Presentazione di PowerPoint

Facoltà di Ingegneria
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Laboratorio di Microelettronica
Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel
intrabanda mediante il formalismo di Wigner
Candidato:
Omar Morandi
Relatori:
Prof. G. Manes
Prof. G. Frosali
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Universitá di Firenze
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Universitá di Firenze
Ing. A. Cidronali
Ing. M. Camprini
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni”
Universitá di Firenze
Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Universitá di Firenze
Anno Accademico 1999 - 2000
Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel risonante mediate il formalismo di Wigner
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Laboratorio di Microelettronica
Simulare un dispositivo a semiconduttore equivale
a determinare il moto di N particelle interagenti
Meccanica classica: equazione di Boltzmann
f
 vp /
t
f
 x f  qEpf 
t
Meccanica quantistica:
{
coll
Equazione di Schrödinger

i
 H
t
Equazione di Wigner
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Funzione di Wigner :
f w  x, p, t  
1
 2
3N

 
 ip

x


t

x


t
3N  2   2  e d
R
Equazione di Wigner :
f w p
 x fw    U fw  0
t m
Operatore pseudo-differenziale :
   U  f   x, p, t  
w
i
 2 
3N
 



i  p  p' 
U
x


t

U
x


t
f
x,
p
',
t
e
dp 'd


3 N 3 N   2   2   w
R Rp '
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Meccanica classica e formalismo di Wigner
Analogie:
Limite classico
Equazione di Wigner
0
Equazione di Boltzmann
Calcolo dei momenti della distribuzione
Momento di ordine zero
n quant  x, t    f w  x, p, t dp
Momento del primo ordine J quant  x, t   
q
f w  x, p, t p dp

m
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Analogie:
L’ ambientazione nel piano delle fasi
suggerisce la definizione
di traiettorie quantistiche
Possibile interpretazione dei fenomeni quantistici alla luce del moto
di una quasi-particella con posizione e quantità di moto ben definiti che risente
dell’ effetto dei campi tramite l’azione di una “forza quantistica”
1  
F   


!
2i

p
disp


1
d U  x 
dx 
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Differenze:
La forza quantistica è non locale:
{
la quasi-particella risente in generale
dell’azione esercitata
dai campi in ogni punto dello spazio
La funzione di Wigner non è definita positiva :
Non può essere interpretata
come una densità di probabilità
Funzione di Wigner relativa
allo stato risonante dell’RTD
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Modellizzazione di dispositivi a semiconduttore :
Un dispositivo elettronico è un sistema aperto contenente al proprio interno
svariati gradi di libertà che rendono il moto dei portatori tipicamente irreversibile
Una formulazione cinetica fornisce strumenti
semplici ed efficaci per includere l’irreversibilità di moto
Apertura :
Bus
Dispositivo
Bus
Reservoirs
Caratteristica di corpo nero
Distribuzione termodinamica di portatori
Gli elettroni escono senza essere riflessi
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Approssimazione “a tempo di rilassamento”
dell’operatore collisionale di Boltzmann
Collisioni :
f
t
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

coll
  W
p' p

f  x, p '   Wpp'f  x, p   
1
  x  f 0  x, p '  0  x  f  x, p  
0  x  
Risultati analitici applicabili ai casi pratici :
Descrizione di moto incoerente
e impiego di Condizioni al Contorno
non reversibili per inversione temporale
fw limitata
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Differenze modellistiche fra la formulazione wigneriana
della meccanica quantistica e quella standard
Pregi
Difetti
Semplicità nella descrizione
degli stati “mixed”

Perdita comprensione intuitiva e
di interpretabilità nelle soluzioni
Semplicità nella simulazione di
fenomeni quantistici transitori

Mancanza di soluzioni analitiche
se non per casi banali

Necessità di utilizzo di tecniche
di calcolo non standard per la
risoluzione numerica
Descrizione dell’irreversibilità di moto
senza violazione dell’equazione
di continuità della carica
n  x 
J 
0
t
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Gli algoritmi di calcolo si adattano
alla complessità del problema trattato
Tecniche di calcolo :
Soluzione stazionaria
Soluzione evolutiva
Soluzione non
auto-consistemte
Soluzione auto-consistente
Soluzione stazionaria :
E’ possibile ricondurre la determinazione
di una soluzione dell’equazione di Wigner
p
x fw    U fw  0
m
f
0
t
al seguente sistema lineare
Lf w  b
Schema differenziale di Eulero
Approssimazione dell’operatore pseudo-differenziale
del secondo ordine up-dounwind
N N /2
f w  

