Campi elettromagnetici Docente: Salvatore Savasta Anno acc. 2006/2007 Perchè studiare i campi elettromagnetici ? • Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad alta velocità e a microonde • Antenne e comunicazioni senza fili • Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce in fibra – optoelettronica e fotonica • Macchine elettromeccaniche • Interferenze elettromagnetiche e compatibilità Elettrostatica F q i q qi r ri 4 0 r ri Principio di sovrapposizione 3 F E lim q 0 q Il campo elettrico è un campo vettoriale, ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad ogni punto P dello spazio. Esso determina l'azione della forza elettrica su una particella carica eventualmente posta in quel punto. 0 8.854 1012 (F/m) C2 / N m2 Elettrostatica D F qE D 0E P P 0 eE Per mezzi lineari ed isotropi D 0 1 e E E D dV Ñ D dS dV V Teorema di Gauss S V 0 8.854 1012 F/m Potenziale elettrostatico E r V r B V A V B E dr A Q C V V P E dr P Potenziale di un conduttore condensatori Q C V E ql -q 2 r q Cavo coassiale ql b V A V B E dr dr ln 2 r 2 a A A B B ql C 2 l b ln a Magnetostatica 0 dl r dB i 3 4 r H J F dF J B dV i B dl V V Legge di Ampere-Laplace l H dS H dl J dS Ñ s S H Teorema di Stokes B 0 M B H r 0 H 0 4 107 H/m Prodotto vettoriale a b n a b sin a b ab sin è perpendicolare al piano individuato dai due vettori ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo convesso da questi formato ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore (regola della mano destra). a b a1i a2 j a3k b1i b2 j b3k a b i ijk a j bk a2b3 a3b2 i a3b1 a1b3 j a1b2 a2b1 k ijk 0 se i j , i k , j k i j k j k i 123 1 ijk jik kji ikj k i j 231 312 123 1 132 213 321 1 rotore r x1 , x2 , x3 A r i j k A1 r i A2 r j A3 r k x2 x3 x1 A3 r A2 r i A1 r A3 r j A2 r A1 r k x3 x1 x2 x2 x3 x1 Ak A r i ijk x j jk Legge di Faraday B E t E dS E dl B dS Ñ s t S Per campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale alla differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici variabili ciò non è più vero. La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira) è pari alla variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una qualunque superficie che si appoggia al cammino) del campo magnetico Induttanza Ñ H dl J dS S 2 r B I I b S B dS l a 2 r dr l 2 ln a LI L b ln l 2 a b I La corrente di spostamento D B 0 B E t H J J t H J =0 D H J t H J D t ? La corrente di spostamento V V0 sin t dV Ic C CV0 cos t dt D E Jd t t Ñ H dl S J dS t S D dS V E d I d AJ d A Id V0 cos t d Equazioni di Maxwell F q E v B D B 0 B E t D H J t J t F E J B dV V Equazioni di Maxwell forma integrale Ñ D dS dV S V Ñ J dS S Ñ B dS 0 S Ñ E dl t S B dS Ñ H dl S J dS t S D dS dV t V Regime sinusoidale cos t Re e jt dI 1 L RI Idt Vm cos t dt C I I m cos t I Re I c e jt I c I m e j I d I c e jt 1 jt jt Re L RI c e I c e dt Vm Re e jt dt C LI c d e jt dt RI c e jt Ic e jt dt Vme jt C 1 j L R jC I c Vm Z Vm Ic Z Vm jt I Re e Z Regime sinusoidale I t I m cos t V t Vm cos t W t V t I t Vm I m cos t cos t Vm I m W t cos cos 2t 2 Una componente (quella in ) si mantiene sempre positiva e rappresenta quindi potenza assorbita dal bipolo (potenza attiva). L'altra componente (quella in ) invece oscilla attorno allo 0 e rappresenta quindi potenza alternativamente immagazzinata e ceduta dal bipolo (potenza reattiva). Vm I m Vm I m W t cos 1 cos 2t sin sin 2t 2 2 Z R jX 1 * 2 jt W t Re Vc I c Vc I c e 2 1 Wc Vc I c* 2 P 1 1 Re Vc I c* R I c 2 2 Q 1 1 Im Vc I c* X I c 2 2 W 2 2 Regime sinusoidale Dc c Bc 0 Ec jBc Hc J c jDc t Re c e jt t Re r j i e jt r cos t i sin t Propagazione lungo z 0 Onde piane J 0 E z, t D 0 B 0 B H E t t D H t H y Ex t E y z H x z t E 0 z t H x Ez Ey y z t H y Ex Ez z x t Ex Ey H z y x t X X X X x 0 y 0 Onde piane z t H y Ex z t H y E x z t 2 H y 2 Ex z 2 zt 2 H y 2 Ex t z t 2 2 Ex 2 Ex z 2 t 2 Ex z, t f1 t z v f 2 t z v Ex z , t E0 cos t z v v 1 Onde piane e fasori H y Ex z t H y E x z t dEx j H y dz dH y dz d 2 Ex 2 Ex 2 dz j Ex Ex c1 e jkz c2 e jkz k Ex z, t Re Ex e jt Re c1 e jkz e jt c2 e jkz e jt z z Ex z, t c1 cos t c2 cos t v v c1 , c2 R Onde piane e fasori 1 dEx 1 kc1e jkz kc2e jkz Hy j dz H y z, t Re H y e jt c1e jkz c2e jkz z z c1 cos t c2 cos t v v L’equazione d’onda 3D D 0 B 0 H E t D H t 2 H 2 H 2 0 t v 1 c n n r r n jn E H t 2 E 2 E E 2 t 2 E 2 E 2 0 t fasori k n c 2E k 2E 0 2H k 2H 0 A r ijk i x j Am r klm xl kij klm il jm im jl A r i kij klm xi ijk klm Am r x j xl Am r il jm im jl Am r x j xl x j xl Am r x x m j 2 Ai r L’equazione d’onda 3D E E0 e jk r Ek E 0 2 2 H E iE j 1 E jB k ki 0 D jk D 1 H iE polarizazzione k ki Consideriamo il caso 2E k 2E 0 i zˆ 2 Ex k 2 Ex 0 2 E y k 2 E y 0 E xˆ E1 yˆ E2 e j e jkz H 1 j jkz ˆ ˆ x E e y E e 2 1 I differenti tipi di polarizzazione dipendono dalla fase e dalle ampiezze relative polarizazzione E xˆ E1 yˆ E2 e j e jkz 0 Polarizzazione lineare Si ottiene un vettore campo elettrico lungo una direzione fissata Ovvero che non cambia al variare di z y tan x 1 E2 E1 polarizazzione circolare 2 E2 E1 E xˆ E1 yˆ E2 e j e jkz E xˆ j yˆ E1e jkz E z , t Re xˆ j yˆ e j E1e jt e jkz E1 xˆ cos t kz m yˆ sin t kz ± 2 2 LHC RHC LHC Circolare polarizazzione ellittica E z , t Re xˆ E1 yˆ E2e j e jt e jkz xˆ E1 cos t kz yˆ E2 sin t kz Ex z , t E1 cos t kz E y z , t E2 sin t kz Ex z , t E1 cos E y z , t E2 sin Equazione parametrica dell’ellisse polarizazzione lineare Circolare LH ellittica Parametri di Stokes s0 a12 a22 s1 a12 a22 s2 2a1a2 cos s3 2a1a2 sin s1 s2 s3 s0