CALCOLO LETTERALE I MONOMI

CALCOLO LETTERALE
I MONOMI
SISSIS VIII CICLO – CLASSE 59/A
DOCENTE: PROF. LIZZIO
DISCIPLINA: LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA
SPECIALIZZANDO:
dott.ssa DANIELA EUGENIA GRASSO
TEMI TRATTATI
Unità didattica (seguendo le modalità di
progettazione didattica inserita nelle Indicazioni
Nazionali della Riforma n.53/2003 e D.Lgs.
n.59/2004) e traccia didattica (modalità di
svolgimento degli argomenti scelta
dall’insegnante);
Confronto fra testi per scuola
secondaria di 1^ grado;
Critica sull’argomento.
UNITA’ DIDATTICA
ANNO: III
PREREQUISITI:
•
possedere il concetto di numero relativo;
•
capacità di operare con i numeri relativi;
•
Capacità di operare con le potenze;
OBIETTIVI FORMATIVI:
•
Acquisire il concetto di monomio;
•
Acquisire la capacità di operare con i
monomi;
ABILITA’:
•
Saper tradurre in un’espressione letterale
una informazione;
•
Saper calcolare il valore numerico di una
espressione letterale;
•
Saper utilizzare le regole di calcolo con i
monomi;
INTERDISCIPLINARIETA’:
•
Scienza greca (600 a.C. – 150 a.C.);
•
Fisica;
CONTENUTI:
•
Uso delle lettere per indicare numeri;
•
Espressioni algebriche letterali;
•
Concetto di monomio;
•
Le operazioni con i monomi;
METODOLOGIE:
•
“costruzione” del concetto di calcolo letterale
attraverso esperienze pratiche;
•
Lezione frontale partecipata;
•
Esercitazioni di gruppo;
ATTIVITA’E VERIFICHE:
•
Esperienze pratiche attraverso oggetti
comuni;
•
Prove oggettive (esercizi guidati; V/F;
esercizi di recupero; verifica delle
conoscenze; padronanza dei contenuti;
esercizi di autovalutazione)
ELEMENTI RIFERITI AL PECUP:
•
Rappresentare con lettere le principali
proprietà delle operazioni;
Confronto tra testi della Petrini editore
 Mariscotti M. (1980) – Educazione matematica.
Introduzione al calcolo letterale. Lettura, scrittura,
uso e trasformazione di formule.
Uso delle lettere per indicare i numeri.
Espressioni algebriche letterali.
Formule e il loro uso.
Trasformazioni di formule.
Scheda storica complementare: il calcolo
letterale.
Monomi ed operazioni su di essi.
Monomi.
Osservazioni sui monomi.
Monomio nullo, monomio unità.
Grado di un monomio.
Monomi simili.
Addizione di monomi.
Riduzione dei termini simili.
Sottrazione fra due monomi.
Moltiplicazione di monomi.
Elevazione a potenza di un monomio.
Quoziente fra due monomi.
 Lepora M. (1996) – Algebra.
UdA: Calcolo letterale
Lettere al posto dei numeri.
Monomi.
Operazioni con i monomi: addizione,
moltiplicazione, divisione, elevamento a
potenza.
 Mariscotti M. (2006) – Matematica Oggi.
UdA: Calcolo letterale. Equazioni e
disequazioni.
Monomi.
Uso delle lettere al posto dei numeri.
Espressioni algebriche letterali.
Osservazioni sulle espressioni letterali.
I monomi.
Monomi simili.
Addizione tra monomi.
Sottrazione fra due monomi.
Moltiplicazione di monomi.
Elevamento a potenza di un monomio.
Quoziente tra due monomi.
Un po’ di storia: il calcolo letterale.
Test iniziale – verifica di
consolidamento
Sottoporre gli alunni ad un test
per valutare il possesso dei
prerequisiti richiesti.
Si tratterà di esercizi
riguardanti le operazioni con
i numeri relativi e le
operazioni di potenze.
OSSERVAZIONI
Tali prerequisiti rappresentano
la base su cui impiantare il
nuovo argomento.
Il calcolo letterale rappresenta
per gli alunni un nuovo modo
di “fare matematica”,
anche se spesso l’argomento
in oggetto è trattato in
modo troppo nozionistico. Il
risultato è un gap che
l’alunno mentalmente crea
tra l’aritmetica sensu
strictu e l’algebra.
Perché il calcolo letterale…

