Corso di Studi
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FIS. GEN. 10 CFU Vecchio Progr. A I Appello A.A. 2009-2010 07.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 3 Un corpo puntiforme di massa m viene lasciato cadere dal punto più alto A di una guida liscia, avente la forma di un quarto di circonferenza di raggio R, come in figura. Giunta su un piano orizzontale, la massa m urta in modo completamente anelastico nel punto O contro una massa M, inizialmente in quiete, fissata ad una molla di costante elastica K, agganciata ad una parete all’altro estremo. Sapendo che nei punti a destra di O il piano, scabro, è caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico , si determini la massima contrazione della molla. Si seguano i calcoli per =0.2, m=50g, M=150g, R=20cm, K=25N/m. Dalla conservazione dell’energia meccanica ricaviamo la velocità della massa m un istante prima dell’urto: A m 1 mgR mv02 v 0 2 gR 2 R x O Nell’urto completamente anelastico si conserva la quantità di moto, da cui la velocità delle due masse unite dopo l’urto: mv0 M m V0 V0 M mv0 M m A questo punto, tenendo conto del lavoro della forza d’attrito sul piano scabro si ha il seguente bilancio energetico: M mgl M m V02 1 1 1 2 2 2 2 M m V0 W ATTR Kl M mgl Kl l 2 0 2 2 2 K K La cui soluzione positiva fornisce l 3.1cm Esercizio n. 4 Su di un piano orizzontale liscio, una massa m inizialmente in quiete è fissata ad un estremo di una bacchetta rigida di lunghezza r avente massa trascurabile. Il secondo estremo della bacchetta è incernierato in O, cosicché il sistema bacchetta+massa può ruotare sul piano attorno ad un asse verticale passante per O. Una forza di carattere impulsivo fornisce alla massa un impulso J 0, sul piano, perpendicolare alla direzione della bacchetta, come in figura. Sapendo che a causa degli attriti il momento angolare della massa diminuisce linearmente nel tempo secondo la legge L(t)=-kt, si determini l’angolo spazzato dalla bacchetta prima dell’arresto. Siano: m= 50g, J0=0.05Kg·m/s, r=25cm, k=0.02Kg·m2/s2. m La variazione nel tempo di L(t) ci fornisce il momento della forza frenante, e quindi l’accelerazione tangenziale: r F dL k k M E rFATTR k aT ATTR dt m mr O Il moto dunque è circolare uniformemente decelerato. La velocità, tenendo conto della condizione iniziale, si scrive: v v0 K t . Ed imponendo che che la massa si arresti in un tempo t* si ha: mr v(t*) 0 t* mv0 r J 0 r k k infine lo spazio percorso e l’angolo spazzato in questo intervallo di tempo si trovano da: 2 s (t ) v 0 t J r 1 k 2 1 k t s (t*) v 0 t * t *2 0 ; 2 mr 2 mr 2mk 2 (t*) s(t*) J 0 1.25rad 71.6 r 2mk J0 FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B I Appello A.A. 2009-2010 07.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Una massa m è appesa al soffitto di un vagone tramite un filo inestensibile che forma con la verticale un angolo =20° come in figura. Ad un certo istante la velocità del vagone vale voux. Sapendo che l’angolo rimane costante, si dica quanto spazio percorrerà il vagone prima che la sua velocità raddoppi, e la tensione del filo. Si eseguano i calcoli per =20° e vo=50Km/h, m=100g. Nel sistema di riferimento non inerziale l’inclinazione del filo è causata dall’azione contemporanea della forza peso e della forza apparente, di modulo ma, e diretta come -ux. Se ne deduce pertanto che il moto del vagoncino è rettilineo uniformemente accelerato: tg v0 ma a g tg v(t ) v 0 at mg O x Ricavando l’istante nel quale la velocità risulterà raddoppiata, determiniamo lo spazio percorso: v(t * ) v0 at * 2v0 t * s(t ) v0 t v0 a 1 2 3 v 02 at s(t * ) 81m 2 2 g tg La tensione si ricava infine dall’equilibrio delle forze: ma2 mg 2 mg 1 tg 2 1.04 N . Esercizio n. 2 Una macchina termica reversibile, utilizzando come fluido termodinamico un gas perfetto, esegue un ciclo rappresentabile sul piano PV come in figura. Le trasformazioni A→B, C→D, E→F, sono isoterme reversibili, durante le quali il gas scambia calore con tre sorgenti a temperature rispettivamente pari a T 3=500K, T2=400K, T1=300K. Le trasformazioni B→C, D→E, F→A, sono adiabatiche reversibili. Sapendo che i calori scambiati con la prima e la terza sorgente valgono, in modulo, │Q AB│=100J e │QEF│=120J, si calcoli il lavoro prodotto dalla macchina in un ciclo e il suo rendimento. A P T3 C T 2 D Il gas assorbe calore durante le isoterme A→B e C→D, lo cede durante E→F. Per cui QAB 0; QCD 0; QEF 0; Data la reversibilità del ciclo vale, indipendentemente dal numero di sorgenti: QEF Q AB Qi Q AB QCD QEF 0 0 Q 4 CD i 3 T 80 J Ti T3 T2 T1 3 A questo punto facilmente ricaviamo lavoro prodotto e rendimento: W QASS QCED QAB QCD QEF 60 J W 0.33 . Q AB QCD B F T1 E V FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito A II Appello A.A. 2009-2010 11.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1Una pallina di massa m=10g è sospesa al soffitto tramite una molla di massa trascurabile, costante elastica k=1N/m e lunghezza a riposo L0= 50cm. Si determini la velocità che deve essere impressa alla pallina affinché si muova di moto circolare uniforme in un piano orizzontale, in modo che la molla formi un angolo = 10° con la verticale. accelerazione centripeta della pallina in moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio Le forze che agiscono sulla pallina sono: la forza elastica e la forza peso. Ovvero assi avremo: . Scomponendo lungo gli lungo x: lungo y: Quindi Esercizio n. 2 Si consideri il contenitore riportato in figura. In A è contenuto un gas monoatomica che non può scambiare calore con l’esterno e si trova in uno stato caratterizzatoda P 0= 105Pa,V0= 10-2m3,T0=290K. In B e contenuto un altro gas biatomico che ha le stesse P0,V0,T0, ma che può scambiare calore. Il setto adiabatico può scorrere senza attrito. Con una trasformazione reversibile, il gas in B viene portato alla temperatura T ed al volume V=12x10 -3m3. Calcolare il valore di T ed il calore ceduto al gas in B. Successivamente il gas in B viene posto in contatto termico con una sorgente a temperature T 0, mantenendo bloccato il setto. Raggiunto l’equilibrio termico, calcolare la pressione del gas in B e la variazione di entropia dell’universo nelle due trasformazioni. Durante la prima ttrasformazione, la pressione in A e in B è la stessa, quindi: Pertanto la temperatura T sarà: energia interna di B e . . Il calore ceduto al gas in B , dove è la variazione di è il lavoro fatto su A. con quindi . La seconda trasformazione avviene a volume costante Durante la prima trasformazione dell’entropia dell’ambiente. Durante la seconda trasformazione e l’aumento di entropia in B corrispone ad una uguale diminuzione in quanto . . L’ambiente riocev dal gas una quantità di calore Q, a temperatura costante, pari alla diminuzione di energia interna del gas stesso, ovvero Quindi . Pertanto FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B II Appello A.A. 2009-2010 19.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1Un punto materiale è appoggiato sulla superficie interna scabra di un cono che ruota attorno all’asse verticale con velocità angolare =5rad/s. Siano R=15cm la distanza dall’asse di rotazione e =30° la semiampiezza dell’angolo al vertice. Si calcoli per quali valori del coefficiente di attrito statico il punto non si muove sulla superficie del cono. Le forze che agiscono sul punto sono: la forza peso, la reazione del vincolo e la forza di attrito: Proiettiamo lungo due assi, uno ortogonale alla superficie del cono e orientato verso l’asse di rotazione, l’altro parallelo alla superficie e rivolto verso il vertice del cono. Lungo questi assi avremo: Affinché non vi sia scorrimento deve essere soddisfatta la disuguaglianza: Quindi In conclusione avremo: Esercizio n. 2 0.16 moli di un gas ideale monoatomico a T 0=300K sono contenute nella parte inferiore A di un cilindro. Un pistone, di massa m1=31kg e spessore trascurabile, divide la parte inferiore A da quella superiore B del cilindro. In B c’è il vuoto. Una massa m 2 è attaccata al pistone mediante un filo che esce dalla base del cilindro. Il sistema è in equilibrio termodinamico con il pistone a distanza h=0.5m dalla base. Calcolare m2. Si taglia il filo che collega il pistone a m2. Questo causa un’espansione del gas che si porta ad un volume doppio di quello iniziale. Calcolare il lavoro compiuto dal gas. Durante il processo il sistema può scambiare calore con l’ambiente. Scriviamo l’quazione di stato dei gas ideali e la relazione di equilibrio tra le forze: Da queste equazioni ricaviamo: Nell’ipotesi che il sistema si porti ad un nuovo stato di equilibrio, il lavoro compiuto dal gas deve uguagliare la variazione di energia potenziale della massa m1, ovvero FISICA GENERALE I (10 CFU) A.A. 2009-2010 19 luglio 2010 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è inizialmente in quiete in cima ad un piano inclinato di un angolo α, avente altezza h. Il punto esplode in due frammenti di massa m 1 e m2= 0.5 m1 rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento m 1 si muove in discesa lungo il piano inclinato con velocità v1. