Metodo circuitale:
componenti e leggi di
Kirchhoff
Capitolo 1
© De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014
Modello a parametri concentrati
Modello Matematico
•un modello matematico di un fenomeno fisico può avere
diversi gradi di accuratezza e di complessità
•spesso in problema ingegneristico reale le variabili fisiche
sono distribuite nello spazio e nel tempo
•un modello che tenga conto di queste variazioni è
accurato ma può essere molto difficile da risolvere
•un modello semplificato può trascurare parte di queste
variazioni ed essere più facile da gestire con un
ragionevole sforzo
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Modello a parametri concentrati
Sistema Matematico
modello matematico di un
sistema meccanico
complesso
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Modello a parametri concentrati
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Modello a parametri concentrati
Sistema meccanico
•Molti fenomeni fisici sono coinvolti nel sistema e dalla sua
analisi si può evidenziare che i più importanti sono:
o Inerzia del sistema
o Comportamento elastico dei materiali
o Dissipazione di energia
•Tutte le quantità legate a questi comportamenti sono
distribuite nella struttura ed un modello accurato dovrebbe
tenerne conto
•Questo richiede che tutte le proprietà dei materiali siano
definite in maniera puntuale e che le loro interazioni siano
definite da equazioni alle derivate parziali definite da
operatori quali gradiente divergenza e rotore
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Modello meccanico
Componente massa
•l’inerzia del sistema è legata alla massa delle parti in movimento della
struttura (per semplicità (!) si trascura la rotazione)
•la massa è distribuita su tutta la struttura con valori di densità
differenti ad esempio nel cerchione, nelle molle o nel pneumatico ecc.
•da un’analisi del sistema si trova facilmente come la massa sia
concentrata nella ruota (cerchio+ pneumatico)
•il modello può quindi essere semplificato trascurando il contributo di
alcune masse di valore minore (assi, molle ecc.) e concentrando la
massa nel baricentro della ruota
•la massa della ruota a questo punto può essere misurata su una
bilancia in laboratorio
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Modello meccanico
Componente massa
• una volta che il valore della massa sia noto M, il suo
comportamento può essere modellato dalla seconda
legge della dinamica
(2)
• dato che la massa è concentrata in un punto (il
baricentro) l’operatore di derivata è quello di derivata
totale "d" e non più quello di derivata parziale "∂"
• il parametro massa M è coinvolto anche nella
definizione di energia cinetica
(3)
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Modello meccanico
Componente molla
• la risposta elastica della struttura è legata alle deformazioni reversibili
di tutte le sue parti quali assi in acciaio, parti in gomma, molle ecc.
• in maniera analoga a quanto esposto per la massa, anche per
l’elasticità il contributo principale è dovuto alla molla che collega la
ruota al telaio e che può essere rappresentata attraverso la legge di
Hooke:
(4)
dove kel può essere misurata in laboratorio
• il comportamento elastico può immagazzinare energia elastico
secondo la:
(5)
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Modello meccanico
Dissipazione
•ogni struttura reale è caratterizzata da forme di dissipazione di energia
•la dissipazione può essere legata a diversi tipi di attrito e, ne caso in
esame, il contributo maggiore deriva dall’attrito viscoso
•lo smorzatore viscoso può essere descritto da un’equazione non
lineare:
(6)
dove kv può essere misurata in laboratorio
• il componente dissipativo può dissipare l’energia immagazzinata o
fornita al sistema dall’esterno.
