Albori del calcolo numerico

UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI UDINE
A.A. 2007-2008
CORSO DI
STORIA DELL’INFORMATICA
parte curata dal docente Corrado Bonfanti
[email protected]
gli appunti, lezione per lezione, saranno disponibili alla pagina
http://nid.dimi.uniud.it/history/history.html
storia dell'informatica - UNIUD
2007-8 - c. bonfanti - traccia lez. 1
1
TRACCIA PER LA LEZIONE 1
martedì 22 aprile, ore 1630-1815, aula I
ARGOMENTI
• INTRODUZIONE AL CORSO
• ALBORI DEL CALCOLO NUMERICO
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2
QUESTO CORSO SI AVVALE
DELLA SPONSORIZZAZIONE DI
AICA
Associazione Italiana per l’Informatica
ed il Calcolo Automatico
http://aicanet.it
Rivista Mondo Digitale
Il Cantiere dei Mestieri
Certificazioni Professionali (ECDL , EUCIP, EQDL)
Premi di Laurea
storia dell'informatica - UNIUD
Quota 2007-8
Associativa
- c. bonfanti - Junior/Studenti
traccia lez. 1
3
ARGOMENTI
•
INTRODUZIONE AL CORSO.
•
ALBORI DEL CALCOLO NUMERICO:
tappe salienti di un percorso plurimillenario.
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Rappresentazione “uno a uno” con oggetti convenzionali di valore
unitario
Concetti inerenti:
- Cardinalità (numero naturale);
corrispondenza biunivoca?
- Confronto (>,=, <) e differenza;
- Numeri “piccoli”.
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Rappresentazione “uno per molti”: oggetti indicanti molteplicità
+
+
= 299
Sistema additivo
numeri “grandi”
Base della numerazione
(decimale, sessagesimale, mista)
Impronta moltiplicatrice:
forma primordiale di scrittura
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Sistema additivo con oggetti indicanti molteplicità
disposizione
alla rinfusa
disposizione ordinale
Strutturazione dell’informazione a parità di “contenuto” (349)
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aggregazione
“ordinata”
minimizzazione
364 + 166 = 530
Euristica per l‘algoritmo di somma nel sistema additivo
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Digressione sul sistema numerico degli antichi romani
ALCUNI SIMBOLI:
I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000
SISTEMA ADDITIVO PURO
esempio: MMCCCCLXXXIIII = 2484
- l’ordine (valore decrescente) in cui si susseguono i simboli
numerici è “comodo” ma non essenziale:
la notazione alla rinfusa LCCMIIIXCCIMXX rappresenterebbe
infatti lo stesso numero.
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- l’algoritmo di addizione rimane lo stesso visto prima (operando
adesso su simboli anziché su oggetti numerici).
364 + 166 = 530
-1-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC LL XX V IIIII
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- l’algoritmo di addizione rimane lo stesso visto prima (operando
adesso su simboli anziché su oggetti numerici).
364 + 166 = 530
-2-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC LL XX V IIIII
C
V
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- l’algoritmo di addizione rimane lo stesso visto prima (operando
adesso su simboli anziché su oggetti numerici).
364 + 166 = 530
-3-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC
C
XX V
V
------------------------------------ ----------------------
CCCCC
XX VV
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- l’algoritmo di addizione rimane lo stesso visto prima (operando
adesso su simboli anziché su oggetti numerici).
364 + 166 = 530
-4-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC
C
XX V
V
------------------------------------ ----------------------
CCCCC
D
XX VV
X
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- l’algoritmo di addizione rimane lo stesso visto prima (operando
adesso su simboli anziché su oggetti numerici).
364 + 166 = 530
-5-
CCC L X
CL X
IIII
V I
-------------------------------- ----------------------
CCCC
C
XX V
V
------------------------------------ ----------------------
D
XX
X
------------------------------------ ------------------
D
XXX
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SISTEMA MISTO ADDITIVO-SOTTRATTIVO
esempio: MMCDXXCIV = 2484
dove CD = 500-100 = 400; XXC = 100-20 = 80; IV = 5-1 = 4.
