Le pulsar binarie come laboratorio della Gravitazione:
la Pulsar 1913 + 16 e la PSR J0737-3039A/B
Sommario
• Introduzione sulle pulsar
• Misura dei tempi di arrivo
• Test di Relatività Generale
• Parkes Pulsar Timing Array
PULSAR
Pulsar = stella di neutroni in rapida
rotazione con un campo magnetico
molto elevato che emettono un fascio
collimato di onde radio
2
P
L'emissione radio, provenendo dai poli magnetici della stella, è
confinato entro un piccolo cono di emissione e, se l'asse magnetico non
e' allineato con quello rotazionale, la stella di neutroni si comporta
come una sorta di faro cosmico e un osservatore sulla Terra vedrà una
sequenza di impulsi di onde radio.
L’angolo è ciò che ci garantisce
l’anisotropia del sistema. Qualunque
oggetto ruoti con la stella ha velocità di
corotazione v r
c
Invertendo la relazione si trova una
grandezza caratteristica che è il raggio
del cilindro della velocità della luce R
L
L’energia della pulsar è
immagazzinata in un solo
grado di libertà
1
Erot
2
I
c
Prima di riportare il tempo d’arrivo degli impulsi osservato a Terra in tempo proprio della
Pulsar occorre correggere la “Dispersione”. Essa è dovuta alla propagazione del segnale
elettromagnetico attraverso gli elettroni liberi del mezzo interstellare. Le componenti a bassa
frequenza del segnale sono ritardate maggiormente.
Per correggere si rivela ad esempio nell’’intervallo 1383-1423 MHz diviso in 32 sottobande da
1.25 MHz.
Il tempo d’arrivo dell’impulso è dedotto misurando la differenza di fase tra ciascun profilo ed
il corrispondente profilo di riferimento ottenuto mediando a lungo i dati. Si corregge poi per la
dispersione
D
DM[cm pc] ne dl
3
0
Misura dei periodi della pulsar
• L’osservazione comincia ad un tempo noto e quando si hanno più di 1000 medie per
ottenere il profilo medio dell’impulso
• La cross-correlation con una “sagoma” standard serve per dare un tempo di arrivo al
telescopio del punto di fiducia sul profilo, che di solito è il picco (TOA, tempo di arrivo
dell’impulso)
• Si misurano una serie di TOA per giorni, settimane, mesi, anni
• Si comparano i TOA osservati con i valori prodotti da un modello per la pulsar usando
TEMPO (programma di simulazione), le differenze sono chiamate tempi residui
• Si procede al fit dei residui osservati con gli errori sui parametri del modello
Poiché la pulsar è in orbita insieme ad un altro corpo la distanza tra la sorgente di onde
radio e la Terra cambia lungo l'orbita. Impulsi successivi dunque coprono distanze
differenti e giungono all'osservatore a tempi differenti. In particolare un osservatore
misurerà una variazione sinusoidale nei tempi di arrivo (TOA, times of arrival) degli
impulsi di una pulsar appartenente ad un sistema binario.
…dopo il fit del modello:
PSR 1913+16
Vicino all’ Apoastro il campo gravitazionale è più forte e lo scorrere del tempo è
rallentato (redshift gravitazionale): il tempo tra gli impulsi ricevuti si allunga, come
previsto da Einstein.
L’orologio della pulsar è rallentato quando viaggia più veloce e si trova nella zona
di spazio dove il campo gravitazionale è più forte.
Lo scorrere del tempo poi accelera di nuovo quando siamo nella zona di campo
debole.
Periastro
Periastro
La frequenza di ripetizione degli impulsi è utilizzata per dedurre la velocità orbitale.
Quando la pulsar si muove verso l’osservatore è vicina al periastro e la frequenza di ripetizione è
più alta; quando invece è lontana dall’osservatore, cioè all’apoastro, la frequenza degli impulsi
diminuisce.
Il fatto che le velocità negative (blue shift, più vicino) siano più grandi delle positive (red shift,
più lontano) implica che l’orbita abbia una forte eccentricità.