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il piano e m 1 è μ, e che m 1 si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal frammento m 2. Eseguire i calcoli per α= 20°, h= 1 m, = 0.5. m h Per il frammento m1 si ha m1g cos h 1 m1gh m1v12 sen 2 v1 2 gh 1 tg e per la conservazione della quantità di moto nell’esplosione : m2v2 m1v1 v2 y m1 m2 2 gh 1 sen tg e la quota massima raggiunta vale : yM m h h 1 2g m2 v 22 y 2 h 1 sen 2 1.17 m tg Esercizio n. 2 Un veicolo di massa m si muove su una strada rettilinea accelerando da fermo sottoposto ad una forza F(t)= kt1/2 fino all’istante t*, per poi proseguire di moto uniforme. Il veicolo porta con sé una sorgente di onde sonore (di velocità V) alla frequenza ν e si allontana, partendo da una distanza iniziale B da un muro perpendicolare alla strada (vedi figura) che riflette le onde emesse dalla sorgente. Determinare la massima e minima frequenza delle onde ricevute dagli occupanti il veicolo e la sua posizione nel momento in cui viene percepita la minima frequenza. Eseguire i calcoli per m= 900 kg, k= 5000 Ns-0.5, t*= 3 s, V= 343 m/s, B= 10 m, = 1200 Hz. Detta v la velocità del veicolo in allontanamento dal muro, quest’ultimo riflette onde sonore di frequenza ' V /( V v ) che vengono ricevute dal veicolo alla frequenza " ( V v ) /( V v ) per cui la frequenza massima percepita (alla partenza) è v, la minima è quella corrispondente alla velocità massima v(t*). Ma t v( t ) 0 F( t ) dt m v( t*) 2k 3 / 2 t * 19.2 m / s 3m e la frequenza minima vale : m V v( t*) 1072 Hz V v( t*) osservata per t> t*, ossia per t* x B v( t )dt B 0 4k t * 5 / 2 33.1 m 15m B Esercizio n. 3 In un cilindro di area di base A sono contenute n moli di acqua alla temperatura di ebollizione (100 °C). Il cilindro è posto nel vuoto, chiuso superiormente da un pistone mobile senza attrito di massa M. Al cilindro viene fornita una quantità di calore Q sufficiente a far completamente evaporare l’acqua (il cui calore latente di evaporazione è λ) e poi portare reversibilmente il vapore (da trattare come un gas ideale biatomico) ad uno stato finale di equilibrio in cui il pistone si trova ad una quota h rispetto alla base del cilindro. Calcolare Q e la variazione di entropia dell’ambiente esterno. Eseguire i calcoli per n= 0.05, M= 20 kg, h= 1.2 m, λ= 9.2 Cal/mole. La pressione è costante e pari a p=Mg/A I calori assorbiti dal sistema rispettivamente nelle fasi di evaporazione e riscaldamento del vapore sono Qev= nλ= 1923 J Qrisc= ncpΔT= ncppΔV/nR= (cp/R)pΔV= (cp/R)(Mg/A)AΔh= (cp/R)MgΔh Dove Δh è la variazione di quota del pistone. La quota iniziale, detta T0= 373 K la temperatura di ebollizione, è h0= V0/A= nRT0/pA= nRT0/Mg=0.79 m e quindi Q= Qev+Qrisc= 2204 J Il processo è reversibile e quindi ΔSamb= -(ΔSev+ΔSrisc)= -nλ/T0-ncpln(TF/T0)= -nλ/T0-ncpln(VF/V0)= -nλ/T0-ncpln(h/h0)= -6.04 J/K Esercizio n. 4 Un disco di massa M e raggio R, inizialmente fermo, può rotolare senza strisciare su un piano orizzontale. Sul bordo del disco è fissata una massa puntiforme m come mostrato in figura. Se il disco viene leggermente spostato dalla posizione di equilibrio instabile rappresentata in figura, determinare la massima velocità angolare del disco durante il suo moto e la sua accelerazione angolare quando ha percorso un quarto di giro. Eseguire i calcoli per M= 400 g, m= 50 g, R= 10 cm. La massima velocità angolare si ha dopo mezzo giro, quando la massa m è ferma, nel moto di puro rotolamento, e quindi la conservazione dell’energia dà mg 2 R 1 2 3 IM MR2M2 2 4 M 8mg 5.7 s 1 3MR Dopo un quarto di giro invece m si trova a distanza a= 2 R dall’asse istantaneo di rotazione e d dbm M I dt dt da cui mgR 3 d dv 3 d d MR2 m a MR2 ma 2 2 dt dt 2 dt dt e infine d 2mg 7 s 2 dt 3MR 4mR Esercizio n. 4 Un nuotatore deve attraversare un fiume largo D=250 m, la cui corrente ha una velocità v C= 1.8 km/h. Trovare : A) in quale direzione rispetto all’acqua deve nuotare con velocità u = 2 km/h per raggiungere il punto sulla sponda opposta esattamente di fronte a quello di partenza; B) quanto tempo impiega in tali condizioni per raggiungere il punto di arrivo. V = u + vC ; arcosin (vC/u) = 64.2 ° V = (u2 - vC2)1/2 = 0.871 km/h t = D/V = 0.281 h. vC V D u FISICA GENERALE I 10 CFU I Appello settembre A.A. 2009-2010 06.09.2010 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Il carico di un camion è costituito da un cilindro pieno omogeneo di massa M e raggio R appoggiato sul piano orizzontale scabro del camion (con coefficiente di attrito statico s) come in figura. Il cilindro è trattenuto da una fune orizzontale che fissa il bordo del cilindro, sulla verticale del centro C, ad un vincolo solidale al piano. Tutto il sistema si muove di moto rettilineo con accelerazione costante a diretta orizzontalmente. Si determini il valore minimo di s tale che il cilindro resti in quiete rispetto al piano. Si eseguano i calcoli per a = 2 m/s2. l’equilibrio delle forze e dei momenti (rispetto al punto di contatto col piano) nel sistema non inerziale del piano: Fris 0 T Fa Ma 0 M ris 0 2TR MaR 0 da cui: Ma Fa s Mg 2 a s 0.10 2g C s a Esercizio n. 2 Una guida liscia ha la forma di un quarto di circonferenza di raggio R e una massa M (vedi figura). La guida è libera di muoversi senza attrito su un piano orizzontale ed è inizialmente in quiete. Una massa puntiforme m, inizialmente in quiete sul bordo più alto della guida, è lasciata scivolare sotto l’azione della forza peso. Calcolare il modulo della velocità relativa di uscita dalla guida della massa m rispetto alla guida stessa. Siano: m = 300 g, M = 1 Kg, R = 20 cm. La risultante delle forze esterne è nulla lungo l’asse x per cui si conserva la quantità di moto lungo tale direzione e quindi, quando m abbandona la guida, per le rispettive velocità assolute vale: m V m v M R Per la conservazione dell’energia: 1 1 1 1 m2 2 mgR mv 2 MV 2 mv 2 v 2 2 2 2 M da cui: v 2gR 1.74 m/s , m 1 M V Per la velocità relativa di m rispetto a M: v r va v t v V da cui si ricava: v r V v 2.26 m/s m v 0.52 m/s diretta verso sinistra M M Esercizio n. 3 Un cilindro lungo L è posto in rotazione con velocità angolare costante su un piano orizzontale intorno ad un asse verticale passante per un suo estremo. Il cilindro è pieno a metà di un liquido ideale che può fuoriuscire da un foro (di sezione trascurabile rispetto alla sezione del cilindro) situato sulla base B del cilindro. Si determini il modulo della velocità di uscita del liquido rispetto al sistema di riferimento rotante trascurando gli effetti della forza di gravità. Si eseguano i calcoli per L = 0.2 m, = 10 s-1 Dalla legge di Torricelli applicata in presenza di forze inerziali di valore 2 r a unità di volume: L 1 2 3 u 2 rdr 2 L2 2 8 L 2 dove u è la velocità relativa al sistema non inerziale rotante col cilindro, da cui: B 3 L 1.73 m/s 4 u Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico esegue un ciclo composto da un’espansione isoterma reversibile AB a temperatura TA = 120 °C che ne raddoppia il volume, da una trasformazione isocora irreversibile BC, realizzata ponendo il gas a contatto con una sorgente a temperatura TC, e da una adiabatica reversibile CA che chiude il ciclo (vedi figura). Calcolare il lavoro compiuto dal gas e la variazione di entropia dell’universo in un ciclo. Considerato che BC è comunque un isocora e che nell’adiabatica L = -∆U: L L AB LCA nRT A ln VB ncV TA TC VA A p B Dall’equazione dell’adiabatica reversibile: 1 TAV A 1 TCVC V TC TA A VB 1 248 K V quindi: L nRT Aln C V VB ncVTA 1 A VB VA 1 456 J Poiché il gas compie un ciclo la variazione di entropia dell’universo coincide con quella delle due sorgenti TA e TC S u S TA S TC nR ln c T TB VB n V C 1.47 J/K VA TC FISICA 1 (5 CFU) I Appello A.A. 2009-2010 06.09.2010 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Un punto si muove con velocità relativa costante vr = 0.5 m/s in direzione radiale verso il centro di una piattaforma circolare orizzontale che ruota con velocità angolare = 2 rad/s. All’istante iniziale t0 = 0 il punto si trova ad una distanza R = 1 m dal centro della piattaforma. Determinare in direzione e modulo la velocità assoluta del punto all’istante t* = 3 s. all’istante t* il punto, oltrepassato il centro, si trova ad una distanza dal centro: r vr t* R 0.5 m la velocità assoluta sarà quindi: vr va v' v t v r r C con modulo: va v2 v 2n r 2 v 2r 3.18 m/s considerato che v r e v t sono ortogonali, v a forma con la direzione radiale un angolo: r tan 1 81 vr Esercizio n. 2 Un’imbarcazione di massa M = 200 kg, partendo da ferma, si muove di moto rettilineo in un fiume sotto l’azione di una forza motrice costante di modulo F = 500 N e di una forza resistente, da parte dell’acqua, dipendente dalla velocità , Fa= -bv con b = 200 Ns/m. Determinare: a) la velocità limite dell’imbarcazione; b) la potenza fornita dal motore in tale condizione; c) il lavoro totale eseguito dalle forze dall’istante della partenza al raggiungimento della velocità limite. a) vlim = F/b = 2.5 m/s ; Plim = F vlim = 1250 Watt b) Ltot = T = ½ M vlim2 = 625 J FISICA GENERALE I A.A. 2009-2010 23.09.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto 10 Crediti Esercizio n. 1 Per quale valore dell’ampiezza angolare di oscillazione di un pendolo semplice sono uguali i moduli dell’accelerazione nei punti più alti e più basso del moto? Nel punto più alto di inversione del moto v=0 e pertanto l’accelerazione è solo tangenziale e vale [1] asup g sin , mentre nel punto più basso essendoci solo forze parallele al filo, l’accelerazione è solo normale v2 [2] a inf . l Tenendo conto della conservazione dell’energia meccanica si ha 1 2 m v m gl1 cos , 2 che sostituita nella [2] fornisce [3] a inf 2 g 1 cos . Uguagliando le [1] e [3] si ottiene 2 sin 2 cos , che quadrata fornisce 5 sin 4sin 0 La cui unica soluzione accettabile è sin 4 / 5 , cioè =53,13°. Esercizio n. 2 Una sfera omogenea di massa m= 1 kg, partendo da ferma, rotola senza slittare su un piano inclinato di alzo α= 20°. Determinare i valori del coefficiente d’attrito per i quali non si ha slittamento e l’energia cinetica della sfera dopo t= 5 s dall’inizio del moto. Per un osservatore inerziale la prima equazione cardinale si scrive ma mg sin mg cos , Mentre la seconda equazione cardinale, considerando i momenti rispetto al punto di contatto è 2 a mgR sin mR 2 mR 2 , 5 R 5 2 Da cui si ottiene a g sin , che sostituita nella prima dà tan 0,104. 