2
C
2
QUESTA ESPRESSIONE E’ CONOSCIUTA COME FATTORE GAMMA

g
1
1

V
2
C
2
Denominatore
Un’altra
frazione, con il
numeratore e il
denominatore al
quadrato
g
v
1
1
V
2
è la velocità a cui si
muove la massa
C
2
c
(come già sapete)
è la velocità della luce

Notate anche che si può scrivere
v 2 come v  2
 c 
c2
Sotto la radice quadrata (al denominatore), abbiamo
2
v
1 
c



Quando dividiamo un numero per un numero molto più grande,
il risultato è molto piccolo. Dal momento che la velocità della luce è
enorme,
se prendiamo una velocità “usuale” e la dividiamo per c,
otteniamo un valore molto piccolo. Se lo eleviamo al quadrato, il
risultato è ancora più piccolo. Se lo sottraiamo da uno?
Bene, quello che otteniamo è estremamente vicino a UNO.
Per provare che è vero, considera una velocità
v = 80 km/h (≈ 22 m/s) e dividila per c (= 3.0 ×108 m/s)
[Risposta: 0.000000073]
Se elevi al quadrato la risposta, hai:
0.0000000000000054
Infine,
1 - 0.0000000000000054 = 0.999999999999946
che, per la maggior parte degli scopi, può essere scritto
semplicemente come:
1
Così, per “velocità usuali”,
1
v2
≈ 1
c2
e
 g 
1
1


V
2
C
2
≈
1
1
=
1
ORA,
se v diventa più grande, così fa
v2
c2
Quindi,
1
v2
c2
e

g
1
1
V
2
C
2
diventerà più piccolo,

diventerà più grande.
Per provare che è vero,
considera una velocità v di 99.5% la velocità della luce (0.995c):



Allora,
e
v  2
c  = (0.995)2 ≈ 0.99
1
v2
≈ 0.01
c2
1
Così, g 

1

≈
V
2
C
2
1
0.01
= 10
E COSA ACCADE SE V = C ?
Allora 1 
v2
=0
c2
E

1
g
0
=
1
0
CHE NON E’ PERMESSO IN MATEMATICA.


E NON E’ PERMESSO NEANCHE IN NATURA.
NULLA CHE ABBIA
MASSA
PUO’ MUOVERSI ALLA VELOCITA’ DELLA LUCE!
Come esercizio, guarda cosa accade al fattore gamma
se usiamo una velocità PIU’ GRANDE della velocità della luce.
QUESTO GRAFICO MOSTRA COME IL FATTORE GAMMA VARIA CON LA
VELOCITA’:
fattore g vs. velocità
g
0.1c
0.2c
0.3c
0.4c
0.5c
0.6c
0.7c
0.8c
0.9c
1.0c
v
Il fattore gamma rimane molto vicino a 1, anche per velocità (v) pari a metà della velocità
della luce.
A velocità più grandi di 0.95c, il fattore gamma comincia a diventare molto grande e molto
velocemente.
Velocità
(v)
0.00000009259c
g
(con 3 cifre decimali)
1.000
(= 100 km/h)
0.1c
0.2c
0.3c
0.4c
0.5c
0.6c
0.7c
0.8c
0.9c
0.95c
0.99c
0.995c
0.999c
0.9999c
0.99999c
1.005
1.021
1.048
1.091
1.155
1.250
1.400
1.667
2.294
3.203
7.089
10.013
22.366
70.712
233.607
OLTRE AL GRAFICO, SI
PUO’ USARE QUESTA
TABELLA PER TROVARE IL
FATTORE GAMMA PER
DIVERSE VELOCITA’
QUESTO PER IL FATTORE GAMMA, MA COSA CI DICE EFFETTIVAMENTE
LA FORMULA
E = gmc2
?
Quando una massa si muove, essa ha due distinti tipi di energia:
• l’energia dovuta alla massa (l’energia a riposo mc2)
• l’energia dovuta al movimento (l’energia cinetica Ek)
L’energia totale data da E
= gmc2, è in effetti la somma di queste due:
Energia totale = energia a riposo + energia cinetica
gmc2 = mc2 + Ek
Nota anche che, se vogliamo sapere solo l’energia cinetica,
possiamo riscrivere gmc2 = mc2 + Ek come
Ek = gmc2 − mc2
OPPURE
Ek = (g − 1)mc2
Nota che per una velocità di 0.995c, Ek ≈ (10 − 1)mc2 =
9mc2. Questo può essere utile talvolta per approssimazioni
di calcolo.
#3
ig 



m   0
ig 




m   0
ig 




m   0
ig 




m   0
NO!!!!
NO!!!!
NO!!!!
NO!!!!
NO!!!!
NO!!!!
NO!!!!
Non preoccupatevi.
Questo non mi impedirà in
alcun modo di fare il mio
lavoro.
Non ci aspettiamo che siate capaci di capire questa
formula a questo livello! Per questo dovrete aspettare
finchè non avrete una base molto più solida di
matematica.*
Ve l’abbiamo mostrata qui a causa del suo profondo
significato nella storia della comprensione umana
sull’esistenza dell’antimateria.
* Se gli studenti sono interessati, c’è una spiegazione semplificata di questa formula nel
libro Antimateria di Frank Close (2010, edizioni Einaudi) che può essere adatto studenti
di scuola superiore con qualche conoscenza sulle matrici.
Questa formula è l’Equazione di Dirac, dal nome del
fisico che la ha formulata, Paul A. M. Dirac.
La formulò nel 1928, all’età di 26 anni.
Senza entrare in dettaglio (che sarebbe oltre lo scopo di
questo modulo), viene fuori che quando si risolve questa
equazione, vi sono due soluzioni possibili…
Sapete già che quando si risolve una equazione, vi è talvolta
più di una soluzione. Per esempio, quando facciamo la radice
quadrata di un numero, sappiamo che ci sono esattamente
due soluzioni. Per esempio,
l’equazione x2=16 ammette due soluzioni
+4 oppure −4
Questa è una realtà matematica e non possiamo sfuggire da
essa.
Applicando la matematica allo studio della natura, otteniamo
anche qui talvolta due (o più) soluzioni possibili per le nostre
formule. Molto spesso solo una di queste soluzioni avrà senso
in natura, e possiamo scegliere di scartare le altre.
La genialità di Paul Dirac fu che egli ritenne che entrambe le
soluzioni della sua equazione avessero un significato nella realtà:
una che aveva senso per la materia, e un’altra che aveva senso
solo se fosse esistito un altro tipo di materiale — l’antimateria.
Così l’esistenza dell’antimateria fu prevista (usando la matematica)
prima che nessuno avesse mai sognato una tale cosa.
Questa piastrella fu posata nell’Abbazia di Westminster nel 1995 per
commemorare Paul Dirac . Questa è la prima equazione apparsa nell’Abbazia e
celebra il riconoscimento di Dirac come uno dei padri fondatori della fisica
quantistica.
Per saperne di più su Paul Dirac, clicca qui sotto:
http://cerncourier.com/cws/article/cern/28693