PSR 1913+16
Poiché la pulsar è l’unico oggetto visibile del sistema binario per datare il sistema si analizza
il suo segnale radio che equivale ad avere le linee spettrali da uno solo dei membri di un
sistema ottico. È per tale motivo che questi sistemi sono noti come “binarie spettroscopiche a
singola linea”, ed esistono metodi standard per analizzarli.
Scegliamo un sistema di riferimento (t , x ) nella quale la metrica fisica è di ordine postNewtoniano ovunque eccetto nelle vicinanze della pulsar e della compagna, ed è asintoticamente
piatta.
angolo di posizione della linea dei nodi,
i = inclinazione,
w longitudine del periastro,
a = semiasse maggiore,
e = eccentricità,
T0
= il tempo del passaggio al periastro.
La coordinata di posizione relativa istantanea
x x2 x1 è data da:
1
2 2
x a[(cos E e )eˆ P (1 e ) sin EeˆQ ]
êP
êQ
Versore in direzione del periastro della pulsar
Versore perpendicolare al precedente
E Anomalia eccentrica relativa alla coordinata di tempo t data da
2
t T0
E e sin E
Pb
Pb
Periodo orbitale della binaria
La separazione relativa è data da r x a(1 e cos E )
III legge di Keplero:
Pb a 3
2 Gm
1
2
m m1 m2
G 6,673 108 dinecm2 g 2
Somma delle masse inerziali dei due corpi
Il centro di massa del sistema è scelto a riposo
x1 m2 m x,
m1 x1 m2 x2
X
0
m
x2 m1 mx
Ogni perturbazione dell’orbita è vista come causa di cambiamento degli elementi orbitali , i, w,
a, e dell’orbita. Dato un set di valori ad ogni istante le equazioni precedenti definiscono le
collocazioni delle coordinate dei due corpi. Le variazioni degli elementi possono essere sia
periodici che secolari.
Considerando l’emissione dei segnali radio dalla pulsar, preso t come tempo proprio misurato da
un ipotetico orologio in un riferimento inerziale sulla superficie della pulsar, allora il tempo di
emissione dell’N-simo impulso è dato in termini di frequenza di rotazione n della pulsar da:
1 2 1 3
N N 0 nt nt nt ...
2
6 dn
N 0 Costante di integrazione arbitraria;
n
dt
,
t 0
Timing formula
d 2n
n 2
dt
t 0
Lo scopo è quello di esprimete la timing formula in funzione del tempo di arrivo t arr , in
pratica si deve prendere in considerazione il tempo di arrivo, che è quello misurato sulla
Terra, e non nel baricentro del sistema solare, quindi sarà affetto dalla posizione della Terra
nella sua orbita, dalle correzioni Doppler e del Red shift gravitazionale.
Il tempo proprio al punto di emissione della pulsar in funzione del tempo coordinato t è:
*
2
2 2
1
m 1
dt dt 1
v O(4)
r
2
*
2 parametro PPN
Redshift gravitazionale Shift Doppler del II ordine
2
m
Possiamo riscriverla sapendo che
v 2 G 2
dt
m2 Gm
1
dt
r
mr
*
2
1
2
2
2 1
m r a
Usando le equazioni iniziali possiamo integrare e trovare
m 2 * Gm2 Pb
t t
e sin E
2
m 2
a
G Combinazione di PPN
Calcolo la coordinata temporale per il segnale che viaggia dalla pulsar fino al baricentro del
sistema solare, x 0 :
2r0 t arr
*
*
t arr t x0 t arr x1 t 2 2 m2 ln
r t x t nˆ
x
r0 x0 , nˆ 0 ,
dove
r0 r
r0
Ritardo temporale del segnale della pulsar nel campo gravitazionale del compagno; il
ritardo temporale dovuto al campo della pulsar è stato omesso.
Si deve tenere in conto che si vuole il tempo di arrivo misurato sulla superficie della Terra, e non
al baricentro del sistema solare, quindi la misura sarà affetta dalla posizione della Terra nella sua
orbita, dal proprio Red shift gravitazionale e da correzioni Doppler.
