Lezione 2

Sorgenti magnetiche
Sebbene non esistano né cariche né correnti magnetiche,
possiamo introdurre tali quantità come un espediente per
“simmetrizzare” le equazioni di Maxwell; concentriamoci su
quelle nel dominio dei fasori
  D  c
B  0
  E  - j B
  H  j D  J c
  D  c
  B  m
  E  -j B  J m
  H  j D  J c
Teorema di dualità
Si considerino le equazioni di Maxwell in presenza di sole
sorgenti elettriche

Effettuando le trasformazioni
  E   j H
  H  j E
  E  
  H  0

E  H' , H  E'
  , J  J m
  m
Si ottengono le equazioni di Maxwell in presenza di sole
sorgenti magnetiche
Nota una soluzione associata a
  H'  j E'
campi di tipo elettrico, si ottiene
  E'   j H'J m attraverso le trasformazioni, il campo
relativo alle sorgenti magnetiche (se
  E'  0
le condizioni al contorno sono
  H'   m
soddisfatte)
Condizioni al contorno
Possiamo immaginare che, se alla superficie di un
conduttore elettrico
nE  0

Dopo le trasformazioni
n  H' 0
un conduttore “magnetico” perfetto
Il dipolo magnetico
Torniamo per un attimo al dipolo elettrico; applichiamo
l’equazione di continuità della carica in forma integrale
I  jq

Moltiplicando per h (lunghezza del dipolo)
Ih  jqh  jp

Essendo p, da definizione, il momento di dipolo incontrato
in elettrostatica; quindi i campi del dipolo possono essere
riscritti in funzione di p effettuando la sostituzione
j p
I
h
Il dipolo magnetico
quindi si ottiene
jp
e  jkr
Er 
cos
4
r
 2

2


 r  j r 2 


jp
e  jkr 
1
 
E 
sin
j 
 
2

4
r 
r
j r
B
jp
e  jkr 
1
H 

sin
jk




4
r 
r
Il dipolo magnetico
Ora però nella magnetostatica, calcolandosi il campo
magnetico di una spira circolare, esso veniva duale al
campo elettrico di dipolo elettrico, quando si fosse definito
il momento di dipolo magnetico (A è l’area) pm  IA
Sfruttiamo quindi il teorema di
dualità per ricavare
immediatamente il capo irradiato da
una spira “piccola”, dipolo
magnetico elementare
Note relative alle notazioni da me usate in Fondamenti: in quel caso si era confrontato B con
E, invece che H con E, da cui la necessità ora di includere la permeabilità magnetica ;
Inoltre si era indicato anche con  il momento di dipolo magnetico per coerenza con il libro di
testo.
Il dipolo magnetico
jp
e  jkr
Er 
cos
4
r
 2
2 

 r  j r 2 


jp
e  jkr
E 
sin
4
r


 j  1   

j r 2 r 

jp
e  jkr 
1
H 
sin
 jk  
4
r 
r
E  H' , H  E'
  , J  J m
   m , p  pm
jpm
e  jkr
Hr 
cos
4
r
jpm
e  jkr
H 
sin
4
r
 2

2


 r  j r 2 




 j  1  1 

j r 2 r 

jpm
e  jkr 
1
E  
sin
jk



4
r 
r
Teorema di equivalenza
Conseguenza del teorema di unicità: assegnato il campo
elettrico tangenziale o il campo magnetico tangenziale sul
contorno, il campo è univocamente determinato dappertutto
possiamo quindi rimpiazzare la situazione
dove Es ed Hs sono i valori di E ed
H tangenti alla superficie, con
dove il nuovo campo coincide con
quello precedente fuori del volume
V, ed è zero dentro; con
J s  nˆ  H S
J ms   nˆ  E S
queste correnti “fittizie”
tengono conto della
discontinuità dei campi
tangenziali sulla
superficie
Teorema di equivalenza
Notate che la condizione di Sommerfield all’infinito è
soddisfatta, perché era soddisfatta dai campi originari
E’ possibile anche usare solo correnti elettriche o magnetiche
(del resto basta fissare E o H tangenti!); per esempio se
metallizziamo (conduttore elettrico), solo il campo elettrico
tangenziale può essere fissato con una corrente magnetica
(pari al “salto” tra il campo E che ci dovrebbe essere fuori e
zero che c’è dentro un conduttore ideale)
J ms
E1 , H1
Conduttore elettrico
ideale
V
S
Principio delle immagini
Un’altra conseguenza del teorema di unicità
Impiego: In molti casi si vuol derivare il campo irradiato da
un’antenna in presenza di oggetti metallici dalla conoscenza
del campo irradiato nello spazio libero
Soluzione: Sovrapporre alla sorgente originaria un’ulteriore
sorgente fittizia (sorgente immagine) tale che il campo elettrico
tangente si annulli sul conduttore ideale
J
J
J
J
J
J
J
J
J
Per sorgenti “magnetiche”, evidentemente
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
Ancora potenziali...
Cosa succede ai potenziali nel dominio “duale”?
nel dominio duale è il campo ELETTRICO   H'  j E'
  E'   j H'J m
ad avere divergenza nulla, visto
l’introduzione della “carica magnetica”
  E'  0
quindi scriveremo
  H'   m
D    F
e di conseguenza
H   jF  f
essendo f un potenziale scalare, F un
potenziale vettoriale
Ancora potenziali...
Per i potenziali magnetici varranno quindi le espressioni “duali”
di quelle dei potenziali elettrici
  F  jF  0
 jk r  r '

e
F(r ) 
J m (r ' )
dV '