- minimizza il numero di simboli nella composizione dei numeri
(p.e. IX=VIIII=9) ma non è univoco (p.e. IIV=III=3);
- la posizione dei simboli è essenziale (ma attenzione: non si tratta
ancora della notazione posizionale!);
- l’algoritmo di addizione diventa estremamente complicato.
Anche i “nomi” latini di alcuni numeri s’ispirano al criterio
sottrattivo; duodeviginti (18), undeviginti (19).
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Dall’oggetto, all’impronta, al simbolo scritto
Bulla di argilla, vista in sezione.
Bulla con impronte
È una “bolla di
numeriche esterne e sigillo.
accompagnamento” per le merci
viaggianti.
Sigillo cilindrico a rotolamento e sua impronta in piano.
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Scrittura cuneiforme arcaica.
Calami di diverso calibro e con
diverse angolazioni, imprimono
sull’argilla fresca delle impronte
che richiamano le forme degli
“oggetti numerici”.
La tecnica dell’impronta-simbolo
subentra all’uso degli oggetti:
origine della scrittura.
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Simboli numerici espressi in forma “scritta”.
La qualità degli oggetti conteggiati è rappresentata in forma
ideografica abbastanza realistica.
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Calami per scrittura
cuneiforme in una
forma evoluta.
La stilizzazione dei simboliparola (capre, pecore …) è
ormai convenzionale e
distante dalla
verosimiglianza ideografica.
La scrittura con simboli
fonetici (sillabici e poi
alfabetici) è una conquista
successiva.
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Altre rappresentazioni numeriche: TAGLIE
Taglia su osso e cordicelle:
calendario riusabile basato
sul mese lunare.
Taglie su legno in uso nelle zone
alpine fino all’inizio del XX secolo.
Antica taglia finnica su legno
sezionata in due parti
(matrice/ricevuta;
Simboli numerali etruschi (in alto) e
attestazione di contratto).
romani: molti derivano dalle incisioni
su taglie.
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Altre rappresentazioni numeriche: NODI
Quipu incaico di moderata complessità.
Nodi “del mugnaio”
(Svizzera, fino a
tutto il xix sec.).
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Lettura di un quipu:
disposizione ordinale
a base decimale.
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Altre rappresentazioni numeriche: DITA
Sistema di indigitatio
tramandato da Luca Pacioli
nella Summa stampata a Venezia
nel 1494.
Una sorta di lingua franca nei
mercati multilinguistici.
Alcune popolazioni, oltre alle
dita dei piedi (nudi), hanno usato
parecchie parti del corpo
associandovi i numeri naturali
fino a 30 e oltre.
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LETTURA INTEGRATIVA
(disponibile sul sito)
Diana Bitto; “Numeri, segni, manipolazione: alla radice
degli strumenti di calcolo”; L’insegnamento della matematica
e delle scienze integrate; V.28 (2005), N.6, pp.513-532.
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Sinossi delle rappresentazioni numeriche
Natura “convenzionale”
degli oggetti e dei simboli
numerici (indipendenti
dalla natura degli oggetti
reali).
Progressiva astrazione delle
rappresentazioni
numeriche:
- dal concreto (numerazioni
figurate)
- all’astratto verbale
(numerazioni orali)
- all’astratto simbolico
(numerazioni scritte).
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SINTESI: il numero nel contesto sociale ed economico
STRUTTURA
SOCIALE
ATTIVITA’
RILEVANTI
IMPLICAZIONI
“NUMERICHE”
Tribù nomadi.
Cacciatori-raccoglitori.
Praticamente nulle.
Comunità stanziali.
Allevatori-agricoltoriartigiani. Economia di
sussistenza (produttori =
consumatori).
Rappresentazione di numeri
“piccoli”; conteggio; confronto
di quantità.
Agglomerati urbani e
gerarchia statale.