Guardati intorno e descrivi il numero di cio' che vedi:
1 computer
1 schermo
2 sedie
3 penne
12 libri
In pratica quando parliamo di numeri nel mondo reale abbiamo sempre a che fare con i numeri con
“appiccicata un'etichetta”: il fatto di essere libri o penne.
Non esistono numeri senza una qualità; se diciamo 2 non ha significato mentre se dici 2 sedie, 2
mele e così via ha significato.
Allora noi dobbiamo studiare le proprietà dei numeri che hanno un'etichetta:
come si comportano 2 mele oppure 2 sedie rispetto alle operazioni?

Senza scomodare mele o sedie semplificheremo chiamando i numeri con relative proprietà 2a
oppure 2b (utilizzando il minor numero possibile di lettere dell'alfabeto).
Il calcolo letterale: un esempio …
Il calcolo letterale si occupa del calcolo relativo alle espressioni letterali. Illustriamo tale concetto
con un semplice esempio:
Indichiamo con a il notes, con b la matita e con c la penna e vogliamo eseguire la seguente
addizione per saper quanti oggetti di ciascuna specie abbiamo:
3 l + 5 b + 2 c + 7l + 3 b + 4 c
È chiaro che possiamo addizionare fra loro soltanto gli oggetti di ciascuna specie. Applicando prima la
proprietà commutativa e poi quella associativa, abbiamo:
3 l + 5 b + 2 c + 7l + 3 b + 4 c = 3 l + 7l + 3 b + 5 b + 2 c + 4 c =
(3 l + 7l ) + (3 b + 5 b ) + (2 c + 4 c ) = 10l + 8 b + 6 c
Cioè abbiamo in tutto 10 notes, 8 matite, 6 penne.
Uso delle lettere per indicare i numeri:
introduzione alle espressioni letterali
Nello studio della matematica sovente si utilizzano le lettere dell’alfabeto per rappresentare numeri:
a + b ………….. rappresenta la somma di a e b
a + b = b + a………….. rappresenta la proprietà commutativa dell’addizione
In geometria si usano lettere per indicare le formule ( “si dice formula una uguaglianza che esprime
una regola di calcolo od una proprietà”; Mariscotti, 1980) per calcolare aree e volumi, nelle
scienze in genere e nella matematica finanziaria per rappresentare leggi:
A = b*h
S = vt
I = Crt / 100
Possiamo concludere che si possono usare le lettere per indicare relazioni di carattere
generale che sono valide qualunque sia il valore numerico che si attribuisce alle lettere
stesse.
L’uso delle lettere per rappresentare i numeri consente di scrivere in modo conciso proposizioni che
potrebbero essere lunghe e laboriose, ad esempio:
3a +2 ∕ 5 b + 2c
Indica l’addizione del triplo del numero a, di 2 ∕ 5 del numero b e del doppio del numero c.
“Si dice espressione letterale algebrica un insieme di numeri, rappresentati tutti o in parte da
lettere, legati fra loro da segni di operazioni” (Mariscotti, 1980; 2006).
“Si dice espressione letterale una sequenza di operazioni i cui termini sono tutti o in parte
rappresentati da lettere” (Lepora, 1996).
Se ad ognuna delle lettere che compaiono in una espressione letterale assegniamo un particolare
valore numerico, otteniamo un’espressione numerica di cui possiamo calcolare il valore.
“Calcolare il valore di un’espressione letterale per determinati valori attribuiti alle lettere che in
essa figurano, significa sostituire a ciascuna lettera il corrispondente numero assegnato e
calcolare il valore dell’espressione numerica così ottenuta” (Mariscotti, 2006).
esempio:
3a2 - 2ab2 + b2,
per a = -3,
b = -2
Sostituiamo alle lettere i valori assegnati e otteniamo:
3a2 - 2ab2 + b2 = 3 (-3) 2 – 2 (-3) (-2)2 + (-2) 2 = 3 * 9 – 2 (-3) * 4 + 4 = 27 + 24 +4 =55
A questo punto si procederà con gli esercizi che avranno lo scopo di verificare lo stato