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Modello meccanico
Equazione complessiva
•le equazioni caratteristiche dei singoli componenti o fenomeni (massa,
molla, attrito) non sono da sole sufficienti a definire il comportamento del
sistema
•un’equazione ulteriore che descrive la loro interazione va aggiunta: ad
esempio l’equazione di bilancio delle forze interne uguale alla
sommatoria delle forze esterne:
(7)
(8)
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Modello meccanico
Equazione complessiva
•l’equazione finale è un’equazione differenziale ordinaria dato che tutte
le dipendenze dalle coordinate spaziali sono state rimosse e
concentrate nei parametri M, kel , kv
•la soluzione dell’equazione richiede quindi solo l’integrazione in termini
della variabile tempo t (derivate totali)
•come contropartita:
o tutte le nozioni sulle variabili interne al problema viene persa e solo x e
kext sono note
o nessuna indicazione sul rispetto di eventuali vincoli fisici è data (ad
esempio massimo stress sui componenti ecc.)
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(8)
Fenomeni elettromagnetici
Fenomeni naturali
Fenomeni tecnici
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Modello elettromagnetico
Quantità elettriche
•i fenomeni dell’elettromagnetismo sono governati dalle equazioni di
Maxwell che sono equazioni differenziali alle derivate parziali (gradiente,
rotore e divergenza)
•la soluzione delle equazioni di Maxwell richiede quindi un’integrazione
sia nello spazio che nel tempo
•esistono tecniche matematiche che consentono di risolvere questi
problemi (ad es. metodo degli elementi finiti) ma queste non sono di
facile utilizzo in ambiente tecnico
•come nel caso precedente anche qui l’approccio a parametri
concentrati può facilitare la soluzione del problema
•esiste inoltre un’ipotesi fondamentale per questo approccio che verrà
discussa in seguito
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Modello elettromagnetico
Componente concentrato
•le principali differenze rispetto al problema meccanico riguardano:
o le variabili utilizzate sono tensioni e correnti
o i campi elettromagnetici non sono limitati ai mezzi materiali ma si
estendono nello spazio
•condizione necessaria affinché si possa definire un modello
concentrato è che si possa limitare l’estensione spaziale del fenomeno
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Modello elettromagnetico
Componente a due morsetti
•l’interazione del componente con l’esterno deve avvenire solo
attraverso:
o la corrente elettrica che fluisce attraverso i suoi terminali o morsetti i
o la tensione elettrica che si presenta tra i suoi morsetti v
•Entrambe le quantità sono scalari e dipendenti dal tempo:
o i = i(t)
o v = v(t)
•dimensioni fisiche nel sistema SI sono: ampere, A, volt, V
•il componente più semplice è quello con una sola coppia di morsetti
detto dipolo
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Modello elettromagnetico
Componente a n morsetti
•non tutti i fenomeni elettromagnetici possono essere descritti da
componenti dipolari
•in questi casi componenti più complessi a n-morsetti si possono
definire
•i genere i morsetti sono numerati a partire dallo 0
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Modello elettromagnetico
Notazioni grafiche e segno delle grandezze
•correnti e tensioni sono quantità scalari che hanno un segno. La
notazione grafica delle grandezze deve aiutare ad evidenziare il loro
segno
•tutte le notazioni presentate sono equivalenti
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Modello elettromagnetico
Equazioni costitutive
•i componenti dipolari devono soddisfare equazioni che legano tra di
loro le grandezze ai morsetti
•in maniera analoga a quanto visto per i componenti meccanici, queste
equazioni legano tra di loro le variabili ai morsetti e vengono chiamate
equazioni costitutive o caratteristiche tensione-corrente
v = v(i; t)
(9)
i = i(v; t)
(10)
•alcuni fenomeni sono naturalmente descritti da equazioni che hanno
come variabile indipendente la tensione o la corrente mentre per altri la
notazione è indipendente
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Componenti elettromagnetici
Quanti tipi di componenti esistono?