Produzione di surplus
destinati al commercio.
Tasse e tributi.
Contabilità.
Finanza: regole di società,
prestiti, suddivisione di
eredità.
Evoluzione delle
rappresentazioni numeriche:
oggetti indicanti molteplicità;
dall’”oggetto numerico” al
simbolo scritto.
Algoritmi euristici.
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Nel corso della lezione si è fatto riferimento principalmente alla storia culturale che
inizia nelle civiltà mesopotamiche, prosegue nell’Egitto e Oriente Vicino e approda al
periodo greco e romano.
In altre aree geografiche (Lontano Oriente, America centro-meridionale) si sono
verificate fasi evolutive sostanzialmente analoghe, anche se in tempi diversi e con
diverse modalità espressive.
Alcuni gruppi etnici si sono attestati stabilmente alla fase di tribù nomade o di
comunità stanziale e sopravvivono tuttora in ristrette zone, non senza rischio di
contaminazione/estinzione da parte della “civiltà” oggi dominante.
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SINTESI: dalle attività pratiche al pensiero matematico
ATTIVITÀ PRATICHE
SAPERI EURISTICI
Commercio delle produzioni
agricole e artigianali.
Tributi. Contabilità. Finanza.
ARITMETICA
Fondi agricoli. Confini.
Grandi opere (templi,
palazzi, cinte murarie,
canali irrigui).
GEOMETRIA
Cicli agrari. Navigazione.
Orologi solari. Astrologia,
riti magici e religiosi.
PENSIERO
MATEMATICO
ASTRONOMIA
TECNOLOGIE
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Per “pensiero matematico” s’intende la riflessione astratta sugli oggetti matematici
emergenti dai saperi euristici e considerati essi stessi come argomento di indagine
sistematica e non più solo come “strumenti” della vita pratica.
L’attitudine al pensiero matematico cominciò a manifestarsi allorché, all’interno della
struttura urbana-statale, si formarono le “comunità intellettuali” (scribi, sacerdoti,
insegnanti professionisti, …); il periodo di massimo rigoglio si colloca nell’area
mediterranea della Grecia classica ed ellenistica.
Qualche spunto per riflettere sullo sviluppo del pensiero numerico
Dall’aritmetica pratica sui numeri naturali …
... alle proprietà formali delle operazioni elementari (associativa, distributiva,
commutativa).
... all’omogeneità / disomogeneità della semantica dei numeri (numeri “puri” / numeri
“dotati di sostanza”).
Esempi: 4(volte)  4mele = 12mele; 4mele  4mele = ?;
4mele + 4pere = 8frutti; 4mele + 4pere + 5sedie = 13oggetti.
... all’estensione del campo numerico (interi, quindi zero e negativi; frazioni e quindi
razionali).
Da notare che, per motivi differenti, allo zero e ai negativi (“falsi” o “impossibili”) fino
all’epoca moderna è stata negata la dignità di numero; solo i contabili commerciali
associavano disinvoltamente ai numeri negativi il concetto di debito o di perdita /
ammanco.
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Dalle tecniche di misurazione (p.e. delle grandezze geometriche) …
... alla teoria dei rapporti e delle proporzioni;
... alla scoperta che, una volta introdotta l’unità di misura, i numeri possono servire ad
esprimere la misura di grandezze e non solo a contare oggetti.
Da notare che 4cubiti  4cubiti = 16cubitiquadrati, e quindi il problema della omogeneità /
disomogeneità semantica si generalizza in quello della omogeneità / disomogeneità
dimensionale.
... alla scoperta dei numeri irrazionali, non rappresentabili esattamente in forma numerica e
quindi “maneggiabili” solo con metafore verbali / simboliche (“radice quadrata di 2” / “”).
Da notare che la dimostrazione dell’irrazionalità di tutte le radici “non esatte” presuppone il
raffinato teorema dell’unicità della scomposizione in fattori primi, a parte l’ordine dei fattori
(Euclide).
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