L’effetto della posizione orbitale della Terra sul tempo di arrivo permette determinazioni accurate
della posizione della pulsar in cielo; in aggiunta è anche necessario prendere in considerazione gli
effetti della dispersione interstellare nel segnale radio. Poiché r0 r si può scrivere
r
x0 t arr x1 t r0 t arr x1 t nˆ O
r0
Combinando
le due espressioni precedenti e usando la risultante per esprimere x1 (t ) in termini
di
x1 (t arr ) si ottiene
t tarr r0 x1 tarr r0 nˆ x1 tarr r0 nˆ x1 tarr r0 nˆ O3tarr
dove l’ultimo termine è il ritardo temporale.
Dalla figura si trova che
eˆP nˆ sin i sin w, eˆQ nˆ sin i cos w
t t arr A(cos E e) ( B C ) sin E
(2 Pb )(1 e cos E ) 1 ( A sin E B cos E )[ A(cos E e ) B sin E ]
[O(3)t arr ]
dove
A a1 sin i sin w, B (1 e 2 )1 2 a1 sin i cos w,
C (m 22 ma 1 )( 2* Gm2 m )( Pb 2 )e
a1 (m2 m)a
Quindi la timing formula diventa:
N N 0 vt arr vA(cos E e) v ( B C ) sin E
v (2 Pb )(1 e cos E ) 1 ( A sin E B cos E )[ A(cos E e ) B sin E ]
1 2
1 3
vt arr vt arr [ A(cos E e ) B sin E ] vt arr ...
2
6
La differenza tra il tempo di arrivo prodotto e quello osservato è usato per
correggere i parametri usando il metodo dei minimi quadrati.
Variazioni possibili con il tempo dei parametri risultanti dalle perturbazioni del sistema
possono anche essere determinate sostituendo
w w wt ...
e e et ...
N N 0 vt arr vA(cos E e) v ( B C ) sin E
v (2 Pb )(1 e cos E ) ( A sin E B cos E )[ A(cos E e ) B sin E ]
1
1 2
1 3
vt arr vt arr [ A(cos E e ) B sin E ] vt arr ...
2
6
a) Periodo della pulsar
I termini lineari, quadratico e cubico in t arr nella formula del tempo determina il periodo di
effettiva pulsazione e le sue derivate. I risultati dei fit ai minimi quadrati considerando i dati
dell’Agosto del 1980 sono:
1
P
2
18
1
P
, eccetto un limite superiore dovuto al fatto
Non è stata possibile nessuna determinazione di P
P
che PP non cambia di più dell’errore sperimentale su un tempo scala di un anno
P n 0.0590299952695 8s
P nn (8.636 0.010) 10 ss
6 10 28 s
P
P
s2
N N 0 vt arr vA(cos E e) v ( B C ) sin E
v (2 Pb )(1 e cos E ) 1 ( A sin E B cos E )[ A(cos E e ) B sin E ]
1 2
1 3
vt arr vt arr [ A(cos E e ) B sin E ] vt arr ...
2
6
b) La curva di velocità
Il termine evidenziato è riferito alla curva di velocità. La derivata temporale di questi termini
n
produce lo shift al primo ordine Doppler della frequenza della pulsar, dato da
n
v1 nˆ
Questa variazione in frequenza è la quantità usualmente misurata nelle binarie spettroscopiche.
Da questi parametri è convenzionale determinare, oltre a A, B, e, Pb :
• la direzione del periastro all’epoca data
tan w 1 e
• la proiezione del semiasse maggiore della pulsar
• la funzione di massa della pulsar
f1
B
A
a1 sin i [ A B 1 e
3
m 2 sin i
m2
1
2 2
2
2
2 1 1 2
m m1 m2
]
c) Lo shift del periastro
Dalla sostituzione
t nelle espressioni per A e B nella curva di velocità kepleriana1
. Il miglior valore èw 4.226 0.001anno
si può fare un’accurata determinazione di w
ovvero si osserva in un giorno che Mercurio (w 0,00012anno1 ) compie in un secolo.
w
w w
N N 0 vt arr vA(cos E e) v ( B C ) sin E
v (2 Pb )(1 e cos E ) 1 ( A sin E B cos E )[ A(cos E e ) B sin E ]
1 2
1 3
vt arr vt arr [ A(cos E e ) B sin E ] vt arr ...
