Parma, 27 -28 settembre 2007
EQUAZIONI INTEGRALI: RECENTI SVILUPPI
NUMERICI E NUOVE APPLICAZIONI
P. Burghignoli♪, F. Frezza♪, A. Galli♪,
L. Pajewski☼ e G. Schettini☼
Università degli Studi “Roma Tre” di Roma,
Dipartimento di Elettronica Applicata
☼
Università “Sapienza” di Roma,
Dipartimento di Ingegneria Elettronica
♪
[email protected]
● Sommario
Metodo degli elementi al contorno (BEM) e
discretizzazione delle equazioni integrali con il
metodo di Nyström
Sviluppo di nuove formule di quadratura per triangoli
planari, da impiegare in presenza di spigoli
Derivazione delle formule
Calcolo di punti e pesi di quadratura per casi significativi
Verifica dell’accuratezza numerica delle formule
Applicazione delle nuove formule alla soluzione di
problemi di diffrazione da oggetti 3D
Conclusioni
Metodo degli elementi
al contorno
(Boundary Element Method, BEM)
Metodo degli elementi al contorno
Procedura numerica basata sulla rappresentazione integrale
del campo elettromagnetico nel dominio spaziale
Approccio che riduce la determinazione delle grandezze e.m.
in un dominio 3D a quella delle stesse sulla frontiera del
dominio
Analisi di strutture composte da più regioni omogenee
occupate da materiali dielettrici e conduttori
Incognite delle equazioni integrali al contorno = correnti
equivalenti elettriche e magnetiche definite sulle superfici di
interfaccia tra mezzi diversi
Le correnti equivalenti sono legate alle componenti tangenziali
dei campi magnetico ed elettrico
Le componenti tangenziali dei campi possono divergere in
prossimità di uno spigolo di un corpo dielettrico e conduttore
Metodo di Nyström
Discretizzazione delle equazioni integrali
rappresentazione delle superfici di interfaccia
mediante griglie di celle triangolari
uso di formule di quadratura per approssimare
numericamente gli integrali di superficie
imposizione della validità dell’equazione nei punti di
integrazione della formula di quadratura
Sviluppo di nuove
formule di quadratura
per triangoli planari
da impiegare in presenza di spigoli
Derivazione delle formule
Per costruire una formula di ordine ℓ, è necessario calcolare
coordinate e fattori peso di un opportuno numero di punti di
integrazione, in modo che la formula integri esattamente funzioni
polinomiali di grado ≤ ℓ
Numerose formule sono state derivate per integrare funzioni
definite su domini triangolari. In ambito elettromagnetico si
impiegano comunemente le formule di Gauss-Legendre, spesso si
fa uso di quella di Radon ( quinto ordine, sette punti, tipo aperto,
integra esattamente polinomi di quinto grado con il minimo
numero di punti di quadratura )
Derivazione delle formule
Alcune componenti del campo e.m. possono divergere in
prossimità di uno spigolo di angolo interno α
Coordinate cartesiane, spigolo su asse x, celle triangolari aventi un
lato sullo spigolo e appartenenti al piano xy: il comportamento
singolare è del tipo
( 0.5 ≤ υ ≤ 1 )
Oggetti dielettrici di costante dielettrica ε1 immersi in un mezzo
uniforme di costante dielettrica ε2:
( se 0 < α < π )
Spigoli perfettamente conduttori:
( se π < α < 2π )
( se 0 ≤ α < π )
Derivazione delle formule
Applicazione del metodo di Radon per
derivare nuove formule di quadratura 2D per
triangoli planari, di quinto ordine, a sette
punti, con funzione peso divergente
algebricamente lungo un lato
y
(0,1)
R2
(0,0)
(1,0)
La costruzione delle formule è basata sulla ricerca di tre
polinomi di terzo grado, ortogonali rispetto alla funzione peso,
linearmente indipendenti, per il dominio triangolare di
integrazione R2, che abbiano sette zeri comuni
x
Derivazione delle formule
Per un dominio Rn e un peso w(x1,...,xn), esistono
polinomi ortogonali di base linearmente indipendenti, ognuno
ortogonale su Rn, rispetto a w, a tutti i polinomi Qd-1 di grado ≤ d-1.
N ( n-1, d ) è il numero di monomi distinti x1α1 x2α2 ...xnαn di grado d.
