Lezione 5 - Dipartimento di Fisica e Geologia

Lezione 5…
Interazione delle particelle con la
materia
Introduzione.
Le particelle prodotte in una collisione hanno impulso,
carica,massa ed altre proprietà che vogliamo misurare.
Ogni possibile mezzo può essere usato per poter
rivelare le particelle  capire come le particelle
interagiscono con il materiale con cui sono costruiti I
rivelatori.
Rivelatori di Particelle
1
Lezione 5…
Interazione delle particelle con la
materia
Due possibili tipi di misure:
 Misure non distruttive: l’interazione col mezzo trasferisce poca
energia al mezzo stesso.
 Misure distruttive: l’energia della particella viene persa nel
rivelatore e la particella viene assorbita (calorimetria).
Tratteremo:
• Collisioni fra particelle cariche: Scattering multiplo , Bethe Block.
• Radiazione emessa da particelle cariche : Radiazione Cerenkov,
di transizione e
Bremsstrahlung.
• Interazioni dei fotoni e sciami elettromagnetici.
• Sciami adronici.
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
Collisioni fra particelle cariche.
Una particella di massa >> dell’elettrone in moto
(veloce) in un materiale collide con:
 Nuclei  poca energia rilasciata al nucleo,
ma angolo di scattering della particella incidente
significativo.
 Elettroni atomici  gli elettroni (leggeri)
si prendono abbastanza energia dalla particella
incidente, ma questa fa uno scattering
trascurabile.
Rivelatori di Particelle
3
Lezione 5…
Scattering elastico (Rutherford)
Simmetria entrante-uscente pb┴ p
A parametro d’impatto b la forza è
F(b)=Ze2/(4pe0b2)
pb
Nucleo a riposo
Carica Ze
Particella
Incidente
e, M, p, bc
r
Nell’approssimazione di piccoli angoli
 ~ pb/p ~
(2Ze2)/(4pe0bcbp)~2Za/pbb
(a=e2/(4pe0ħc))
b
f
Dt v
Tempo d’interazione Dt=2b/v (piccole
distanze)  (dalla F=dp/dt)
pb=DpT ≈ F(b) Dt = (2Ze2)/(4pe0bcb)

pb
Z grande campo nucleo più grande 
 grande
b piccolo Dt più grande   grande
Rivelatori di Particelle
4
Lezione 5…
Scattering elastico (Rutherford)
Si ottiene lo stesso risultato, sempre classicamente, integrando come segue:


Ze 2 b dx
pb =  Fb dt = 
4pe0 r 2 r bc



dx
; Fb = F (r ) sin  ; (forza ortog. a p); r 2 = x 2  b 2
bc
dove : b = r sin  ; dt =


pb =
Ze 2
 4pe bc (x

0
bdx
2
b
2


3
=
2
Ze 2
d (x b 
 4pe bc (1  (  

0
x 2
b
3
2
1 2Ze 2 2Za
=
=
4pe0 bcb
bb
Abbiamo ricavato la relazione fra angolo di scattering e parametro d’impatto.
Quello che ora ci interessa è la probabilità di scattering.
Rivelatori di Particelle
5
Lezione 5 ….
Scattering elastico
Sezione d’ urto (probabilità di scattering)
La sezione d’urto sarà proporzionale all’elemento di area trasversa
ds = bdbd
Integrando su 
ds=2pbdb=2p(2Za)/(pb)db
Ma db=(2Za/bp2)d e dW = 2psin()d ~ 2pd (per piccoli angoli) 
ds/dW = (2Za/bp)2 1/4
La formula esatta va come 1/(sin4)
Questa formula è valida per particelle di spin 0 e massa M>>me
Nel caso di particelle di spin ½ la s è quella di Mott :
ds/dW=ds/dWRut(1-b2sin2(/2))
Abbiamo eseguito il calcolo classicamente, ma viene esattamente lo stesso risultato in
meccanica quantistica.
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5 ….
Scattering elastico
Abbiamo visto:
ds/dW = (2Za/bp)2 1/4
Questa formula ci dice che la sezione d’urto diverge a piccolo angolo.
Ma esiste un  minimo ed un  massimo ….
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
Scattering elastico


Lo scattering di Rutherford è dovuto al campo elettrico dei nuclei. L’atomo
è neutro  se la particella arriva troppo lontano E ~ 0  bmax (min) e
ds/dW non diverge per   0.
bmax = a0 = re2/a2 per l’idrogeno
bmax = ra ~ 1.4 a0• Z-1/3 per materiali più pesanti
Abbiamo seguito un ragionamento classico. Dal punto di vista quantistico si usa il principio
d’indeterminazione Dp ~ ħ/ra cioè D ~ ħ/rap.
ds  2Ze
= 
dW  bp
2
2

1
 
2
2
2
 (   min 
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
raggio classico di e (r0)
Ricordiamo che il raggio classico dell’elettrone è e2/mc2 nel sistema di
Gauss e e2/mc24pe0 nel sistema S.I.
Si ricava calcolando l’energia totale del campo elettrico generato da un
elettrone.
  