2
6
d) Il red shift gravitazionale e lo shift Doppler del II ordine
Questo termine rappresenta l’effetto combinato del red shift gravitazionale della frequenza della
pulsar prodotta dal campo gravitazionale del compagno e lo shift del secondo ordine Doppler
prodotto dal movimento della pulsar.
e) Decadimento dell’orbita: un test per l’esistenza della radiazione gravitazionale
Una varietà di effetti potrebbe causare la variazione con il tempo del periodo orbitale Pb del
sistema, ma il più importante è l’effetto di emissione di radiazione gravitazionale. Un sistema
binario potrebbe perdere energia per radiazione gravitazionale ad un rate dato da
m1 m 2
dE
32
dt
5
m
m
a
1
2
2
5
73 2 37 4
2
1
e
e
1
e
24
96
7
2
7
2
m1m2 m1 m2
Il rate risultante di cambiamento di
Pb
è dato dalla III legge di Keplero
dPb
3 1 dE
P
E
dt
2
dt
1
b
5
3
73 2 37 4
dPb
192 2 m1 m2
2
1
e
e
1
e
dt
5
Pb
m
m
24
96
2
1
Sono state dedotte previsioni diverse sull’avanzamento del periastro sulla base della natura dei
corpi in gioco.
Il valore misurato dello shift del periastro costringe a muoversi nel piano (m1,m2) lungo la linea
BH-NS-WD, corrispondente ad m1 m2 2,85M sole
Il valore di red-shift misurato costringe a muoversi lungo le linee tratteggiate marcate dalle lettera
2
3
m m m2
C 2.93 10 3 2
1
s
m
m
m
I valori massimo e minimo di dPb/dt
chiudono la zona grigia
Il valore più probabile è indicato
dalla lettera a
Dati i parametri orbitali eassumendo la RG si trova i parametri post-Kepleriani:
l’avanzamento del periastro,
Red-shift gravitazionale,
w 4,226628(18)anni 1
4,294(3)ms
decadimento del periodo orbitale,
Shapiro delay, s sin
Pb 2.425(10) 10 12
i " shape"
r m2 " range"
M p 1,4408 0,0003M sole
M c 1,3873 0,0003M sole
Le predizioni di
Pb sono consistenti con la RG al 99,5%.
• prima scoperta di una pulsar binaria;
• prime determinazioni accurate sulle masse di stelle di neutroni;
• prima evidenza osservativa di onde gravitazionali;
• conferma della Relatività Generale con una descrizione accurata delle interazioni
gravitazionali in un campo forte.
L’orbita si restringe di un centimetro al giorno
Le due stelle si fonderanno in
circa 300 milioni di anni
Parametri base della PSR J0737-3039A/B
A:
B:
P
22.7 ms
2.77 s
P
1.7 x 10-18
0.88 x 10-15
tc
205 Myr
50 Myr
BS
6 x 109 G
1.6 x 1012 G
RLC
1,080 km
1.32 x 105 km
BLC
5 x 103 G
0.7 G
E
6 x 1033 erg s-1
1.6 x 1030 erg s-1
.
.
Nel corso di ciascuna rivoluzione, la componente A compie quasi 390 mila rotazioni su
se stessa; la componente B, che è una pulsar non “al millisecondo” ne compie solo 3200.
L’emissione dalla PSR J0737-3039A subisce un’eclisse brevissima, dell’ordine di 1820 secondi, in corrispondenza alla fase orbitale detta di congiunzione.
PSR J0737-3039 A/B
Le due stelle ruotano una intorno all'altra con un periodo di rivoluzione di sole 2,4 ore e le
osservazioni mostrano che il forte campo di radiazione di PSR J0737-3039A influenza la
magnetosfera di PSR J0737-3039B, provocando drammatiche variazioni dell'intensità del
segnale. Questo effetto potrà essere utilizzato per sondare per la prima volta le proprietà della
magnetosfera di una stella di neutroni.