d’apprendimento e rinsaldare le conoscenze pregresse. A tal proposito sarà utile inserire tra gli
esercizi proposti, anche dei casi in cui la soluzione è impossibile o indeterminata.
“Affinchè un’espressione letterale non perda di significato non si possono attribuire alle lettere
valori che rendono uguali a zero eventuali denominatori, perché non ha senso dividere per
zero.
“…Non si possono attribuire valori alle lettere che rendono negative espressioni sotto il segno
di radice quadrata, perché non esiste la radice quadrata di un numero negativo
nell’insieme R dei numeri reali.” (Mariscotti, 1980; 2006)
da Mariscotti (2006):
I segni che precedono le lettere…
Se la lettera a rappresenta il numero +5 risulta:
+a = + (+5) = +5
-a = - (+5) = -5
Se la lettera a rappresenta il numero -5 risulta:
+a = + (-5) = -5
-a = - (-5) = +5
Possiamo concludere che:
Scrivendo +a intendiamo considerare con il proprio segno il
numero relativo rappresentato da a.
Scrivendo -a intendiamo considerare con il segno cambiato
il numero rappresentato da a.
I MONOMI: cosa sono?
 Supponiamo di avere 2 mele ; cosa significa?
che abbiamo un numero (2) seguito dalla
proprietà di essere mele; ecco questo e' un
monomio, cioè intuitivamente un monomio e' un
numero seguito da una “proprietà”.
 In greco MONOS significa uno solo cioè noi
consideriamo più cose come un tutto unico:
2a²b
nb: il linguaggio utilizzato non è rigoroso ovvero non si tratta di una definizione in linguaggio
matematico, ma rappresenta un possibile approccio da utilizzare con gli alunni per introdurre
l’argomento dei monomi utilizzando il linguaggio naturale, per poi trattare l’argomento con il
rigoroso ed inequivocabile linguaggio matematico.
I MONOMI: definizione
“si dice monomio ogni espressione algebrica,
numerica o letterale, che non contiene le
operazioni di addizione e sottrazione” (Mariscotti,
1980; 2006).
“si dice monomio ogni espressione letterale che
non contiene addizioni algebriche” (Lepora, 1996).
“Un insieme di numeri e lettere in cui non
compaiono operazioni di addizione e sottrazione
ma solamente di moltiplicazione e divisione”
(http://www.ripmat.it/mate/a/ab/ab0.html).
 Nel monomio si distinguono 3 parti:
-3a2b3
il segno -
il numero 3
le lettere a2b3
Intuitivamente possiamo dire che:
 sui segni si devono usare le regole studiate nei numeri interi relativi;
 sui numeri si devono usare le regole dei numeri razionali;
 sulle lettere si devono usare le regole delle potenze;
Esempi di monomi:
-3a e' un monomio
7ab e' un monomio
¾a³bc² e' un monomio
¼ - a non e' un monomio
Il fattore numerico si dice coefficiente del
monomio e il prodotto dei fattori letterali si dice
parte letterale del monomio.
ESEMPIO:
3a2bc
coefficiente 3
parte letterale a2bc
“Un monomio si dice intero se in esso non
compaiono lettere (con esponente intero
positivo) come divisori; in caso contrario si
chiama frazionario o fratto.”
ESEMPIO MONOMI INTERI:
3a2bc
4/5 x3yz2
ESEMPIO MONOMI FRAZIONARI:
-3ab-2 = -3a/b2
-xy2z3
 Se in un monomio figurano più fattori numerici o più volte
la stessa lettera, la scrittura si semplifica.
 ESEMPIO:
-5a3bc · (-2a2b3c2d2) = -5 · (-2) a3a2bb3cc2d2 = 10a5b4c3d2
“Un monomio si dice ridotto a forma normale se
contiene un solo fattore numerico, scritto al primo
posto, e potenze letterali di basi tutte diverse tra
loro” (Mariscotti, 2006).
“Si dice monomio nullo un monomio che ha per
coefficiente zero: 0ab, 0x3y2z, 0b” (Mariscotti, 1980).
“Si dice monomio unità un monomio costituito dalla