7 7 2 1 1 217 5 a mR 2 t mg 2 t 2 sin 2 100,5 J. L’energia cinetica è data da T mvc2 mr 2 2 2 2 525 14 R Esercizio n. 3 In un tubo verticale di altezza h= 1,5 m e sezione S = 15 cm2 scorre dell’acqua (= 103 kg/m3) a velocità costante v= 2 m/s. Nelle parti estremali del tubo la sezioni sono ridotte da due strozzature di sezione S1= 3 cm2 in alto e S2= 5 cm2 in basso. Determinare la differenza di pressione esistente tra le due strozzature. Dall’equazione di continuità si ha: S1v1 S 2 v2 Sv v1 Sv / S1 10 m/s, v2 Sv / S 2 6 m/s. Dal teorema di Bernoulli si ha p 2 p1 (v12 v 22 ) g (h1 h2 ) (v12 v 22 ) gh 4,7104 Pa. 2 2 Esercizio n. 4. Un volume V0= 10 L, pressione p0= 105 Pa e temperatura T0= 300 K di gas perfetto biatomico all’equilibrio è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone di massa trascurabile. Se il sistema è posto in contatto con una sorgente alla temperatura T1= 450 K il gas raggiunge un nuovo stato di equilibrio finale. Determinare la variazione di entropia dell’universo. S univ S gas S sorg . Il gas compie una trasformazione isobara irreversibile, che ai fini del calcolo dell’entropia va sostituita con un’isobara reversibile S gas nc p ln T1 p0V0 7 T R ln 1 4,73 J/K. T0 RT0 2 T0 La sorgente termica cede al gas una quantità di calore Q nc p (T1 T0 ) sicché la sua variazione di entropia vale S sorg p0V0 7 T1 T0 R -3,89 J/K. RT0 2 T1 La variazione di entropia richiesta vale Suniv= 0,84 J/K. FISICA GENERALE (10 CFU) Compito B Cognome Corso di Studi Voto II Appello Settembre - A.A. 2009-2010 Nome Docente 23.09.2010 n. matricola Esercizio n. 1 Una particella di massa m1 si muove con velocità V ed urta elasticamente un’altra particella ferma di massa m2. Dopo l’urto le due particelle si muovono con velocità uguali ed opposte, con la prima particella che inverte il suo moto. Si determini il rapporto tra le masse e quello tra le velocità iniziale e finale della prima particella. Si conservano: a) la quantità di moto m1V m1v m2v m2 m1v b) l’energia cinetica 1 1 1 1 mV 2 m1v 2 m2v 2 m1 m2 v 2 2 2 2 2 Elevando la prima equazione al quadrato e determinando il rapporto con la seconda si ricava: m1 1 ; m2 3 V 2 v Esercizio n. 2 0.2 moli di un gas ideale monoatomico si trovano inizialmente alla temperatura T0=300K ed occupano il volume V0=210-3m3. Il gas é fatto espandere, fino a raddoppiare il volume, seguendo la trasformazione p=a+bV 2, dove a=105Pa e b=3.71010Pa/m6. Si calcolino: 1) la temperatura finale del gas; 2) il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione; 3) il calore scambiato dal gas durante la trasformazione. Il valore di b sul testo d’esame era errato ed è qui sopra sostituito con quello corretto. Verranno tuttavia considerati corretti i calcoli dei compiti effettuati con quel valore. Ricavando p0 dalla legge di trasformazione riportata nel testo o dalla legge dei gas ideali si ottiene il valore: p0 nRT0 nRT0 2.5 105 Pa 2 V0 a bV0 Quindi si avrà: T1 p1V1 T0 7.2T0 2160 K p0V0 W V1 pdV aV 0 V0 7 bV03 1133J 3 U ncv T1 T0 6.2ncvT0 4637 J Quindi il calore scambiato sarà Q W U 5570 J SOLUZIONI FISICA GENERALE A 23.09.2010 (10 CFU) Compito B Esercizio n. 1 Una pallina di massa m=1kg, collegata ad una delle estremità di un filo (l=1m), ruota su di un piano orizzontale intorno alla seconda estremità fissa. La velocità angolare cresce linearmente nel tempo a partire da 0=2 rad/s. Se raddoppia dopo il primo minuto e se il filo si rompe dopo 5 minuti, determinare: a) la velocità angolare all’istante della rottura; b) il numero di giri compiuti dalla pallina; c) la tensione del filo. (t ) 0 t; (t ) 1 20 0 60 ; t 0 ; 60 0 60 (300s) 60 = 12 rad/s 1 2 (t ) 0t t 2 ; (300s) = 1050 2 ; quindi n = 1050 giri T m2l 1421N Esercizio n. 2 Una mole di gas ideale biatomico, inizialmente a pressione atmosferica e a T 0=400K, si espande reversibilmente secondo la trasformazione pV2=costante. Sapendo che durante l’espansione il gas compie il lavoro W=2000J, si calcolino: a) la temperatura finale del gas; b) il calore scambiato durante la trasformazione. pV 2 cost pV 2 p0V02 pV 2 RT0V0 pV RT W V1 pdV RT V V 0 0 V0 TV cost T1 dV 2 V RT0 1 0 V1 V0 T0 160K V1 Q U W; U = cV T1 T0 4990J Q 2990J p RT0V0 V2 p0V0 RT0 V1 V0 V0 0.4 V1 FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto Esercizio n. 1 A.A. 2009-2010 Nome 1 febbraio 2011 n. matricola Docente Un corpo puntiforme scivola sulla superficie di una semisfera liscia, fissa, di raggio R, posta su un piano orizzontale, partendo dalla sommità di essa con velocità iniziale trascurabile. Calcolare la velocità del corpo e l’angolo tra il raggio R e il piano orizzontale, nella posizione di distacco dalla semisfera. Eseguire i calcoli per R=0.8 m. m R θ Prima del distacco si ha: mv2/R = mg senθ – N All’istante del distacco N = 0 e quindi v*2= Rg senθ*. Inoltre, per la conservazione dell’energia: mgR = mgR senθ*+ m v*2/2 . Sostituendo: v* = √(2gR/3) = 2.3 m/s e θ* = 42.4° Esercizio n. 2 Un’asta omogenea di massa M e lunghezza L è ferma su un piano orizzontale liscio. Una massa puntiforme m, avente velocità v0 ortogonale all’asta, la urta elasticamente in un punto distante d=L/6 dal centro. Determinare il valore che deve avere la massa puntiforme per rimanere ferma dopo l’urto. Eseguire i calcoli per M=2 kg. Poiché per l’intero sistema Re = 0 e Me = 0 si ha , nell’urto, la conservazione della quantità di moto e del momento angolare totali; dopo l’urto, poiché la massa m si ferma, l’asta acquista un moto di rototraslazione. Considerando come polo il centro di massa, si ha: mv0 = MvCM e mv0d = ICMω con ICM= ML2/12 Inoltre, essendo l’urto elastico, si conserva l’energia cinetica, quindi: mv02/2 = ICMω2/2 + MvCM2/2. Sostituendo si ha: m = 3M/4 = 1.5 kg Esercizio n. 3 Una sorgente di onde acustiche di frequenza ν0 viene lasciata cadere da una certa altezza. Determinare la distanza che essa ha percorso quando, al punto di partenza, arrivano onde di frequenza ν’. Si consideri trascurabile il tempo impiegato dall’onda emessa per raggiungere il punto di partenza. Assumere ν 0=520 Hz, ν’= 490 Hz e la velocità del suono pari a 340 m/s. La sorgente, cadendo, si allontana dal punto di partenza, quindi, per l’effetto Doppler, la frequenza udita al punto di partenza sarà: ν’ = ν0 v/(v - vs) e quindi vs /v = 1- ν0/ ν’ Da qui, si ottiene da cui vs = -20.8 m/s. h = vs2/2g = 22m Esercizio n. 4 Una macchina termica lavora tra due sorgenti a temperature T 1 e T2, producendo un lavoro W numericamente equivalente a quello che si otterrebbe se n moli di gas perfetto raddoppiassero il loro volume in una espansione isoterma reversibile a temperatura T*. Il rendimento della macchina è del 20%. Calcolare il valore dei calori scambiati e la variazione di entropia dell’universo. Assumere: n=0.1, T*=348 K, T 1=300 K, T2=450 K. Il lavoro prodotto dalla macchina sarà: W = nRT* ln 2 = 200 J. La macchina non è reversibile poiché ηrev= 1 – T1/T2 = 0.33, quindi η = 0.2 = W/QA, da cui QA= 1000 J. Per il calore ceduto si avrà: │QC│= QA – W = 800 J ΔSu = ΔSsorg. La variazione di entropia per ciascuna sorgente è data da: ΔS1 = │QC│/ T1 = 2.67 J/K ΔS2 = - QA/T2 = -2.22 J/K Quindi ΔSu = 0.45 J/K FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto A.A. 2009-2010 Nome 15.02.2011 n. matricola Docente 10 Crediti 1. Il piano inclinato in figura, con =30°, si muove verso l’alto con accelerazione a = 5 m/s2 . Sul piano si trovano due masse, m1 = 100 g e m2 = 200 g collegate da una fune inestensibile e di massa trascurabile. Una seconda fune, di uguali caratteristiche, dopo essere passata intorno ad una guida fissa, liscia, sollecita m1 attraverso l’applicazione di una forza F= 3 N alla sua seconda estremità. Se il piano è liscio determinare le espressioni ed i valori di: A) l’accelerazione delle masse rispetto al piano ; B) la tensione lungo la fune tra le masse. Nel sistema di riferimento N. I. solidale al piano: ar1 = ar2 = ar m1 m2 F a T1+m1g +(-m1a)+ T +Rn1= m1ar con |T1|= |F|; m2g +(-m2a)+(- T) + Rn2= m2ar Lungo il piano : F-m1(g+a) Sin - T = m1ar ; T- m2(g+a)Sin = m2ar F - (m1 m2 )( g a ) Sin = 2.6 m/s2 m1 m2 T m2 ( g a)Sin m2 a r = 2.0 N Da cui : a r 2.) Si abbia un anello sottile omogeneo, di massa M e raggio R, con due aste sottili ciascuna di lunghezza L=2R e massa M, montate diametralmente perpendicolari fra loro, come in figura. Il sistema è inizialmente sospeso in quiete, in un piano verticale, ad un perno orizzontale O, mostrato in figura, intorno al quale può ruotare liberamente. Una massa puntiforme m urta il sistema con velocità orizzontale v, rimanendovi conficcato in corrispondenza del punto più basso. Determinare, dopo l’urto il valore della massima deflessione angolare del sistema intorno ad O. m=10 g, M= 20 g , R= 20 cm, v=2m/s. Rispetto al polo O: mv2R I o ; = 1.5 rad/s; (3M m) ghc (1 Cosmax ) (3MR 2mR) = 0.23 m (3M m) I o (2MR 2 2ML2 / 3 4mR 2 ) = hc quindi max = arccos( 1 I o 2 2 ) = 15.5° (3M m) gh (3M m) ghc R v 1 I o 2 , dove 2 la distanza del centro di massa del sistema 5.3x10-3 kgm2 O da O e 3. Un recipiente cilindrico viene riempito da un liquido di densità = 2 g/cm3, fino ad un’ altezza h = 50 cm dal fondo. Se un piccolo foro viene praticato sulla parete laterale del cilindro ad una distanza H = 15 cm dal fondo, e se il fluido, dato il profilo del foro, ne fuoriesce obliquamente verso l’alto formando un angolo = 60° rispetto all’orizzontale, determinare quale è la massima quota raggiunta dal liquido rispetto al fondo del recipiente. v h H Dal teorema di Torricelli: v = (g(h-H))1/2 = 2.64 m/s ; vy = v Sin-gt ; y = H+ v Sin t- ½ gt2 Nel punto di inversione (vy=0): ymax = H+ ½ (vSin)2 /g = 0.42 m 4. