Rappresentazione “uno per molti”: oggetti indicanti molteplicità

UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI UDINE
A.A. 2009-2010
CORSO DI
STORIA DELL’INFORMATICA
parte curata dal docente Corrado Bonfanti
[email protected]
gli appunti saranno disponibili alla pagina
http://nid.dimi.uniud.it/history/history.html
storia dell'informatica - uniud 200910 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2
1
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2
TRACCIA PER LA LEZIONE 1-2
martedì 2 marzo, ore 1630-1815, aula 5
ARGOMENTI
ƺ ALBORI DEL CALCOLO NUMERICO
ƺ ABACHI
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Rappresentazione “uno a uno” con oggetti convenzionali di valore
unitario
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Rappresentazione “uno a uno” con oggetti convenzionali di valore
unitario
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Rappresentazione “uno a uno” con oggetti convenzionali di valore
unitario
Concetti inerenti:
- Conteggio e Confronto (>, =, <)
- Cardinalità degli insiemi (numero
naturale)
- Familiarità con numeri “piccoli”
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Rappresentazione “uno per molti”: oggetti indicanti molteplicità
+
+
= 299
Sistema additivo
per numeri “grandi”
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Rappresentazione “uno per molti”: oggetti indicanti molteplicità
+
+
= 299
Sistema additivo
per numeri “grandi”
Base della numerazione
(decimale, sessagesimale, mista)
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Rappresentazione “uno per molti”: oggetti indicanti molteplicità
+
+
= 299
Sistema additivo
per numeri “grandi”
Base della numerazione
(decimale, sessagesimale, mista)
Impronta moltiplicatrice:
forma primordiale di scrittura
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Sistema additivo con oggetti indicanti molteplicità
disposizione
alla rinfusa
disposizione ordinale
Strutturazione dell’informazione a parità di “contenuto”
(il numero 343)
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Euristica per l‘algoritmo di somma nel sistema additivo
rinfusa
364 + 166 = 530
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Euristica per l‘algoritmo di somma nel sistema additivo
rinfusa
aggregazione
ordinale
364 + 166 = 530
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Euristica per l‘algoritmo di somma nel sistema additivo
rinfusa
aggregazione
ordinale
riduzione
364 + 166 = 530
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Digressione sul sistema numerico degli antichi romani
ALCUNI SIMBOLI:
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
V=5
I=1
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Digressione sul sistema numerico degli antichi romani
ALCUNI SIMBOLI: M=1000, D=500, C=100, L=50, X=10, V=5, I=1
SISTEMA ADDITIVO PURO
Esempio: MMCCCCLXXXIIII = 2484.
- L’ordine (valore decrescente) in cui si susseguono i simboli
numerici è “comodo” (facilita l’immediatezza della percezione
visiva) ma non è essenziale:
la notazione alla rinfusa LCCMIIIXCCIMXX rappresenterebbe
infatti lo stesso numero.
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- L’algoritmo di addizione rimane lo stesso visto prima
(aggregazione e riduzione), operando su simboli anziché su oggetti
numerici.
Esempio:
364 + 166 = ?
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- L’algoritmo di addizione rimane lo stesso visto prima
(aggregazione e riduzione), operando su simboli anziché su oggetti
numerici.
Esempio:
364 + 166 = ?
CCC L X
CL X
IIII
V I
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-1-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC LL XX V IIIII
aggregazione
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-2-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC LL XX V IIIII
C
V
riduzione
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-3-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC
C
XX V
V
------------------------------------ ----------------------
CCCCC
XX VV
aggregazione
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-4-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC
C
XX V
V
------------------------------------ ----------------------
CCCCC
D
XX VV
X
riduzione
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-5-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC
C
XX V
V
------------------------------------ ----------------------
D
XX
X
------------------------------------ ------------------
D
XXX
aggregazione
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-5-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC
C
XX V
V
------------------------------------ ----------------------
D
XX
X
------------------------------------ ------------------
D
XXX
364 + 166 = 530
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SISTEMA MISTO ADDITIVO-SOTTRATTIVO
Esempio: MMCDXXCIV = 2484.
dove CD = 500-100 = 400; XXC = 100-20 = 80; IV = 5-1 = 4.
- Minimizza il numero di simboli nella composizione dei numeri
(p.e. IX=VIIII=9) ma non sempre in modo univoco (p.e.