sola unità (positiva). Sono monomi unità: a0b0c0, (-1)2
a0b0c0.” (Mariscotti, 1980).
Grado di un monomio
 “Si dice grado di un monomio rispetto a una
lettera l’esponente con cui la lettera compare nel
monomio”.
 “Si dice grado complessivo del monomio, la
somma degli esponenti delle sue lettere”
(Mariscotti, 2006).
 Proviamo a scrivere 2 case e
Ad esempio:
2abc ha grado3 mentre
2a³b²c ha grado 6 in totale perchè
a³=aaa e' formato da tre lettere
b²=bb e' formato da due lettere
mentre c e' una lettera sola
Quindi il monomio ha
grado 3 rispetto alla lettera a
grado 2 rispetto alla lettera b
grado 1 rispetto alla lettera c
in totale rispetto a tutte le lettere
ha grado 6
poi scriviamo 2 casse sono due
cose diverse, perchè?
evidentemente perchè i numeri
due si riferiscono ad oggetti
diversi, ma perchè sono diversi?
perchè nel primo oggetto c'e'
una lettera s in meno e nel
secondo c'e' una lettera s in piu'
quindi e' importante contare
quante lettere fanno parte del
monomio perchè quantità
diverse di lettere rappresentano
cose diverse
 cioe' ab² e' diverso da a²b.
Monomi simili
 “Due o più monomi si dicono simili se hanno la
stessa parte letterale, cioè se essa è formata
dalle stesse lettere rispettivamente con gli stessi
esponenti.” (Mariscotti, 1980; 2006).
 “Due monomi si dicono simili se hanno la
stessa parte letterale”. (Lepora, 1996).
 “Due monomi si dicono opposti se sono simili e
hanno per coefficienti due numeri opposti.”
(Mariscotti, 1980, 2006; Lepora, 1996).
 “Due monomi si dicono uguali se sono simili e
hanno un coefficiente uguale.” (Mariscotti, 1980;
2006)
Monomi simili
ESEMPI MONOMI SIMILI:
2a³b²c
-2/5a³b²c
3/4a³b²c
ESEMPI MONOMI OPPOSTI:
2a³b²c e -2a³b²c
-2/5a³b²c e 2/5a³b²c
3/4a³b²c e -3/4a³b²c
ESEMPI MONOMI UGUALI:
2a³b²c e 2a³b²c
2/5a³b²c e 2/5a³b²c
3/4a³b²c e 3/4a³b²c
OSSERVAZIONI
I testi per il III anno della scuola secondaria di primo grado,
sia i più superati che i più recenti consultati, non inseriscono
durante questa prima parte dell’argomento molti esercizi di
verifica, anche se, a parere della scrivente, questi sono
necessari affinché l’alunno non abbia in seguito problemi
affrontando esercizi su espressioni letterali sempre più
complesse.
Esercizio 1 – verifica d’apprendimento
e dell’uso del linguaggio
obiettivi: raggiungere un buon
livello dell’uso del linguaggio,
saper distinguere le parti che
compongono un monomio e un
monomio opposto da uno uguale.
difficoltà incontrate: entrare
nell’ottica di ragionare non solo
con i numeri ma anche con le
lettere e rispettare allo stesso
modo le regole che valgono per i
numeri relativi (Z) e per le
potenze.
Addizione tra due monomi
Per capire le regole che guidano la somma fra monomi si pensi al
seguente esempio:
2 mele + 3 banchi = (2 mele + 3 banchi)
2 mele + 3 mele = 5 mele
si possono sommare fra loro degli oggetti solamente se sono dello
stesso tipo, cioè se dopo il numero hai le stesse lettere.
“ La somma di due o più monomi simili è il monomio simile a quelli
dati, avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti”
(Mariscotti, 1980, 2006). Lepora (1996) aggiunge alla definizione di cui
sopra: “La somma algebrica di monomi non simili può solo
essere indicata, scrivendo i monomi uno di seguito all’altro,
ciascuno con il proprio segno”.
ESEMPIO:
5X2 + 6X2 – 9X2 = (5 + 6 – 9)X2 = 2X2
1/3ax2 + 3x + 12ax – 2ax2 + 5 = (1/3 – 2) ax2 + 3x + 12ax +5 =
1 – 6/3 ax2 + 3x + 12ax + 5
La somma di due monomi opposti è uguale a zero:
-2/5a³b²c + 2/5a³b²c = 0