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente a pA = 1 atm e TA = 25 °C , esegue un’espansione isobara reversibile assorbendo un calore QAB = 800 J. Successivamente il gas si espande ulteriormente lungo un’isoterma reversibile assorbendo un calore QBC = 1667 J. Calcolare la variazione totale di entropia del gas. VA = RTA/pA = 24 l = 0.024 m3 ; pB= pA ; TB = TA + QAB/cp = 336.5 K; VB = RTB/pB = 0.0277 m3 ; TC=TB; QBC = RTBln(VC/VB) da cui VC = 0.05 m3 ; pC =RTC/VC = 0.55 atm S=cpln(TB/TA)+Rln(VC/VB) = 7.43 J/K , oppure utilizzando l’espressione generale della variazione di entropia di un gas perfetto in funzione del valore dei parametri di stato iniziali e finali: S=cvln(TC/TA)+Rln(VC/VA) . Si dimostra in generale che le due espressioni sono equivalenti. FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto I Prova A.A. 2010-2011 Nome 27.06.2011 n. matricola Docente 10 CFU 12 CFU Esercizio n. 1 Si considerino 3 punti geometrici, equispaziati su una circonferenza di raggio R e centro nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali (vedi figura). Ogni punto genera una forza centrale Fi= - kri , in cui ri è il vettore posizione rispetto al punto iesimo. Si determini la posizione di equilibrio di una massa m, sottoposta all’azione della forza risultante. La massa m viene poi portata a distanza r dall’origine, nella posizione indicata in figura, e lasciata libera di muoversi. Si descriva il tipo di moto effettuato dalla massa. y P1 m r R x O P3 P2 Chiamiamo Ri i vettori che individuano i punti Pi rispetto ad O ed r il vettore posizione di m rispetto ad O si ha: dalla quale si ricava che il punto di equilibrio è O, come era ovvio aspettarsi vista la simmetria del problema. Spostando la massa dalla sua posizione di equilibrio, si ottiene un moto armonico di equazione: P1 Alternativamente si può procedere proiettando le forze ed imponendo l’equilibrio (vedi figura): R-r s r+R/2 P3 P2 nella quali s rappresenta la distanza di m sia da P2 che da P3 ed r la sua coordinata rispetto ad O. Sostituendo: ossia si ottiene lo stesso risultato già ricavato precedentemente. Esercizio n. 2 Una freccia di massa m e lunga L si conficca, ad una distanza x dal centro, in un bersaglio a forma di disco, girevole intorno ad un suo asse diametrale (in figura è riportata una vista dall’alto). Sia ID il momento di inerzia del disco calcolato rispetto all’asse di rotazione. Sapendo che, all’istante dell’urto, la freccia ha velocità v, si calcoli la velocità angolare del sistema freccia-bersaglio. Si eseguano i calcoli per m=200 g , v=50 m/s , x=10 cm , ID=0.05 Kg m2 ed L=50 cm. L x Nell’urto si conserva il momento angolare, per cui: nella quale If indica il momento di inerzia della freccia rispetto al polo O. Per calcolare If si ricorre al teorema di Huygens-Steiner: Sostituendo If nell’espressione del momento angolare finale, si ricava: Esercizio n. 3 Due contenitori identici, di sezione , sono posti in comunicazione tramite un condotto di sezione << . All’istante t=0 s, uno dei due è riempito di acqua fino ad una quota h0 mentre l’altro è vuoto. Si ricavi l’espressione della velocità v1 di abbassamento della superficie libera dell’acqua nel primo recipiente in un istante generico (vedi figura). Se ne calcoli poi il valore quando il dislivello h tra i due recipienti è pari ad h0 /2 . Si effettuino i calcoli per =10 cm2 , =10 m2 ed h0=5 m. z h0 z1 1 2 z3 3 z2=O Facendo riferimento alla figura, che schematizza la situazione all’istante generico t , nell’ipotesi che v1<<v2 si può scrivere: Per h=h0 / 2 si avrà quindi: Esercizio n. 4 Si consideri un recipiente complessivamente adiabatico, chiuso da un pistone mobile. Al suo interno sono contenuti una mole di gas perfetto monoatomico e un solido di massa M, dimensioni trascurabili e calore specifico c. Il sistema si trova inizialmente in condizioni di equilibrio alla temperatura Ti . Il pistone viene quindi abbassato fino a che la temperatura raggiunge il valore Tf . Assumendo reversibile la trasformazione termodinamica eseguita, si determinino le variazioni di entropia dell’universo, del solido e del gas ed il volume finale. Eseguire i calcoli per Ti =293 K , Vi =0.02 m3 , Tf =303 K , M=0.1 kg , e c=385 cal / kg K . gas M Per quanto riguarda le variazioni di entropia: Applicando poi il I principio della termodinamica al gas perfetto si ha: Per quanto riguarda il calore scambiato dal solido, possiamo porre: nella quale, vista l’adiabaticità del contenitore, si è imposto che tutto il calore ceduto dal gas venga assorbito dal solido. Sostituendo: FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto A.A. 2010-2011 Nome 27.06.2011 n. matricola Docente Esercizio n. 1 Mediante una fune ideale tirata da un motore che può esercitare una forza massima FM si traina una massa m inizialmente in quiete su un piano orizzontale (vedi figura). Il coefficiente di attrito tra piano e massa varia secondo la legge μ=μ 0+αx, x essendo la coordinata rispetto alla posizione O di partenza di m. Determinare di quanto si è spostata la massa m quando si è arrestata nei due casi seguenti: I. m O il motore esercita sempre la forza massima FM II. la massa viene trainata molto lentamente (con velocità trascurabile) Eseguire i calcoli per μ0= 0.1, α= 0.02 m -1, FM= 30 N, m= 12 Kg. Nel primo caso applicando il teorema dell’energia cinetica e del lavoro : x* x* 1 0 K Ltot FM dx ( mg ) dx FM x * 0 mgx * mg x *2 0 0 2 da cui x* 2 FM 0 mg 2 FM 0 15.5 m mg mg Nel secondo caso invece il motore esercita una forza appena sufficiente a compensare la forza di attrito, e quindi la massa si arresterà quando tale forza sarà pari a FM: FM mg 0 xM mg xM x* 1 FM 0 7.7 m mg 2 Esercizio n. 2 Una piattaforma circolare di massa m e raggio R, inizialmente ferma, viene posta in rotazione attorno al proprio asse applicando per un tempo Δt un momento costante M0. Passato il tempo Δt una persona di massa m’, inizialmente posta al centro della piattaforma, e schematizzabile come un punto materiale, si sposta in direzione radiale sulla piattaforma fino a fermarsi a distanza R/2 dal centro. Determinare la velocità angolare del sistema e la forza di attrito agente sulla persona quando essa si è fermata nella posizione finale. Eseguire i calcoli per M0= 100 Nm, Δt= 10 s, m= 200 Kg, m’= 70 Kg, R= 5 m. Detto z l’asse cartesiano coincidente con l’asse di rotazione, la velocità angolare 0 al tempo t si ricava dalla t bz M 0 dt M 0 t 0 1 mR 20 M 0 t 2 0 2M 0 t 0.4 rad / s mR 2 In seguito, durante lo spostamento della persona agiscono solo forze interne, e quindi si conserva il momento della quantità di moto tra il momento in cui la persona è ferma nel centro della piattaforma e quello in cui la persona è ferma a distanza R/2 dal centro. La velocità angolare f in questo istante si calcola allora dalla: 2 1 1 mR 2 2m R 2 2 mR 0 mR m' f f 0 0 0.34 rad / s 2 2 2 mR m' R / 2 2m m' 2 2 Infine, la forza di attrito Fa nello stato finale deve essere tale che la forza totale nel sistema di riferimento solidale con la persona (ferma) sia nulla. L’unica forza agente in direzione parallela alla piattaforma è la forza centrifuga m’f2R/2, per cui Fa m' 2f R 20.3 N 2 Esercizio n. 3 Un rivelatore di onde acustiche compie un moto armonico di periodo T lungo il segmento AB (vedi figura) di lunghezza 2L. Una sorgente di onde sonore alla frequenza ν è posta nel punto C, allineato con AB. Nota la velocità V S del suono in aria, determinare la massima e minima frequenza ricevute dal rivelatore e la sua posizione nel momento in cui viene percepita la massima frequenza. Eseguire i calcoli per L= 1 m, T= 3 s, ν= 100 Hz, VS= 343 m/s. C A B Le frequenze minima e massima rivelate (m e M rispettivamente) si avranno in corrispondenza della velocità massima (in allontanamento e in avvicinamento alla sorgente) durante il moto armonico. In un moto armonico di pulsazione e ampiezza A la velocità massima vale V= A, per cui nel nostro caso V L 2L 2.1 m / s T e di conseguenza m VS V 99.4 Hz VS ; M VS V 100.6 Hz VS ; Naturalmente la frequenza massima (come anche la minima) viene misurata quando il rivelatore passa per il centro del segmento AB, ossia quando la sua velocità è proprio V. Esercizio n. 4 Una massa m di piombo è attaccata all’estremo libero di una molla orizzontale di costante elastica k. Il tutto è posto dentro un recipiente adiabatico di volume V contenente anche un numero n di moli di un gas perfetto monoatomico. Inizialmente il sistema è all’equilibrio alla temperatura T 0. La molla viene compressa di un tratto L e poi lasciata libera. A causa dell’attrito con il pavimento del recipiente la massa m finisce per arrestarsi, e si osserva che nello stato di equilibrio finale la pressione del gas è aumentata del 3% rispetto a quella iniziale. Determinare il calore specifico del piombo e la variazione totale di entropia. Eseguire i calcoli per k= 200 N/m, L= 40 cm, m= 10 g , n= 0.1, T0= 210 K. L’energia della molla viene dissipata dall’attrito in calore, che determina un aumento della temperatura di equilibrio del sistema al valore Tf per cui 1 2 kL Q cmT f T0 ncv T f T0 2 con T f T0 pV p0V V p p0 0.03 p0V 0.03T0 6.3 K nR nR nR nR Dalla precedente equazione si ricava allora c nc k L2 v 129 J / KgK 2 mT f T0 m Infine, per il calcolo della variazione di entropia, la trasformazione reale (irreversibile) può essere sostituita da un riscaldamento isocoro del gas e del piombo: S S g S m ncv T dT dT mc ncv mc ln f 0.075 J / K T T T0 FISICA GENERALE I II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 - A Nome Cognome n. matricola Corso di Studi Docente 10 CFU 12 CFU Voto Esercizio n.1 Un proiettile di massa m viene sparato con velocità iniziale v0 a un angolo rispetto all’orizzontale. Determinare le componenti tangenziali e normali dell’accelerazione al tempo t* dopo il lancio. Eseguire i calcoli per v0 = 50 m/s, = 60°, t* = 8 s. Considerando il moto balistico del proiettile: v x t v 0cos cost v y t v 0sen gt v x t * v 0cos 25 m/s v y t * v 0sen gt * 35.2 m/s an v g da cui si ricava che la velocità (e quindi la tangente alla traiettoria) forma con l’orizzontale, al tempo t*, un angolo: vy 54.6 orientato verso il basso. arctg vx D’altra parte l’accelerazione del moto è sempre verticale e pari a g , da cui: 2 a t * gcos gsen 8.0 m/s 2 a t * gcos 5.7 m/s 2 n dv a t * dt t* Alternativamente: 2 2 a n t * g a Esercizio n. 2 Un anello sottile di massa M = 2 kg giace su un piano con attrito inclinato con angolo = 30°. Sul bordo dell’anello è avvolto un filo inestensibile e privo di massa che reca all’altro estremo una massa m = 800 g (vedi fig.). La carrucola P è priva di massa e senza attrito. Il sistema, inizialmente in quiete, viene lasciato libero e l’anello comincia a muoversi con M moto di puro rotolamento. Si determini: (a) modulo e verso dell’accelerazione della massa m e (b) modulo e verso della forza di attrito col piano. Ipotizzando che la forza di attrito F sia diretta lungo il piano verso l’alto, per l’anello abbiamo l’equazione dei momenti rispetto al centro proiettata lungo la normale al foglio: a a I C I C MR 2 TR FA R T FA Ma con T tensione della fune R R e quella delle forze proiettata lungo il piano inclinato : T FA Mgsen Ma Mgsen 4.91 N > 0 quindi verso l’alto. Sottraendo la seconda dalla prima: FA 2 Per la massa m proiettando lungo la verticale verso il basso: mg T ma T mg a sostituita in una delle due precedenti da’: M m sen 2 g 1.05 m/s 2 0 quindi m scende a M m P m che Esercizio n. 3 Un cilindro omogeneo di altezza L = 30 cm e densità M = 0.4 è posizionato verticalmente in modo da sfiorare con la sua base inferiore il pelo libero di una massa d’acqua (vedi figura). A questo punto L viene lasciato scivolare in acqua con velocità iniziale nulla. Determinare la massima profondità hM raggiunta dalla base inferiore trascurando ogni aria attrito con l’acqua e assumendo che il cilindro, nel suo moto, rimanga acqua sempre in posizione verticale. hM Il lavoro infinitesimo compiuto della spinta di Archimede quando la base si trova alla profondità x è: dL S A ( x)dx Axdx dove A è la sezione del cilindro Per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica alla profondità massima hM la somma del lavoro compiuto dalla forza peso e dalla spinta di Archimede sarà nullo: Mgh M hM gAxdx M ALgh M gA 0 h 2M T 0 2 e l’espressione vale per hM < L. Da cui: hM 2L M 0.24 m Esercizio n. 4 Determinare il rendimento per un ciclo reversibile eseguito da un gas perfetto biatomico e realizzato da un’espansione adiabatica AB, da una compressione isobara BC, una compressione isocora CA sapendo che VB= N VC con N=5. AB QAB 0 BC Qced c p TB TC CA Qass cv TA TC TB 1 c p TB TC T N 1 N 1 1 1 C 1 1 0,34 p V cv TA TC N 1 TA A A 1 1 p V T B C C FISICA GENERALE I A.A. 2010-2011 15.07.2011 - B Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Crediti 10 Crediti 12 Esercizio n. 1 A un punto fisso O è connesso un estremo di un elastico di lunghezza a riposo l, massa trascurabile, costante elastica k= 300 N/m e carico di rottura Fmax= 200 N. Se all’altro estremo è fissata una massa puntiforme m= 2 kg che viene lasciata cadere da ferma da una posizione distante l al disopra di O, determinare il valore massimo di l affinché l’elastico non si rompa. L’elastico presenterà un allungamento Δl tale che 1 mg 2l l max k (l max ) 2 , 2 in tali condizioni lnax Fmax / k , sicché F 1 F2 mg 2l max k max k 2 k2 da cui F F l max max 1 1,37 m. 2k 2mg Esercizio n. 2 Un solido di forma arbitraria può ruotare senza attrito attorno a un asse orizzontale non centrale per O (v.fig.). Partendo da fermo dalla posizione col centro di massa C al disopra dell’asse di sospensione e sulla sua verticale, esso transita per la posizione di equilibrio stabile con velocità angolare Ω= 10 rad/s. Se lo stesso solido è fatto oscillare con oscillazioni di piccola ampiezza determinarne il periodo. Non conoscendo il momento d’inerzia del solido rispetto all’asse di rotazione, esso è determinabile dalla conservazione dell’energia 4mgrC 1 2mgrC I O 2 da cui si ha I O . 2 2 Per le oscillazioni di piccola ampiezza si ha mgrC sin I O da cui per la pulsazione si ha e per il periodo T 2 mgrC 2 IO 4 1,26 s. C O Esercizio n. 3 Avvicinandosi a una parete verticale con velocità vE ed emettendo una frequenza νE= 400 Hz si percepisce un battimento Δν=νR-νE= 2 Hz. Determinare vE sapendo che la velocità del suono in aria è vS= 342 m/s. Sia νE la frequenza emessa, νR la frequenza ricevuta R E vS v E vS v E Da cui si ricava: v E vS v / vE 0,85 m/s. 2 / E Esercizio n. 4 Si verifica che lungo una specifica trasformazione termodinamica reversibile di un corpo la temperatura varia con l’entropia secondo la legge T aS n (con a e n costanti). Esprimere la capacità termica del corpo in funzione dell’entropia C = f(S). C Q dT TdS dT differenziando l’espressione data: T aS n dT anS n-1dS C ovvero: C ( S ) f S 1 S n T ( S )dS aS n 1 S n-1 n-1 n anS dS anS FISICA GENERALE I I Appello settembre A.A. 2010-2011 02.09.2011 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Due dischi concentrici, solidali tra loro, di ugual massa M = 200g e di raggio R1 = 30 cm e R2 R2 = 50 cm, sono liberi di ruotare intorno al comune asse centrale orizzontale. Al disco esterno è appesa una massa puntiforme m = 50 g , mentre a quello interno è collegata una molla ideale di lunghezza a R1 riposo trascurabile e di costante elastica k= 5 N/m, la cui seconda estremità è fissata ad un piano orizzontale. Il sistema può essere messo in oscillazione. Determinare : A) la lunghezza della molla nella posizione di equilibrio del sistema; B) la pulsazione angolare delle piccole oscillazioni del sistema. m Sia y la generica lunghezza della molla all’estremità fissa) (la coordinata dell’estremità collegata al disco interno rispetto mgR2 = 0.16 m kR1 B) Equazione dei momenti assiali lungo asse perpendicolare al foglio in verso uscente: db tot d (mvR2 ) mgR2 kyR1 a I a dt dt 1 dove I a M ( R12 R22 ) , v è la velocità lineare della massa m, e la velocità angolare dei dischi ; v R2 ; 2 R se y è la generica lunghezza della molla , dato che y R1 , v y 2 R1 A) Equilibrio dei momenti: mgR2 kyeq R1 0 ; yeq si ottiene quindi mgR2 kyR1 ( R2 1 M ( R12 R22 ) m 2 )y e 2 R1 R1 2 2kR1 = 3.11 rad/s M ( R12 R22 ) 2mR22 Esercizio n. 2 Un anello di massa m=30 g può scivolare lungo una guida fissa liscia di raggio R= 30 cm e si trova inizialmente in quiete nella posizione di equilibrio instabile. Ad un certo istante viene ceduto all’anello un impulso J= 0.06 Ns diretto lungo l’orizzontale. Il mezzo in cui sono immersi l’anello e la guida fa si che sia esercitata sull’anello una forza di attrito di valore costante A = 0.2 N, opposta alla direzione del moto. Determinare i valori di: a) la velocità dell’anello nel punto più basso della guida; b) la componente normale e tangenziale della risultante delle forze agente sull’anello nel punto più basso della guida. vo = J/m = 2 m/s Dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica : 2 AR 1.8 m/s m a) v f v02 4 gR b) 2A v o an 4g R m R vf 2 F A = -0.2 N 1 2 2 m(v f v o ) mg 2 R AR 2 2 = 10.67 m/s2 ; Fn Rn mg man 0.32 N J R O Esercizio n. 3 Due onde elastiche, di ugual ampiezza A = 0.1mm, di lunghezza d’onda = 20 cm e frequenza = 500 Hz, si propagano nello stesso verso in un mezzo di densità = 4 g /cm3 . Se l’intensità media dell’onda risultante è I tot= 59,16 kW/m2, calcolare la differenza tra le fasi iniziali delle due onde. 1 v 2 A 2 = 19720 W/m2 dove v = 2 Itot 3I ; ma Itot = 2I(1+Cos ()) da cui Cos () = ½ ; = 60° . Oppure Itot = 4ICos2(/2) per cui /2 = 30° L’intensità media di ciascuna onda, I = Esercizio n. 4 Un sistema termodinamico esegue un ciclo reversibile diretto dove il calore è scambiato solo lungo tre espansioni isoterme, a temperature T 1= 300°C, T2= 200 °C, T3 = 100°C e una compressione isoterma a T4 = 50 °C. Il ciclo è chiuso mediante rami di adiabatiche come indicato in figura. Se le quantità di calore scambiate durante le espansioni sono Q1 = 90 cal, Q2 = 70 cal, Q3 = 40 cal, A) calcolare il lavoro compiuto in un ciclo; B) Se T4 viene dimezzata, lasciando le altre condizioni invariate, calcolare il rendimento del nuovo ciclo. T1 T2 T3 T4 Q1 Q2 Q3 Q4 Q Q Q 0; Q 4 T4 ( 1 2 3 ) - 133 cal T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 L Q1 Q2 Q3 Q4 67 cal = 280 J Se T4 dimezza, Q4’= Q4/2 quindi 1 Q4 2(Q1 Q2 Q3 ) 0.66 FISICA GENERALE I II APPELLO DI SETTEMBRE A.A. 2010-2011 27.09.2011 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un corpo di massa m è fermo alla base di un piano inclinato scabro. All’istante t=0 viene sottoposto ad una forza F0(t)=m(A-kt), con A e k costanti note, parallela al piano inclinato, nel verso della salita. Calcolare l’istante t* in corrispondenza del quale il corpo si arresta sul piano inclinato. Supponendo che in tale istante venga soppressa la forza F0(t), verificare se il corpo rimane fermo sul piano inclinato oppure no. Eseguire i calcoli per: A=20 