Presentazione di PowerPoint

Il Moto
Partendo da una quesito assegnato nei test
di ingresso alla facoltà di medicina, si
analizza il moto di un oggetto.
Quesito 63 - (2004)
M
R
S
Il conducente di un treno, fra
due fermate R e S, mantiene una
velocità che è quella della figura
sottostante in cui negli istanti t1,
t2, t3 si trova rispettivamente in
R, nel punto intermedio M ed in
S. Allora si può affermare che:
1) l'accelerazione è massima in S
2) l'accelerazione è minima in R
3) l'accelerazione è nulla in M
4) l'accelerazione è nulla in R ed in S
5) l'accelerazione tra R e M è uguale a quella tra M e S
5° Quesito (Evento)
Un corpo è in moto se, rispetto ad un osservatore, la sua posizione cambia nel
tempo. Il moto del corpo può essere rappresentato mediante un sistema di assi
cartesiani ortogonali, tOs.
Ogni punto, A, del piano rappresenta un evento.
s
Un evento è qualcosa che accade in un certo
luogo, sA, ad un certo istante di tempo, tA.
A
sA
O
tA
Quindi ogni punto, A, del piano spazio-tempo,
tOs, è individuato da due coordinate: la
posizione, sA, occupata del corpo e l’istante di
tempo tA che registra la posizione del corpo.
t
5° Quesito (Relazione spazio-tempo)
A, B, C, D , E,
Una successione di eventi,
nel grafico spazio-tempo fornisce
una relazione tra la posizione
occupata dal corpo ed il
corrispondente istante di tempo.
s
C
sC
D
sD
sE
La relazione spazio-tempo:
E
B
s = f(t)
sB
è una generica curva la cui forma
dipende da come si muove il corpo.
A
sA
O
t A tB tC
tD
tE
t
5° Quesito (Intervallo di tempo e distanza)
Nel diagramma spazio-tempo, tOs, si prendono due eventi:
e
B
In un intervallo di tempo:
B
s
A
DtAB = tB – tA
sB
Ds AB
Ds AB
A
sA
lo spazio percorso dal corpo è:
O
tA
tB
Dt AB
t
DsAB = sB – sA
5° Quesito (Intervallo di tempo e distanza)
Si consideri il caso in cui il corpo si muove lungo una retta (moto rettilineo).
In un diagramma spazio –tempo il moto è rappresentato, nel caso generale di
un moto vario, da una curva.
La curva è la rappresentazione grafica
della relazione matematica che
intercorre tra lo spazio percorso ed il
corrispondente tempo:
s
s=f(t)
È necessario notare che la curva non
rappresenta la traiettoria seguita
dal corpo.
O
t
5° Quesito (Velocità)
Sul grafico spazio-tempo si prendono due intervalli di tempo uguali.
Dt 1  Dt 2
Dalla rappresentazione grafica si
nota che, in questi due intervalli di
tempo, gli spazi percorsi sono
diversi.
s
Ds 2
Ds1  Ds 2
Ds1
t
O
Dt 1
Dt 2
Poiché negli stessi intervalli di
tempo il corpo si sposta in modo
diverso, vuol dire che il moto è
vario. Pertanto per indicare le
modalità con cui il corpo si muove,
si introduce il concetto di velocità.
5° Quesito (Velocità)
Sul grafico spazio-tempo di un corpo, che si muove lungo una retta di moto
vario, si prendono due punti-eventi, A e B.
B
sB s
Ds AB
sA
O
Ds AB
La velocità, v, viene definita come
il rapporto incrementale tra le
variazioni di posizioni, Ds, ed il
corrispondente intervallo di tempo,
Dt:
Ds s B  s A
v

Dt t B  t A
A
tA
tB
Dt AB
t
5° Quesito (Retta)
Richiami di geometria analitica: la retta.
Su di un sistema di assi cartesiani ortogonali, xOy,
Ax A , y A 
Le coordinate dei due punti sono:
Bx B , y B 
Per i due punti, A e B, passa una retta
B
y
si prendono due punti, A e B.
il cui coefficiente angolare, m, è:
yB
Dy y B  y A
m