Se n=2 e d=3, i polinomi ortogonali di base sono
e vogliamo che soddisfino la condizione:
(n,m=0,1,2,3 e n+m=3)
Derivazione delle formule
Perché i tre polinomi P3,1, P3,2 e P3,3 abbiano sette zeri comuni:
dove Q1,j (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei
quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità:
Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R2 rispetto a w, si
può scrivere come:
e perché P3,3 sia di terzo grado:
Derivazione delle formule
Perché i tre polinomi P3,1, P3,2 e P3,3 abbiano sette zeri comuni:
dove Q1,j (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei
quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità:
Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R2 rispetto a w, si
può scrivere come:
e perché P3,3 sia di terzo grado:
Derivazione delle formule
In generale gli zeri comuni a due dei tre polinomi P3,1, P3,2 e P3,3
sono nove:
due complessi coniugati
sette reali, comuni a tutti e tre i polinomi
Se i sette zeri reali sono distinti si possono usare come punti di
integrazione in una formula di quadratura di quinto ordine
I fattori peso si calcolano imponendo che la formula sia esatta
per un insieme arbitrario di sette polinomi di grado ≤ 5
Calcolo punti e pesi per casi significativi
Spigoli perfettamente conduttori
Calcolo punti e pesi per casi significativi
Spigoli dielettrici
Verifiche accuratezza numerica
Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare
Esempio:
xμ, con υ=2/3
(spigolo PEC di angolo interno α=90°)
Valore esatto dell’integrale:
(Γ è la funzione Gamma di Eulero)
Integrazione mediante la
nuova formula:
Integrazione mediante formule note
in letteratura per integrandi regolari:
Verifiche accuratezza numerica
Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare
xμ, con υ=2/3
(spigolo PEC di angolo interno α=90°)
CONFRONTO CON ALTRE FORMULE A SETTE PUNTI
Verifiche accuratezza numerica
Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare
xμ, con υ=2/3
(spigolo PEC di angolo interno α=90°)
CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE
Verifiche accuratezza numerica
Funzioni trigonometriche oscillanti
Es.: e-jkR/(4πR), con R=|r
- r’|, υ=2/3, singolarità r in (x, y)=(-1, -1)
Valore esatto dell’integrale: MathematicaTM, procedure adattive per
l’integrazione 2D, accuratezza controllabile posta uguale a 10-10
CONFRONTO CON
ALTRE FORMULE A
SETTE PUNTI
Verifiche accuratezza numerica
Funzioni trigonometriche oscillanti
Es.: e-jkR/(4πR), con R=|r
- r’|, υ=2/3, singolarità r in (x, y)=(-1, -1)
CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE
Applicazione delle nuove formule
alla soluzione di problemi di
diffrazione da oggetti 3D
Applicazione delle formule
Come esempio di applicazione delle nuove formule di
quadratura a un problema pratico di diffrazione, si presenta il
calcolo della sezione trasversa di scattering RCS (Radar Cross Section)
di un oggetto metallico 3D
Metodo di Nyström per la soluzione numerica dell’equazione
integrale di campo magnetico MFIE (Magnetic Field Integral Equation)
n è la normale esterna alla superficie S dell’oggetto conduttore
g è la funzione di Green scalare per lo spazio libero
occupato dal mezzo in cui è immerso l’oggetto
Hinc,2 è il campo magnetico incidente sull’oggetto conduttore
JS è la densità di corrente superficiale equivalente
Applicazione delle formule
Gradiente funzione di Green scalare: al limite di sommabilità su
una superficie, ha singolarità del tipo 1/R2 integrali impropri.
Il termine che lo contiene è nullo se la variabile di integrazione
descrive un elemento planare arbitrario al quale appartiene il
punto di osservazione.
Quindi se si usa una griglia di elementi planari per discretizzare
l’oggetto metallico, l’equazione MFIE non pone problemi di
singolarità e può essere discretizzata con la procedura di Nyström:
Applicazione delle formule
NT è il numero di triangoli planari della griglia
NQ è il numero di punti della formula di quadratura
h=1,...,NT
k=1,...,NQ
Proiettando sulla base ortonormale associata a ciascun triangolo
della griglia e decomponendo i vettori incogniti secondo le stesse
basi sistema lineare algebrico con 2NQNT incognite
Applicazione delle formule
RCS NEL PIANO DI E PER UN
CUBO PEC ILLUMINATO
NORMALMENTE DA
UN’ONDA PIANA INCIDENTE
SU UNA DELLE SUE FACCE
L’uso delle nuove
formule migliora
l’accuratezza dei risultati,
a parità di accuratezza è
quindi possibile ridurre NT
riduzione numero
incognite
riduzione memoria
occupata e tempi di calcolo
Conclusioni
Sono state studiate procedure numeriche basate sulla rappresentazione integrale del campo e.m. nel dominio spaziale, metodo BEM
Sono state sviluppate nuove formule di quadratura 2D per
triangoli planari, utili per integrare funzioni che divergono
algebricamente lungo un lato del triangolo
Sono stati calcolati punti e pesi di quadratura per diversi casi
significativi, è stata verificata l’accuratezza delle formule
Le formule di quadratura proposte permettono di tener conto delle
singolarità del campo nel metodo numerico adottato, ad esempio
utilizzando opportune funzioni base vettoriali nel metodo dei
momenti o discretizzando direttamente gli operatori integrali al
contorno nel metodo di Nyström
L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza delle soluzioni
calcolate in problemi di scattering e radiazione vantaggi
computazionali
P. Burghignoli, L. Pajewski, F. Frezza, A. Galli e G. Schettini,
“Improved quadrature formulas for boundary integral equations
with conducting or dielectric edge singularities”,
IEEE Transactions on Antennas and Propagation
vol. 52(2), pp. 373-379, aprile 2004
Grazie per l’attenzione