•i fenomeni elettromagnetici sono molto complessi e quindi,
in linea di principio, ci si potrebbe aspettare di trovare un
numero di componenti molto elevato
•in realtà, come si è messo in evidenza per i problemi
meccanici, i componenti elementari non sono molti
•al fine di suddividere i componenti in classi si possono
utilizzare diversi criteri
•dato che i componenti sono modelli matematici, il
processo di classificazione produrrà alla fine una serie di
equazioni costitutive dei componenti stessi
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Componenti ideali/reali
Teoria e realtà
•i componenti definiti in maniera matematica spesso si
comportano in maniera diversa da quelli reali
•componenti ideali sono quelli che rappresentano un
singolo fenomeno elettromagnetico e ne costituiscono
un modello unico
•componenti reali sono costruiti con materiali che
seguono leggi differenti da quelle ipotizzate nel modello
e quindi sono caratterizzati da effetti parassiti
Molla ideale e molla reale
una molla costruita con acciaio è caratterizzata non solo
da un comportamento elastico ma anche da una massa e
quindi da effetti di inerzia che la molla ideale non ha
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Componenti attivi e passivi
Che cosa alimenta i componenti?
• i componenti passivi necessitano di una sorgente di potenza
esterna per dare luogo a qualche trasformazione energetica e
sono generalmente chiamati carichi
• i componenti attivi sono in grado di trasferire potenza ai terminali
dei carichi
• i componenti attivi forniscono questa potenza a spese di qualche
altra forma di energia che trasformano in termini elettromagnetici
Batteria dell’auto
il motore di avviamento di un motore a combustione interna viene
alimentato da un accumulatore a piombo-acido il quale, durante la
marcia, viene ricaricato dall’alternatore: si comporta quindi sia da
componente attivo che passivo
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Convenzioni di segno
Convenzione utilizzatori/generatori
il differente comportamento in termini di potenza
viene inserito nelle convenzioni di segno di corrente e
tensione
Convenzione utilizzatori
Convenzione generatori
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Classificazione dei componenti passivi
Quanti tipi di carico esistono?
•la caratterizzazione dei carichi può essere fatta in base al loro
comportamento energetico
•in base a questo criterio i componenti possono essere suddivisi in:
o componenti in grado trasformare energia di tipo elettromagnetico in
un’altra forma di energia
o componenti in grado di immagazzinare energia nel campo elettrico
o componenti in grado di immagazzinare energia nel campo
magnetico
sistema meccanico
questa suddivisione in termini energetici era già stata
utilizzata nei sistemi meccanici: massa → energia cinetica,
Molla → energia elastica ed attrito → energia dissipata
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Prima classe di carichi
Resistore
•l’effetto Joule definisce che una corrente elettrica fluente in un
conduttore genera calore, quindi questo fenomeno appartiene alla
prima classe di carichi
•questa classe di componenti è descritta da una equazione costitutiva
di tipo algebrico che lega tra loro tensione e corrente allo stesso
istante:
(11)
che è chiamata prima legge di Ohm
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Resistore
Simbolo grafico
Definizione
Il componente si chiama
resistore ed il suo
parametro
R resistenza
le dimensioni fisiche nel
sistema SI sono ohm, Ω
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Resistore
Resistore
•se il parametro R è costante la caratteristica v - i è lineare
•dato che in questo caso R è indipendente dal tempo il componente
è detto Lineare e Tempo Invariante (LTI)
Simbolo grafico
Definizione
in questo caso v e i sono
legati ad ogni istante da
una relazione che può
essere riportata in un
piano con assi i e v
Se i → x e v → y la
pendenza della retta è R
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Resistore
Resistore nonlineare
•se il parametro R cambia il suo valore in funzione della corrente i, il
resistore è nonlineare
•in questo caso la relazione tra i e v non è più rappresentata da una
retta nel piano v - i
Caratteristica R = R(i)
Passività
dato che il componente è
passivo, la sua
caratteristica deve
contenere l’origine del
piano v – i, cioè non è in
grado di avere v 0 se la
corrente è nulla
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Resistore
Conduttanza
• molto spesso è conveniente definire il valore di conduttanza G di
un resistore come l’inverso della sua resistenza
•
(12)
(13)
• le dimensioni fisiche di G sono
S
chiamato siemens simbolo
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Condensatore
Fenomeno fisico
• i condensatori sono componenti in grado di immagazzinare
energia nel campo elettrico e quindi appartengono alla seconda
classe dei componenti passivi
• il campo elettrico può essere creato prevalentemente nella
regione di spazio compresa tra due parti conduttrici isolate e
sottoposte ad una differenza di potenziale
Proprietà
Cons. carica
Fenomeno conservativo
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Condensatore
Fenomeno fisico
•la carica del condensatore cresce proporzionalmente al valore di
tensione applicata
(14)
•il coefficiente di proporzionalità C è chiamato capacità del
componente e dipende da:
∝
o Geometria della struttura C
o Materiali presenti nel dominio C
Simbolo grafico
Unità di misura
La capacità si esprime in
farad F e molto spesso
valori di capacità sono
nell’ordine dei mF, F, ecc.