Configurazione fisica del sistema binario
Le orbite delle due pulsar. Sono segnati in
giallo i due archi nei quali riusciamo a
ricevere il segnale emesso dalla componente
B: il cerchio rosa dà un’idea delle
dimensioni della sua magnetosfera.
Nel disegno in basso, con le orbite viste di
lato, si apprezza come, alla congiunzione, il
segnale radio proveniente dalla componente
A debba filtrare attraverso la magnetosfera
della B per giungere all’osservatore
terrestre.
La componente B della coppia di pulsar fa
sentire il suo segnale solo in certe fasi
dell’orbita: in altre il segnale è molto debole o
manca del tutto. Le fasi di “accensione” sono
le stesse a tutte le radiofrequenze e
corrispondono a due archi dell’orbita, ampi
ciascuno una trentina di gradi, collocati nella
sezione di orbita più vicina alla Terra, appena
prima e dopo la congiunzione (linea blu
verticale) delle due componenti. Nelle fasi
orbitali di elevata o di scarsa visibilità cambia
il profilo dell’impulso (lo si vede “leggendo” il
grafico lungo la verticale, per circa 2 decimi di
secondo
centrati
attorno
al
tempo
dell’impulso): nella prima fase il profilo
presenta un picco principale e uno secondario;
nella seconda mostra due picchi di quasi
identica intensità, mentre nelle fasi di bassa
visibilità il profilo è a picco singolo. Si pensa
che la causa di ciò vada ricercata
nell’interazione dei fasci d’emissione radio
delle due componenti.
• Da cosa dipende questa variabilità?
Fra le due pulsar del sistema doppio, la A emette energia a un tasso 3600 volte
superiore a quello della B. La sua potenza energetica è pari a circa una volta e mezza
la potenza del Sole, ma mentre la maggior parte dell’energia del Sole è rilasciata a
lunghezze d’onda ottiche, la grande maggioranza della potenza emessa dalla PSR
J0737-3039A è in forma di radiazioni ionizzanti e altamente penetranti! Quindi alla
distanza media che separa la PSR J0737-3039B dalla PSR J0737-3039A (900 mila
km): il bombardamento energetico ad opera della PSR J0737-3039A non può non
influire sulla compagna e in particolare sui delicati meccanismi che presiedono alla
generazione del suo segnale radio pulsato.
• Perché è variabile lungo l’orbità?
Se si assume che il flusso energetico di A non sia omnidirezionale ma venga
rilasciato preferenzialmente lungo direzioni privilegiate, si può supporre che la
maggior parte dell’energia venga incanalata lungo lo stesso cono da cui si origina
l’emissione radio. In questo caso, è evidente che la PSR J0737-3039A esercita la
massima influenza sulla PSR J0737-3039B quando il suo cono di emissione colpisce
in pieno il cono di emissione della PSR J0737-3039B, il che, a seconda
dell’inclinazione dei coni stessi rispetto al piano orbitale, avviene solo a certe fasi
orbitali.
PSR J0737-3039 A/B
Dall'analisi dei TOA è possibile misurare
non soltanto i parametri rotazionali
(periodo e sua derivata) e kepleriani
(periodo orbitale, eccentricità, proiezione
del
semiasse
maggiore
dell'orbita,
longitudine del periastro e tempo del
passaggio al periastro) ma anche fino a
cinque parametri post-kepleriani connessi
con effetti relativistici: l'avanzamento del
periastro, il restringimento dell'orbita
dovuto alla perdita di energia sotto forma di
onde gravitazionali, il parametro gamma,
che misura il redshift gravitazionale, la
dilatazione dei tempi, il valore e la forma
del ritardo di Shapiro prodotto dalla
deformazione dello spazio-tempo nei
dintorni della pulsar.
L'aspettativa maggiore, però, è che l'osservazione prolungata di queste due pulsar permetta alla
fine di comprendere come si comporta la materia nel cuore di una stella di neutroni, là dove la
densità supera addirittura quella dei nuclei atomici, arrivando a un miliardo di tonnellate per
centimetro cubo. Non esiste laboratorio terrestre in grado di ricreare simili condizioni.