4 V '
r  r'
f (r ) 
1
e
 jk r  r '
m
dV '

4 V '
r  r'
Ancora potenziali...
In presenza di sorgenti sia elettriche che magnetiche, varrà la
sovrapposizione degli effetti, ed entrambi i potenziali saranno
necessari; basta sommare….
  A
1
E   jA      F 
 jA    F

j

1
  F
1
H   jF  f    A 
 jF    A

j

1
Funzioni dell’antenna

Fisicamente: trasformare elettroni
in fotoni, ovvero sorgenti in campi
Accelerazione di cariche dovuta ad un campo
esterno
 Decelerazione di cariche causata da una
discontinuità di impedenza, come una
improvvisa interruzione, una curvatura ecc
 Variazione temporale della corrente


Punto di vista alternativo: “adattare”
una linea di trasmissione allo spazio
libero
Tipi di antenna: filiformi
Tipi di antenna: ad apertura
Tipi di antenna: Planari (o “stampate”)
Tipi di antenna: Schiere
Tipi di antenna: a riflettore
E…senza
strafare, la
parabola di
casa
Parametri caratteristici: diagramma di
radiazione



Descrive la distribuzione angolare di campo o di
potenza su una sfera in campo lontano
E’ quantità normalizzata al valore max di campo
Conseguentemente non dipende da r: grafici in
coordinate (angolari) sferiche
E ( ,  )
 f ( ,  )ˆ  f ( ,  )ˆ
f ( ,  ) 
E ( 0 , 0 )
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Il diagramma di radiazione viene rappresentato in
diversi modi; uno è quello dei solidi di radiazione
r  f ( ,  )
r  f ( ,  )
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Spesso si usano solo delle sezioni del solido, e graficate in
coordinate polari o rettangolari: es piano =0
polare
rettangolare
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Oppure i diversi piani riportati in coordinate rettangolari (es.
schiera)
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Esempio: il dipolo Hertziano; in campo lontano il campo
 jkr
elettrico era
I0h
e
E  j
sin 
4
r

Il max è per /2 per cui calcolando il rapporto
f ( ,  ) 

E ( ,  )
E ( 0 , 0 )
 sinˆ
max
Il solito di rotazione per il campo è
r  f ( , )  sin

In potenza è semplicemente il quadrato
Parametri caratteristici: diagramma di radiazione


Per i diagrammi bidimensionali si scelgono spesso i piani che
contengono il campo elettrico (piano E) o il campo magnetico
(piano H)
Es. per il dipolo
Diagramma piano H
Diagramma piano E
Parametri caratteristici: Densità di potenza irradiata

Si definisce sul solo campo lontano (essendo solo questo a
contribuire alla potenza irradiata) per cui il vettore di Poynting
(che fornisce la densità puntualmente) diventa semplicemente


1
E ( r ,  ,  )
*
1
P  Re E r , ,   H r , ,   
2
2


2
W / m 
2
Volendo calcolare la potenza totale irradiata, basta integrare
su di una superficie chiusa
Wr   P  dS
S
W 
Parametri caratteristici: Intensità di radiazione
Potenza irradiata dall’antenna per unità di angolo solido in una
certa direzione.

Se quindi calcoliamo la potenza che attraversa un elemento di
calotta sferica dS

dWr ( , )  Pr, , dS  Pr, , r d
2

L’intensità di radiazione sarà
dWr ( ,  )
 ( ,  ) 
 r 2 P(r , ,  )
d
W 
Parametri caratteristici: Intensità di radiazione
Se teniamo conto delle proprietà del campo lontano:
2
2



2
E  ( ,  ) 
E  ( ,  )
2
1
r

( ,  )  r 2
E (r , ,  



2
2
2 
r
r2



2

2
1  



E
(

,

)

E
(

,

)


2  


L’intensità di radiazione media si ottiene integrando su tutto
l’angolo solido e dividendo per esso
 AV
Wr

4
Parametri caratteristici: Direttività
Rapporto tra l’intensità di radiazione in una direzione e
l’intensità media

 ,  
g D  ,   
 AV

quindi
 ,    ,  4  ,  4r 2
1  ,  
g D  ,   



Wr
 AV
Wr
Wr r 2
r2
2
4

r
Densità di
potenza isotropa
P(r ,  ,  )
g D  ,   
Pis

Densità di
potenza in una
direzione
Spesso con “direttività” si
indica il valore nella direzione
di massimo
Parametri caratteristici: Guadagno


Parametro di sistema fondamentale: riassume sia quanto
efficientemente l’antenna irradia la potenza, che le
caratteristiche direttive
È il rapporto tra l’intensità di radiazione in una certa direzione
è l’intensità media che si avrebbe se tutta la potenza fornita
fosse irradiata
 ,  4
G
Win

Ovvero, confrontando con la direttività

Wr
G  g D  ,  
Win

Essendo Wr la potenza
irradiata e Win quella fornita
In assenza di perdite
guadagno e direttività
coincidono
Parametri caratteristici: Larghezza di banda


Intervallo di frequenze in cui uno o più parametri caratteristici
rispettano limiti prefissati
Questi possono essere impedenza di ingresso, diagramma di
radiazione, larghezza del lobo principale ecc.
Parametri caratteristici: Polarizzazione



Polarizzazione dell’antenna coincide con la polarizzazione del
campo irradiato
Il dipolo è per esempio a polarizzazione lineare
Una patch quadrata alimentata su uno
spigolo è un tipico esempio di antenna a
polarizzazione circolare
Parametri caratteristici: Efficienza di radiazione

Descrive quanto della potenza fornita si riesce ad irradiare,
ovvero:
Wr
er 
Win

Ricordando la relazione tra guadagno e direttività, essa può
essere riscritta
G  er D