lezione 25

Sorgenti magnetiche
Sebbene non esistano né cariche né correnti magnetiche,
possiamo introdurre tali quantità come un espediente per
“simmetrizzare” le equazioni di Maxwell; concentriamoci su
quelle nel dominio dei fasori
  D  c
B  0
  E  - j B
  H  j D  J c
  D  c
  B  m
  E  -j B  J m
  H  j D  J c
Teorema di dualità
Si considerino le equazioni di Maxwell in presenza di sole
sorgenti elettriche

Effettuando le trasformazioni
  E   j H
  H  j E
  E  
  H  0

E  H' , H  E'
  , J  J m
  m
Si ottengono le equazioni di Maxwell in presenza di sole
sorgenti magnetiche
Nota una soluzione associata a
  H'  j E'
campi di tipo elettrico, si ottiene
  E'   j H'J m attraverso le trasformazioni, il campo
relativo alle sorgenti magnetiche (se
  E'  0
le condizioni al contorno sono
  H'   m
soddisfatte)
Condizioni al contorno
Possiamo immaginare che, se alla superficie di un
conduttore elettrico
nE  0

Dopo le trasformazioni
n  H' 0
un conduttore “magnetico” perfetto
Il dipolo magnetico
Torniamo per un attimo al dipolo elettrico; applichiamo
l’equazione di continuità della carica in forma integrale
I  jq

Moltiplicando per h (lunghezza del dipolo)
Ih  jqh  jp

Essendo p, da definizione, il momento di dipolo incontrato
in elettrostatica; quindi i campi del dipolo possono essere
riscritti in funzione di p effettuando la sostituzione
j p
I
h
Il dipolo magnetico
quindi si ottiene
jp
e  jkr
Er 
cos
4
r
 2

2


 r  j r 2 


jp
e  jkr 
1
 
E 
sin
j 
 
2

4
r 
r
j r
B
jp
e  jkr 
1
H 

sin
jk




4
r 
r
Il dipolo magnetico
Ora però nella magnetostatica, calcolandosi il campo
magnetico di una spira circolare, esso veniva duale al
campo elettrico di dipolo elettrico, quando si fosse definito
il momento di dipolo magnetico (A è l’area) pm  IA
Sfruttiamo quindi il teorema di
dualità per ricavare
immediatamente il capo irradiato da
una spira “piccola”, dipolo
magnetico elementare
Note relative alle notazioni da me usate in Fondamenti: in quel caso si era confrontato B con
E, invece che H con E, da cui la necessità ora di includere la permeabilità magnetica ;
Inoltre si era indicato anche con  il momento di dipolo magnetico per coerenza con il libro di
testo.
Il dipolo magnetico
jp
e  jkr
Er 
cos
4
r
 2
2 

 r  j r 2 


jp
e  jkr
E 
sin
4
r


 j  1   

j r 2 r 

jp
e  jkr 
1
H 
sin
 jk  
4
r 
r
E  H' , H  E'
  , J  J m
   m , p  pm
jpm
e  jkr
Hr 
cos
4
r
jpm
e  jkr
H 
sin
4
r
 2

2


 r  j r 2 




 j  1  1 

j r 2 r 

jpm
e  jkr 
1
E  
sin
jk



4
r 
r
Teorema di equivalenza
Conseguenza del teorema di unicità: assegnato il campo
elettrico tangenziale o il campo magnetico tangenziale sul
contorno, il campo è univocamente determinato dappertutto
possiamo quindi rimpiazzare la situazione
dove Es ed Hs sono i valori di E ed
H tangenti alla superficie,
dove il nuovo campo coincide con
quello precedente fuori del volume
V, ed è zero dentro;
J s  nˆ  H S
J ms   nˆ  E S
queste correnti “fittizie”
tengono conto della
discontinuità dei campi
tangenziali sulla
superficie
Teorema di equivalenza
Notate che la condizione di Sommerfield all’infinito è
soddisfatta, perché era soddisfatta dai campi originari
E’ possibile anche usare solo correnti elettriche o magnetiche
(del resto basta fissare E o H tangenti!); per esempio se
metallizziamo (conduttore elettrico), solo il campo elettrico
tangenziale può essere fissato con una corrente magnetica
(pari al “salto” tra il campo E che ci dovrebbe essere fuori e
zero che c’è dentro un conduttore ideale)
J ms
E1 , H1
Conduttore elettrico
ideale
V
S
Principio delle immagini
Un’altra conseguenza del teorema di unicità
Impiego: In molti casi si vuol derivare il campo irradiato da
un’antenna in presenza di oggetti metallici dalla conoscenza
del campo irradiato nello spazio libero
Soluzione: Sovrapporre alla sorgente originaria un’ulteriore
sorgente fittizia (sorgente immagine) tale che il campo elettrico
tangente si annulli sul conduttore ideale
J
J
J
J
J
J
J
J
J
Per sorgenti “magnetiche”, evidentemente
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Ancora potenziali...
Cosa succede ai potenziali nel dominio “duale”?
nel dominio duale è il campo ELETTRICO   H'  j E'
  E'   j H'J m
ad avere divergenza nulla, visto
l’introduzione della “carica magnetica”
  E'  0
quindi scriveremo
  H'   m
D    F
e di conseguenza
H   jF  f
essendo f un potenziale scalare, F un
potenziale vettoriale
Ancora potenziali...
Per i potenziali magnetici varranno quindi le espressioni “duali”
di quelle dei potenziali elettrici
  F  jf  0
 jk r  r '