m/s 2, k=6.7 m/s3, θ=30°, µs=0.3, µd=0.2. L’accelerazione cui è soggetto il corpo è: a(t) = -g (senθ + µd cosθ) + A – kt. Imponendo che la velocità si annulli all’istante t*, si ottiene v(t*) = = -g (senθ + μd cosθ)t* + At* - kt*2/2 = 0 da cui t* = 4 s. Il corpo resta fermo se fa,max> mg senθ, cioè μs mg cosθ > mg senθ e quindi se tg θ < μs. Essendo tg θ = 0.58, il corpo torna indietro. Esercizio n. 2 Un disco di raggio R e massa M, posto orizzontalmente, può ruotare senza attrito intorno ad un asse verticale, passante per il suo centro. Sul bordo del disco, parallela ad esso, è fissata una molla di massa trascurabile e costante elastica K, compressa di Δl, che collega due corpi di massa m1 e m2. Il sistema è inizialmente fermo. Ad un certo istante la molla viene sbloccata, la massa m1 resta attaccata al disco, mentre la massa m2 viene lanciata con una velocità v2, tangente al disco. Calcolare v2 e la velocità angolare ω del sistema disco + massa m1. Eseguire i calcoli per: M=0.7 kg, m1=100 g, m2=50 g, R=50 cm, K=1000 N/m, Δl=20 cm. m2 m1 R Si conservano l’energia e il momento angolare totale. Quindi: Iω2 + m2v22 = k Δl2 Li = Lf = 0 dove I = Idisco+ Im1 = MR2 + m1R2 = 0.11 kgm2 con Lf = -Iω + m2v2R = 0 Sostituendo, si ottiene ω = 6.1 s-1 da cui v2 = e v2 = 26.8 m/s e Esercizio n. 3 Un automobilista procede alla velocità va mentre sulla carreggiata opposta si avvicina una macchina della polizia che viaggia alla velocità vp. La distanza tra le due carreggiate è pari a d e la sirena dalla polizia emette onde sonore alla frequenza . Determinare la frequenza del suono udito dall’automobilista nell’istante in cui le due auto distano tra loro in linea d’aria L. Eseguire i calcoli con va = 100 km/h, vp = 150 km/h, = 800 Hz, d = 10 m, L = 20 m. Si assuma la velocità del suono vs = 340 m/s. ' vp L d va v s v a cosarcsind L 958Hz v s v p cosarcsind L Esercizio n. 4 Una macchina frigorifera irreversibile scambia un calore Q1 con una sorgente a temperatura T1 e un calore Q2 con una sorgente a temperatura T2. Il lavoro necessario al suo funzionamento è fornito da una espansione adiabatica reversibile di n moli di gas perfetto biatomico dalla stato A (TA, VA) allo stato B (TB, VB). Calcolare l’efficienza della macchina e la variazione di entropia dell’universo in un ciclo. Eseguire i calcoli per: |Q 2|=76.6 kJ, T1=275 K, T2=295 K, n=2.5, VA=0.06 m3, TA=400 K, VB=0.15 m3. Il lavoro fornito alla macchina è W ad= - ΔU = ncv (TA – TB) = 6.4 103 J con TB = TA (VA/VB)γ-1 = 277 K Quindi, il calore che la macchina assorbe dalla sorgente fredda T1 sarà Q1 = - = 70.2 kJ e = 11 La variazione di entropia dell’universo è solo quella delle sorgenti, quindi: ΔSU = - = 4.4 J/K FISICA GENERALE I 1° Appello febbraio A.A. 2010-2011 08.02.2012 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è appoggiato, inizialmente in quiete, nel punto A di L una guida liscia composta (vedi figura) da un tratto orizzontale AB di lunghezza L seguito da un m B tratto di circonferenza di raggio R posto nel piano verticale. Nel centro O del tratto circolare è A R fissato un estremo di una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, avente l’altro O estremo fissato alla massa m. Determinare 1) la velocità con cui la massa giunge in B 2) il punto in cui la massa si stacca dalla guida, individuato tramite il valore dell’angolo α in figura Effettuare i calcoli per L= 10 cm, k= 5.88 N/m, R= 15 cm, m= 100 g. Nel tratto AB 1 2 1 2 1 mvB kR k ( L2 R 2 ) 2 2 2 vB k L 0.77 m / s m Nel tratto circolare il distacco avviene nel punto P in cui si annulla la reazione vincolare. La legge di Newton proiettata nella direzione radiale è allora mvP2 kR mg cos R Dove per la conservazione dell’energia (considerando,l’origine della quota in O) : 1 2 1 mvP mgR cos mvB2 mgR 2 2 Sostituendo per mvP2 e mvB2 le espressioni che si ricavano dalle precedenti equazioni kR2 mgR cos kL2 2mgR1 cos cos 2 k R 2 L2 3 3mgR 3 Esercizio n. 2 Ad un solido conico di altezza h, raggio alla base R e momento di inerzia assiale I, inizialmente fermo, è applicato un momento parallelo all’asse (z) del cono che varia nel tempo secondo la legge Mz(t)= At3/2. Calcolare di che angolo è ruotato il solido al tempo t*. Determinare inoltre la massa volumica (densità) del solido. Effettuare i calcoli per h= 20 cm, R= 5 cm, I= 1.2 10-3 kg m2, A= 0.01 Kg m s-1.5, t*= 0.8 s. L’equazione del moto è I d M z At 3 / 2 dt che integrata dà (t ) t A 3/ 2 2A 5/ 2 t dt t I 0 5I (t ) t 2A 5/ 2 4A 7 / 2 t dt t 5I 0 35I (t*) 0.44 rad Per calcolare la massa volumica si può sfruttare la conoscenza di I, che può essere calcolato suddividendo il cono in dischetti orizzontali di altezza dz e raggio (vedi figura) r= z senα (z essendo la .quota a partire dal vertice e α la semiapertura del cono) Allora 1 2 1 1 r dm r 2 r 2 dz z 4 sen 4 dz 2 2 2 da cui h 1 1 h5 1 1 I z 4 sen 4 dz sen 4 h h 4 sen 4 h R 4 2 2 5 10 10 0 e 10 I 4 3056 kg / m 3 R h dI z Esercizio n. 3 Due sorgenti puntiformi di onde sferiche, S1 e S2, della stessa potenza W, sono poste a distanza D tra loro. Nel punto P, posto sulla congiungente le due sorgenti a distanza L da S1 (vedi figura), si misura un’intensità I1 quando è accesa solo S1, e I2 quando è accesa solo S2. Determinare i valori di D e W. Effettuare i calcoli per L= 4 m, I1= 100 W/m2, I2= 60 W/m2. L D S2 S1 P Per S1 e S2 rispettivamente l’intensità dell’onda sferica in P vale I1 W 4L2 W 2 4 L D I2 ; e si ricava W 4L2 I1 20.1 kW I 2 I1 L2 L D 2 da cui I D 2 2 LD L2 1 1 0 I2 Risolvendo I D L 1 1 1.16 m I2 Esercizio n. 4 Un recipiente (vedi figura) complessivamente isolante è diviso in due parti (A e B) da un setto fisso e termicamente conduttore. La parte di sinistra (A) è chiusa da un pistone mobile e isolante. Nello stato di equilibrio iniziale in A sono contenute n moli di un gas perfetto biatomico, mentre in B c’è una miscela di ghiaccio e acqua. Ad un certo istante il volume del gas in A viene bruscamente dimezzato compiendo attraverso il pistone un lavoro esterno L, dopodiché il pistone viene bloccato ed il sistema si porta allo stato di equilibrio finale. Sapendo che alla conclusione del processo non tutto il ghiaccio presente in B si è sciolto, determinare 1) la massa m di ghiaccio che si è sciolta in B (calore latente di fusione λ) all’equilibrio finale 2) la variazione di entropia del sistema. Effettuare i calcoli per n= 1.5, L= 5000 J, λ= 80 Cal/Kg. A B Il gas in A compie una compressione adiabatica irreversibile seguita da una isocora che lo riporta alla temperatura iniziale T0. In totale quindi per il gas U A 0 QA LA QA L QA L Allora considerando l’intero sistema A+B, ed essendo il recipiente adiabatico QA QB 0 QB QA L e siccome QB è utilizzato per sciogliere la massa m di ghiaccio, e quindi QB=mλ : m QB L 15 g Infine per la variazione di entropia si può sostituire alla effettiva trasformazione compiuta dal gas in A una isoterma reversibile : S S A S B nR ln Vf Vi m L nR ln 2 9.7 J / K T0 T0 II Appello Cognome Voto Fisica Generale I Nome 22.02.2012 n. matricola Esercizio n. 1. Una massa puntiforme m è collegata ad un filo inestensibile di lunghezza L = 1 m ancorato all’altra estremità nel punto O (vedi figura). Inizialmente la massa è mantenuta ferma con il filo posto in posizione orizzontale. Nel punto O’, posto a distanza d al di sotto del punto O, è presente un perno. Ad un certo istante la massa viene lasciata, e quando si trova in posizione verticale, il filo viene fermato nel punto O’ dal perno. Determinare la minima distanza d alla quale deve essere posto il perno affinché la massa m possa compiere un giro completo attorno al perno mantenendo il filo sempre in tensione. L O m d O’ La condizione limite per poter effettuare il giro attorno al perno lungo la traiettoria circolare di raggio L – d si ottiene imponendo che la tensione del filo sia nulla nell’istante in cui la massa si trova sulla verticale sopra al perno: mv12 mg 0 (Ld ) Dalla conservazione dell’energia si ha inoltre: 1 2 mv1 mg L 2( L d ) 0 v12 2 g( 2d L ) 2 da cui, sostituendo nella prima equazione si ottiene: d 3 L 60 cm 5 Esercizio n. 2. Una massa puntiforme di valore 3m è attaccata ad un estremo di una sbarretta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Inizialmente il sistema è fermo in assenza di forze esterne. Una seconda massa, di valore m, viaggia con velocità v0 in direzione ortogonale alla sbarretta (vedi Figura). Ad un certo istante la massa m urta contro l’estremità libera della sbarretta e vi rimane attaccata. Determinare la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema rigido dopo l’urto. Eseguire i calcoli con L = 40 cm e v0 = 2 m/s y L x 3m v0 m Dalla conservazione della quantità di moto si ha: mv0 4mvCM 1 vCM v0 ( 0.5 m / s ) û y 4 Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme in direzione y lungo la retta x = ¼ L Dalla conservazione del momento della quantità di moto p.e. rispetto al punto inizialmente occupato da 3m, considerando l’asse z orientato in direzione uscente dal foglio si ha: 2 3 1 L mv0 Lû z 4 mvCM û z m f L 3m f L 4 4 4 quindi in senso antiorario. 