Analisi Statistica per le Imprese
4.6 Stima della frontiera di produzione
Prof. L. Neri
Dip. Economia Politica e Statistica
a.a. 2015-2016
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Le frontiere di produzione
• Con l’evolversi degli studi in materia delle Funzioni di
Produzione, l’espressione “Funzioni di Frontiera” è stata
associata ad un filone di ricerche scaturite dalla critica
dei modelli tradizionali di funzioni di produzione che più
che condurre all’individuazione della frontiera
dell’insieme delle possibilità di produzione, conducono
ad una sorta di funzione di produzione “media”.
• Infatti nei cosiddetti “modelli tradizionali” l’output viene
specificato come funzione lineare degli input del
processo produttivo e di un termine stocastico con
distribuzione normale e media nulla; una tale relazione
implica che i valori osservati dell’output possono giacere,
con la stessa probabilità, al di sopra o la di sotto della
funzione di produzione (Vedi Figura seguente).
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Le frontiere di produzione
12
10
Output
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Input
Funzione “Media”
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Le frontiere di produzione
• L’idea sottostante a questa critica è che gli scostamenti
dei valori osservati dell’output da quelli espressi dalla
frontiera sono dovuti all’azione di fattori di inefficienza,
che per definizione agiscono in modo unilaterale e
all’azione degli errori di osservazione (a distribuzione
simmetrica).
• Alla luce di ciò è parso più corretto ipotizzare che i valori
osservati dell’output giacciano tutti al di sotto o al
massimo sulla frontiera (Figura a), se è plausibile
ritenere che gli errori di osservazione siano irrilevanti.
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Le frontiere di produzione
12
10
Output
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Input
Funzione “Frontiera - a”
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Le frontiere di produzione
• In una nota rassegna, Forsund, Lovell e Schmidt
(Journal of Econometrics, 1980, vol. 13, issue 1, pages
5-25) suggeriscono una classificazione dei metodi di
stima delle funzioni frontiera di produzione, proponendo
una prima generale suddivisione in funzioni
parametriche e funzioni non parametriche.
• Nella prima classe, si identificano i modelli stocastici e
deterministici, e questi ultimi a seconda della procedura
di stima adottata, si suddividono in matematici e
statistici.
• Al di là delle terminologie adottate nelle classificazioni, il
problema che i vari ricercatori che si sono occupati della
questione si sono posti, è sempre stato lo stesso: come
fare a trasformare in una misura reale il concetto teorico
di funzione di produzione.
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Le frontiere di produzione
• Dal momento che, in generale, l'efficienza
è misurabile, confrontando le
performance reali dell'azienda con la
migliore raggiungibile, espressa da una
funzione che rappresenta, perciò, una
frontiera, come fare per definire una
funzione di produzione che esprima il
livello massimo di output che può essere
prodotto date le quantità di fattori
produttivi?
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Metodi Parametrici
Si basano sulla stima econometrica di una funzione
frontiera (di produzione o di costo). Tali funzioni possono
essere assunte sia deterministiche che stocastiche.
Quindi dato un campione di n aziende che producono un
output y (o anche più output omogenei preliminarmente
aggregati in una misura sintetica) impiegando m input il
metodo consiste
• 1. nella stima dei parametri della funzione frontiera; ad
esempio, nel caso della produzione si stimerà la
funzione che esprime il legame tra l'output e gli m input
impiegati nel processo produttivo;
• 2. nel calcolo delle misure dell'efficienza tecnica
confrontando i singoli output osservati nelle n aziende
con i corrispondenti valori teorici sulla frontiera
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Metodi Parametrici-deterministici
• Le funzioni frontiera deterministiche sono
funzioni parametriche nelle quali la
deviazione di un'osservazione dal suo
massimo teorico è attribuita
esclusivamente all'inefficienza
dell'azienda. Tale specificazione non tiene
conto di possibili shock casuali specifici di
quel processo produttivo (ipotesi semplice)
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Funzione frontiera deterministica
• La formulazione econometrica della funzione frontiera
deterministica è data da:
• Yi= f(Xi,)TEi
dove
0 TEi
Yi
1
f (Xi )
Usualmente il modello è definito nei logaritmi delle variabili
quindi
• Log(Yi)=log[ f(Xi,)]+log(TEi)= log[ f(Xi,)]-ui
• dove ui è una misura dell'inefficienza tecnica e
TEi=exp(-ui)
• Si noti che più grande è ui più l'azienda i si allontana dalla
frontiera di produzione.
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Funzione frontiera deterministica
• Supponiamo di specificare una funzione di
produzione Cobb-Douglas con s input, il modello
frontiera assume la forma
s
Yi c xij
j
j 1
exp( ui ) che in forma log diventa
s
s
j 1
j 1
log( Yi ) log(c ) j log(x ij ) u i j log(x ij ) u i
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Steps per il calcolo del grado di efficienza
tecnica di un’azienda: attraverso frontiera
deterministico
s
Yi j x ij i
j 1
la funzione di produzione deterministica può essere stimata
in due passi:
1. stima OLS del modello per ottenere stime consistenti e
non distorte dei parametri relative ai regressori nel modello
e una stima consistente ma distorta del parametro
intercetta
2. correzione della stima del parametro intercetta in modo
tale da assicurare che la frontiera stimata sia effettivamente
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sopra alle osservazioni:
Steps per il calcolo del grado di efficienza
tecnica di un’azienda:
ˆ COLS ˆ OLS max( ˆi )
3. Equazione della frontiera efficiente:
Yi
*
s
ˆ COLS
ˆ j x ij
j 1
4. Computo dell’indice
Yi
TE i *
Yi
Si veda esercizio «Regressione per frontiera.xls»
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