IIV=III=3).
- La posizione dei simboli è essenziale (ma attenzione: non si
tratta della notazione posizionale!).
- Gli algoritmi aritmetici diventano estremamente complicati e
pertanto questa notazione (invalsa nella tarda latinità) è stata
usata solo per denotare numeri ordinali (p.e. anni; capitoli di un
libro).
- I nomi latini di alcuni numeri s’ispirano al criterio sottrattivo;
duodeviginti (18), undeviginti (19).
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Dall’oggetto, all’impronta, al simbolo scritto
Bulla di argilla, vista in sezione.
Bulla con impronte
È una “bolla di
numeriche esterne e sigillo.
accompagnamento” per le merci
viaggianti.
Sigillo cilindrico a rotolamento e sua impronta in piano.
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Scrittura cuneiforme arcaica.
Calami di diverso calibro e con
diverse angolazioni, imprimono
sull’argilla fresca delle impronte
che richiamano le forme degli
“oggetti numerici”.
La tecnica dell’impronta-simbolo
subentra all’uso degli oggetti:
origine della scrittura.
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Piccolo cono
Pallina
Verso la
scrittura:
dagli
OGGETTI
alle
IMPRONTE
Grande cono
Disco
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I simboli numerici sono espressi in forma “scritta”.
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I simboli numerici sono espressi in forma “scritta”.
La qualità degli oggetti conteggiati è invece ancora
rappresentata in forma ideografica abbastanza realistica.
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Calami per scrittura
cuneiforme in una
forma evoluta.
La stilizzazione dei simboliparola (capre, pecore …) è
ormai convenzionale e
distante dalla
verosimiglianza ideografica.
La scrittura con simboli fonetici (sillabici e poi alfabetici) è una
conquista successiva che, tra l’altro, facilita di molto la
rappresentazione delle forme verbali e dei sostantivi astratti.
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SINTESI: rappresentazioni numeriche
Natura convenzionale degli
oggetti e dei simboli
numerici (indipendenti
dalla natura degli oggetti
reali).
Progressiva astrazione delle
rappresentazioni
numeriche:
- dal concreto (numerazioni
figurate)
- all’astratto simbolico
(numerazioni scritte)
- all’astratto verbale
(numerazioni orali)
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SINTESI: il numero nel contesto sociale ed economico
STRUTTURA
SOCIALE
ATTIVITA’ RILEVANTI
IMPLICAZIONI
“NUMERICHE”
Tribù nomadi.
Cacciatori-raccoglitori.
Praticamente nulle.
Comunità stanziali.
Allevatori-agricoltoriartigiani. Economia di
sussistenza (produttori =
consumatori).
Rappresentazione di numeri
“piccoli” mediante oggetti
numerici di valore unitario;
conteggio; confronto di
quantità.
Agglomerati urbani e
gerarchia statale.
Produzione di surplus
alimentari e artigianali
(vasellame, tessuti, …)
destinati al commercio.
Tasse e tributi. Contabilità.
Finanza: regole di società,
prestiti, suddivisione di
eredità.
Oggetti numerici di valore
plurimo (numeri “grandi”; base
del sistema numerico).
Livelli di astrazione
(dall’oggetto, all’impronta, al
simbolo scritto). Algoritmi
euristici.
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SINTESI: il numero nel contesto sociale ed economico
Nel corso della lezione si fa riferimento principalmente alla storia culturale che
inizia nelle civiltà mesopotamiche, prosegue nell’Egitto e Oriente Vicino e
approda al periodo greco e romano. In altre aree geografiche (Lontano Oriente,
America centro-meridionale) si sono verificate fasi evolutive sostanzialmente
analoghe, anche se in tempi diversi e con diverse modalità espressive.
Alcuni gruppi etnici si sono attestati stabilmente alla fase di tribù nomade o di
comunità stanziale e sopravvivono tuttora in ristrette zone geografiche, senza
sentire il bisogno di superare la soglia culturale minima, perfettamente adatta al
loro stile di vita (finché non saranno contaminate/eliminate dalla “civiltà” oggi
dominante).
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SINTESI: dalle attività pratiche al pensiero matematico
ATTIVITÀ PRATICHE
SAPERI EURISTICI
Commercio delle produzioni
agricole e artigianali.
Tributi. Contabilità. Finanza.
