Cetraro, ottobre 2012
Relatrice:
Claudia Manotti
Il ministero
“In un certo ministero ci sono 6 uffici, numerati da 1 a 6, ai quali gli utenti
si possono rivolgere per sbrigare un certo tipo di pratiche.
All’inizio di ogni settimana un Dirigente del Ministero incontra i
responsabili dei 6 uffici per organizzare il lavoro. L’organizzazione
avviene in questo modo: il Dirigente scrive i numeri da 1 a 6 su sei
bigliettini e li distribuisce a caso ai sei responsabili.
Durante la settimana quando un utente si presenterà all’ufficio k, verrà da
questo ufficio invitato a recarsi presso l’ufficio il cui numero che
indicheremo con ak , è scritto sul foglietto (nel caso in cui dovesse
essere ak = k , l’utente sarà invitato a ripassare più tardi, ad esempio
perché il responsabile è fuori stanza). Naturalmente, quando l’utente si
presenterà al nuovo ufficio la procedura si ripeterà identica fino a
quando l’utente, sfinito, non se ne andrà”.
In quanti modi può essere
avvenuta la distribuzione dei
biglietti?
Qual è la probabilità che un utente
ripassi dal primo ufficio che ha
visitato dopo 2 passaggi (e non
prima)?
Considerazioni
preliminari
1) Ritroviamo il primo elemento?
2) Notazioni con cicli.
3) Probabilità un sesto.
Esercizio
Si riesce nelle scritture del tipo (*) a
riordinare i cicli o gli elementi nei cicli
in modo tale che anche togliendo le
parentesi si possa risalire in modo
univoco alla permutazione?
Deduciamo:
1) Qual è la probabilità che se
l’utente X parte dall’ufficio x1 si
trovi di nuovo x1 al
quattordicesimo passaggio?
2) Qual è la probabilità che X visiti
prima o poi tutti gli uffici?
Qual è la probabilità che X,
partendo dall’ufficio 1, non
passi mai dal 2?
Qual è la probabilità che
permutando i numeri da 1 a
6 il numero 1 preceda il 2?
Qual è la probabilità che il
4 non venga a trovarsi
prima dell’1, del 2 e del 3?
Il Ministero, per dimostrare la propria
sensibilità alle esigenze dei cittadini, ha
deciso che tutti gli uffici che un utente
incontrerà sul suo percorso debbano
essere contrassegnati con uno stesso
colore. Naturalmente si farà in modo di
usare il massimo numero possibile di
colori diversi. Qual è la probabilità che
servano esattamente due colori? E che
ne servano p?
a)(1+1/2+…+1/5)/6
b)…
a. [1/1+1/2+…+1/(n-1)](n-1)!
b. Proprietà dei numeri di Stirling.
0
0 1
;
0
k 0 , k 1,2,...;
n n 1
n 1
k k 1 n 1 k
1
0 0,
,
n
k n!
k 1
n
n, k 1
Triangolo di Stirling
n/k
0
1
2
3
4
5
6
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
2
0
1
1
0
0
0
0
3
0
2
3
1
0
0
0
4
0
6
11
6
1
0
0
5
6
0 24 50 35 10 1
0 120 274
n k
xx 1x 2 x n 1 x
k 1 k
n
Verificare la seguente
uguaglianza:
n n 1
k
,n 1
k 1 k
2
n
I colori che contrassegnano gli uffici
del ministero vengono cambiati
ogni settimana in corrispondenza
della distribuzione dei biglietti da
parte del Dirigente. Mediamente,
quanti sono i colori che servono?
1+1/2+…+1/n
In quanti modi può essere
avvenuta la distribuzione dei
biglietti nei seguenti due casi?
a.
Ogni colore utilizzato è stato usato per
contrassegnare almeno due uffici.
b.
C’è esattamente un ufficio che ha un
colore che non è usato da nessun altro.
n2
d n f n 1 (n 1)d n1
f n n d n1
d n f n 1
n
In quanti modi può essere
avvenuta la distribuzione dei
bigliettini se si sa che qualunque
sia l’ufficio visitato per primo da
un utente, questi, “rimbalzando”
da un ufficio all’altro visita sempre
esattamente due uffici?
Questo problema, posto in un insieme di cardinalità 2n ha come
risultato:
n
(2n)!
2k 1
n
n!2
k 1
Sei utenti arrivano
contemporaneamente ed ognuno
si rivolge ad un ufficio diverso.
Qual è la probabilità che dopo due
passaggi ognuno si ritrovi nel
primo ufficio che ha visitato?
n
2
n 2k !
z n
k
k 0 2k k ! 2
Per nominare i dirigenti delle varie sezioni del
ministero si procede in questo modo: una volta che
un dirigente è stato assunto, egli ha la possibilità di
far assumere in qualità di dirigente altre due
persone (al massimo), un uomo e una donna.
Ogni volta che un nuovo dirigente viene assunto,
al ministero viene costituita una nuova sezione che
egli possa dirigere e queste sezioni sono numerate
in modo progressivo. Il dirigente della sezione
numero 1 è stato nominato direttamente dal
Ministro.
Sapendo che ogni dirigente obbedisce solo a colui
che lo ha fatto assumere, quante diverse “relazioni
di fedeltà” si possono realizzare nel ministero?
Gli alberi binari crescenti
aventi per nodi tutti gli
elementi dell’insieme
1,2,..., n
sono in corrispondenza
biunivoca con le permutazioni
dell’insieme stesso.
In quanti modi può essere
avvenuta la distribuzione dei
biglietti in modo che
scegliendo tre elementi da
sinistra a destra nella sestupla
a ,a ,a ,a ,a ,a
1
2
3
4
5
6
non si trovino mai nell’ordine
“medio, maggiore, minore”?
Ringraziamenti
Carlo Benassi
Carla Tedeschi
Gabriele De Falco
Beatrice
Bibliografia
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•
G. Paolini LA MATEMATICA DELLE OLIMPIADI, LA SCUOLA (2012)
S. Campigotto PROGETTO PHIQUADRO, MATHESIS
A.T. Benjamin, J. Quinn PROOFS THAT REALLY COUNT, THE
MATHEMATICAL
ASSOCIATION OF AMERICA (2003)
• A. Gardiner THE MATHEMATICAL OLYMPIAD HANDBOOK, OXFORD
UNIVERSITY PRESS (1997)
• T. Andreescu , J. Feng A PATH TO COMBINATORICS FOR
UNDERGRADUATE,SBIRKHAUSER (2003)
• Richard P. Stanley Enumerative Combinatorics vol 1. Cambridge Univ.
Press (1997)