e
F(r ) 
J m (r ' )
dV '

4 V '
r  r'
f (r ) 
1
e
 jk r  r '
m
dV '

4 V '
r  r'
Ancora potenziali...
In presenza di sorgenti sia elettriche che magnetiche, varrà la
sovrapposizione degli effetti, ed entrambi i potenziali saranno
necessari; basta sommare….
  A
1
E   jA      F 
 jA    F

j

1
  F
1
H   jF  f    A 
 jF    A

j

1
Funzioni dell’antenna

Fisicamente: trasformare elettroni
in fotoni, ovvero sorgenti in campi
Accelerazione di cariche dovuta ad un campo
esterno
 Decelerazione di cariche causata da una
discontinuità di impedenza, come una
improvvisa interruzione, una curvatura ecc
 Variazione temporale della corrente


Punto di vista alternativo: “adattare”
una linea di trasmissione allo spazio
libero
Tipi di antenna: filiformi
Tipi di antenna: ad apertura
Tipi di antenna: Planari (o “stampate”)
Tipi di antenna: Schiere
Tipi di antenna: a riflettore
E…senza
strafare, la
parabola di
casa
Parametri caratteristici: diagramma di
radiazione



Descrive la distribuzione angolare di campo o di
potenza su una sfera in campo lontano
E’ quantità normalizzata al valore max di campo
Conseguentemente non dipende da r: grafici in
coordinate (angolari) sferiche
E ( ,  )
 f ( ,  )ˆ  f ( ,  )ˆ
f ( ,  ) 
E ( 0 , 0 )
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Il diagramma di radiazione viene rappresentato in
diversi modi; uno è quello dei solidi di radiazione
r  f ( ,  )
r  f ( ,  )
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Spesso si usano solo delle sezioni del solido, e graficate in
coordinate polari o rettangolari: es piano =0
polare
rettangolare
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Oppure i diversi piani riportati in coordinate rettangolari (es.
schiera)
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Esempio: il dipolo Hertziano; in campo lontano il campo
 jkr
elettrico era
I0h
e
E  j
sin 
4
r

Il max è per /2 per cui calcolando il rapporto
f ( ,  ) 

E ( ,  )
E ( 0 , 0 )
 sinˆ
max
Il solito di rotazione per il campo è
r  f ( , )  sin

In potenza è semplicemente il quadrato
Parametri caratteristici: Direttività
Rapporto tra l’intensità di radiazione in una direzione e
l’intensità media

 ,  
g D  ,   
 AV

quindi
 ,    ,  4  ,  4r 2
1  ,  
g D  ,   



Wr
 AV
Wr
Wr r 2
r2
2
4

r
Densità di
potenza isotropa
P(r ,  ,  )
g D  ,   
Pis

Densità di
potenza in una
direzione
Spesso con “direttività” si
indica il valore nella direzione
di massimo
Parametri caratteristici: Guadagno


Parametro di sistema fondamentale: riassume sia quanto
efficientemente l’antenna irradia la potenza, che le
caratteristiche direttive
È il rapporto tra l’intensità di radiazione in una certa direzione
e l’intensità media che si avrebbe se tutta la potenza fornita
fosse irradiata
 ,  4
G
Win