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Condensatore
Caratteristica v - i
•l’equazione Q = Cv non è una equazione costitutiva perché in essa
non appare la corrente i
•la corrente i può essere ottenuta come derivata rispetto al tempo
della carica
(15)
nell’ipotesi che C non dipenda dal tempo t
•come conseguenza l’equazione costitutiva è un’equazione
differenziale ordinaria che non lega tra di loro i valori istantanei di v
ei
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Condensatore
Caratteristica v - i
•l’equazione costitutiva i = i(v) contiene un operatore derivata, quindi la
caratteristica v = v(i) deve quindi utilizzare un operatore integrale
(16)
•il dominio di integrazione può essere suddiviso in due intervalli:
(17)
(18)
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Induttore
Definizione
•il componente induttore immagazzina energia nel campo magnetico
⇒ terza classe di utilizzatori
•una corrente che fluisce in un conduttore crea, nella regione di
spazio circostante, un campo magnetico ed un flusso magnetico
concatenato con l’avvolgimento
Simbolo grafico
λ-i
il flusso magnetico
concatenato dipende da i:
λ = Li
spesso L =Li
[L] = henry simbolo H
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(20)
Induttore
Caratteristica v - i
•come nel caso del condensatore, λ = Li non è una equazione
caratteristica dato che v non compare
•la tensione v si può ottenere dalla legge dell’induzione elettromagnetica
(20)
nell’ipotesi che L non dipenda da t
• l’equazione sostitutiva è un’EDO di primo
grado
• C e L hanno caratteristiche v - i simili dove v
ed i scambiano i loro ruoli (dualità)
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Induttore
Caratteristica v – i
•come nel caso di C l’operatore derivata lega v a i e quindi l’equazione
inversa deve contenere un operatore Integrale
(21)
•il dominio di integrazione può essere suddiviso in due intervalli:
(22)
(23)
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Induttori accoppiati
Definizione
•l’estensione spaziale del campo flusso magnetico può creare
un’interazione con altri avvolgimenti
•in questo caso il flusso concatenato può dipendere anche da una
corrente di un altro avvolgimento creando quindi un accoppiamento tra i
due componenti
(24)
Il fenomeno è reciproco
M12 = M21 = M
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Mutual inductor
Definizione
•l’equazione costitutiva si ricava mediante derivata temporale
(25)
(26)
Simbolo grafico
il componente ha 4 terminali
e può essere definito come
componente a due porte: una
per (v1, i1) ed una per (v2, i2).
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Componenti attivi
Generatori ideali
•i generatori sono componenti in grado di fornire potenza
ad altri componenti
•la potenza è generata a spese di qualche altra forma di
energia quale elettrochimica, elettromeccanica ecc.