Sottrazione tra due monomi
 PER LA DIFFERENZA LE REGOLE SONO LE STESSE CHE PER LA SOMMA
INFATTI BASTERA' SOTTRARRE INVECE DI SOMMARE, QUINDI
 5a³b²-2a³b²=3a³b²
 mentre
 5a³b²-2a²b²
 resta così perchè i monomi non hanno la stessa parte letterale (le lettere sono le
stesse ma non sono uguali le potenze)
 QUINDI D'ORA IN
AVANTI QUANDO
PARLEREMO DI
SOMMA SI
INTENDERA' LA
SOMMA ALGEBRICA,
 Applicheremo cioè le
regole valide per la
sottrazione dei numeri
relativi. Anche le
denominazioni di
minuendo, sottraendo
e differenza restano
immutate.
Moltiplicazione di monomi
 Per indicare la moltiplicazione di due monomi, ad esempio: -3ab e -5bc
Possiamo ricorrere a una delle seguenti scritture:
(-3ab) · (-5bc);
(-3ab) (-5bc);
-3ab · (-5bc);
-3ab · (-5bc)
Dati i due monomi:
3a3b2
e
2a2bc
Il prodotto (+ 3a3b2) · ( - 2a2bc) gode delle proprietà:
Dissociativa = 3 · a3 · b2 ·(-2) · a2 · b · c
Commutativa = 3 · (-2) · a3 · a2 · b2 · b · c
Associativa = [3 · (-2) ] · (a3 · a2) · (b2 · b) · c = -6 a5b3c
“Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei
coefficienti dei monomi dati e la cui parte letterale è formata da tutte le lettere che figurano
nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta con esponente uguale alla somma degli
esponenti che essa ha nei monomi”
ESEMPIO:
-3ab · (-6ax2) = 18 a2bx2
9a3 · 3a2b · (1/5 ax2) = -27/5 a6bx2
Il prodotto di monomi ha per grado la somma dei gradi dei singoli monomi fattori.
Elevamento a potenza di un monomio
 La potenza di un monomio è il prodotto di più fattori
uguali a quel monomio.
Ad esempio: (-2a4b3c2)3 = (-2a4b3c2) · (-2a4b3c2) · (-2a4b3c2) = - 8 a12b9c6
(abc)m = am · bm · cm
(ab)c = a b·c
“La potenza di un
monomio si ottiene
elevando a potenza
sia il coefficiente
sia ciascuna lettera
della parte letterale”
(Lepora, 1996).
Quoziente fra due monomi
 Consideriamo una divisione fra due monomi interi: 15a5b3x : 3a3by
Il quoziente si può scrivere sotto forma di frazione che ha per numeratore il monomio
dividendo e per denominatore il monomio divisore:
15a5b3x
3a3by
Questo monomio potrà essere semplificato utilizzando le proprietà delle potenze che
hanno la stessa base, ottenendo:
5a2b2y
y
Dall’esempio possiamo passare alla seguente regola:
“Dati due monomi interi, il secondo dei quali sia diverso da zero, si dice che il
primo è divisibile per il secondo se esiste un terzo monomio intero che,
moltiplicato per il secondo, dà per prodotto il primo.” (Mariscotti, 1980, 2006).
Nel dividendo devono figurare tutte le lettere del monomio divisore e le lettere del
dividendo devono avere esponente maggiore o uguale a quello che hanno nel
divisore.
am :an = am-n
“Il quoziente di due monomi interi si ottiene scrivendo la frazione che ha
per numeratore il monomio dividendo e per denominatore il monomio
divisore, ed eventualmente semplificandola”
Esercizi proposti
 Esercizi guidati;
 Esercizi di autovalutazione;
 Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento.
Gli esercizi sono suddivisi per verificare conoscenze,
capacità e competenze in:
• Verifica delle conoscenze, con cui si valuta l’acquisizione
degli argomenti trattati;
• Padronanza dei contenuti che permette di verificare la
capacità di utilizzare le conoscenze acquisite;
• Prova delle competenze che evidenzia il conseguimento
di autonomia operativa e di rielaborazione individuale.
Esercizi guidati
Obiettivi: aiutano
l’allevo a
conseguire
capacità
operative e di
rielaborazione
nell’ambito
del nuovo
argomento e
permettono di
verificare le
conoscenze