Etot = mc2 =   E  DdV =   e 0 E 2 dV =
r

e2
r
e2 1
=  e 0
r sin dddr =
2 4
(4pe0  r
(4pe0  r
r
2
e2
re =
4pe0 mc2
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering elastico …
Abbiamo anche un max (bmin).
Lo scattering alla Rutherford non funziona quando la lunghezza
d’onda della particella incidente diventa paragonabile alla
dimensione del nucleo rn ~ (1/2)reA1/3. (ricorda la diffrazione)
  max
s =


A1/ 3 mc
 
2
rn prn
a p
 max

 min
2
Z 3 
ds
1
2
  prn2  2
2pd  pre 4

dW
 min
 ab 
2
Osserviamo che la sezione d’urto decresce aumentando b.
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
Scattering multiplo
Abbiamo visto che c’è una probabilità non trascurabile che una particella carica
subisca uno scattering Coulombiano nell’attraversamento di un pezzo di
materiale.


Una particella può subire un solo scattering, ma
può anche fare molti scattering coulombiani (la
sezione d’urto cresce rapidamente quando gli
angoli di scattering diminuiscono).
La particella può lasciare il blocco di materiale
dopo aver fatto molte collisioni a piccolo angolo

scattering multiplo.
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
Scattering multiplo
Siccome ogni piccolo scattering individuale è un processo casuale ci aspettiamo
che l’angolo medio di scattering di particelle che attraversano del materiale sia 0,
ma in generale il valore quadratico medio non è pari a zero.
Siccome conosciamo la distribuzione degli angoli di scattering possiamo
calcolarci il valor medio del quadrato dell’angolo di scattering
(nell’approssimazione di piccolo angolo dWdd)
Il valor medio del quadrato dell’angolo di scattering è :
ds
d
  dW dW  
2    max

=

 2 min
ln
 
 min 
ds
d
 dW dW   3
2
2
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
Scattering multiplo
Se consideriamo un blocco di materiale spesso avremo in media N nuclei (N
molto grande) sui quali la particella diffonde. N grande  distribuzione
gaussiana  <2(ms)> = N<2>. (dove <2> è di una singola diffusione)
In dx avrò per area unitaria N = N0rdx/A = dx/<L>
N0 numero di Avogadro, r densità del materiale, A peso atomico, <L> cammino libero
medio fra i nuclei.
2
 
2
ms
 2Za 
N 0 rdx
2
  ln

 2p 
1
1
2
3
A
b
p


a A Z 3
Se A~2Z il termine logaritmico diventa 2ln(173Z-1/3).
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering multiplo
Tradizionalmente si scrive l’angolo di scattering in termini della
lunghezza di radiazione X0.
Attenzione X0 è definita per processi radiativi. Lo scattering multiplo
non è un processo radiativo  ms dipende da X0 solo per caso.

 ms
2
ms
x 4p m 2
=
ed in termini di energia
2 2
X0 a b p
E
= s
bcp
x
X0


4p
2
 Es =
 mc  21 MeV 

a


(1
La lunghezza di radiazione X0 è la distanza media attraversata da un elettrone di alta
energia che perde tutta la sua energia tranne 1/e per Bremsstrahlung.
X0=(716.4 A)/(Z(Z+1)ln(287/21/2))
Si noti che con ms si indica (<2>1/2 (sia qui che nel seguito)
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering multiplo
La (1) è valida solo se attraverso molte lunghezze di radiazione, altrimenti
è una sovrastima di ms.. Più accurata:
 ms =
19.2
MeV  x X 0 1  0.038 ln  x X  
0 
bcp


Formule valide per piccoli angoli. Per grandi angoli la distribuzione va
come 1/sin4(/2) (Rutherford) con code più larghe di una gaussiana.
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering multiplo
Proiezione su un piano:
y
y
z
ms
2ms=2x+2y
pr=ms/21/2
x
x
Per angoli grandi code
più larghe di una
gaussiana
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering multiplo
La dispersione angolare causata dallo scattering multiplo introduce anche una
dispersione laterale in un fascio di particelle. (yplane)
La media del quadrato della dispersione laterale è data da :
y
2
plane
1 2 2
  ms x
6
Essendo x la distanza attraversata nel mezzo.
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering multiplo
Vediamo di ricavare
y 2plane 
1 2 2
 ms x
6
A tale scopo consideriamo un elemento di spessore dx a profondità x e vediamo il contributo di dy2 a
<y2>
y (x  dx  = y (x    y ( x dx
 (x  dx  =  y (x   
y 2 (x  dx  = y 2 (x   2 y (x  ( x  dx
d y 2 = 2 y ( x  (x  dx
d  y2 =  2
d y =  y2 dx infatti y (x  dx  (x  dx   y (x  ( x    y2 (x dx  y (x  ( 
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering multiplo
Ora:
 y2 = k  s
 21MeV  1 