•generatore ideale: un generatore si dice ideale se è in
grado di fornire potenza infinita agli altri componenti
•nella pratica nessun generatore potrà fornire potenza
infinita e quindi un modello di generatore reale sarà
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Generatore di tensione
Generatore di tensione ideale
•un generatore di tensione ideale è un dipolo in grado di fornire una
tensione e(t) ai suoi morsetti indipendentemente dai componenti ad
esso collegati
•la tensione e(t) è nota ma il valore della corrente che lo attraversa
dipende dai carichi che il generatore alimenta
Simbolo grafico
per qualsiasi valore di
corrente la tensione è e(t)
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Generatore di tensione
Generatore di tensione ideale costante
•se il valore della tensione è costante e(t) = E, la
caratteristica del generatore può essere tracciata nel
piano v - i
Simbolo grafico
batteria
in prima
approssimazione una
batteria può essere
considerata come un
generatore di tensione
costante
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Generatore di tensione
Generatore di tensione nulla
•un caso particolare di tensione costante e la tensione
nulla
•in questo caso per ogni valore di corrente la tensione
ai terminali del dipolo è zero
Simbolo grafico
il componente si chiama
corto circuito e può
essere visto come un
generatore di tensione
zero o come un resistore
con resistenza uguale a
zero
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Generatore di corrente
Generatore di corrente ideale
•un generatore di corrente ideale è un dipolo che è in
grado di fornire una data corrente a(t)
indipendentemente dai componenti ad esso collegati
•il valore di corrente è noto ma la tensione ai morsetti
del generatore dipende dai carichi ad esso collegati
Simbolo grafico
per valore di tensione
v(t) la corrente nel dipolo
è a(t)
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Generatore di corrente
Generatore di corrente ideale costante
• se il valore della corrente a(t) = A costante, la
caratteristica può essere tracciata nel piano v - i
esempio
per valore di tensione
applicata la corrente ai
morsetti del generatore è A in
natura non si trovano
facilmente esempi di
generatori di corrente ma la
corrente di fulmine può essere
approssimata da un
generatore ideale di corrente
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Generatore di tensione
Generatore di corrente nulla
•anche per il generatore di corrente il valore zero è un
caso particolare
•in questo caso, per qualsiasi valore di tensione
applicata la corrente ai morsetti è nulla
Simbolo grafico
questo componente si
chiama circuito aperto e
può essere visto come
un generatore di
corrente a corrente nulla
o come un resistore a
R→∞
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Componenti reali
Perché componenti reali?
•i componenti reali hanno equazioni costitutive che sono
un’approssimazione di quelle ideali
•più frequentemente le cause di non idealità sono dovute a:
o limiti sui valori delle grandezze ai morsetti
o effetti parassiti
•molto spesso i componenti reali possono essere espressi da
combinazioni di componenti ideali
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Limiti sulle grandezze ai morsetti
Limiti costruttivi
• in linea teorica in un resistore descritto da v = Ri, v e i
possono raggiungere qualsiasi valore
• in pratica:
o problemi termici limitano il valore di corrente
o problemi dielettrici limitano il valore di tensione
Caratteristica v - i
-Imax ≤ i ≤ Imax
(27)
-Imax ≤ i ≤ Imax
(28)
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Effetti parassiti
Modello di componente reale
•i componenti reali hanno un comportamento che li fa
appartenere a più classi di componenti
•questo può però essere utile per creare un modello
equivalente del componente reale
Induttore reale
(29)
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Generatori reali
Generatore reale di tensione
•i generatori ideali possono fornire potenza infinita ai
componenti collegati
•nei componenti reali questo è limitato dalla potenza
convertita in elettrica (elettrochimica, elettromeccanica
ecc.) che può essere grande ma non infinita
Generatore reale di
tensione
un generatore reale
diminuisce la sua
tensione quando la
corrente erogata diventa
grande
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Generatori reali
Modello matematico
• un modello di questo nuovo componente può essere
ottenuto da una serie di Taylor della sua caratteristica
centrata nel valore i = 0
(30)
•
o Il termine
o
ha le dimensioni fisiche di una resistenza
è negativa perché v diminuisce se i aumenta (
= - Rint )
dove R è una resistenza fittizia che tiene in conto il comportamento
della sorgente reale
o v (0) = E
• v (i) = E – Rinti
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Leggi topologiche
Come si può descrivere un circuito?