acquisite.
Esercizi di autovalutazione
Obiettivi:
verificare
in itinere il
grado di
preparazio
ne a cui è
pervenuto
poiché si
concludon
o con una
indicazion
e sul livello
raggiunto.
Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento
 Obiettivi: riprendere
gli argomenti
proposti
nell’autovalutazione
e sono uno
strumento di
rinforzo e di
approfondimento
poiché è la prima
fase di applicazione
personale degli
alunni; sono quindi
propedeutici agli
esercizi successivi.
Critiche all’insegnamento dell’algebra e
del calcolo letterale
L. Tomasi (2003) sottolinea le difficoltà incontrate dagli allievi nel passaggio dall’aritmetica
all’algebra, a causa spesso di un insegnamento stereotipato e ripetitivo di regole non
adeguatamente motivate.
V. Villani (2003), a proposito dell’insegnamento dell’algebra, riprendendo un memorabile
articolo scritto con Giovanni Prodi (Anche il calcolo letterale può essere intelligente, in
“Archimede” 34, n. 4, 1982), osserva: “stranamente i libri di testo, e di conseguenza anche
gli insegnanti, riguardo al calcolo algebrico, si limitano ad elencare un gran numero di
regole prescrittive apparentemente slegate tra loro e non inserite in un quadro teorico
globale. Eppure anche l’algebra, al pari della geometria e di ogni altro settore della
matematica, è una teoria costituita da assiomi e teoremi.”
M. Impedovo (1993) afferma che “l'enfasi con la quale viene insegnato il calcolo letterale in
Italia è eccessiva. Tutte le cosiddette "regole" del calcolo algebrico sono da ricondursi
essenzialmente alle caratteristiche della struttura algebrica di campo, e quindi sono tutte
riassumibili in poche, semplici proprietà che riguardano le due operazioni fondamentali di
addizione e moltiplicazione. Scarsa attenzione viene invece rivolta al concetto di struttura
algebrica, che potrebbe costituire il filo conduttore dello sviluppo del calcolo algebrico. Lo
spazio tradizionalmente dedicato alle frazioni algebriche è spropositato in rapporto al
valore culturale e anche agli obiettivi operativi.”
Marino e Di Paola (2007) affermano che nel processo di costruzione del linguaggio algebrico e
quindi in generale del pensiero algebrico in relazione a quello aritmetico, si passa in
maniera più o meno consapevole, dalla semplice relazione tra numeri contenuti in una
tabella al concetto di variabile collegata a quantità continue.
BIBLIOGRAFIA

Lepora M. (1996) – Algebra. Petrini editore, Torino.

Chiarugi I., Fracassina G., Furinghetti F. & Domingo P. – Parametri, variabili e altro: un ripensamento su come
questi concetti sono presentati in aula, Dip. Mat. Università di Genova.

Impedovo M. (1993) - Che cosa è davvero importante del calcolo letterale? Periodico Mathesis n°7, Milano.

Marino T., Di Paola B. (2007) - Se e quando si raggiunge il pensiero algebrico. Dipartimento di matematica
dell’Università di Palermo, “Quaderni di Ricerca in Didattica”, n17.

Mariscotti M. (1980) – Educazione matematica. Petrini editore, Torino.

Mariscotti M. (2006) – Matematica Oggi. Petrini editore, Torino.

Tomasi L. (2003) - Recensione libro Villani (aritm e algebra), in L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE
INTEGRATE, SEZ. B, N. 1 FEBBRAIO.

Villani V. (2003) - Cominciamo da Zero, Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della
Matematica (Aritmetica e Algebra). Pitagora Editrice, Bologna.
WEBLIOGRAFIA
http://stringher.blog.kataweb.it/2006/files/calcolo_letterale_elearning.doc
http://www.ripmat.it/mate/a/ab/ab0.html