Elementi di geometria

GEOMETRIA
A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni
ANNO SCOLASTICO 2005 - 2006
Prof.ssa Maddalena Dominijanni
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GEOMETRIA
Può essere
INTUITIVA
Si basa su
RAZIONALE
Parte da
CONCETTI
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
PRIMITIVI
ASSIOMI
Definiti mediante
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DALLA GEOMETRIA
INTUITIVA
ALLA GEOMETRIA
RAZIONALE
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Indice
I contenuti
 Gli elementi fondamentali della geometria euclidea
 Postulati e teoremi
 Punto
 Retta
 Piano
 Postulati riguardanti gli enti elementari
 Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
(semirette, segmenti, angoli
Gli obiettivi
 Comprendere il significato di “dimostrazione”
 Cogliere la differenza fra postulato e teorema
 Approfondire la conoscenza degli enti geometrici
fondamentali
 Operare con segmenti ed angoli
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Di che cosa tratta la geometria
Il termine geometria deriva dal greco (ghe: “terra”, e metron: “misura”) e
significa «misura della Terra».
Già gli antichi egiziani erano abili nell’arte di misurare la terra, perché
costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente
invasi dalle inondazioni del Nilo.
Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono
portate in Grecia da Talete di Mileto (624-548 a. C.) e servirono agli antichi
greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama
Geometria.
Rimane però il fatto che l’uomo è stato spontaneamente portato a creare
questa scienza, osservando l’ambiente e astraendo dagli oggetti circostanti
quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di
cui essi sono fatti.
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I punti di partenza della geometria
Gli enti primitivi della Geometria sono:
PUNTO
RETTA
PIANO
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Gli elementi fondamentali della geometria
Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei
quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da
particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.
(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)
Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure
geometriche.
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PUNTO
 PUNTO
Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia
lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto.
Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso
indica soltanto una posizione.
Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi
la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc.
•A
•C
•D
•B
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RETTA
 RETTA
Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di
una retta.
A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e
senza spessore.
Su di una retta si possono segnare infiniti punti
Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse
Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc.
retta a
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PIANO
 PIANO
Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago,
forniscono delle immagini concrete di un piano.
Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il
piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come
indefinitamente esteso in tutti i sensi
I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco:
α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc.
α
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Piano α
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Postulati riguardanti gli enti elementari
 Alla retta appartengono infiniti punti
 Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti
 Esistono infinite rette
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Postulati riguardanti gli enti elementari
 Per due punti distinti passa una sola retta
•
A
•
B
 Per un punto passano infinite rette (l’insieme di tale rette è chiamato fascio
poprio)
A
 Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro
La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due
suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Semiretta – Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta
rimane divisa da un suo punto.

semiretta
A
•
semiretta
origine
Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi
punti che si dicono estremi del segmento

A
•
segmento
B
•
estremi
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si
dicono consecutivi
A
C
•
B

Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono
consecutivi ed appartengono alla stessa retta
A
•
B
•
C
•
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea
spezzata
Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata
C
A
B
E
D
Spezzata chiusa
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Spezzata aperta
Spezzata
intrecciata
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
 ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano
da due semirette aventi l’origine in comune
Angolo
concavo
Angolo convesso
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi
lati
Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei
suoi lati
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Angoli particolari
 Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di
mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA.
In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il
prolungamento dell’altro ( 180 °)]
Angolo piatto
A
O
B
PIATTO:180°
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Angoli particolari
 Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno
ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un
angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)]
B
O
Angolo giro
A
GIRO: 360°
 Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione
iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si
dice che AÔB è un angolo nullo
B
A
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O
Angoli particolari
Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto
RETTO:90°
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Angoli particolari
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto
OTTUSO: > di 90°
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto
ACUTO: < di 90°
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Angoli particolari
 Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se
hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati
situati da parte opposta rispetto al lato comune
C
Lato comune
B
O
A
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Angoli particolari
 Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad
essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una
stessa retta
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Angoli particolari
 Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i
prolungamenti dell’altro
O
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 Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono
SUPPLEMENTARI
 Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono
COMPLEMENTARI
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 Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono
ESPLEMENTARI
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 Concetti o enti primitivi
Enti che non definiamo esplicitamente
 Assiomi o postulati
Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto
non dimostriamo
 Teoremi
I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le
proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema,
mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi
deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e
avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate,
vale a dire dei risultati di altri teoremi.
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