2 v f 0 û z ( 5 rad / s )û z L Esercizio n. 3 Si consideri un tubo di lunghezza 2L, avente sezione S1 per metà della sua lunghezza e sezione S2 per l’altra metà (vedi figura). Nel tubo, munito di due tubi piezometrici, scorre un fluido incomprimibile di densità ρ. In corrispondenza della strozzatura è presente un emettitore E di onde sonore, mentre alle due estremità del tubo sono posti due rivelatori R1 e R2 . Sapendo che nel primo tratto la velocità del fluido è pari a v1 e che nei due tubi piezometrici si osserva che il livello del fluido sale fino alle quote h1 e h2 rispettivamente, si calcoli la velocità v2 del fluido nella seconda parte di tubo. Si calcoli inoltre la differenza tra tempi impiegati dall’onda generata dall’emettitore per giungere ai due rivelatori. Si trascurino le dimensioni di E, R1 e R2 e si eseguano i calcoli numerici con: L = 70 cm, v1 = 2 m/s, h1 = 40 cm, h2 = 20 cm, velocità del suono nel fluido vs = 1500 m/s Dall’equazione di Bernoulli 1 2 1 2 gh1 v12 gh2 v22 Da cui si ottiene v2 v12 2 g( h1 h2 ) 2.8 m / s I tempi impiegati dall’onda per raggiungere i due rivelatori sono rispettivamente t1 L ; vs v1 t2 Da cui t1 t2 L L vs v2 v1 v2 1.5 106 s ( vs v1 )( vs v2 ) Esercizio n. 4 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono un ciclo composto dalle tre seguenti trasformazioni: una espansione libera AB, una compressione adiabatica reversibile BC caratterizzata da un lavoro WBC ed infine una trasformazione isobara reversibile CA . Si calcolino la temperatura TC e la variazione di entropia dell’universo SU . Si effettuino i calcoli con n = 3, TA = 300 K ; pA = 2×105 Pa e WBC= - 3.7×104 J . Nelle prime due trasformazioni si ha: U AB 0 QBC 0 TA TB WBC U BC ncv ( TB TC ) ncv ( TA TC ) Per calcolare SU , essendo per l’intero ciclo Sgas = 0, si ha: T SU Samb SCA nc p ln A 91 J / K TC TC TA WBC 1289 K ncv p A C B V FISICA GENERALE I 1° Appello estivo A.A. 2011-2012 03.07.2012 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è situato sul piano di una slitta, assimilabile a un parallelepipedo di massa M (vedi figura) che si sta muovendo con velocità v su un piano orizzontale liscio e senza attrito. Il punto materiale è fermo rispetto alla slitta e quindi si muove rispetto al piano con la stessa velocità della slitta. Fra punto materiale e piano della slitta vi è un coefficiente di attrito statico s. Ad un certo istante la slitta colpisce l’estremo di una molla orizzontale di costante elastica k fissata ad un vincolo che fa decelerare il sistema fino a fermarlo. Determinare il massimo valore di k affinché il punto materiale m resti fermo rispetto alla slitta durante la decelerazione. m Effettuare i calcoli per M = 2.8 kg, m = 0.2 kg, s = 0.6, v = 20 m/s. M k v Nell’ipotesi che m non si muova rispetto a M, la frenata produce una compressione massima della molla: 1 M mv12 1 k x 2 x M m v1 2 2 k A cui corrisponde una decelerazione massima per il sistema M+m: a Fel M m kx M m k v1 M m sempre affinché m resti fermo rispetto a M : ma s mg k m v1 s mg M m 2 g k s M m 0.26 N/m v1 Esercizio n. 2 Un cilindro omogeneo di massa m1 = 2 kg e raggio R = 10 cm, in moto di m1 pura rotazione intorno al proprio asse con velocità angolare 0= 5 rad/s, viene C appoggiato su una lunga e sottile tavola scabra di massa m2 = 1 kg inizialmente in quiete R su una superficie piana orizzontale liscia. Quando cessa lo slittamento del cilindro m2 rispetto alla tavola si osserva che quest’ultima si muove con velocità v2 = 0.2 m/s rispetto al piano. Determinare la velocità angolare del cilindro quando cesserà lo slittamento rispetto alla tavola. Per un osservatore inerziale il sistema cilindro+tavola presenta il risultante delle forze esterne e il momento risultante di tali forze ambedue nulli, quindi si conservano costanti, per un osservatore fisso esterno, la quantità di moto: 0 m1v1 m2 v2 v1 m2 v2 0.1 m/s ; m1 e il momento angolare totale rispetto a qualsiasi polo fisso, in particolare a qualsiasi punto del piano: (*) m1 R 2 I C 0 m1v1 R f 2 m1 R 2 m R2 0 m1v1 R 1 f . 2 2 f 0 2 v1 3 rad/s R Al primo membro il momento angolare iniziale è solo quello rispetto a C, risultando il centro di massa del cilindro fermo, mentre a secondo membro il momento angolare è espresso come somma di quello del centro di massa C del cilindro più quello rispetto al centro di massa C.. Alternativamente, la velocità angolare finale è: f m v1 v2 v1 1 1 / R R m2 f 0 (m1 m2 ) = 3 rad/s. m1 3m2 v1 R f che, sostituita nella (*) dà m1 1 m2 Esercizio n. 3 In una fontana ornamentale il getto d’acqua è prodotto da un tubo orizzontale di sezione S = 1 cm2 con un gomito orientato verticalmente verso l’alto. Sapendo che l’acqua entra nel tubo alla pressione di 1.3 atm con una portata volumetrica Q = 0.4 litri/s e che il gomito ha sezione pari a quella del tubo ed altezza trascurabile, si calcoli l’altezza massima a cui arriva l’acqua. Si assuma che il getto verticale di acqua in aria sia il prolungamento del tubo di flusso. h S Si può applicare il teorema di Bernoulli fra un punto qualsiasi del tubo orizzontale, dove p = p1 e v = v1, e il punto di massima altezza dove p = p0 pressione atmosferica e v = 0 p1 1 2 v1 p0 gh 2 D’altra parte v1 h Q S quindi: p1 p0 1 v2 p p0 1 Q2 0 1 1 0 2 3. 91 m g 2 g g 2 S g Esercizio n. 4 Una macchina termica reversibile opera tra due sorgenti le cui temperature differiscono di ∆T = 200 K. La variazione di entropia per ciclo della sorgente a temperatura inferiore T1 è ∆S1 = 83.7 J/K. a) Calcolare il lavoro compiuto per ciclo. In una seconda configurazione il lavoro per ciclo fornito dalla prima macchina viene integralmente utilizzato dal ciclo di una macchina frigorifera di efficienza frigorifera ɛ = 5 che preleva calore da una miscela di acqua e ghiaccio e lo cede all’ambiente. b) Calcolare la quantità m di ghiaccio prodotta per ciclo. Si assuma per il ghiaccio sol = 335 J/g. Dal teorema di Carnot e di Clausius per cicli reversibili: REV C 1 T1 T T T L 2 1 T2 T2 T2 Q2 Per la macchina frigorifera: Qass L per cui: m Qass sol Qass L L sol 0.25 kg L Q2 T S 2 T S1 T 16740 J T2 FISICA GENERALE I A.A. 2011-2012 03.07.2012 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto 12 Crediti 10 Crediti Esercizio n. 1 Una piccola pallina di massa m = 40 g è sospesa mediante un filo inestensibile di lunghezza l = 0,75 m a un punto O. Quale velocità orizzontale minima occorre imprimere alla pallina affinché essa descriva una circonferenza nel piano verticale? Quanto vale la tensione del filo quando esso è orizzontale? Affinché la pallina descriva una circonferenza, nel punto B più in alto la velocità deve essere v B2 gl . Detto A il punto di partenza dalla conservazione dell’energia si ha 1 2 1 2 mv A mvB 2mgl 2 2 Da cui v A 5gl 6,06 m/s. La velocità della pallina quando il filo è orizzontale vale v D2 3gl cui corrisponde una tensione del filo TD m v D2 3mg 1,18 N. l Esercizio n. 2 Intorno ad una puleggia cilindrica di raggio R, libera di ruotare intorno al suo asse orizzontale, è avvolta una fune ideale con appeso ad un capo un corpo di massa m = 5.0 kg. Una sbarra omogenea di lunghezza L = 40 cm e massa MS, formante un angolo = 30° rispetto all’orizzontale, è appoggiata sulla puleggia (senza intralciare la corda) in un punto posto a distanza h = 28 cm dall’estremo della sbarra che è incernierato in O (vedi figura). Nell’appoggio tra sbarra e puleggia si sviluppa un attrito statico con s = 0.5. Determinare il minimo valore della massa della sbarra MS affinché la puleggia rimanga in equilibrio statico. L, MS h R m Se indichiamo con fs il modulo della forza di attrito che agisce sulla puleggia a causa dell’appoggio della sbarra, la puleggia sarà in equilibrio statico quando il momento risultante delle forze rispetto all’asse della stessa che agiscono su di essa è nullo. E cioè quando: RT – Rfs = 0 con T = mg essendo il sistema in equilibrio statico e quindi abbiamo: fs = mg d’altra parte, l’equilibrio statico della sbarra impone che anche la risultante dei momenti delle forze rispetto al suo estremo fisso O sia nulla, e cioè: L M S g cos Nh con N la reazione normale determinata dall’appoggio sulla puleggia. 2 Deve essere quindi: f s mg s N s L M S g cos 2h 2h m 16.2 kg M S L cos s O Esercizio n. 3 Due corde tese, rispettivamente di lunghezza L1=52 cm e L2=48 cm, sono entrambe vincolate ai propri estremi. La velocità delle onde trasversali nelle due corde ha lo stesso valore v. Sapendo che quando le corde sono fatte vibrare secondo la loro oscillazione fondamentale viene prodotta un’ampiezza risultante con un battimento alla frequenza fb = 4 Hz , a) calcolare il valore della velocità v. Inoltre: b) calcolare quale dovrebbe essere la lunghezza L’2 affinché la frequenza di battimento sia f’b = 6 Hz. 1 2 L1 v 1 1 v 1 v 2 L1 1 b 2 1 2 L2 L1 v 1 1 2 L' 2 L1 b 2 1 2 2 L2 ; v 2 b v 2 2 v 2 L2 L1 L2 50 m/s L1 L2 L' 46.2 cm v L1 2 a L' 2 L' 2b 59.4 cm v 2 b L1 Esercizio n. 4 Un cilindro adiabatico chiuso da un pistone mobile anch’esso adiabatico, è diviso a metà da una parete diatermica fissa. Il volume di ciascuna parte è pari a V0 ed entrambe le metà sono riempite con un gas ideale monoatomico a pressione atmosferica e temperatura iniziale T0. Il pistone mobile comprime il volume del gas nella parte A con una trasformazione quasi statica fino a quando la pressione nella parte B diventa pB. Determinare, nella situazione finale di equilibrio: 1) la variazione d’entropia del gas in B; 2) quella del gas in A; 3) il volume finale della parte A. Si eseguano i calcoli con: V0 = 0.03 m3, T0 = 0 °C pB = 2 p0. A A B Per la parte A possiamo considerare una generica trasformazione reversibile, per cui: Tf S A ncv ln T0 V nR ln A V0 (1) d’altronde: S A S B 0 Tf S B ncv ln T0 S A S B quindi: T e T f 0 2 p0 546.3 K p0 perché isocora, mentre: n A nB quindi S A Tf p0V0 cv ln RT0 T0 ma dalla (1) è anche: 11.4 J/K V S A S A nR ln A V0 ovvero: V A V0 e 2 ΔS A nR 0.12 V0 3.7 10 3 m 3 V 2S A ln A nR V0 p0V0 1.33 RT0 FISICA GENERALE I (A) Cognome Corso di Studi 9 crediti A.A. 2011-2012 Nome 18 Luglio 2012 n. matricola Docente 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 La cabina di un