•i componenti elementari sono in grado di descrivere ogni
fenomeno elettromagnetico ma le leggi costitutive non
sono sufficienti per descrivere l’interazione di diversi
componenti
•per descrivere le interazioni di più componenti è
necessario definire un nuovo insieme di leggi
•queste equazioni saranno indipendenti dai componenti ma
saranno funzione solo delle connessioni
•per definire la forma delle equazioni è necessario prima
analizzare le entità principali presenti nei collegamenti
circuitali
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Topologia del circuito
Entità topologiche
•il modo in cui i componenti sono interconnessi definisce le
loro interazioni
•anche se il circuito è generalmente disegnato su di un piano, si deve
ricordare come ogni variabile spaziale sia stata eliminata dal modello a
parametri concentrati e quindi come non ci sia alcuna indicazione sulle
lunghezze
•le due soluzioni indicate sono diverse come geometria ma identiche
come topologia
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Topologia del circuito
Entità topologiche
•il circuito può essere descritto da poche entità
•nodo: un punto di connessione tra più collegamenti
•lato: un insieme di componenti connessi senza alcun nodo
intermedio
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Topologia del circuito
Entità topologiche
•maglia: qualsiasi insieme di lati che formano un percorso
chiuso
•maglia elementare: una maglia che non contiene altre
maglie
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Leggi di Kirchhoff
Un nuovo insieme di equazioni
•le leggi di Kirchhoff sono di validità generale e si
applicano ad ogni tipo di componente e di topologia
•possono essere scritte anche senza sapere nulla sulla
natura dei componenti del circuito
•si possono derivare, sotto alcune ipotesi, dalle leggi dei
campi elettromagnetici ma in questo caso sono presentate
come un assioma
•esiste una ipotesi fondamentale per l’applicabilità delle
leggi topologiche che verrà discussa in seguito
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Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC)
Interazione delle correnti
•le correnti interagiscono al nodo
•legge di Kirchhoff delle correnti: ad ogni istante la
somma algebrica delle correnti afferenti ad un nodo è
nulla
•algebrico significa che segni differenti devono essere
usati per le correnti entranti o uscenti dal nodo
Nodo
(31)
la LKC è un’equazione
omogenea ⇒ la convenzione non è
importante
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Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC)
Interazione delle tensioni
•le tensioni interagiscono nella maglia
•legge di Kirchhoff delle correnti: ad ogni istante di tempo
la somma algebrica delle tensioni di maglia è nulla
•il segno deve essere definito in base al verso di
percorrenza della maglia
Loop
∀t, anche la LKT è indip. dal verso
di percorrenza
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(32)
Ipotesi fondamentale dei circuiti
Le leggi di Kirchhoff sono sempre valide?
•le leggi di Kirchhoff impongono ad ogni istante
temporale un bilancio di tensioni e correnti
•nei fenomeni elettromagnetici questo può non essere
sempre verificato
•il problema principale è legato alla velocità di
propagazione dei segnali elettromagnetici che può
essere approssimativamente considerato uguale alla
velocità della luce nel vuoto c ≃ 3 * 108 m /s
•ritardi nella trasmissione del segnale dipendono quindi
dalla lunghezza del percorso
© De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014
Tempo di ritardo
È importante il tempo di propagazione?
