Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.1
Supponiamo il problema
risolto.
Allora AP sarà uguale ad un
pezzo di PQ, sia PX, e BQ
sarà uguale a QX.
Ma se AP = PX, a che cosa è
uguale l’angolo PXA?
PQ è parallelo ad AB; a che
cosa è uguale PXA?
Allora perché BAX =
XAP?
Analogamente si ragiona
per QBX e XBA
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.2
Supponiamo il problema
risolto.
Allora AP sarà uguale ad un
pezzo di PQ, sia PX, e BQ
sarà uguale a QX.
Ma se AP = PX, a che cosa è
uguale l’angolo PXA?
PQ è parallelo ad AB; a che
cosa è uguale PXA?
Allora perché BAX =
XAP?
Analogamente si ragiona
per QBX e XBA
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.3
I primi riferimenti ad un procedimento di tale tipo
dimostrativo si trovano nella Repubblica di Platone:
nel celebre passaggio sulla dialettica l’autore espone
l’idea di un doppio percorso dalle idee ai principi
(ascendente) e dai principi alle idee (discendente).
Questo doppio percorso rappresenta un processo
completo di conoscenza. In tale forma viene ripreso,
meglio definito e chiarito da Aristotele. Egli riesce a
farne un procedimento dimostrativo.
Nel Commento al primo libro degli Elementi di
Euclide (V sec. d. C.) Proclo dice che Platone
insegnò il suo metodo (analisi ) a Leodama [di
Taso], che pare abbia fatto molte scoperte
geometriche per mezzo di esso.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.4
Dalle Collezioni matematiche di Pappo (ediz.
di Commandino 1660, Urbino):
“Scripserunt autem hac de rerum Euclides, qui elementa tradit,
tum Apollonius Pergaeus, tum Aristaeus senior. Quae quidem
per resolutionem, & compositionem procedit. Resolutio igitur
est via a quaesito tamquam concesso per ea, quae deinceps
consequuntur ad aliquod concessum in compositione: in
resolutione enim id quod quaeritur tamquam factum ponentes,
quid ex hoc contingat, consideramus: & rursum illius
antecedens, quousque ita progredientes incidamus in aliquod
iam cognitum, vel quod sit è numero principiorum. Et huismodi
processum resolutionem appellamus, veluti ex contrario factam
solutionem. In compositione autem per conversionem ponentes
tamquam iam factum id, quod postremum in resolutione
sumpsimus: atque hic ordinantes secundum naturam ea
antecedentia, quae illic consequentia erant; & mutua illorum
facta compositione ad quaesiti finem pervenimus, & hic modus
vocatur compositio”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.5
In italiano il brano è tradotto in Fonti per la storia della
matematica di U. Bottazzini, P. Freguglia, L. Toti
Rigatelli (1992), p. 88
“Fu scritto in merito da tre insigni matematici: Euclide,
l’autore degli Elementi, Apollonio di Perga ed Aristeo il
Vecchio, e il loro approccio [allo studio della geometria]
avviene appunto attraverso i metodi dell’analisi e della
sintesi. L’analisi è dunque la via, la procedura, che parte
da ciò che si cerca, considerato come concesso, per
giungere passo dopo passo alla sintesi. Cioè in analisi noi
assumiamo ciò che è cercato come se già fosse stato
ottenuto, e cerchiamo la cosa da cui esso segue, e ancora
ciò che viene prima di questa,...”
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.6
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.7
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.8
Problema VIII (Ghetaldi, 1630, pp.92-93):
Data base trianguli, angulum rectum
subtendente, & differentia crurum. Invenire
triangulum.
90°, base D, differenza lati B.
90°, base AB, differenza lati Z
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.9
Presentiamo la dimostrazione secondo lo schema
(“conspectus”)
Supponiamo il problema risolto.
Sia A = somma lati
A/2 + B/2 = lM
A/2 B/2 = lm
DB2 + ED2 = AB2
lM2 + lm2 = D2
EB2/2 + FB2/2 = AB2
A2/2 + B2/2 = D2
EB2 + FB2 = 2AB2
A2 + B2 = 2D2
EB2 = 2AB2 FB2
A2 = 2D2 B2
EB2 = 2AB2 Z2
[questo, come osserva l’autore
EB2 = CB2 EC2
stesso, è il porisma che permette
di trovare la somma dei lati]
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.10
«Verificare l’esistenza di un limite mediante la
definizione (scelto >0 esiste >0 ...)»
Supponiamo risolto
il problema, cioè
che esista >0 tale
che
|f(x) l|<, se .... Si
ricava
<f(x) l<
e con successivi
passaggi si arriva a
x0()<x<x0+),
cioè il in funzione
di cercato.