Dx x B  x A
Dy
A
dove Dy e Dx sono gli incrementi o le
variazioni delle variabili y e x.
yA
Dy  y B  y A
O
xB
xA
Dx
x
Dx  x B  x A
5° Quesito (Coefficiente angolare)
Significato del coefficiente angolare, m.
Il coefficiente angolare, m, indica la pendenza della retta rispetto all’asse delle
ascisse crescenti. Tale coefficiente è strettamente collegato all’angolo, ,
formato dalla retta e dall’asse della ascisse.
B
y
yB
Dy
Le relazione tra il coefficiente
angolare, m, gli incrementi delle
variabili x e y e l’angolo, , sono:
A
yA
O
Dy y B  y A
m

 tan 
Dx x A  x B

 xA
xB
Dx
x
5° Quesito (Valori del coefficiente angolare)
Valori del coefficiente angolare, m.
Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori:
y
1) m è negativo: m < 0
La retta, r, forma un angolo
ottuso, , con l’asse delle
ascisse.
r
O

x
5° Quesito (Valori del coefficiente angolare)
Valori del coefficiente angolare, m.
Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori:
y
2) m è positivo: m > 0
La retta, s, forma un angolo
acuto, b, con l’asse delle ascisse.
s
O

x
5° Quesito (Valori del coefficiente angolare)
Valori del coefficiente angolare, m.
Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori:
y
2) m è zero: m = 0
La retta, t, è parallela all’asse
delle ascisse.
t
O
x
5° Quesito (Valori del coefficiente angolare)
Valori del coefficiente angolare, m.
Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori:
2) m è infinito: m = 
y
La retta, k, è parallela all’asse
delle ordinate.
k
O
x
5° Quesito (Velocità media)
Sul grafico spazio-tempo di un corpo che si muove lungo una retta di moto
vario, dove la velocità non è costante ma varia ad ogni istante di tempo, si
prendono due punti, A e B.
Il rapporto incrementale tra le
posizioni ed il tempo fornisce il
B
valore della velocità media, vm, che
sB s
è la velocità che avrebbe il corpo se
si muovesse a velocità costante.
Ds AB
Ds AB

sA
O
A
tA
tB
Dt AB
t
vm 
Ds s B  s A

Dt t B  t A
Graficamente la velocità media non
è altro che la misura della pendenza,
, rispetto all’asse delle ascisse, t,
della retta passante per i punti A e B.
5° Quesito (Velocità - retta)
Analogia del grafico della retta con il grafico spazio-tempo.
Le proprietà della retta si riflettono sul grafico spazio-tempo mediante le
seguenti analogie:
x  t
y  s
m  vm
Dy y B  y A
Ds s B  s A



Dx x B  x A
Dt t B  t A
5° Quesito (Velocità media)
Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico spazio-tempo si possono
presentare tre casi:
Primo caso: Presi due punti, A e B, sul
grafico spazio-tempo, la retta passante
per tali punti forma un angolo, , acuto,
con l’asse delle ascisse, t.
s
B
La velocità media, vm, tra i due eventi è
positiva.
A

O
t
5° Quesito (Velocità media)
Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico spazio-tempo si possono
presentare tre casi:
Secondo caso: Presi due punti, A e B,
sul grafico spazio-tempo, la retta
passante per tali punti forma un angolo,
, ottuso con l’asse delle ascisse, t.
s
A
La velocità media, vm, tra i due eventi è
negativa.
B