•se una struttura elettromagnetica ha le dimensioni di 1m
•un segnale iniettato ad un terminale arriva all’altro in un
tempo pari a:
(33)
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Scala temporale del fenomeno
Apprezzabilità del tempo Δτ
•un tempo di ritardo Δτ = 3ns può essere trascurabile o
meno in funzione della scala temporale del fenomeno in
studio
•alla frequenza di f = 50Hz → T = 1/f = 20ms il tempo Δτ è
trascurabile
•alla frequenza di f = 100MHz → T = 1/f = 10ns il tempo Δτ
è uguale ad un terzo del periodo
•in questo ultimo caso il tempo di ritardo è una frazione
importante della scala temporale e non può essere
trascurato ⇒ se la scala temporale si riduce le distanze
devono essere minori
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Relazione spazio tempo
Propagazione immediata
•le leggi di Kirchhoff devono essere verificate ad ogni
istante ma, in caso di ritardo apprezzabile, alcune variabili
potrebbero non essere ancora attive (per es. in una maglia
le tensioni su alcuni lati potrebbero non essere ancora state
raggiunte dal segnale)
•l’ipotesi fondamentale delle LK e quindi di tutto il metodo
circuitale è che il tempo di propagazione del segnale sia
trascurabile
•lunghezza d’onda del segnale λ = cT, ipotesi valida se L
<< λ
•per es. alla frequenza industriale di
f
= 50Hz ⇒ λ = 3 * 108 * 20 * 103 = 6000km e quindi il limite è
quasi sempre verificato
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Connessioni circuitali
Serie/parallelo
•sebbene le connessioni circuitali possano assumere
forme molto complesse, in molti casi esse possono essere
ricondotte alla combinazione di elementi connessi in serie
e/o in parallelo
•queste connessioni sono analizzate per trovare
espressioni semplificate
•le connessioni sono presentate nel caso di resistori ma
•l’approccio è valido per tutti i componenti
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Connessione serie
• due o più componenti sono collegati in serie se sono
percorsi dalla stessa corrente
Due resistori
Equazioni costitutive
v1 = R1 i1
v2 = R2 i2
(35)
(36)
Equazioni topologiche
i = i1 i2
(37)
vAB - v1 - v2 = 0
(38)
(38)
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Connessione serie
Partitore di tensione
•
(39)
(40)
la tensione vAB si ripartisce tra i resistori ed ogni quota
k –esima è proporzionale a
(41)
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Connessione parallelo
• due o più componenti sono connessi in parallelo se
sono sottoposti alla stessa tensione
Due resistori
Equazioni costitutive
v1 = R1 i1
(42)
v2 = R2 i2
(43)
Leggi di Kirchhoff
i = i1 + i2
(44)
vAB = v1 = v2
(45)
(46)
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Connessione parallelo
Resistore equivalente
•
(47)
•la formula precedente è valida per due resistori in parallelo
•in generale dato che nella connessione parallelo compare il
termine è più conveniente utilizzare conduttanze
(48)
•la formula vale in caso di N resistori in parallelo
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Connessione parallelo
Partitore di corrente
• in caso di due resistori
(49)
• la corrente i si ripartisce in ogni resistore come
(50)
(51)
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Connessioni a tre terminali
Connessioni stella/triangolo
• non tutte le connessioni canoniche si presentano con
due morsetti, ma il concetto di equivalenza può essere
esteso anche a reti con tre connessioni
Connessione a stella o a Y
Connessione a triangolo o a
Δ
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Connessioni a tre terminali
Stella → triangolo
• date le resistenze di una stella RA, RB, RC, trovare le
resistenze del triangolo equivalente
(52)
(53)
(54)
• nel caso
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Connessioni a tre terminali
Stella → triangolo
• date le resistenze di un triangolo RAB, RBC, RCA, trovare le
resistenze della stella equivalente
(55)
(56)
(57)
• nel caso
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Potenza nei componenti
Potenza ed energia
•i componenti circuitali sono modelli matematici di fenomeni fisici e
devono rispettarne le più importanti proprietà, in particolare quelle
legate alla potenza e all’energia
•l’energia nei componenti è già stata usata nella fase di definizione
dei componenti mentre la potenza non è ancora stata definita
•in termini circuitali la potenza è formulata direttamente in funzione
delle variabili di rete e quindi verrà utilizzata più frequentemente
•nel seguito:
o si presenteranno le formule della potenza ed energia nei componenti
