Teorema del Viriale e stato fisico del gas stellare

Teorema del Viriale e stato
fisico del gas stellare
1
Pressione al centro di una stella: valore minimo
E’ possibile ricavare il valore minimo della pressione al centro senza
informazioni sulla composizione o stato fisico.
dP(r )
GM (r )  (r )

dr
r2
dM (r )
 4 r 2  (r )
dr
dP(r) dM(r) dP
GM


dr
dr
dM
4r 4
Si dividono tra loro le eq.
Si integra (Ms massa stella)

Un limite superiore è:

(Il raggio r < rs e quindi

Ms
0
Pc  Ps 

Ms
0
GM
dM
4
4r
M s GM
GM S2
GM
dM  
dM 
4
4
0
4 r
4 rs
8 rs4
GM GM

4
4 r
4 rs4
)
2
Quindi:
GMs2
Pc  Ps 
8rs4
Assumendo che la pressione sulla superficie della stella sia 0:
GM s2
Pc 
8 rs4
Per il sole:
Pc=4.5  1013 Nm-2 = 4.5  108 atm
Si vedrà che queste non sono condizioni normali per un gas.
3
Teorema del Viriale:
Come prima si prendono le due equazioni e si dividono tra loro:
dP(r )
dr
per
dM (r ) dP
GM


dr
dM
4 r 4
Si moltiplicano I due lati per 4r2
GM
4 r dP  3VdP  
dM
r
4r3
3
Ps
Ms
Pc
0
3 VdP   
Si integra su tutta la stella:
GM
dM
r
V è il volume contenuto entro il raggio r
Si integra per parti l’espressione a destra:
3 PV c  3 PdV   
s
Vs
Ms
Vc
0
GM
dM
r
 a( x)b( x)dx  a( x) B( x)   B( x)
da
dx
dx
Con B(x) integrale del differenziale
(B(x) è P in questo caso)
Al centro Vc=0 e sulla superficie Ps=0
4
Quindi
3  0 PdV 
Vs

Ms
0
GM
dM  0
r
Il termine a destra è l’Energia potenziale gravitazionale della
stella (energia rilasciata nel formare la stella con gas dall’infinito)
Se indichiamo tale energia con - allora il teorema del
Viriale diventa:
Vs
3 PdV    0
0
5
Temperatura minima di una stella:
La pressione, di cui abbiamo ricavato un valore minimo, è una variabile
importante sia nell’equazione di equilibrio idrostatico che nel teorema del Viriale.
Quali sono I processi fisici che danno origine alla pressione all’interno di una
stella?
• Pressione del gas Pg
• Pressione di radiazione Pr
Si dimostra che all’interno di una stella Pr è trascurabile e P è dominata da Pg.
Per farlo bisgna prima stimare la minima temperatura media di una stella
Si parte da:
 

Ms
0
GM
dM
r
Energia potenziale gravitazionale
6
Un limite superiore a tale energia è
  
Ms
0
M s GM
GM 2 s
GM
dM  
dM 
0
r
rs
2rs
Ora dM=dV e il teorema del Viriale diventa:
  3  0 PdV  3  0
Vs
Ms
P

dM
La pressione totale è data dalla somma di P = Pg +Pr
Assumiamo che la stella sia composta da un gas ideale e che Pr sia trascuarbile
k T
Equazione di stato di un gas ideale
m
dove n  numero di particelle per m3
m  massa media delle particelle
P  nkT 
k  costante di Boltzmann
7
Quindi
  3  0
Ms
P

dM  3  0
Ms
kT
dM
m
Utilizzando la diseguaglianza scritta in precedenza, otteniamo
  3  0
Ms


Ms
0
kT
GM s2
dM 
m
2rs
GM s2 m
TdM 
6krs
L’integrale a sinistra può essere pensato come la somma di tutte le
Temperature di tutti gli elementi di massa dM all’interno della stella. We
– risulta:
Allora la temperatura media della stella
T
Ms
 M s T   TdM
0
GM s m
T
6krs
8
Ad esempio per il sole si ha:
m
T  4  10
K
mH
6
dove mH  1.67  1027 kg
H e’ l’elemento più abbondante elemento nelle stelle e per idrogeno
completamente ionizzato m/mH=1/2 (ci sono due particelle, p + e–,per
ciascun atomo di H). Inoltre per ogni altro elemento, m/mH è minore e
quindi
–
 T > 2  106 K
9
Stato fisico del materiale stellare
La densità media del sole può essere facilmente stimata come:
av 
3M
3
-3
1.4
10
kgm
4r3
L’energia cinetica dei gas in una stella è molto maggiore del potenziale di
–
ionizzazione e quindi le particelle sono ionizzata: plasma. Può sopportare
T
–
grandi pressioni pur comportandosi ancora
T come un gas perfetto. Un gas può
considerarsi perfetto se la distanza media tra le particelle è molto maggiore
delle loro dimensioni. La dimensione nucleare e’ 10-15 m confrontata con quella
atomica di 10-10 m. Quindi il plasma si comporta come gas perfetto a
temperature più elevate.
Consideriamo ora la pressione di radiazione che può essere scritta come:
Prad
aT 4

3
con
a
4
 7.5657x1016 Jm 3 K 4
c
Dove a è la costante di radiazione
10
Confrontiamo la pressione del gas con la pressione di radiazione:
Pr aT 4 kT maT 3


Pg
3
m
3k
1.67  1027
6
3
3
Prendendo T ~ Tav  2  10 K,  ~  av  1.4  10 kgm e m 
kg
2
Pr
si ottiene
~ 104
Pg
Quindi la pressione di radiazione appare trascurabile nel sole. Alla fine,
senza sapere l’origine dell’energia generata all0interno di una stella siamo
stati in grado di derivare un valore medio della temperatura interna del Sole,
calcolare che è composto da plasma ideale, e che la pressione di radiazione
è trascurabile.
11
Dipendenza di Pr dalla massa stellare:
La pressione di radiazione può tuttavia diventare importante per stelle di
grande massa. Infatti se noi sostituiamo  con M/V otteniamo:
maT 3
4ma rs3T 3

3M s 
9k M s
3k 3 
4 rs 
Ms
Dal teorema del Viriale, T 
rs
Pr

Pg
Pr

 M s2
Pg
Allora la Pr può diventare significativa ad alte temperature.
12