1
w 17anno
M A M B 2,588M sole
+
s, ( r )
M A 1,337 M sole
M B 1,250 M sole
(i 87,5 0,06)
(Damour)
,
aB
aB M A
R
aA M B
I test che la coppia di pulsar ha consentito di svolgere sono quattro, e si basano sulle
misura di alcuni complessi parametri del sistema doppio, detti “post-kepleriani”:
l’avanzamento del periastro, cioè lo spostamento progressivo del punto di minor
distanza fra le orbite ellittiche delle due pulsar; il redshift gravitazionale, ovvero la
dilatazione della lunghezza d’onda degli impulsi; il decadimento dell’orbita, che
porterà le due pulsar a fondersi tra circa 85 milioni di anni; e infine il cosiddetto
ritardo di Shapiro, causato dalla deformazione dello spazio-tempo nei dintorni delle
pulsar.
Test di RG basato su:
Aspettati in RG:
Osservati:
Diversi gruppi di ricerca in tutto il mondo stanno aderendo al progetto di costruire un timing
array (Parkes Pulsar Timing Array), che consenta di misurare i tempi di arrivo dei segnali dalle
pulsar al millisecondo, con un errore dell’ordine del microsecondo.
• Lo sviluppo di nuove ricevitori hardware e sistemi di acquisizione dati;
• Sviluppo di nuovi programmi di analisi: SuperTEMPO;
• Ci sarà una cooperazione con gli osservatori dell’emisfero settentrionale e quindi l’accesso ai
dati del nord del cielo
Il progetto PPTA mira a:
rivelare onde gravitazionali di origine astrofisica;
stabilire un tempo scala basato sulle pulsar, oltre a investigare presunte irregolarità nel tempo
scala terrestre;
migliorare le effemeridi che sono utilizzate per la correzione del baricentro del Sistema Solare
Per raggiungere questi obiettivi sono necessarie osservazioni
settimanali di circa 20 pulsar al millisecondo per almeno 5
anni, con precisioni di TOA di 100 ns per 10 pulsar e <10s
per le restanti.
Costruzione 2012-2020.
Bibliografia
“Theory and experiment in gravitational physics”, Clifford M. Will, 1980;
“The Confrontation between General Relativity and Experiment”, C. M. Will, arXiv:grqc/0103036v1, 12 Marzo 2001;
“Was einstein right? Testing relativity at the centenary”, C. M. Will, arXiv:gr-qc/0504086v1, 19
Aprile 2005
“Further osservations of the binary pulsar PSR 1913+16”, J. H. Taylor, R. Hulse, Astrophysical
Journal, 206:L53-L58, 15 Maggio 1976;
“T. Damour, J. H. Taylor, Astrophysical Journal 345, 434 (1989);
“R. N. Manchester, J. H. Taylor, Pulsars (Freeman, San Francisco 1977);
B. P. Flannery, E. P. J. Van den Heuvel, Astron. Astrophys. 39, 61 (1975);
"Measurements of General Relativistic Effects in the Binary Pulsar PSR1913+16" Taylor, J.H.,
Fowler, L.A. and Weisberg, J.M. 1979, Nature 277, 437.
“On the measurement of the mass of PSR 1913+16”, Blandford e Teukolsky, Astrophysical
Journal, 198:L27-L29, 15 Maggio 1975;
“Arrival-time analysis for a pulsar in a binary system”, Blandford e Teukolsky, Astrophysical
Journal, 205:580-591, 15 Aprile 1976;
“A double-pulsar system: a rare laboratory for Relativistic Gravity and plasma physics”, A. G.
Lyne, Science 303,1153(2004);
“The formation of the double pulsar PSR J0737-3039 A/B”, H. Stairs et all, astroph/0609416v2, 15 Settembre 2006;
“The doble pulsar PSR J0737-3039 A/B”, A. Possenti et all
“The mean pulse profile of PSR J0737-3039 A”, R. Manchester et all, astro-ph/0501665v1, 31
Gennaio 2005;