Ovvero, confrontando con la direttività

Wr
G  g D  ,  
Win

Essendo Wr la potenza
irradiata e Win quella fornita
In assenza di perdite
guadagno e direttività
coincidono
Parametri caratteristici: Larghezza di banda


Intervallo di frequenze in cui uno o più parametri caratteristici
rispettano limiti prefissati
Questi possono essere impedenza di ingresso, diagramma di
radiazione, larghezza del lobo principale ecc.
Parametri caratteristici: Polarizzazione



Polarizzazione dell’antenna coincide con la polarizzazione del
campo irradiato
Il dipolo è per esempio a polarizzazione lineare
Una patch quadrata alimentata su uno
spigolo è un tipico esempio di antenna a
polarizzazione circolare
Parametri caratteristici: Efficienza di radiazione

Descrive quanto della potenza fornita si riesce ad irradiare,
ovvero:
Wr
er 
Win

Ricordando la relazione tra guadagno e direttività, essa può
essere riscritta
G  er D
Parametri caratteristici: impedenza di ingresso

In ricezione invece equivalente Thevenin
ZA
A
ZL
ZL
A’
V0
Parametri caratteristici: impedenza di ingresso
L’abbiamo già incontrata parlando del dipolo

Il sistema generatore+antenna in trasmissione ha quindi il
circuito equivalente

Zg
IA
Vg

VA
Vg
ZA
E la massima potenza irradiata è quindi
Wmax 
Vg
2
8R A
Regioni di campo

Campo vicino reattivo: fino a circa R=
0.62 D 3 


Nel caso del dipolo è circa /6
Campo vicino radiativo (o regione di
Fresnel): regione intermedia in cui
esiste ancora una componente
radiale e il campo dipende da r; non
esiste in radiatori piccoli
Campo lontano (o regione di Fraunhofer): domina 1/r,
componenti lungo r trascurabili; limite a circa
r  2D 
2
Teorema di reciprocità




Potentissimo teorema, conseguenza diretta delle
equazioni di Maxwell per mezzi isotropi, lineari e passivi
nel suo senso più semplice, un teorema di reciprocità
stabilisce che la risposta di un sistema ad una sorgente
non cambia se si scambiano sorgente e misuratore della
risposta
In senso più generale, i teoremi di reciprocità pongono in
relazione una risposta ad una sorgente -risposta dovuta
ad una seconda sorgente- con la risposta alla seconda
sorgente, dovuta alla prima…
Il teorema di reciprocità per le equazioni di Maxwell è
molto fecondo: è alla base del Metodo dei Momenti
(Harrington), alle proprietà di ortornormalità dei modi di
una guida ecc.
Teorema di reciprocità



Quanto detto ovviamente non vale solo per le antenne ( e di fatto
si estende senza grosse difficoltà ad ogni tipo di antenna) e
dimostra che ogni rete cistruita da materia isotropa e lineare ha
matrice di impedenza simmetrica
L’implicazione più importante per le antenne è che i diagrammi
di radiazione in ricezione o trasmissione sono identici. In pratica
il comportamento in trasmissione ed in ricezione sono
indistinguibili
Per dimostrare quest’ultima affermazione dobbiamo prima
riconsiderare il diagramma di radiazione: esso può anche
essere definito come la tensione (funzione angolare,
ovviamente) ai capi dei terminali dell’antenna dovuta ad
un’onda piana che incide su di essa
Altezza efficace
In zona lontana sappiamo che il campo decresce come 1/r

Se nell’antenna è possibile individuare facilmente dei
morsetti ai quali si possa misurare una corrente di
riferimento Io (come nelle antenne filiformi), si può porre
jk 
e  jkr
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )
4
r



E la funzione vettoriale h (dimensionalmente una
lunghezza) prende il nome di altezza efficace
Per il dipolo elementare o Hertziano, essendo
h  hsinu
jk 
e  jkr
L’altezza
efficace
sarà:
E
Ihsin
u
4
r
La caratteristica o l’altezza efficace descrivono
totalmente l’andamento angolare del campo irradiato
Altezza efficace in ricezione
Consideriamo un’antenna filiforme su cui incida
perpendicolarmente un’onda piana, con il campo
elettrico polarizzato lungo l’asse del filo
La tensione indotta nel gap dipende dal
campo elettrico incidente ed è
certamente proporzionale, così si può
porre
V  hE
Ei
Hi
V
i