ARITMETICA
Fondi agricoli. Confini.
Grandi opere (templi,
palazzi, cinte murarie,
canali irrigui, strade,
acquedotti).
GEOMETRIA
Cicli agrari. Navigazione.
Orologi solari. Astrologia,
riti magici e religiosi.
PENSIERO
MATEMATICO
ASTRONOMIA
TECNOLOGIE
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SINTESI: dalle attività pratiche al pensiero matematico
Caratteristica peculiare dei saperi euristici è quella di aderire a problemi della vita pratica
risolti per mezzo di esempi paradigmatici.
Per pensiero matematico s’intende la riflessione astratta sugli oggetti matematici
emergenti dai saperi euristici e considerati essi stessi come argomento di indagine
sistematica e non più solo come “strumenti” della vita pratica.
L’attitudine al pensiero matematico cominciò a manifestarsi allorché, all’interno della
struttura urbana-statale (imperi e culture della Mesopotamia e dell’Egitto), si formarono le
comunità intellettuali (scribi, sacerdoti, insegnanti professionisti, …). Si tratta di un
processo evolutivo plurisecolare che assurge a dignità filosofico-scientifica con Talete di
Mileto (circa 620-540 a.C.) e Pitagora (6° secolo a.C.) e che trova il primo grande assetto
sistematico (assiomatico-deduttivo) negli Elementi di Euclide (4° secolo a.C.). Il periodo
di massimo rigoglio si colloca nell’area mediterranea della Grecia classica e poi, in epoca
ellenistica e romana, è Alessandria d’Egitto a svolgere il ruolo di massimo centro
culturale.
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Qualche spunto per riflettere sullo sviluppo del pensiero matematico
Dall’aritmetica pratica sui numeri naturali …
... alle proprietà formali delle operazioni aritmetiche (associativa,
distributiva, commutativa).
... all’omogeneità / disomogeneità della semantica dei numeri
(numeri “puri” / numeri “dotati di sostanza”).
Esempi: 4(volte)  4mele = 16mele; 4mele  4mele = ?;
4mele + 4pere = 8frutti; 4mele + 4pere + 5sedie = 13oggetti).
... all’estensione del campo numerico (interi, quindi zero e negativi;
frazioni e quindi razionali).
Da notare che ai negativi (“falsi” o “impossibili”) per lungo tempo è
stata negata la dignità di numero; solo i contabili commerciali vi
associavano istintivamente il concetto di debito/perdita/ammanco.
… allo studio dei numeri “in se stessi” (pari/dispari; primi/composti;
perfetti).
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10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2
Qualche spunto per riflettere sullo sviluppo del pensiero matematico
Dalle tecniche di misurazione (p.e. delle grandezze geometriche) …
... alla teoria dei rapporti e delle proporzioni.
... alla scoperta che, una volta introdotta l’unità di misura, i numeri
possono servire ad esprimere la misura di grandezze e non solo a
contare oggetti.
... alla scoperta dei numeri irrazionali, non rappresentabili
esattamente in forma numerica e quindi “maneggiabili” solo con
metafore verbali / simboliche (“radice quadrata di 2” / “”).
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Altre rappresentazioni numeriche: TAGLIE
Taglia su osso e cordicelle:
calendario riusabile basato
sul mese lunare (28 giorni).
Taglie su legno in uso nelle zone
alpine fino all’inizio del XX secolo.
Antica taglia su legno
sezionata in due parti
(matrice/ricevuta;
Varianti dei simboli numerali etruschi
attestazione di contratto)
(in alto) e romani: molti di essi
per impedire contraffazioni.
derivano dalle incisioni su taglie.
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Altre rappresentazioni numeriche: NODI
Quipu incaico di moderata complessità.
Nodi “del mugnaio”
(Svizzera, fino a
tutto il XIX sec.);
chiudono il sacco di
farina e ne
attestano il peso.
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Lettura di un quipu:
disposizione ordinale
a base decimale.
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Altre rappresentazioni numeriche: DITA
Sistema di indigitatio
tramandato da Luca Pacioli
nella Summa stampata a Venezia
nel 1494.
Una sorta di lingua franca nei
mercati multilinguistici.
Alcune popolazioni, oltre alle
dita dei piedi (nudi), hanno usato
parecchie parti del corpo
associandovi i numeri naturali
fino a 30 e oltre.
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