ascensore, di altezza h, si muove verso l’alto con velocità va . Ad un certo istante comincia ad accelerare nello stesso verso con accelerazione costante aa . In quello stesso istante una m massa puntiforme si stacca dal soffitto con velocità nulla rispetto all’ascensore. Calcolare : A) il valore minimo della forza vincolare che impedirebbe il distacco; B) il tempo necessario alla massa per raggiungere il pavimento dell’ascensore; C) lo spazio percorso dalla massa, rispetto ad un osservatore esterno fisso, in quello stesso intervallo di tempo. Eseguire i calcoli con: m=100 g va= 2 m/s ; aa= 2m/s2 ; h=2.5m. Nel S.R. non inerziale solidale con l’ascensore: A) la forza vincolare R dovrebbe essere in grado almeno di controbilanciare la forza peso e quella fittizia (-maa) ; R=m(g+aa) 1.18N B) ar= aass – at ; proiettando verso il basso: ar= g+ aa ; h= ½ artc2 ; tc = 0.65 s. C) verso il basso: yass = vo ass tc + ½ gtc2 = -vatc + ½ gtc2 = 0.78 m. Esercizio n. 2 Una sbarretta AB, di lunghezza L ha densità lineare di massa ρl=αx2, crescente A dall’estremo A verso l’estremo B. Essa giace in quiete su un piano orizzontale liscio e, ad un v1 certo istante, i due estremi A e B vengono urtati in modo completamente anelastico da due corpi puntiformi di massa m1 e m2 con velocità v1 e v2, perpendicolarmente alla sbarretta. m1 Determinare il valore di v1 affinchè, dopo l’urto, il sistema abbia solo moto di traslazione e calcolare la variazione di energia cinetica del sistema nell’urto. Eseguire i calcoli per: L=1.2m, α=1.39kg/m3, m1=0.1kg, m2=0.6kg, v2=4m/s. B v2 m2 Sistema isolato: si conservano la quantità di moto totale e il momento angolare. m1v1+ m2v2 = (m1+m2+M)vCM dove M è la massa della sbarretta. Li=Lf , quindi, imponendo che non ci sia rotazione dopo l’urto e prendendo come polo il centro di massa del sistema si ha: 1) m1v1xCM - m2v2 (L-xCM) = 0 con dove xCM=(M xCMsbarretta+ m1x1 +m2x2)/ (m1+m2+M) = 0.96m dall’estremo A xCMsbarretta = Sostituendo nella 1), si ottiene v1 = 6m/s = = 0.9m e M=α = 0.8kg da cui vCM = (m1v1+ m2v2)/(m1+m2+M) = 2 m/s ΔK = = (m1+m2+M)vCM2/2 - ( m1v12+ m2v22 )/2 = -3.6 J FISICA GENERALE I (B) A.A. 2011-2012 18.7.2012 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Una particella puntiforme si muove sotto l’azione di una forza la cui energia potenziale è descritta dalla funzione U(x)=Ax2+Bx. Determinare l’espressione della forza e la posizione del centro delle oscillazioni. Sapendo inoltre che l’energia meccanica della particella è pari ad E m, calcolare le posizioni dei punti estremi dell’oscillazione. Eseguire i calcoli per: A=4J/m2, B=-2J/m, Em=30J. - (2Ax +B) N = (-8x +2) N forza elastica + forza costante. Il centro delle oscillazioni corrisponde alla posizione di equilibrio statico, cioè dove U ha un minimo (F(xeq)=0) -8xeq + 2 = 0 da cui xeq = 0.25m Agli estremi (inversione) l’energia cinetica è nulla, quindi uguagliando l’energia potenziale agli estremi dell’intervallo all’energia meccanica, si ottiene U(x1, x2) = Em = (4x2-2x)J e quindi x1=-2.5m e x2=3m Esercizio n. 2 Un disco di massa m e di raggio R, sale lungo un piano inclinato (= 30°), in condizioni di puro rotolamento, condotto dalla forza costante F , orientata ed applicata come in figura. Determinare: A) modulo, direzione e verso dell’accelerazione del centro di massa del sistema; B) modulo, direzione e verso della forza di attrito necessaria per mantenere il puro rotolamento; C) il minimo coefficiente di attrito necessario per mantenere il puro rotolamento. Eseguire i calcoli con m=500 g e F= 5N . F R/2 R F Ipotizzando una forza di attrito lungo il piano verso l’alto, la prima equazione cardinale proiettata lungo tale direzione e verso: F + Fa – mg Sin () = mac La seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa e proiettata lungo un asse entrante nel piano del foglio, con la condizione del puro rotolamento: FR/2 - FaR= ½ mR2 ac/R Dalle due si ottiene: A) ac= F/m - g/3 6.7 m/s2 , positiva quindi lungo il piano verso l’alto; B) Fa =mg/6 0.82 N, positiva quindi lungo il piano verso l’alto C) Fa sRn ; s Fa/mg Cos() 0.19 Esercizio n. 3 Una sorgente di onde sonore S, posta in un mezzo di densità , emette, come in figura, onde lungo l’asse x di velocità v, lunghezza d’onda e ampiezza A. Le onde emesse nel verso negativo vengono riflesse da una parete O distante D dalla sorgente e vanno a sovrapporsi con quelle emesse nel verso positivo. Se le onde riflesse mantengono la stessa ampiezza di quelle incidenti, calcolare , in un generico punto P in cui avviene la sovrapposizione: A) il valore di D affinché in P risulti il primo minimo di interferenza; B) il valore dell’intensità dell’onda risultante in P quando la sorgente viene spostata di una distanza d, verso la parete, rispetto alla posizione a distanza D calcolata nel caso precedente. Eseguire i calcoli con : A= 0.2 mm; = 12.56 mm ; v = 25.1 m/s ; = 1 g/cm3; d= 1.57mm . Fa mg O d S P D A) Per avere il primo minimo deve risultare /2= (k2D)/2 = π/2 con k=2π/λ da cui D=λ/4 = 3.14 mm B) Essendo AT =2ACos k(D-d) = 2ACos(π/4) = 0.28 mm e ω=kv=12.55 103 rad/s si ottiene I= ½ 2 AT2 v = 155 kW/m2 x Esercizio n. 4 Un recipiente con pareti adiabatiche, chiuso da un pistone mobile di massa trascurabile anch’esso adiabatico, contiene n moli di gas ideale monoatomico inizialmente in equilibrio a pressione atmosferica e a temperatura T A. Quindi, attraverso la base diatermica, viene posto in contatto con una sorgente realizzata da una miscela di acqua e ghiaccio, anch’essa a pressione atmosferica. Raggiunto nuovamente l’equilibrio, si osserva che si è sciolta una massa di ghiaccio m 1. Successivamente, sempre in contatto con la sorgente, il gas viene compresso molto lentamente finchè il volume si riduce alla metà. Calcolare la massa totale di ghiaccio che si scioglie e la variazione di entropia del sistema gas+sorgente. Eseguire i calcoli per: n=2, TA=500K, λfus=3.33·105J/kg. I trasformazione: isobara Qp=ncp (T0-TA) calore scambiato dal gas e m1= = 28g quantità di ghiaccio sciolto durante l’isobara II trasformazione: isoterma Qisot. = nRT0 ln(Vf/Vi) = nRT0 ln0.5 calore scambiato dal gas e m2= = 9.4g quantità di ghiaccio sciolto durante l’isoterma mtot=37.4 g = ΔStot= 9 J/K FISICA GENERALE I A.A. 2011-2012 03 Settembre 2012 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente 9 crediti 10 crediti 12 crediti Voto: Esercizio n. 1 Si calcoli la velocità iniziale v0 da imprimere ad una massa puntiforme m se si vuole che essa, muovendosi sotto l’azione di una forza di resistenza viscosa all’avanzamento esprimibile come F = -kv , riesca a coprire una distanza L in un tempo t* . Determinare poi il valore che dovrebbe avere v0 perché L sia la distanza di arresto. Si effettuino i calcoli per m= 200 g, k= 0.1 Ns/m, L= 20 m, t*= 3 s. L’equazione del moto fornisce: La distanza percorsa nel tempo t* è quindi: da cui si ricava facilmente L sarà la distanza di arresto se t*→∞, il che corrisponde a Esercizio n. 2 Un cubo di legno di lato L e massa M è appoggiato sul bordo di un tavolo, sporgendo per 1/3, ed è incernierato allo spigolo del tavolo un modo da poter ruotare attorno ad esso, senza traslare (vedi figura). Sulla faccia superiore del cubo si muove a velocità costante v0 un punto materiale di massa m. Tra il punto materiale e il cubo esiste un coefficiente di attrito μ, e per t= 0 la massa m si trova sul bordo sinistro del cubo. Determinare in quale istante il cubo inizia a ruotare. Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, M= 0.2 kg, v0= 0.1 m/s; m= 0.1 kg, μ= 0.7. m Cubo Tavolo Preso come polo un punto O dello spigolo del tavolo (preso come asse orientato verso l’interno del foglio), la rotazione inizierà appena il momento MO delle forze applicate al cubo sarà positivo. Detta x= v0t la posizione di m sulla faccia superiore del cubo la condizione di inizio moto sarà allora: da cui Esercizio n. 3 Un’ambulanza si dirige a sirene spiegate verso un incrocio a velocità costante v1, emettendo un suono di frequenza E . Un’automobile si dirige, anch’essa a velocità costante v2, verso lo stesso incrocio lungo una strada perpendicolare a quella percorsa dall’ambulanza. Se ad un istante t0 l’ambulanza e la vettura distano dall’incrocio L e 2L rispettivamente, quale deve essere la velocità v2 affinché il conducente dell’automobile possa percepire il suono della sirena a frequenza sempre costante e quanto vale tale frequenza ? Effettuare i calcoli per v1= 15 m/s, νE= 3000 Hz, v= 343 m/s (v è la velocità del suono in aria). Secondo la formula dell’effetto Doppler la frequenza rilevata, detto θ l’angolo riportato nel disegno: Automobile Ambulanza Automobile θ Ambulanza e quindi è costante se e solo se è costante θ. Questo implica cha la congiungente ambulanza-automobile abbia sempre la stessa inclinazione. Questo è possibile solo se D’altra parte per t= t0 è facile vedere dal disegno che e quindi Esercizio n. 4 Due moli di un gas perfetto biatomico compiono il ciclo reversibile in p figura, costituito da una compressione isobara AB in cui il volume dimezza rispetto a quello iniziale VA, una trasformazione BC di equazione p= aV, e una isocora CA. Calcolare il rendimento del ciclo. Eseguire i calcoli per a= 107 Pa m-3, VA= 20 l, TA= 120.5 K C B A V Trattandosi di un ciclo QTOT= LTOT, e il lavoro totale può essere calcolato geometricamente dall’area del ciclo, sfruttando il fatto che pC= aVC= aVA: Il rendimento è η= 1+QCED/QASS. Il calore è ceduto nelle trasformazioni AB e CA e assorbito in BC, quindi Rimangono da calcolare TB e TC: Si ricava allora P.S. Il dato TA è ridondante e fornito per semplicità di calcolo.