O
t
5° Quesito (Velocità media)
Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico spazio-tempo si possono
presentare tre casi:
Terzo caso: Presi due punti, A e B, sul
grafico spazio-tempo, la retta passante
per tali punti forma un angolo, , nullo
con l’asse delle ascisse, t, cioè la retta è
parallela all’asse delle ascisse.
s
A
B
La velocità media, vm, tra i due eventi è
zero.
O
t
5° Quesito (Velocità istantanea)
Nel moto vario, il valore della velocità media dipende dai punti eventi che si
prendono sul grafico spazio-tempo.
Se l’intervallo di tempo, Dt,
diminuisce, ovvero se i punti-eventi si
avvicinano tra di loro, i valori della
velocità media cambiano.
B
sB s
C
D
Graficamente le velocità medie sono
individuate dalle pendenze delle
rette che passano per due eventi
rispetto all’asse delle ascisse.
E
sA
O
A
tA
tE tD
tB
tC
t
5° Quesito (Velocità istantanea)
Al diminuire dell’intervallo di tempo, la corda intercettata dalla curva e dalla
retta tende a sovrapporsi con il corrispondente arco di curva.
Se l’intervallo di tempo tende a zero,
i due punti-eventi tendono a
sovrapporsi e la retta, la cui pendenza
è collegata alla velocità, diventa
tangente alla curva.
B
sB s
C
D
E
sA
O
A
tA
tE tD
tB
tC
t
5° Quesito (Velocità istantanea)
Se l’intervallo di tempo tende a zero, la velocità che viene calcolata eseguendo il
rapporto incrementale tra lo spazio percorso ed il corrispondente intervallo di
tempo si chiama velocità istantanea, vi.
Ds
v i  lim
Dt  0 D t
s
L’espressione è il limite per Dt che tende
a zero del rapporto incrementale Ds e Dt.
A B
O
Poiché i due punti-eventi, A e B,
coincidono, la retta, la cui pendenza
determina il valore della velocità
istantanea, è tangente alla curva.
t
5° Quesito (Velocità istantanea)
Se si ha il grafico spazio-tempo del moto vario di un corpo che si muove su di una
retta
le velocità istantanee sono individuate
tracciando le tangenti alla curva negli
istanti di tempo presi in considerazione.
s
C
D
B
A
O
t
5° Quesito (Calcolo velocità istantanea)
Dato il grafico spazio-tempo di un moto vario, per calcolare la velocità istantanea
ad un certo istante di tempo si eseguono le seguenti operazioni:
1) Sul grafico si individua il punto-evento, A, in
cui calcolare la velocità istantanea.
r
C
s
sC
4) Dei due punti, B e C, si individuano
graficamente le loro coordinate.
A
B
5) Per trovare la velocità istantanea, vi, si
calcola il seguente rapporto incrementale:
sB
O
tB
2) Nel punto-evento, A, si traccia la tangente,
r, alla curva.
3) Sulla retta tangente, r, si individuano due
punti arbitrari, B e C.
tC
t
sC  sB
vi 
tC  tB
5° Quesito (Grafico velocità-tempo)
In un moto vario ad ogni istante di tempo le velocità istantanee hanno valori
diversi. Pertanto si possono rappresentare in un grafico velocità-tempo i valori
delle velocità istantanee in funzione dei corrispondenti istanti di tempo. Siano A, B,
C, D …. alcuni di questi punti
Collegando i punti velocità-tempo si
ottiene il grafico della velocità in
v
funzione del tempo
v
vE
D
D
vC
C
vB
vA
E
v  f (t )
B
Il grafico, che è la traduzione grafica di
dati sperimentali, evidenzia che la
velocità cambia nel tempo.
A
O tA tB
tC
tD
tE t
5° Quesito (Accelerazione)
Per comprendere come varia la velocità nel si introduca una grandezza fisica
chiamata accelerazione. Si prendono due punti, A e B, del grafico velocità-tempo.
Nell’intervallo di tempo
Dt AB  t B  t A
v
vB
B
la velocità ha subito una variazione
Dv AB  v B  v A
Dv AB
vA
O tA
L’accelerazione viene definita come il
rapporto tra la variazione di velocità
subita dal corpo in un certo intervallo
di tempo.
A
Dt AB
tB
t
Dv AB v B  v A

a AB 
Dt AB t B  t A
5° Quesito (Accelerazione media)
Sul grafico velocità-tempo di un corpo, che si muove lungo una retta e che ha una
velocità che varia ad ogni istante di tempo, si prendono due punti, A e B.
v
vB
Il rapporto incrementale tra le velocità
ed il tempo fornisce il valore della
accelerazione media, am, che è la
accelerazione che avrebbe il corpo se
si muovesse di moto uniformemente
vario
B
Dv AB
am 
Dv AB

vA
A
O tA
Dt AB
tB
t
Dv AB v B  v A

Dt AB t B  t A
Graficamente la accelerazione media
non è altro che la misura della
pendenza, , rispetto all’asse delle
ascisse, t, della retta passante per i
punti A e B.
5° Quesito (Accelerazione - retta)
Analogia del grafico della retta con il grafico velocità-tempo.
Le proprietà della retta si riflettono sul grafico spazio-tempo mediante le
seguenti analogie:
x  t
y  v
m  am
Dy y B  y A
Dv v B  v A



Dx x B  x A
Dt t B  t A
5° Quesito (Accelerazione media)
Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico velocità-tempo si
possono presentare tre casi:
Primo caso: Presi due punti, A e B, sul
grafico velocità-tempo, la retta passante
per tali punti forma un angolo, , acuto,
con l’asse delle ascisse, t.
v
B
La accelerazione media, am, tra i due
eventi è positiva.
A

O
t
5° Quesito (Accelerazione media)
Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico velocità-tempo si
possono presentare tre casi:
Secondo caso: Presi due punti, A e B,
sul grafico velocità-tempo, la retta
passante per tali punti forma un angolo,
, ottuso con l’asse delle ascisse, t.
v
A
La accelerazione media, am, tra i due
eventi è negativa.
B