h è l’altezza efficace in ricezione
Più in generale, se il campo incide con un angolo 
diverso da 90° e con polarizzazione arbitraria, sarà utile
definire
V  h  Ei
Il teorema di reciprocità consente di dimostrare che l’altezza
efficace in ricezione è uguale a quella precedentemente
introdotta (in trasmissione)
Altezza efficace
Noto il campo elettrico incidente sull’antenna, l’altezza
efficace consente il calcolo della tensione ai capi del
carico: infatti varrà il circuito equivalente Thevenin
Zg
ZL
ZL
h  Ei
L’altezza efficace è poi facilmente legata alla direttività: infatti
P(r ,  ,  )
g D  ,   
 lim
r 
Pis
2
E / 2
1
4r 2
2
 ds E ds / 2
S

h
1
4r 2
2
2
 ds h ds
S
Fattore di Antenna (AF)
Simile all’altezza efficace, ma consente il calcolo diretto
della tensione indotta ai capi del carico, supposto noto
(solitamente 50W. Quindi non si misura ora la tensione a
vuoto, ma quella con l’antenna chiusa sul carico
VL  h  Ei
Area efficace
Quando l’individuazione di una corrente di riferimento
non è semplice o è artificiosa (come nelle antenne ad
apertura) si preferisce far riferimento alle potenze
Si introduce allora una quantità che lega la densità di potenza
incidente Si sull’antenna con la potenza disponibile sul carico
(condizione di massimo adattamento) PL: l’area efficace A tale
che
P  AS
L
i
Ora vale per la densità di potenza incidente
2
Si  Ei / 2
Mentre per la massima potenza consegnata al carico
2
2
PL  V / 8Ri  Ei  h / 8Ri
2
2
2
Quindi  E  h 2  h E i  h
h
i

A


2
2
2
4 Ri
E i 4 Ri E i h 4 Ri
Essendo Ri la parte reale
dell’impedenza di ingresso
dell’antenna
Area efficace
A
h
dove abbiamo definito
2
4 Ri


Ei  h
2
Ei h
2
2
Fattore di depolarizzazione
o efficienza di polarizzazione, che varia tra 0 ed 1
Si noti però che così l’area efficace dipende non solo dalle
caratteristiche dell’antenna, ma anche dalla polarizzazione del
campo incidente
Si è soliti quindi adottare come definizione il caso di efficienza
1 (in pratica massimo trasferimento di potenza e massima
efficienza di polarizzazione)
In tal modo la potenza ceduta ad un carico adattato risulta
PL  Si A
Relazione tra Area Efficace e
Guadagno
Il guadagno abbiamo visto è il rapporto tra la densità di potenza
irradiata in una direzione e la densità di potenza che irradierebbe
se fosse isotropica e senza perdite
Er , ,   / 2
4r Er ,  ,  
G ,   

2
1
2
2
Ri I
Ri I / 4r
2
2
2
2
ma sappiamo che il campo è legato all’altezza efficace da
jk 
e  jkr
per cui il guadagno diventa
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )
4
r

2
G  ,   
h ,  
2
Ri 
Relazione tra Area Efficace e Guadagno

2
G  ,   
h ,  
2
Ri 
ricordando la relazione tra area ed altezza efficace
A
h
2
4 Ri
si ottiene l’importantissima relazione
G ,   4
 2
A ,   
Implicazioni: Il collegamento radio
Problema fondamentale: calcolo della potenza ricevuta Pr
dall’antenna ricevente quando sia nota la potenza trasmessa
dalla trasmittente Pt
Soluzione: formula del collegamento
 r , r
 t , t
Antenna ricevente
Antenna trasmittente
Sia il guadagno dell’antenna trasmittente all’angolo con cui vede
l’antenna ricevente
G  ,
t

t
t

La densità di potenza che incide sull’antenna ricevente è quindi
S
Pt
4r
2
Gt  t , t 
Implicazioni: Il collegamento radio
Sia l’area efficace dell’antenna ricevente all’angolo con cui vede
l’antenna trasmittente A  , 
r

r
r

La potenza trasferita ad un carico adattato (in adattamento di
polarizzazione) sarà
2
 

Pr 
GA
 Gt Gr
2 t r  Pt 
4r
 4r 
Pt
Nel caso più generale in cui il collegamento non sia nello spazio
libero, di introduce un fattore di attenuazione F
2
  
2
Pr  Pt 
 Gt Gr F
 4r 