UDS i
f
1 2
  U fw  
Np
 2  j  j'   p  x i ' 
sin 
  U i i '  U i i '  f i, j'


j'1 i '1


p
x
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Soluzione evolutiva

t

f  t   exp   L  t ' dt '   f  t 0 
t


0

Una soluzione formale dell’equazione
di Wigner tempo-dipendente si scrive
In generale si implementano schemi iterativi del tipo
f  t  t   Ldf  t 
Sia per la stabilità dell’algoritmo che per la sua precisione si dimostra critica
la scelta di una congrua metodologia di calcolo dell’esponenziale
Schema Eulero esplicito :
Schema Eulero implicito :
Schema Cayley :
Algoritmo numerico stabile
t
t

exp   L  t ' dt '    1  L  t '  t 
t
 t ' t
0
0

t
t

1
exp   L  t ' dt '    1  L  t '   t 
t
 t ' t
0
0

1  L  t '  t / 2
exp  L  t '  t  
1  L  t '  t / 2

La soluzione analitica è limitata
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Soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson
Ricercare una soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson significa
determinare il profilo del minimo della banda di conduzione del dispositivo
che sia coerente con la distribuzione di carica al suo interno
f w p
 x fw    U fw  0
t m
d2u  x 

 q 2 C  x   n  x  
2
dx
{
Sistema Wigner-Poisson
n quant  x, t    f w  x, p, t dp
Soluzione evolutiva: algoritmo Gummel
Soluzione stazionaria: algoritmo Newton
Possiede un meccanismo di controllo sulle soluzioni
che impedisce loro di oscillare indefinitamente
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n
u
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TIpologia costruttiva dell’RTD simulato
Catodo
Spacers
Barriera
Pozzo quantistico Anodo
Barriera
Spacers
Substrato
Materiale
Spessore ( Ǻ )
Drogaggio ( cm-3 )
Funzione
GaAs
--
2 1018
Substrato
GaAs
30
Undoped
Spacers
Al0.3Ga0.7As
30
Undoped
Barriera
GaAs
50
Undoped
Pozzo quantistico
Al0.3Ga0.7As
30
Undoped
Barriera
GaAs
30
Undoped
Spacers
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Misure statiche
dell’RTD simulato
Simulazioni e misure
si riferiscono
alla temperatura di 77 ºK
Caratteristiche RTD
Presenza di una regione di funzionamento
a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).
Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente
utili in numerose applicazioni sia analogiche che
digitali.
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Misure statiche
dell’RTD simulato
Simulazioni e misure
si riferiscono
alla temperatura di 77 ºK
Caratteristiche RTD
Problematiche di utilizzo
Presenza di una regione di funzionamento
Presenza di cicli d’isteresi
a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).
Presenza di punti di polarizzazione
Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente instabili con conseguente formazione
utili in numerose applicazioni sia analogiche che
di oscillazioni intrinseche ad alta
digitali.
frequenza.
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Misure statiche
dell’RTD simulato
Simulazioni e misure
si riferiscono
alla temperatura di 77 ºK
Caratteristiche RTD
Problematiche di utilizzo
Presenza di una regione di funzionamento
Presenza di cicli d’isteresi
a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).
Presenza di punti di polarizzazione
Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente instabili con conseguente formazione
utili in numerose applicazioni sia analogiche che
di oscillazioni intrinseche ad alta
digitali.
frequenza.
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Termini di paragone per testare dell’affidabilità dell’algoritmo
Caratteristica statica: soluzione stazionaria non auto-consistente
Simulazioni effettuate
Simulazioni Ferry
Il nostro metodo mostra un buon accordo sia con i dati sperimentali
che con i risultati ottenuti da altri autori
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Variazione della densità di carica all’interno
del semiconduttore ottenuta integrando
la funzione di Wigner
Tempi di switch
Dalle simulazioni appare
il seguente fenomeno
paradossale, ovvero che le
collisioni possano diminuire
i tempi di switch. Una
spiegazione fisica plausibile
segue dall’analisi delle
quasi-traiettorie
T = 77 K
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T = 300 K
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Simulazioni auto-consistenti
Presenza del ciclo d’isteresi
La spiegazione fisica della presenza del ciclo
d’isteresi segue dall’analisi dell’intrappolamento
della carica all’interno del pozzo quantistico
Nelle simulazioni
auto-consistenti
si impiega il “vero”
profilo di potenziale
del diodo
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Simulazioni delle oscillazioni intrinseche
Le oscillazioni intrinseche sono il fenomeno più complesso mostrato dai diodi risonanti
e solo con le simulazioni Wigner si è, fino ad oggi, riuscito a riprodurlo e studiarlo:
Transizioni stabili
Transizioni instabili
Le oscillazioni si
auto-innescano
nel range di
tensione 0.24 0.26 V.
La loro spiegazione fisica
dovrebbe derivare
dalla creazione di livelli discreti
nella regione catodica e del
loro conseguente sparpagliamento
in una distribuzione continua
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Ambiente di lavoro C++
Costi computazionali
La presente stima dei tempi di calcolo è relativa all’utilizzo di un normale PC che
impiega 30 secondi nella risoluzione di un’iterazione di calcolo Wigner-Poisson: come
si nota i tempi di calcolo sono molto vari e se le simulazioni più semplici impiegano
tempi minimi e si prestano alla progettazione di circuiti, quelle più sofisticate sono
troppo lente e risultano utili più in fase di verifica: si ha così uno strumento adattabile
ai vari casi d’impiego
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Conclusioni
Buoni risultati
nella modellizzazione di strutture “Lattice-matched”
Sviluppi futuri
Applicazione a dispositivi circuitalmente più complessi
Formalismo doppia banda
Dispositivi interbanda su substrato InP
che mostrano una buona caratteristica
anche a temperatura ambiente
Inclusione formale dell’interazione e--fonone
Applicazione a nuovi materiali
Impiego della tecnologia Si-Ge
In cui si utilizzano substrati virtuali
e “layers strained”
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