o si introdurrà il teorema di Tellegen sul il principio di conservazione
dell’energia nei circuiti
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Potenza nei componenti
Definizione
•la potenza istantanea in un componente dipolare può
essere espressa in termini delle variabili di rete come:
p (t ) = v (t ) i (t )
(58)
•dal punto di vista delle dimensioni fisiche, il prodotto di
una tensione per una corrente è una potenza
[watt] = [volt][ampere]
•la definizione ha le sue basi fisiche nel significato della
tensione che è un’energia per unità di carica e la
corrente che è un flusso di carica
•la variazione di energia della singola carica q è
espressa da qv ma la sua variazione temporale è
espressa da iv
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Potenza nei componenti
Convenzioni di segno
•dato che la potenza è definita come il prodotto di tensione
per corrente, il suo segno dipende da quelli di v e i
•la convenzione degli utilizzatori/generatori stabilisce una
relazione tra il segno della potenza ed il suo significato
fisico
Generatori
Utilizzatori
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Energia
Definizione
•la potenza è una quantità nonlineare ricavata
direttamente dalle variabili circuitali e quindi è facile da
valutare una volta risolto il circuito
•l’energia nel componente si può ricavare come
l’integrale della potenza nel tempo
(59)
•l’energia può essere immagazzinata, come nel caso di
condensatori ed induttori, o dissipata come nel caso dei
resistori
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Resistore
Definizione
•la potenza istantanea può essere calcolata dalla legge di
Ohm come:
(60)
(61)
•in entrambi i casi la potenza può solo essere positiva (R
> 0) e questo conferma che il resistore non è in grado di
fornire potenza al circuito
•l’energia dissipata dal componente nell’intervallo (t1; t2)
può essere calcolata come
(62)
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Potenza nei componenti
Definizione
•la potenza istantanea in un condensatore è data da:
(63)
•in funzione del segno di v (t) e di dv / dt, la potenza istantanea può
essere positiva o negativa, p < 0 ⇒ C cede potenza
•il differenziale dell’energia associata ad una trasformazione
infinitesima dt è dato da:
(64)
•l’ultima espressione rappresenta un differenziale esatto e quindi
questo implica che la trasformazione è reversibile o conservativa
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Condensatore
Energia
•integrando il dw da zero ad un valore di tensione si
ottiene:
(65)
•quindi l’energia immagazzinata nel condensatore
dipende dal valore della tensione e quindi v rappresenta
lo stato energetico del componente
•la tensione su un condensatore è quindi detta variabile
di stato
•qualsiasi variazione di tensione ai capi di C implica un
trasferimento di potenza il cui integrale nel tempo deve
bilanciare la variazione di energia immagazzinata
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Condensatore
Time transformation
(66)
(67)
(68)
più breve è l’intervallo di tempo (t2 - t1 ) più grandi sono la
corrente e la potenza
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Condensatore
Energia
•la corrente e la potenza crescono se la trasformazione è rapida
perché:
o la stessa quantità di carica deve essere trasferita al componente in
meno tempo
o con gli stessi valori v1 e v2 la stessa energia deve essere trasferita in
meno tempo
•in caso di una variazione istantanea di tensione
la corrente e la potenza avrebbero valori infiniti
•dato che nessun componente è in realtà in grado di fornire potenza
infinita, allora la tensione in un condensatore è una funzione continua
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Induttore
Definizione
• la potenza istantanea in un induttore può essere ricavata dalla
sua equazione costitutiva come:
(69)
• anche in questo caso, in funzione dei segni di i (t ) e di , la
potenza istantanea può essere positiva o negativa e quindi ci
sono configurazioni nelle quali L può cedere energia al circuito
(70)
(71)
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Induttore
Variabile di stato
•nel caso dell’induttore l’energia immagazzinata è
proporzionale alla corrente
•nuovamente la corrente è una variabile che indica lo
stato energetico del componente
•seguendo ragionamenti analoghi a quelli fatti per il
condensatore si può ricavare che la corrente in un
induttore è una variabile continua rispetto al tempo
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