Poiché per ipotesi
esiste >0, esiste
()>0 tale che se
x0()<x<x0+(),
allora
|f(x) l|<
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.11
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.12
Le uguaglianze sono fondamentali in algebra, ma non
sono proprie solo dell’algebra
Euclide, Elementi, Libro I, Nozioni comuni:
1. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali
anche fra loro
2. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le
totalità sono uguali
3. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti
sono uguali.
(2) e (3) sono in Al-Khwarizmi (al-jabr = restaurare,
completare e al-muqabala = bilanciare, confrontare)
Euclide le usa in una forma ‘quasi algebrica’ (vedere
Prop.III-35)
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.13
Euclide, Elementi, Libro II
Le prime 10 proposizioni possono essere
viste come identità algebriche provate
geometricamente; la 11 e la 14 sono
equazioni
- i numeri sono sostituiti da segmenti di retta
- la somma e la differenza tra numeri è
l’ordinaria somma o differenza tra segmenti
- il prodotto di due numeri è l’area di un
rettangolo i cui lati rappresentano i numeri
dati
- il prodotto di tre numeri è il volume
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.14
Euclide, Elementi,
Libro II, 4
Si divida AB nel punto C e si costruisca il quadrato di lato
AB. Preso sul lato BE il punto K tale che BK = CB si
traccino da C e da K le parallele rispettivamente ai lati BE e
DF. In tal modo il quadrato ABED risulta scomposto nei
due quadrati CBKG, HGFD e nei due rettangoli uguali
GKEF e ACGH. Posto a = AC, b = BC. Si ha:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.15
L’uso delle uguaglianze in Euclide è
caratterizzato da un ambiente non
numerico. Si confrontano grandezze, non
la loro misura. Le operazioni che si fanno
sono “mettere insieme”, “ottenere un
rettangolo con due dati lati”, ...
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.16
Si può parlare di una aritmetica delle
grandezze, ma il significato è molto
diverso rispetto a quella dei numeri.
Non ci sono i simboli numerici, qui i
simboli (per esempio, AC per indicare
un segmento) non hanno significato
per loro stessi.
Le grandezze
risultato di un’operazione hanno
significato in relazione a quelle da cui
provengono.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.17
Il Libro V degli Elementi riguarda la
teoria delle proporzioni
Def. V.3. Rapporto fra due grandezze
omogenee è un certo modo di
comportarsi rispetto alla quantità
Def.V.5. (in termini moderni)
m, n N, ma >nb ma >nd
ma =nb ma = nd
ma < nb ma < nd
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.18
L’uguaglianza
di
rapporti
coinvolge non solo le grandezze,
ma anche relazioni fra esse.
Siamo ad un secondo livello di
astrazione in cui usiamo relazioni
di
primo
livello
(uguale,
maggiore, minore).
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.19
Riassumendo:
Le uguaglianze presso i Greci hanno due
aspetti:
uguaglianze di grandezze
uguaglianze di rapporti (proporzioni)
Due grandezze che sono uguali devono
essere dello stesso tipo (segmenti, aree,
volumi). Per i rapporti ciò è solo
parzialmente vero: si confrontano
rapporti che possono essere da una parte
tra aree ed aree e dall’altra tra segmenti e
segmenti.
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.20
Lo storico danese Zeuthen (1892) ha introdotto il
nome di “Algebra geometrica” a proposito del
metodo e del trattamento delle quantità usati per
risolvere i problemi nel libro II degli Elementi.
Discussione accesa (anni 1975-79): da una parte
Zeuthen, Tannery, Neugebauer, van der Waerden;
dall’altra Freudenthal, Mahoney, Seidenberg,
Unguru, A. Weil.
Questa discussione è collegata alla risposta che si dà
alla domanda “Che cosa è l’algebra?”
Per esempio, quando proponiamo agli studenti un
problema del tipo 5 + ∆ = 14, chiediamo di risolvere
un’equazione o solo di fare dei calcoli su numeri?
Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi
d’insegnamento/apprendimento 2.21
Van der Waerden (1976) dice:
“Quando parlo di algebra babilonese o greca o araba,
intendo algebra nel senso di Al-Khwarizmi o dell’Ars
Magna di Cardano, o nel senso della nostra algebra
scolastica. L’algebra, allora, è l’arte di manipolare
espressioni algebriche come (a + b)2 e di risolvere
equazioni come x2 ax = b [...] senza curarsi del
simbolismo usato nel testo.
Se questa definizione è applicata ad un testo arabo o
babilonese è irrilevante quale simbolismo il testo
usa”.