con k = 
pb 
2

2
ed s espresso in lunghezze di radiazione
s
s2 1
y =  kxdx = k = s  y2
2 2
0
s
y
2
1
1
= 2 kx2 dx = ks3
2
3
0
y 2plane 
1 2 2
 ms s
6
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Scattering multiplo
Notiamo: lo scattering multiplo è un fattore
limitante per le misure.
 Misure d’ impulso precisione della misura limitata dallo
scattering multiplo.
 Sciami elettromagnetici dimensioni trasverse dello
sciame dovute allo scattering multiplo.
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
Perdita di energia
• Scattering multiplo  scattering su nucleo  deviazione della
particella incidente
• Perdita di energia  scattering su elettrone  trasferimento di
energia alla targhetta (elettroni dell’atomo), deviazione della particella
incidente trascurabile.
DpT  2a
2
D
p
T
De =
b = parametro d' impatto
bv 
v = velocita' particella incidente
2a 2 m = massa targhetta
=
2m b 2 v 2 m 
De = energia di rinculo
Fattore 1/m in De  l’energia viene trasferita alle particelle più leggere
 più energia agli elettroni (almeno 2000 volte più leggeri del nucleo)
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5…
Considerazioni relativistiche
• Il campo ET si trasforma relativisticamente come g
• Il tempo di collisione Dt come 1/g
DpT= pb= eET(b)Dt ~ eg2b/bg ~ 2eb/b
Quindi dato b e per b  1 DpT = costante.
Vedremo in seguito che questo è vero a meno di un
fattore logaritmico.
Questo rende la vita più facile per i rivelatori perché, in prima
approssimazione tutte le particelle di carica unitaria con sufficiente
energia cinetica trasferiscono la stessa energia al mezzo.( MIP)
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Perdita di energia
Massima e minima energia della particella di rinculo
p, E, M

p0, E0, M
f
k, e, m
p0=p+k
E0+m=E+e
T=e-m
Q=T/m
E0=gM
p0=bgM
2 b 2g 2 M 2 cos 2 f
Q=
(gM  m2  b 2g 2 M 2 cos2 f
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Perdita di energia
Quadrando p0 ed E0 cioè l’impulso e l’energia totale ottengo:

p 2 = p02  k 2  2 p0 k cos 
  (1
2
2
2
2
E = E 0  m  e  2 E0 m  2 E0e  2em
osservo che : E02 = p02  M 2 ; E 2 = p 2  M 2 ; e 2 = k 2  m 2
Sottraggo le (1) membro a membro ed ottengo:


2 m 2  p0 k cos   E0 (m  e   me = 0
ma
k = e 2  m 2 = T 2  2mT 
(
 (T
 (
 2mT  = T (E
p cos  T  2mT = me  E0 (m  e   m
2
0
2
p02 cos 2
ma Q =
(
T
m
2
2
2

2 2
0  m
2


Q p 2 cos 2   (E0  m  = 2 p02 cos 2 
2
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Perdita di energia
2 p02 cos 2 
Q=
(E0  m 2  p02 cos 2 
Ponendo ora E0=gM e p0=bgM ottengo:
2 b 2g 2 M 2 cos 2 f
Q=
(gM  m2  b 2g 2 M 2 cos2 f
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Perdita di energia
Massima e minima energia della particella di rinculo… continua
Quello che ci interessa è il minimo ed il massimo di Q (energia cinetica trasferita).
Qmin = 0 per cos f = 0 f = 90o
2(bg 
2
Qmax =
per cos f = 1, f = 0o
  m 2
m
1     2g 
M 
  M 
m
gm
e.g. protoni su elettroni
0 e
0
M
M

Qmax  2(bg 
2
p 
= 2 0 
M 
2
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Perdita di energia
Raggi delta
Occasionalmente gli elettroni di rinculo guadagnano sufficiente energia da
essere rimossi dall’atomo (ionizzazione). Raggi .
Assumendo di avere Z elettroni in ao (~1 Å ) ed una lunghezza d’onda del
proiettile < ao e particelle incidenti veloci (b  1) abbiamo:
dN 
N Z
= 2p  0
dTd (rx 
 A
 2 e
a
T2

con r densita' del materiale, T energia cinetica del raggio  e

=
lunghezza d' onda Compton
2pmc
Ponendo Z/A~1/2 abbiamo che i raggi  di energia > 1 MeV in 1 gr/cm2
sono circa il 7.8% della ionizzazione totale. Questo ci porta a delle grosse
fluttuazioni della perdita di energia.(code di Landau)
Rivelatori di Particelle
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Lezione 5….
Perdita di energia
Osserviamo:
2a 2
T (b   De 
(bbc 2 m
ds
db
b2
2pa 2
= 2pb
=p
=
dT
dT
T (bcT 2 m
Il comportamento angolare del proiettile (1/4) si trasforma in un
comportamento 1/T2 dell’energia cinetica del bersaglio (di rinculo).
 limitato l’angolo, limitata l’energia cinetica di rinculo.
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