O
t
5° Quesito (Accelerazione media)
Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico velocità-tempo si
possono presentare tre casi:
Terzo caso: Presi due punti, A e B, sul
grafico velocità-tempo, la retta passante
per tali punti forma un angolo, , nullo
con l’asse delle ascisse, t, cioè la retta è
parallela all’asse delle ascisse.
v
A
B
La accelerazione media, am, tra i due
eventi è zero.
O
t
5° Quesito (Accelerazione istantanea)
Nel moto vario, il valore dell’accelerazione media dipende dai punti che si
prendono sul grafico velocità-tempo.
Se l’intervallo di tempo, Dt,
diminuisce, ovvero se i punti si
avvicinano tra di loro, i valori
dell’accelerazione media cambiano.
B
vB v
C
D
Graficamente le accelerazioni medie
sono individuate dalle pendenze
delle rette che passano per due punti
rispetto all’asse delle ascisse.
E
vA
O
A
tA
tE tD
tB
tC
t
5° Quesito (Accelerazione istantanea)
Al diminuire dell’intervallo di tempo, la corda intercettata dalla curva e dalla
retta tende a sovrapporsi con il corrispondente arco di curva.
Se l’intervallo di tempo tende a zero,
i due punti-eventi tendono a
sovrapporsi e la retta, la cui pendenza
è collegata alla accelerazione, diventa
tangente alla curva.
B
vB v
C
D
E
vA
O
A
tA
tE tD
tB
tC
t
5° Quesito (Accelerazione istantanea)
Se l’intervallo di tempo tende a zero, la accelerazione che viene calcolata
eseguendo il rapporto incrementale tra la variazione i velocità ed il corrispondente
intervallo di tempo si chiama accelerazione istantanea, ai.
Dv
Dt  0 D t
ai  lim
v
L’espressione è il limite per Dt che tende
a zero del rapporto incrementale Dv e
Dt.
A B
O
Poiché i due punti, A e B, coincidono, la
retta, la cui pendenza determina il valore
dell’accelerazione istantanea, è tangente
alla curva.
t
5° Quesito (Accelerazione istantanea)
Se si ha il grafico velocità-tempo del moto vario di un corpo che si muove su di una
retta
le
accelerazioni
istantanee
sono
individuate tracciando le tangenti alla
curva negli istanti di tempo presi in
considerazione.
v
C
D
B
A
O
t
5° Quesito (Calcolo accelerazione istantanea)
Dato il grafico velocità-tempo di un moto vario, per calcolare l’accelerazione
istantanea ad un certo istante di tempo si eseguono le seguenti operazioni:
1) Sul grafico si individua il punto, A, in cui
calcolare la velocità istantanea.
r
C
v
vC
4) Dei due punti, B e C, si individuano
graficamente le loro coordinate.
A
B
5) Per trovare la velocità istantanea, vi, si
calcola il seguente rapporto incrementale:
vB
O
tB
2) Nel punto, A, si traccia la tangente, r, alla
curva.
3) Sulla retta tangente, r, si individuano due
punti arbitrari, B e C.
tC
t
vC  vB
ai 
tC  tB
5° Quesito (Soluzione)
È dato il seguente grafico velocità-tempo:
Siano dati i seguenti punti:
v( t )
M
v2
Punto M le cui coordinate sono
t2 e v2.
v1
v2
O
Punto R le cui coordinate sono t1
e v1.
R
S Punto S le cui coordinate sono t3
e v3.
t1
t2
t
t3
5° Quesito (Soluzione)
Le accelerazioni istantanee nei tre punti, R, M e S, sono individuate dalle tangenti
alla curva nei tre punti.
La tangente alla curva nel punto R è la
v( t )
k
retta k.
p
M
v2
q
v1
v2
R
S
La retta k ha coefficiente angolare
positivo,
ovvero
l’accelerazione
istantanea nel punto R è positiva e, nel
tratto di curva compreso tra i punti R ed
M, è massima.
La tangente alla curva nel punto M è la
O
retta p.
La retta p ha coefficiente angolare nullo, ovvero l’accelerazione istantanea nel
punto M è nulla, cioè zero.
La tangente alla curva nel punto S è la retta q.
t1
t2
t
t3
La retta q ha coefficiente angolare negativo, ovvero l’accelerazione istantanea
nel punto S è negativa e, nel tratto di curva compreso tra i punti M ed S, è minima.